Giuseppe Balacco

LEZIONI DIMATEMATICA

per la seconda media

Il fine della nassa è il pesce:preso il pesce metti da parte la nassa.Il fine del calappio è la lepre:presa la lepre metti da parte il calappio.Il fine delle parole è l’idea:afferrata l’idea metti da parte le parole.

Chuang-Tzu, XXVI, 21 1

29 giugno 2017puoi trovare l’ultima versione e altro materiale sul sito:

http://balacco.info

COME USARE QUESTOFASCICOLO

Per prima cosa devi seguire con la massimaattenzione le mie lezioni, perché il fascicoloserve per ripeterle a casa.Ho volutamente usato meno parole possibile. Miaspetto che tu legga lentamente e ti sofferma suogni frase fino a quando diventi chiara. Alla finedella pagina prova a ripetere: a voce ledefinizioni e le spiegazioni; per iscritto figure,formule e calcoli.Ogni capitolo richiede la perfetta conoscenzadei capitoli che lo precedono. Una personanormale non riesce a ricordare tutto con unasola lettura. Devi quindi ristudiare i vecchiargomenti a distanze di settimane e di mesi,forse anche di anni.Ho inserito alcuni problemi e alcuni argomentiche potrebbero essere troppo difficili per te,specie ad una prima lettura. Se hai seguito lelezioni riuscirai a riconoscerli. Prova arisolverli, se ti senti abbastanza sereno emotivato; altrimenti saltali pure.Questo fascicolo non è un libro di testo né unsuo sostituto. In linea di massima, devi usare illibro per imparare nuovi argomenti e peresercitarti, queste pagine per ripassare.La matematica che viene proposta alla tua età lasi impara solo con la pratica, ma qui troveraiprincipalmente teoria. Le due cose si aiutano avicenda, perché nessuna delle due si puòcomprendere facendo a meno dell’altra. Io miauguro che tu rimanga sempre curioso come unbambino, come quei bambini che voglionoconoscere il perché di ogni cosa. Qui troveraitante risposte ai tuoi perché, risposte che pochevolte si trovano nei libri. Se, leggendole, dirai:“Ci potevo arrivare anche da solo”, significa cheio avrò raggiunto il mio scopo.Preparati a sudare e ad affrontare sconfitte efallimenti. Imparare la matematica è un’impresae tu ne sarai l’artefice. Se lasci gli sforzi aqualcun altro, sarà lui ad imparare, non tu. Nonti arrendere ed i risultati arriveranno. Lamatematica è un gioco in cui tutti i giocatorivincono e nessuno perde. Aiuta i tuoi compagnidi studi e confrontati con loro. Ne trarrai unbeneficio costante.

OLISMO O RIDUZIONISMO?

L’olismo ed il riduzionismo sono due modi dipensare opposti. Secondo il riduzionismo ilnostro corpo è la somma delle sue cellule, uncristallo non è altro che la somma dei suoiatomi, un’automobile la somma dei suoicomponenti ed una squadra di calcio la sommadi undici calciatori. Secondo l’olismo il nostrocorpo è più della somma delle cellule, uncristallo è qualcosa di più che la somma dei suoiatomi, un’automobile è più che la somma deisuoi componenti ed una squadra di calcio èqualcosa di più (o di meno) della somma diundici calciatori. Sei libero di abbracciare unodei due modi di pensare, o di ignorarli entrambi.Per quel che riguarda la matematica, il consiglioche ti do è di studiarla in maniera olistica. Nonconviene separarla in tanti argomenti. Spessonon è neanche possibile. Ad esempio: saprestispiegare la proprietà invariantiva della divisionesenza usare il concetto di moltiplicazione?Oppure la proprietà distributiva senza mainomina re add iz ione e s o t t r az ione? Èimpossibile.Riduzionismo è dire: “Le tabelline sonoqualcosa da scuola elementare. In secondamedia non si s tudiano”; oppure: “Lascomposizione in fattori primi fa parte delprogramma di prima media. Non si fa più inseconda”; oppure: “I compiti per domaniriguardano le frazioni; non ho bisogno diricordare le potenze”.Olismo è cercare di ricordare tutto assieme, leregole con le loro dimostrazioni, l’aritmeticacon la geometria, le frazioni con le percentuali.Chi studia in maniera riduzionistica imparanuove regole ogni mese, ma dimentica tuttoquello che aveva studiato in precedenza, cosìche il suo lavoro alla fine non lascia traccia. Chistudia in maniera olistica riesce a vedere chetutte le parti sono collegate dalla logica odall’analogia e che tutte le regole sono unanecessaria conseguenza dei concetti elementari(numeri, operazioni, assiomi).

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 2

NUMERI RAZIONALI

I numeri naturali sono semplici, versatili mahanno qualche limite. Ad es. non sempreconsentono l’operazione di divisione. Abbiamogià aggirato il problema con l’introduzione dellefrazioni. Vogliamo ora dare una veste formalerigorosa alla nostra soluzione. Definiamo comeclasse di equivalenza l’insieme infinito di tuttele frazioni che hanno lo stesso valore.

Due di tali classi sono{12

,24

,36

,48

,510

, ⋯}{38

,6

16,

924

,1232

, ⋯}Il valore comune a tutti gli elementi di unastessa classe lo chiamiamo numero razionale.L’insieme degli infiniti numeri razionali siindica con una Q. Per essere sicuri che questinuovi numeri ci risolvano i problemi anzichécrearli, dobbiamo costruirli in modo tale che:1) I numeri naturali costi tuiscano unsottoinsieme dei numeri razionali.2) Si possano confrontare due numeri razionali.3) Si possano usare in tutte le operazioni e leoperazioni devono godere delle stesse proprietàdi cui godevano con i numeri naturali.Verifichiamo:1) Un numero naturale può essere scritto comefrazione con denominatore 1. Pertanto anche unnumero naturale è un numero razionale.2 ) Un numero r az iona l e può e s se r erappresentato come un punto sulla retta deinumeri. L’operazione ti sembrerà più facile setrasformerai la frazione in numero misto. Ad

esempio:173

=5 + 23

. Questa frazione è

compresa fra i numeri naturali 5 e 6. Ogninumero sarà maggiore di quelli che cadono allasua sinistra e minore di quelli che cadono allasua destra.3) Già siamo in grado di operare con le frazioni,quindi sappiamo che il terzo requisito èsoddisfatto.Per rappresentare un numero razionale possiamousare una qualsiasi delle frazioni (di solito sipreferisce quella ridotta ai minimi termini)oppure un numero decimale. Per trovare ilnumero decimale corrispondente ad unafrazione basta dividere il numeratore per il

denominatore. Spesso il numero di cifredecimali è infinito. In questo caso, il numerodecimale si dice illimitato periodico.

23

=0,66666666666666666666666666 .... .

Si usa segnalare la cosa con una sbarra sullecifre che si ripetono. Il numero appena visto siscrive: 0,6. Sulla parte intera non si pone mai lasbarra, anche se si ripete.

160.00099

= 1616,16

A volte, fra la virgola e le cifre che si ripetono cisono altre cifre che non si ripetono:32,754801801801801… = 32,754801Il gruppo di cifre decimali che si ripetono sichiama periodo; il gruppo di cifre che non siripetono si chiama antiperiodo; i numeri checontengono solo il periodo si chiamanoperiodici semplici; quelli che contengono anchel’antiperiodo si chiamano periodici misti.Solo in rari casi si possono eseguire calcoli incolonna con i numeri periodici. Ad es., sonopossibili:

5,3 + 11,54 = 16,8771,078 – 59,56 = 11,512

Qui si è verificato un insieme di circostanze: èpossibile fra coincidere gli antiperiodi, èpossibile far coincidere i periodi, non ci sonodecine da riportare nelle colonna di sinistra o daprendere in prestito dalla colonna di sinistra.Basta che una sola di queste circostanze non siverifichi e non si può più operare in colonna.Neanche le calcolatrici permettono di inserire iperiodi. Se si vuol usare la calcolatrice, occorrearrotondare ogni numero periodico in difetto oin eccesso.2,3 diventa 2,33 oppure 2,333 oppure 2,3333 …1,6 diventa 1,67 oppure 1,667 oppure 1,6667 …Anche il risultato finale sarà inevitabilmenteapprossimato. Esiste una alternativa agli arrotondamenti. Haigià abbastanza esperienza nel calcolo con lefrazioni e sai che, con esse, i calcoli sonosempre esatti. Quando arrivi al risultato finalepuoi eseguire la trasformazione in numerodecimale, se richiesta. Se, fra i numeri dipartenza, alcuni sono riportati come decimali ealtri come frazioni devi, per prima cosa,riscriverli tutti o come frazioni o come decimali.

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FRAZIONI GENERATRICI

A quale frazione corrisponde un numero finito,ossia non periodico? Esaminiamo un casospecifico: 31,754. Possiamo far sparire lavirgola moltiplicando per 1.000 e, per nonalterare il valore, usare un’altra volta 1.000, maquesta a volta al denominatore. Moltiplicando edividendo per 1.000 il risultato non cambia, mala virgola sparisce!

31,754= 31.7541.000

= 15.877500

Nell’ultimo passaggio abbiamo ridotto lafrazione ai minimi termini. In conclusione: ilnumeratore è uguale al numero di partenzasenza la virgola; il denominatore contiene un 1seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo lavirgola. Molto più complicata è la regola per trasformarein frazione un numero periodico: si scrivono alnumeratore tutte le cifre del numero di partenza,senza la virgola e senza il segno di periodo,seguite dal segno – ; poi si ripetono tutte le cifreche precedono il periodo. Al denominatore siscrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo,seguiti da tanti zeri quante sono le cifredell’antiperiodo.

1,2 =12−1

9= 11

9

1,28=128−12

90= 116

90=58

45Naturalmente oggigiorno è possibile trovaresoluzioni automatizzate online. Puoi anchetrovare la dimostrazione, se sei curioso!

È facile prevedere che tipo di numero decimalecorrisponde ad una data frazione, se questa èridotta ai minimi termini.- Una frazione che contiene, al denominatore,solo i fattori 2 e 5, con qualsiasi esponente,equivale ad un numero decimale finito.

1 : 160 = 0,00625

- Se il denominatore non contiene i fattori 2 e 5la frazione corrisponde ad un numero decimaleperiodico semplice.

1 : 7 = 0,142857

- Una frazione che contiene al denominatoreentrambi i tipi di fattori equivale ad un numeroillimitato periodico misto.

1 : 60 = 0,016Queste tre regole non valgono più se la frazionenon è ridotta ai minimi termini.

Quanti numeri razionali sono compresi fra 1 e2? Quanti sono compresi fra 1 e 1,5? Fra 0 e0 , 0 0 1 ? F r a 5 , 1 e 5 ,1? F r a 8 e8,000000000000000000000000000000000001?La risposta è sempre: “Infiniti numeri”. Infatti,siamo liberi di aggiungere cifre decimali avolontà. Nell’ultimo caso, ad esempio,inseriamo uno zero in più:8,00000000000000000000000000000000000018,00000000000000000000000000000000000028,0000000000000000000000000000000000003… ma possiamo ancora inserire altri zeri, quantine vogliamo ed ancora di più … Se, sulla retta dei numeri, prendiamo unsegmento qualsiasi, anche cortissimo, essoconterrà infiniti numeri razionali.

La frazione generatrice di 0,9 è 1. Sembraassurdo ma è così. Basta calcolare la frazionegeneratrice.

0, 9= 9− 09

= 99

=1

Se ti sorgesse il dubbio che 0,9 < 1 e che èsbagliata la formula che abbiamo usato, eseguile seguenti divisioni.

1 : 9 = 0,12 : 9 = 0,2

3 : 9 = 1 : 3 = 0,34 : 9 = 0,45 : 9 = 0,5

6 : 9 = 2 : 3 = 0,67 : 9 = 0,78 : 9 = 0,8

Ora riscriviamo 0,9 = 0,8 + 0,1. Sostituendo con

le frazioni già calcolate: 0, 9= 89

+ 19= 9

9=1

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 4

ESTRAZIONE DI RADICE

Il lato di un quadrato misura 3m. Calcola l’area.Questo problema lo possiamo risolvere in duemodi praticamente identici:

A = 3m ∙ 3m = 9m2

oppure A = (3m)2 = 9m2

L’area di un altro quadrato misura 25m2. Calcolail lato. Evidentemente questo problema èl’inverso del precedente. C’è una sola manieradi risolverlo: applicare l’operazione inversaall’elevamento al quadrato. Questa operazioneesiste e si chiama estrazione di radice quadrata.Il risultato è √25=5 Infatti 52 = 25. Ci sonoquattro modi di calcolare la radice quadrata:1) Avvicinarsi per tentativi e poi effettuare laprova, come abbiamo fatto ora.2) Usare una calcolatrice.3) Usare le tavole numeriche.4) Imparare l’apposito algoritmo.Il volume di un cubo misura 125m3. Calcola illato. L’unico modo di risolvere questo problemaè quello di applicare l’operazione inversaall’elevamento al cubo. Tale operazione esiste esi chiama estrazione di radice cubica. Il risultatoè 3√125= 5 . Infatti 53 = 125. In questo casopossiamo applicare i primi tre metodi vistiprima.In generale, l’operazione inversa all’elevamentoa potenza si chiama estradizione di radice n-esima. Il risultato è quel numero che, elevatoalla n-esima potenza, fornisce il termine sottoradice.

5√32=26√117.649=7

7√1.000= 2,682695795. . .perché:

25 = 3276 = 117.649

2,6826957957=1.000Il numeretto in alto a sinistra si chiama indice.È possibile calcolare il risultato con unacalcolatrice scientifica. Notiamo che esisteanche un modo formalmente diverso di invertirel’elevamento a potenza.

(25)15 =2

55 =21=2

(76)16 =7

66=71=7

Abbiamo elevato a potenza con un esponenteche è una frazione unitaria. Applicando,nell’ordine, due regole:1) potenza di potenza;2) prodotto di frazioni;abbiamo come risultato la base di partenza.Quindi un elevamento a potenza con unafrazione unitaria come esponente è l’operazioneinversa dell’elevamento a potenza conesponente intero. La differenza rispettoall’estrazione di radice è solo formale. Lepotenze con esponente frazionario non sonoaltro che una maniera diversa di scriverel’estrazione di radice. Qualcuno potrebbe invecesostenere che le radici non sono altro che unamaniera diversa di scrivere le potenze conesponente frazionario. D’ora in poi useremosolo le radici, ma è importante aver notato cheanche le radici sono delle potenze. Pertanto leradici godono di tutte le proprietà dellepotenze. Osserva attentamente i seguentiesempi:

√3969=√49⋅81=√49⋅√81=7⋅9=63

3√17288

=3√1728

3√8= 12

2=6

L’estrazione di radice gode della proprietàdistributiva rispetto alla moltiplicazione e alladivisione.

Allenati con i seguenti giochi:https://www.geogebra.org/m/GCx2t7GMhttps://www.geogebra.org/m/FXXFvqbt

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LA RADICE DI 2

Se l’area del quadrato piccolo (inbasso a sinistra) vale 1, l’area diogni triangolino vale ½. L’area delquadrato colorato, inclinato,

composto da 4 triangolini, vale allora 2. Il latodel quadrato piccolo vale 1, perché √1=1 . Illato del quadrato grande, che coincide con ladiagonale del primo quadrato, deve essere √2Il problema di calcolare la radice di 2 nacqueproprio così, quando si tentò di calcolareperfettamente la lunghezza della diagonale delquadrato. Il tentativo fallì, ma la vicenda nonfinì con un fallimento. Gli antichi grecirivelarono la loro genialità in quanto riuscironoa dimostrare, con la sola logica, l’impossibilitàdi misurare la diagonale del quadrato.Si ritiene che sia stato Pitagora (o un suodiscepolo) a scoprire che la radice quadrata di 2non sia un numero razionale. Chiunque di noisarebbe orgoglioso di realizzare una scoperta delgenere e vedere il proprio nome scritto in tutti ilibri di matematica, conquistando l’immortalità.Per Pitagora fu invece un colpo durissimo. Egliaveva infatti fondato una vera e propria dottrinaal cui centro c’erano i numeri naturali,fondamento e spiegazione di tutte le cose. Lefrazioni non erano un problema per lui, perchébastava prendere come unità di misura lafrazione unitaria più piccola e tutte le misurepotevano essere espresse con numeri interi.Quando scoprì che un concetto semplice comela diagonale del quadrato (un poligono regolare,cioè simbolo di perfezione) non poteva esserespiegato con i numeri naturali, comprese chegran parte di quello che aveva costruito e in cuiaveva creduto per una vita intera era falso. Puoidunque immaginare quante volte avràcontrollato la dimostrazione! Le conseguenzefurono profonde e di lunga durata per la storiadella matematica. Dopo di allora pochi sivollero interessare all’Aritmetica, per nonincappare in simili fallimenti, preferendogli laGeometria. Insomma: dal punto di vista storico,questa fu una delle dimostrazioni più importantie sconvolgenti. Probabilmente sarai curioso diconoscerla. Ti avviso che non è facile. Se non tisenti pronto, saltala pure.

Proviamo a immaginare che la radice di 2 sia unnumero razionale. Può allora essere scritta comefrazione e tale frazione può essere ridotta aiminimi termini. Siccome non conosciamonumeratore e denominatore, useremo al loroposto le lettere m ed n:

√2= mn

m ed n, se esistono, sono due numeri interiprimi fra di loro (perché la frazione è ridotta aiminimi termini). Per la definizione di radice:

(mn )

2

= m2

n2=2

Una frazione vale 2 solo quando il numeratore èil doppio del denominatore.

m2 = 2 ∙ n2

Quindi m2 è un multiplo di 2, cioè pari. Iquadrati di numeri dispari sono tutti dispari,pertanto m deve essere pari. Se m è multiplo di2, siccome m ed n non hanno fattori in comune,n non può essere multiplo di due: n è dispari.Se m è pari, la metà di m deve essere un intero.Chiamiamolo p:

m = 2 ∙ pm2 = 4 ∙ p2 = 2 ∙ n2

Riscriviamo l’ultima uguaglianza come unaoperazione applicata a n2.

n2 ∙ 2 4 ∙ p2 l’operazione inversa è:

4 ∙ p2 : 2 n2

Riscriviamo sotto forma di formula: 4 ∙ p2 : 2 = 2 ∙ p2 = n2

Ciò significa che n2 è multiplo di 2, cioè pari.Ma prima abbiamo detto che n è dispari.Siccome non esiste nessun numero dispari il cuiquadrato sia pari, non esisterà nessuna frazioneuguale alla radice di 2. Pertanto la radice di 2non è un numero razionale.

La radice di 2 non può essere scritta né sottoforma di numero decimale né sotto forma difrazione. Sappiamo, però, che esistono infinitinumeri razionali compresi fra 1,414 e 1,415.Essi sono delle ottime approssimazioni dellaradice di 2. Ci accontentiamo di esse, nonavendo alternative. Se il quadrato di unasoluzione è maggiore di 2, quella soluzione èapprossimata per eccesso; viceversa èapprossimata per difetto se il suo quadrato èminore di 2.

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NUMERI REALI

La radice quadrata di 2, ma anche quelle di 3, 5,7 e innumerevoli altre radici quadrate, comeanche tante radici cubiche e radici con indici piùgrandi, sono tutti numeri decimali illimitati nonperiodici. Di solito si usa un nome più breve:“numeri irrazionali”. Significa che non sonorazionali, ossia non si possono scrivere sottoforma di frazioni. Le cifre decimali non solonon finiscono mai, me neppure si ripetono. Inalcuni casi queste cifre sono state calcolate inprofondità. Ad, esempio, la NASA ha calcolatodieci milioni di cifre della radice di 2.Stampandole si riempirebbe un libro. Il primomilione di cifre puoi leggere alla pagina:https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/sqrt2.1milNon è possibile riscontrare nessuna regolarità opredicibilità. Per gli scopi pratici, bastaapprossimare la radice di 2, come quella diqualsiasi altro numero, a poche cifre decimali.Spesso ne bastano 2 o 3. Le calcolatrici nemostrano 8 ma ne serbano in memoria 10. Taliapprossimazioni sono di norma sufficienti. Senon lo fossero, si potrebbero sempre usare piùcifre. Di certo, nessuna applicazione praticarichiederà mai un milione di cifre decimali!Come scrivere un numero irrazionale?Esaminiamo brevemente quello che facciamonel caso di quelli razionali: si preferisce scriverlisotto forma di frazioni. Non soltanto si evitanole approssimazioni, ma si spera che, colprocedere dei calcoli, si trasformino in frazionipiù semplici, corrispondenti a numeri interi odecimali limitati. Nel caso dei numeri irrazionalisi preferisce lasciarli sotto il segno di radice,sperando che sia possibile, in qualche passaggiosuccessivo, applicare una proprietà che facciasparire il segno di radice o che faccia compariresotto la stessa un quadrato perfetto. Ad esempio:

√35⋅√180

147=√3

5⋅180

147=√ 36

49= 6

7In questo caso i numeri irrazionali sono spariti.

Sappiamo che un qualsiasi segmento della rettadei numeri contiene infiniti numeri razionali. Adintuito, avremmo detto che non ci sarebbe statospazio per altro. Ora scopriamo, invece, che visono ancora altri punti, che razionali non sono.Due secoli fa George Cantor dimostrò

addirittura che i numeri irrazionali sono più fittidei razionali.

Per poter calcolare le radici i matematici hannocostruito un nuovo insieme di numeri checomprende sia i razionali che gli irrazionali. Ilnuovo insieme si indica con la lettera R ed i suoielementi si chiamano numeri reali. I matematicihanno dato una definizione rigorosa ai numerireali, ma tu la imparerai solo fra qualche anno.L’insieme R è costruito in modo che:1) I numeri razionali siano un sottoinsieme deireali.2) Sia possibile confrontare due numeri reali perstabilire se il primo sia uguale, maggiore ominore del secondo.3) Le operazioni con i numeri reali godano dellestesse proprietà già viste nel caso dei numerinaturali e razionali.Quando arriva il momento di fare i calcoli, o dirappresentare un valore su di una retta graduata,approssimiamo un numero irrazionale con undecimale finito. Siccome siamo liberi di usarequante cifre decimali vogliamo, possiamoraffinare quanto vogliamo tale approssimazione,in modo da far fronte a qualsiasi esigenzapratica, presente o futura.Il fatto stesso che i numeri irrazionali sianosostituibili con dei decimali limitati, dimostrache possiamo continuare ad utilizzare tutte leregole e le proprietà che conosciamo a propositodelle operazioni. Per quanto possano essererivoluzionari dal punto di vista teorico, i numerireali sono tradizionali da quello pratico.

In geometria le radici (quadrate o con altroindice) corrispondono a precisi segmenti chepossono essere tutti costruiti con riga ecompasso. √2 corrisponde alla diagonale delquadrato di lato = 1. √3 corrisponde alladiagonale del cubo di lato = 1. Nessuno mette indubbio l’esistenza di tali segmenti, pertanto noicrediamo anche nell’esistenza dei numeriirrazionali. Il grande matematico tedescoLeopold Kronecker non era d’accordo. Disse:“Dio fece i numeri naturali. Tutto il resto èopera dell’uomo”. Le divergenze di opinionirendono la vita e la scienza più interessanti.

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IL TEMPERAMENTO EQUABILE

Si ritiene che Pitagora (570-495 a.C.) sia stato ilprimo a collegare i numeri alla scala musicale. Gliantichi Greci sapevano che, se si prende una cordache vibra emettendo una nota musicale e se nedimezza la lunghezza, si ottiene una nota più acutama intonata con la precedente. Noi diciamo che laseconda nota è un’ottava sopra la prima, perché ledue note si trovano all’inizio ed alla fine della scalamusicale. Pitagora trovò delle regole numeriche perfissare le lunghezze della corda necessarie perprodurre le altre sei note della scala. Questelunghezze corrispondevano a frazioni relativamentesemplici. Si andò avanti per secoli con la scala diPitagora fino a quando, nel XVI secolo, GioseffoZarlino propose, con successo, una nuova scala“naturale” che suonava in maniera più gradevoleall’orecchio. In realtà entrambe le scale avevano lostesso limite: uno strumento poteva essere accordatoper suonare in un’unica tonalità (gli strumentiodierni possono suonare invece in 12 tonalitàdiverse). Per dare varietà alla musica si ricorreva aicosiddetti modi. Le note intermedie (diesis ebemolle) non coincidevano come oggi. Oggi il Fadiesis si suona come il Sol bemolle, allora erano duesuoni distinti.Al principio del ‘700 questi limiti furono superaticon l’ausilio della matematica. Si costruì la scalacromatica di 12 suoni che comprendeva tutte le altrescale. Se consideriamo 1 la lunghezza della cordache corrisponde alla nota più alta della scalacromatica, la nota immediatamente precedente (unsemitono sotto) corrisponde ad una lunghezzaleggermente maggiore, all’incirca 1,06. Siccome nonabbiamo ancora calcolato il valore esatto,indichiamolo con la lettera x. Se scendiamo di unsemitono alla volta, la corda sarà lunga x2, poi x3,poi x4, ecc. Se non è chiaro, osserva il manico di unachitarra. Vedrai che la distanza fra i tasti non è fissama aumenta in maniera progressiva man mano checi si allontana dalla cassa armonica. Dopo 12semitoni discendenti la corda deve essere lunga ildoppio, altrimenti avvertiremmo una stonatura.Espresso con i simboli matematici:

x12 = 2.Se qualcuno pensava che le potenze più alte diquadrato e cubo non sarebbero mai apparse nellavita reale, adesso era servito!Oggi eseguiamo questo calcolo con una calcolatrice scientifica.

x =12√2= 1,059463094Come facevano nel ‘600? Per loro fortuna, nel 1617un inglese chiamato Henry Briggs aveva fatto

stampare una lunga tavola, che gli era costata anni dipaziente lavoro, chiamata “Tavola dei Logaritmi”.Con essa era possibile fare calcoli di questo tipo etanti altri. Briggs pensava che tali calcoli sarebberostati di aiuto nella navigazione e nell'astronomia.Mai avrebbe pensato alla musica. Come quasisempre accade nella storia della matematica, primavengono inventate delle idee e qualche decennio piùtardi si trovano delle occasioni per sfruttarle. Conl’uso delle radici fu trovata una soluzione ad unproblema musicale che si protraeva da millenni. Inuovi strumenti, costruiti per emettere i suoni dellanuova scala cromatica, vennero detti “bentemperati”. A dire il vero, la storia della musica nonè facile da riassumere. Il passaggio dalla musicaantica a quella moderna fu molto graduale; si trattòdi una evoluzione, non di una rivoluzione. Alla fine,però, i cambiamenti sono stati tanto profondi che lenostre orecchie li considerano rivoluzionari.

LE BOTTIGLIE DI PROFUMO

In una profumeria, uno dei prodotti più diffusi èl’eau de toilette. Ogni linea di eau de toilette usaun proprio modello di bottiglia e di quelmodello ne vengono commercializzati diversiformati. I più diffusi sono quelli da 30, 50, 75,100, 125 e 200 ml. La bottiglia da 100ml non èalta il doppio di quella da 50ml ma molto menodel doppio. Se fosse alta il doppio il suo volumesarebbe di 400ml! Sai spiegare perché?Il rapporto fra i volumi è il cubo del rapporto frale altezze. Indicando con H ed h le altezze e conV e v i volumi:

Vv

=( Hh )

3

Hh

= 3√ Vv

= 3√2=1,26

Possiamo prevedere che la bottiglia da 100mlsarà alta 1,26 volte quella da 50ml. La bottigliada 200ml sarà alta 1,26 volte quella da 100ml.

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RAPPORTI

Passiamo davanti ad un chiosco dove sivendono le angurie e leggiamo il prezzo: 0,40€/kg. Cosa significa? Che un’ anguria da 9 kgcosterà €3,60, perché 0,4 ∙ 9 = 3,6. Una piùgrande da 13 kg costerà invece €5,20, perché0,4 ∙ 13 = 5,2. Se invece dividiamo il costo per ilpeso, otteniamo il prezzo:

3,60 € : 9 kg = 0,40 €/kg5,20 € : 13 kg = 0,40 €/kg

Anche se il dividendo ed il divisore cambiano, ilquoziente resta lo stesso. Questo quoziente chenon cambia ha un nome particolare: “rapporto”.Diciamo infatti che il prezzo delle angurie è ilrapporto fra il loro costo ed il loro peso.Partiamo per un lungo viaggio in autostrada.Osserviamo che il tachimetro segna il valore di110 km/h. Prevediamo che, se continuassimo aviaggiare sempre alla stessa velocità, fra 2 oreavremmo percorso 220 km e fra 3 ore avremmopercorso 330 km. Infatti:

220 km : 2 h = 110 km/h330 km : 3 h = 110 km/h

Anche queste due divisioni forniscono lo stessoquoziente. La velocità è infatti definita come ilrapporto fra la distanza percorsa ed il tempoimpiegato.Arriviamo in Svizzera ed abbiamo bisogno dicambiare le nostre banconote. Diamo €300 ericeviamo 320 franchi. Vogliamo calcolare ilrapporto di cambio?

300 € : 320 fr = 0,9375 €/frLeggiamo un racconto in inglese, in cui si diceche un ragazzo è alto 6 piedi. Come facciamo acalcolare la sua altezza in una unità di misura anoi più familiare? Oggi possiamo andare suGoogle e scrivere “6 piedi in metri” per otteneresubito la risposta. Come facevamo quando nonc’era l’internet? Usavamo una quantità chiamata“rapporto di conversione”. Nel nostro caso essovale 0,3048 m/ft. Quando effettuiamo laconversione, ci conviene scrivere sempre leunità di misura. Ce ne possiamo convincereeseguendo prima il calcolo giusto e poi quellosbagliato. Quello giusto è:

6 ft ∙ 0,3048 m/ft = 1,8288 mperché ft al numeratore si semplifica con ft aldenominatore. Proviamo adesso ad eseguire ladivisione (senza senso):

?? 6 ft : 0,3048 m/ft = 19,685 ft2 /m ??Nel risultato l’unità di misura (calcolataapplicando la regola di divisione fra frazioni) èassurda. Ciò ci basta per comprendere cheabbiamo impostato il calcolo in maniera errata.Quindi, la prudenza ci suggerisce questo:- correda ogni quantità, incluso il rapporto, conl’opportuna unità di misura;- ricordati che, quando si divide per unafrazione, occorre in realtà moltiplicare per lafrazione inversa;- prima di calcolare il risultato numerico,calcola, dalla formula che hai scritto, la nuovaunità di misura;- se questa è l’unità che ti aspettavi, continuapure i calcoli;- se così non fosse, significa che hai commessoun errore grave: torna indietro!Vediamo un altro esempio. Quanta anguriaposso acquistare con 10 euro? Calcolosbagliato:

?? 10 € ∙ 0,40 €/kg = …. €2 /kg ??Calcolo corretto:10 € : 0,40 €/kg = (100 : 4) ∙ (€ ∙ kg/€) = 25 kg

Infatti € al numeratore si semplifica con € aldenominatore.Le formule da usare sono:

prezzo = costo : quantitàcosto = quantità ∙ prezzoquantità = costo : prezzo

Si può usare la stessa tecnica per le equivalenzefra misure. Ad es.1.000 m : 1 km = 1. (perché sono la stessa cosa)

1 = 1.000 m : 1 km = 1.000 m/kmQuesto è il nostro fattore di conversione frametri e chilometri. Esso vale 1. Siccomenessuna quantità varia se moltiplicata o divisaper 1, possiamo moltiplicare o dividereliberamente per il fattore di conversione, purchéle unità di misura finali abbiano un senso.30.000 m = 30.000 m : 1 = = 30.000 m : 1.000 m/km = 30 km.

Qualsiasi misura è un rapporto fra unagrandezza e la sua unità di misura.Ogni volta che compriamo o vendiamo qualcosaa peso, come il pesce, o a volume, come labenzina, o a superficie, come un appezzamentodi terreno, usiamo un rapporto, che in questocaso chiamiamo prezzo. Usiamo un rapporto

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 9

anche quando calcoliamo una tabella di marcia.Ad esempio, se prendiamo in prestito un librolungo 350 pagine e dobbiamo restituirlo entrouna settimana, dobbiamo mantenere, comeminimo, un rapporto di 50 pagine lette algiorno. Insomma: nella vita di ogni giorno irapporti svolgono un ruolo fondamentale.Un rapporto è il legame fra due quantità checrescono assieme. Ad esempio, più lunga è ladistanza da percorrere, più tempo ci vuole perfarlo. Più fragole vogliamo mangiare, piùgrande la spesa da sostenere. Per calcolare ilrapporto eseguiamo la divisione fra le duequantità.

PROBLEMI

① Ho comprato uno sgombro di 350g e l'hopagato €2. Qual è il prezzo di un kg ?

② Il pescivendolo vende i polpi a 12,50 €/kg.Quanti grammi posso acquistarne con €10 ?

③ Il prezzo delle angurie è di 0,35 €/kg.Quanto costa un'anguria di 11,5 Kg?

④ Il rapporto di cambio è 0,8879 €/$. Quantidollari vale 1€?

⑤ Lo stesso libro costa €39 oppure £33. Qual èil cambio £/€ ? (£ è il simbolo della sterlina)

⑥ A quanti euro equivalgono 2.000 rubli? Ilrapporto di cambio è 71,72 rubli/€.

⑦ Una collaboratrice familiare chiede €55 per2 ore e 30' di lavoro. Qual è la sua tariffa oraria?

⑧ Per percorrere 57 km un ciclista impiega 3ore. Qual è stata la sua velocità media?

⑨ Un velocista corre i 100m in 12 secondi.Calcola la sua velocità in km/h.

⑩ Dobbiamo fare un viaggio lungo 400 km aduna media di 90 km/h. Quanto tempoimpiegheremo?

PROPORZIONI

Agli esseri umani riesce molto facile ragionareper analogie e paragoni. Capita così di sentirdire: “Un cane di 10 anni è vecchio come unuomo di 70 anni”. Oppure: “Tu sei la miaprincipessa”. Questa tendenza naturale vienesfruttata per impostare alcuni problemi sottoforma di proporzioni. Prendiamo il seguente: seun’anguria di 9 kg costa 3,6 €, quanto costeràun’anguria di 13 kg ? Chiamata x la quantitàincognita, possiamo scrivere:

9 : 3,6 = 13 : xche si legge: “9 sta a 3,6 come 13 sta ad x”. Inrealtà questo stesso problema, come qualsiasialtro, può essere calcolato senza far ricorso alleproporzioni:

prezzo = 3,6 Kg : 9 € = 0,40 €/kgx = peso ∙ prezzo = 13 kg ∙ 0,40 €/kg = 5,2 €

Scriviamo un’altra proporzione:5 : 2 = 35 : 14

Il primo e l’ultimo termine vengono chiamati“estremi”. Il secondo ed il terzo “medi”. Ilprimo ed il terzo “antecedenti”. Il secondo ed ilquarto “conseguenti”.Una maniera poco sofisticata di verificare lacorrettezza di una proporzione è quella dicalcolare separatamente le due divisioni:

5 : 2 = 2,535 : 14 = 2,5

La maniera più sofisticata consiste nelmoltiplicare gli estremi fra di loro ed i medi fradi loro:

5 ∙ 14 = 702 ∙ 35 = 70

E’ facile dimostrare che il prodotto dei medideve essere sempre uguale a quello degliestremi. Per passare dal caso particolare a quellogenerale, usiamo le lettere al posto dei numeri:

E : M = m : eScriviamola usando le frazioni:

EM

= me

Le due frazioni sono uguali. Se dividiamo fra diloro due numeri uguali il risultato è 1:

EM

:me

= Em

⋅ em

= E⋅eM⋅m

=1

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 10

L’ultima frazione vale 1, quindi il numeratoredeve essere uguale al denominatore, quindi E ∙ e= M ∙ m. Detto a parole: Il prodotto degliestremi è uguale al prodotto dei medi. Questaè la proprietà fondamentale delle proporzioni.Possiamo eseguire tutti i passaggi all’inverso,partendo da due coppie di numeri. Se sappiamoche il prodotto della coppia E∙e è uguale alprodotto della coppia M∙m, allora il quozientedei prodotti deve essere 1:

E⋅eM⋅m

=1

Ripetendo in senso inverso tutti i passaggi giàvisti otteniamo la proporzione di partenza.Quindi non c’è bisogno di altre condizioni. Sesappiamo che il prodotto dei medi è uguale aquello degli estremi, tanto basta per dire che laproporzione è corretta.Torniamo all’esempio con numeri veri.Possiamo scrivere altre proporzioni in cui 5 e 14continuano ad essere gli estremi e 2 e 35continuano ad essere i medi.

14 : 2 = 35 : 55 : 35 = 2 : 1414 : 35 = 2 : 5

Sono tutte proporzioni valide, perché non sonocambiati né i medi né gli estremi, né i loroprodotti. Ribadiamo il concetto: l’unicacondizione da soddisfare è che il prodotto deimedi sia uguale al prodotto degli estremi.Possiamo anche scrivere altre quattroproporzioni in cui i vecchi estremi diventano inuovi medi e viceversa. Basta scambiare tuttoquello che sta alla sinistra del segno = con tuttoquello che sta alla sua destra.

2 : 5 = 14 : 352 : 14 = 5 : 3535 : 5 = 14 : 235 : 14 = 5 : 2

Queste manipolazioni sono sempre possibili.Qualsiasi proporzione può sempre essere scrittain 8 forme diverse, senza che cambi né ilprodotto dei medi né quello degli estremi. Gliscambi che abbiamo visto in azione hanno deinomi specifici. Lo scambio di un medio conl’altro o di un estremo con l’altro si chiamapermutazione. Lo scambio di ogni antecedentecol suo conseguente di chiama inversione.

VISUALIZZIAMO LEPROPORZIONI

Otto proporzioni possono sembrare tante. Laseguente figura le riassume tutte in una manierapiù leggibile. Poniamo il numero più grande inalto, il numero più piccolo in basso e gli altrinumeri ad un livello intermedio.

35

5 14

2Linee dello stesso tipo (entrambe continue oentrambe tratteggiate) indicano rapporti uguali.Con le linee continue si possono formare quattroproporzioni:

35 : 5 = 14 : 214 : 2 = 35 : 55 : 35 = 2 : 142 : 14 = 5 : 35

Sembra che il segno = metta a confronto duemondi paralleli. Da una parte ci sono solonumeri pari, dall’altra solo numeri dispari.Quello che accade in un mondo trova unaanalogia perfetta nel suo mondo parallelo.Con le linee tratteggiate si possono formare altrequattro proporzioni. Da una parte ci sarannosolo numeri ad una cifra, dall’altra numeri a duecifre:

35 : 14 = 5 : 25 : 2 = 35 : 1414 : 35 = 2 : 52 : 5 = 14 : 35

Invece di pensare a due mondi paralleli,possiamo pensare qualcosa di molto piùfamiliare e tradizionale, come due presepinatalizi. Uno più piccolo, l’altro più grande, mafatti con lo stesso materiale e contenenti glistessi personaggi, disegnati allo stesso modo.Tutte le misure di un presepe saranno il doppiodi quelle dell’altro. Anche gli avvenimentidevono svolgersi allo stesso modo. Quandonasce Gesù in un presepe, deve nascere anchenell’altro, altrimenti non sarebbero piùequivalenti.Se indichiamo con a e b le altezze di asinello ebue nel presepe più piccolo e con A e B le stessealtezze nel presepe più grande, deve valere laproporzione

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 11

a : b = A : Bpiù altre sette, ottenute invertendo, permutando,ecc.Se riuscissimo a far sedere Maria in groppaall’asinello, come era lungo il viaggio versoBetlemme, avremmo una nuova proporzione:

(a+m) : b = (A+M) : BSiccome i due presepi rimangono paralleli (lealtezze di uno sono il doppio di quelledell’altro) deve valere anche quest’ultimaproporzione.Ora torniamo alla proporzione fra i numeri

35 : 5 = 14 : 2ed applichiamo la stessa idea. Effettuiamo unaaddizione fra i membri alla sinistra del segno =ed una analoga fra i membri di sinistra.

35 + 5 = 4014 + 2 = 16

Questi due nuovi numeri possono sostituire siagli antecedenti:

40 : 5 = 16 : 2che i conseguenti:

35 : 40 = 14 : 16Al posto del segno + potremmo usare anche il -

35 - 5 = 3014 - 2 = 12

per formare le proporzioni:30 : 5 = 12 : 2

35: 30 = 14 : 12Non possiamo però usare tutte le operazioni.Perchè? Se pesassimo i due buoi, troveremmoche quello alto il doppio pesa ben otto volte dipiù, per lo stesso motivo per il quale il volumedi un cubo passa da 1 a 8 m3 quando lo spigolopassa da 1 a 2 m. Le uniche operazioni chemantengono il rapporto delle lunghezze sonodette, non a caso, trasformazioni lineari. Quellegià viste (somma e differenza) sono le piùcomuni. Ad esse corrispondono due regole,dette rispettivamente del comporre e delloscomporre. Con un po’ di intuito e fantasia tupotresti inventare infinite altre regole,comunque limitandoti a trasformazioni lineari.Non puoi moltiplicare un membro con un altro,ma potresti moltiplicarli entrambi per 10, perdirne una.

RISOLVERE LE PROPORZIONI

Ricordate il problema delle angurie? Loavevamo scritto nella forma

9 : 3,6 = 13 : xIl prodotto dei medi vale 3,6 ∙ 13 = 46,8.Siccome anche il prodotto degli estremi devevalere altrettanto, scriviamo x ∙ 9 = 46,8 ossia:

x ∙ 9 46,8 l’operazione inversa è

46,8 : 9 xQuindi basta dividere il prodotto dei medi perun estremo; troveremo l’altro estremo.Le regole vengono di solito ricordate nelleseguenti forme:L’estremo incognito è dato dal prodotto deimedi diviso l’estremo noto.Il medio incognito è dato dal prodotto degliestremi diviso il medio noto.Applichiamo l’ultima regola alla seguenteproporzione:

50 : x = 15 : 18

x = 18⋅5015

= 3⋅6⋅5⋅103⋅5

=60

Se la coppia dei medi è fatta da due numeriuguali la proporzione si dice continua.

16 : 12 = 12 : 9Il numero che si ripete si chiama “medioproporzionale”. Spesso non è noto:

20 : x = x : 5Poiché sono noti entrambi gli estremi,calcoliamo il loro prodotto:

20 ∙ 5 = 100Il prodotto dei medi deve essere lo stesso:

x ∙ x = x2 = 100Un problema analogo è: sappiamo che l’area diun quadrato misura 100. Quanto è lungo il lato?Occorre calcolare la radice quadrata:

x =√100=10Il medio proporzionale è uguale alla radicequadrata del prodotto degli estremi. Un altroesempio:

8 : x = x : 18soluzione: x =√8⋅18=√144 =12Infine:

x : 9 = 16 : xInvertendo otteniamo la proporzione

9 : x = x : 16Sai continuare da solo?

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PERCENTUALI

Avrai notato che confrontare due frazioni non èaltrettanto semplice come confrontare duenumeri naturali o due numeri decimali. Il casopiù semplice è quando due frazioni hanno lostesso denominatore. Qualcuno un giorno avràpensato: “Perchè non ci mettiamo d’accordo adusare tutti lo stesso denominatore?”. L’idea èstata feconda di sviluppi. Forse le percentualisono nate proprio così. Il denominatore nonappare mai, ma si sottintende che sia 100. Alsuo posto si usa il simbolo %.

22% =22

100Come accade per tanti simboli matematici, leorigini sono incerte. È certo, però, che lepercentuali siano molto usate, specie nel settoredel commercio. Fondamentalmente noncostituiscono nulla di nuovo. Sono solo un altronome per il quoziente. Abbiamo incontrato ledivisioni, le espressioni con divisioni, lafrazioni, i rapporti, le proporzioni, gliaerogrammi. Tante rappresentazioni, tanti nomi,ma sotto sotto il concetto è sempre quello.Ricordi cosa abbiamo detto a pag. 2 a propositodi olismo e riduzionismo? I riduzionisti corronoil rischio di smarrirsi. Conviene essere olisti.

1 : 414

0,25 25%

3 : 434

0,75 75%

5 : 858

0,625 62,5%

4 : 949

0,4 44,4%

La tabella precedente (ripresa dal 1° fascicolo diqueste lezioni) contiene degli esempi di frazioniche sono state rappresentate in cinque manierediverse. L’abilità di aver presente in mente tuttee cinque le rappresentazioni nello stessomomento è essenziale. Se usi la calcolatricesarai portato ad usare i numeri decimali. Se vuoiesporre in vetrina un’offerta scontata userai lepercentuali. Nei calcoli a mente userai larappresentazione più comoda, che non è semprela stessa, come mostrano i seguenti esempi. Unruolo fondamentale lo gioca l’intuito, che sisviluppa con l’allenamento.

Calcola il 25% di 48Trasformo sotto forma di divisione (25% = 1:4).48:4=12.

Calcola il 75% di 6075%=1-1/4. 60:4=15. 60-15=45.

Calcola il 70% di 80Trasformo sotto forma di numero decimale.70%=0,7. 80 ∙ 0,7 = 8 ∙ 7 = 56.

Adesso un paio di problemi che si risolvono conla calcolatrice.

→ Un tablet costa €149. Il prezzo comprendel’IVA del 22%. Qual’è il prezzo senza IVA?Trasformiamo in numero decimale 22% = 0,22.Se il prezzo senza IVA è 1, con l’IVA diventa1,22. Se il prezzo è diverso da 1, bisognamoltiplicare per 1,22. Nel caso del tablet, ilprezzo originale, moltiplicato per 1,22, èdiventato €149. Per tornare indietro applichiamol’operazione inversa, ossia la divisione.€149 : 1,22 = €122,13 (arrotondato).

→ Nel caso della pasta l’IVA è ridotta 4%. Unchilo di spaghetti viene venduto a €1,82. Aquanti centesimi ammonta l’IVA?Prezzo senza IVA = € 1,82 : 1,04 = €1,75IVA = €1,82 - €1,75 = €0,07

Problemi che puoi risolvere a mente① Oggi che l’IVA è al 22% uno smartphonecosta €244. Quanto costerebbe se il governoportasse l’IVA al 24% ?② Un paio di scarpe costa €120. Quantocosterebbero con uno sconto del 30% ?

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GRANDEZZE PROPORZIONALI

Come sai, il rapporto fra il perimetro di unquadrato ed il suo lato è sempre 4, qualsiasiquadrato tu prenda. Lato e perimetro sono duegrandezze variabili (perché possono cambiareda un quadrato all’altro) e legate da un rapportocostante. Due grandezze del genere si diconodirettamente proporzionali. Gli strumenti dimisura, antichi e moderni, basano il lorofunzionamento su due grandezze direttamenteproporzionali. Nella clessidra il volume dellasabbia era proporzionale al tempo trascorso. Poisono apparsi gli orologi a pendolo, in cui ilnumero di giri percorsi da una lancetta eraproporzionale al tempo. Nei termometri classicil’aumento di temperatura è direttamenteproporzionale all’aumento, in altezza, dellacolonnina di mercurio. Oggi la maggior partedegli strumenti sono digitali, dove entrano ingioco parecchi meccanismi, meno evidenti, maanche lì si sfruttano le grandezze proporzionali.Ritorniamo all’esempio di partenza. Nella suabanalità mostra con evidenza tutte lecaratteristiche di due grandezze direttamenteproporzionali. Possiamo prenderealcuni quadrati erappresentare su ungrafico cartesiano leprecedenti relazioni.Ogni quadrato vienesintetizzato con unpunto. L’ascissa èu g u a l e a l l a t o .L’ordinata è ugualea l p e r i m e t r o .Possiamo osservareche i punti si trovanot u t t i a l l i n e a t i .Tracciamo allora unasemiretta, che partedall’origine degli assie che passa per tutti ipunti. Ogni puntod e l l a s e m i r e t t acorrisponde ad unipotetico quadrato.

Ci sono tre formule per rappresentare ilfenomeno:

P= 4⋅l l= 14

PPl=4

Nel caso di triangolo equilatero abbiamo invece:

P= 3⋅l l =13

PPl

=3

Nel caso di un pentagono regolare abbiamo:

P= 5⋅l l= 15

PPl

=5

Se rappresentiamoc o n d e i p u n t i itriangoli equilateri,essi cadranno al disotto della semirettadei quadrati, allineatil ungo una nuovas e m i r e t t a , m e n oinclinata. I pentagonicadranno invece al dis o p r a , s u u n as e m i r e t t a p i ùinclinata.

La proporzione direttaè so lo una de l l epossibili relazioni frad u e g r a n d e z z evariabili. Potremmopensare a come variano l’area del quadrato o ilvolume del cubo, ma sono ancora un po’ troppodifficili per noi. Pensiamo invece a comevariano velocità e tempi di percorrenza. Ad unamaratona possono partecipare migliaia diconcorrenti. L’unica grandezza costante è lalunghezza da percorrere: 42.195m. Chi andràpiù veloce impiegherà meno tempo. Chi corre avelocità dimezzata, impiegherà il doppio deltempo. Chi corre ad un terzo della velocitàimpiegherà il triplo. Velocità v e tempo dipercorrenza t s i dicono inversamenteproporzionali. Sono legate dalle seguentirelazioni:

v = 42.195 mt

; t = 42.195 mv

; v⋅t =42.195 m

Se si riporta sul piano cartesiano un punto perogni concorrente, di cui l’ascissa rappresenti iltempo t e l’ordinata la velocità v, i punti non sidisporranno su di una semiretta, ma su unacurva particolare, nota come iperbole equilatera.

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FUNZIONI

Considera l’insieme degli alunni della tuascuola. Ad ogni elemento dell’insieme (cioè adogni alunno) corrisponde un giorno specialedell’anno che per lui è il compleanno. Possiamoanche formare un secondo insieme con tutte le366 date possibili in un anno.

Esiste una relazione fra i due insiemi chefunziona in un’unica direzione. Questo tipo direlazione si chiama funzione. Si possono creareinsiemi di ogni genere, quindi relazioni di ognigenere. Tutte queste relazioni, per prendere ilnome di funzioni, devono rispettare un unicorequisito: ad ogni elemento del primo insiemedeve essere associato uno ed un solo elementodel secondo. Vediamo un esempio negativo: nonesiste una funzione che colleghi ad ogni giornodell’anno un solo alunno della scuola. Infatti,capiterà che due o più alunni festeggino ilcompleanno nello stesso giorno, come anchepotrebbe capitare un giorno senza compleannida festeggiare. L’elemento qualsiasi del primoinsieme si chiama variabile indipendente,perché può essere scelto con la massima libertà.L’elemento qualsiasi del secondo insieme sichiama variabile dipendente, perché dipendedall’alunno che si è scelto.A volte la variabile dipendente può assumereinfiniti valori all’interno di un intervallocontinuo. Sono esempi del genere la statura ed ilpeso, anche essi funzioni degli alunni. Gli

alunni sono sempre la variabile indipendente. Lastatura (oppure il peso) sono la variabiledipendente.A volte anche la variabile indipendente puòessere descritta da un numero. La quantità dipioggia giornaliera durante il mese scorso è unafunzione del giorno del mese. Essa può essereregistrata ma non predetta. Si dice funzioneempirica, cioè frutto di osservazioni dirette. Èanche una funzione molto irregolare. Se nonpiove la variabile dipendente si azzera, ma puòaumentare da un giorno all’altro. Altre volte le funzioni sono prevedibili, magariattraverso una formula matematica. Ad es.: leore di luce variano regolarmente in funzione delgiorno dell’anno e della latitudine. In questocaso abbiamo due variabili indipendenti, mapossiamo ridurle ad una se limitiamo leosservazioni sempre alla stessa città oppuresempre alla stessa data. Nel secondo caso sia lavariabile indipendente (la latitudine) che quelladipendente (le ore di luce) possono assumereinfiniti valori all’interno di un intervallo.I precedenti diagrammi cartesiani rappresentanodelle funzioni. Nel primo caso la variabileindipendente è la lunghezza del lato e quelladipendente il perimetro. Nel secondo caso lavariabile indipendente è il tempo di percorrenzae quella dipendente la velocità. Si tratta di duefunzioni invertibili: il lato del quadrato èfunzione del perimetro e la velocità è funzionedel tempo di percorrenza. Si tratta anche difunzioni prevedibili, esprimibili con sempliciformule matematiche. Quando si mette ingrafico una funzione, la x rappresenta sempre lavariabile indipendente e la y quella dipendente.Nel caso delle ore di luce, il grafico mette inevidenza che, allo stesso valore di y,corrisponde più di un valore di x. Grafici diquesto tipo appartengono a funzioni non

invertibili.

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alunni compleanni

CIRCONFERENZA

Per disegnare una circonferenza col compassodevi scegliere un punto dove poggiare la punta edi quanto devi aprire il compasso. Il punto dovepoggi la punta si chiama centro. L’aperturaprende il nome di raggio. La circonferenza èl’insieme dei punti del piano la cui distanza dalcentro è pari al raggio.La circonferenza divide il piano in due: al difuori i punti che distano dal centro più delraggio, al di dentro quelli che distano meno.Ques t i u l t imi fo rmano , as s ieme a l l acirconferenza, una superficie chiamata cerchio.Presi due punti a caso sulla circonferenza, essarisulta divisa in due archi. Per poter specificareuno dei due archi, devi anche indicarne un puntointermedio. Il segmento che unisce i due estremidell’arco si chiama corda. Una corda che passadal centro si chiama diametro. Un diametro èlungo il doppio del raggio e il suo punto mediocoincide col centro della circonferenza.Una circonferenza è perfettamente simmetrica.Qualsiasi diametro la taglia in due metàcongruenti, dette semicirconferenze, mentre lametà del cerchio si chiama semicerchio. Ildiametro rappresenta pertanto uno degli infinitiassi di simmetria del cerchio. Il centro delcerchio è anche il suo centro di simmetria.Preso un punto sulla circonferenza, quasi ogniretta che passa da esso attraversa lacirconferenza anche in un secondo punto.Queste rette si dicono secanti perché tagliano ilcerchio. Una sola retta fa eccezione: si chiamatangente perché “tocca” la circonferenza in unsolo punto, senza attraversarla.Se invece prendiamo un punto fuori dallacirconferenza, da esso riusciamo tracciare duerette tangenti. Puoi rendertene conto ogni voltache, per strada, trovi un palo del semaforo odella luce. Le loro sezioni sono dellecirconferenze. Da qualsiasi direzione tu guardiun palo, ti sembrerà identico. Il punto a te piùvicino si trova lungo il segmento immaginarioche va da te al centro della circonferenza. Gliultimi due punti visibili, uno a destra e l’altro asinistra, sono quelli da cui passano le duetangenti tracciate a partire dalla tua posizione. Idue punti di tangenza sono da te equidistanti.

Preso un punto esternoad una circonferenza etracciate le due tangenti,i d u e s e g m e n t i d it a n g e n t e s o n o

congruenti. AB ≅ AC.Il punto di tangenza B è il punto della retta ABpiù vicino al centro O. Di conseguenza, OB ⊥AB. Nel punto di tangenza, raggio e tangentesono perpendicolari.Poiché sia A che O sono equidistanti da B e C,la retta AO è l’asse del segmento BC. Presi duepunti qualsiasi del piano, P e Q, si possonotracciare infinite circonferenze che passano daentrambi. La più piccola è quella che ha ildiametro pari a PQ. Tutti i centri giacerannosull’asse del segmento PQ. Sai spiegare perché?Un angolo formato da due raggi si chiamaangolo al centro. Collegando gliestremi di una corda AB al centro,si forma un triangolo isosceleperché due dei lati sono raggi.P r e n d i a m o u n a c o r d a C Dcongruente e costruiamo un altro triangolo: èanch'esso congruente (per il 3° criterio). Questidue triangoli hanno lo stesso angolo al centro ela stessa altezza: due corde congruenti hannola stessa distanza dal centro. Sono congruentianche gli archi corrispondenti. Se facciamoscorrere il punto B lungo la circonferenza indirezione di A, la corda AB si accorcia e siallontana dal centro. Il contrario accade sefacciamo scorrere B lontano da A. Prese duecorde qualsiasi, quella più lunga è anche lapiù vicina al centro. Non esiste nessuna cordapiù lunga del diametro.La perpendicolare ad una corda ABtracciata dal centro O è l’altezza deltriangolo isoscele ABO, quindi è ancheasse e mediana: il punto di mezzo diuna corda è quello più vicino al centro el’asse di ogni corda passa per il centro.Ad angoli al centro congruenti corrispondonoarchi congruenti e corde congruenti. Ad unangolo doppio corrisponde un arco doppio (mauna corda che è lunga meno del doppio; saispiegare perché?). All’angolo giro corrispondel’intera circonferenza. All’angolo rettocorrisponde un quarto, ecc. Gli angoli al centrosono proporzionali agli archi su cui insistono.

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 16

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Preso un arco AB ed un punto C non compresonell’arco, le semirette CA e CB formano unangolo detto angolo alla circonferenza. CA e CBsono due secanti, tranne nei casi estremi in cuiC coincide con A o con B. Anche in tali casi,cioè quando un lato è tangente, l’angolo Ĉ sidice angolo alla circonferenza. Ad ogni angoloalla circonferenza corrisponde un solo arco equindi corrisponde un angolo al centro, mentread un arco e ad un angolo al centrocorrispondono infiniti angoli alla circonferenza.

Un angolo alla circonferenza èampio la metà dell’angolo alcentro che insiste sullo stessoarco. Ecco la dimostrazione,divisa in quattro parti.

1. L’angolo esterno “al vertice” di un triangoloisoscele è il doppio di un angoloalla base.Tracciamo dal vertice C laparallela CD alla base AB. EĈD corrisponde a B , DĈA èalterno interno rispetto ad  edEĈA è la somma dei due. In unqualsiasi triangolo un angoloesterno è la somma degli angoli interni nonadiacenti. 2. Se uno dei due lati di un angoloalla circonferenza è un diametro,l’angolo è la metà delcorrispondente angolo al centro.Il triangolo AOC è isoscele con vertice in O. Perquanto detto al n. 1 ^AOB =2 ^ACB3. Se un angolo alla circonferenzacontiene il centro, esso è la sommadi due angoli del tipo visto al n. 2.AĈB =

^ACD + ^DCB =12

^AOD+ 12

^DOB= 12

^AOB

4. Se un angolo alla circonferenzanon contiene il centro, esso è ladifferenza di due angoli del tipovisto al n. 2. AĈB =

^ACD − ^DCB= 12

^AOD− 12

^DOB= 12

^AOB

Se due angoli alla circonferenza insistonosullo stesso arco, essi corrispondono allo stessoangolo al centro, pertanto sono congruenti.Poiché gli angoli al centro sono proporzionaliagli archi, anche gli angoli alla circonferenzasono proporzionali alle lunghezze deirispettivi archi.Se l’angolo al centro è piattol’angolo alla circonferenza èretto.Un angolo che insiste su unasemicirconferenza è retto eviceversa un angolo retto insiste sempre su unasemicirconferenza.

ALTRE FIGURE

Due raggi qualsiasi tagliano una “fetta” delcerchio. Nel linguaggio della geometria sichiama settore circolare. Anche una cordadivide il cerchio in due parti. Ognuna di esseprende il nome di segmento circolare a unabase. La parte di cerchio compresa fra due cordeparallele si chiama segmento circolare a duebasi.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUECIRCONFERENZE

Prendiamo una circonferenza con centro O eraggio r ed una seconda circonferenza concentro O’ e raggio r’ < r. A seconda delladistanza OO’ si verificano i seguenti casi:Se OO’ > r + r’ le circonferenze sono una esterna all’altra.Se OO’ = r + r’ le circonferenze sono tangenti esternamente.Se r – r’ < OO’ < r + r’ le circonferenze sono secanti.Se OO’ = r – r’ le circonferenze sono tangenti internamente.Se OO’ < r – r’ le circonferenze sono una interna all’altra.Se OO’ = 0 le circonferenze sono concentriche.La superficie compresa fra due circonferenzeconcentriche si chiama corona circolare.

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 17

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Un poligono si dice inscrit to in unacirconferenza quando tutti i suoi vertici sonopunti della circonferenza. In tal caso lacirconferenza si dice circoscritta ed il raggiodella circonferenza si dice raggio del poligono.La condizione da soddisfare è che esista unpunto del piano, il centro della circonferenza,equidistante da tutti i vertici. Non sempre ciò èpossibile. Se esiste, tale punto deve trovarsisugli assi di tutti i lati. Un’altra maniera didescrivere la condizione è: gli assi dei latidevono incontrarsi tutti in uno stesso punto. Ciòaccade sempre nei triangoli. Il punto inquestione si chiama circocentro.Nei quadrilateri la condizionepuò essere descritta in un altromodo ancora: un quadrilatero èinscrittibile se, e solo se, ogniangolo è supplementare delsuo opposto. Sappiamo che unangolo alla circonferenza è la metà delcorrispondente angolo al centro. L’angolo alcentro che corrisponde ad  è quello con trearchetti. L’angolo al centro che corrisponde a Ĉè quello con due archetti. La somma dei dueangoli al centro è un angolo giro. Pertanto lasomma dei due angoli alla circonferenza è unangolo piatto. Sono inscrittibili: i quadrati, irettangoli ed i trapezi isosceli. I parallelogrammiche non siano rettangoli non sono inscrittibili.

Un poligono si dice circoscritto ad unacirconferenza quando tutti i suoi lati sonotangenti ad essa. La circonferenza si diceinscritta ed il suo raggio si dice apotema delpoligono. È necessario che esista un punto delpiano, il centro della circonferenza, equidistanteda tutti i lati. Se esiste, tale punto deveappartenere a tutte le bisettrici del poligono.Un’altro modo di esprimere la condizione è: lebisettrici degli angoli del poligono devonoincontrarsi in un unico punto. Così avvienesempre nei triangoli ed il punto è detto incentro.Nei quadrilateri la condizionepuò essere descritta in un altromodo ancora: un quadrilatero ècircoscrivibile se, e solo se, lasomma di due lati opposti è

uguale alla somma degli altri due. Sappiamo chei due segmenti di tangente tracciati da unqualsiasi punto esterno sono congruenti.Abbiamo indicato con la stessa letteraminuscola i segmenti congruenti.AB = a + b AD = a + dCD = c + d BC = b + cAB + CD = AD + BC = a + b + c + d.Sono circoscrivibili, fra gli altri, i quadrati, irombi e gli aquiloni. Non lo sono iparallelogrammi diversi dai rombi.

I poligoni regolari sono sempre sia inscrittibiliche circoscrivibili. Le loro bisettrici e gli assidei loro lati si incontrano in un unico puntodetto centro del poligono. Il raggio delpoligono è la distanza dal centro ad unoqualsiasi dei vertici. L’apotema, è la distanzadal centro ad uno qualsiasi dei lati. L’apotema èsempre minore del raggio.Sappiamo che il centro del triangolo equilateroè anche baricentro e che, in qualsiasi triangolo,il baricentro divide le mediane in due segmenti,di cui quello che contiene il vertice è il doppiodell’altro. Nel triangolo equilatero la parte piùlunga coincide col raggio della circonferenzacircoscritta, mentre quella corta coincide conl’apotema. Quindi il raggio è il doppiodell’apotema.In un quadrato, invece, il raggio è la metà delladiagonale e l’apotema la metà del lato. Il raggioè √2 volte l’apotema. All’aumentare delnumeri di lati, la lunghezza dell’apotema siavvicina a quella del raggio.Un poligono regolare, se si tracciano tutti i suoiraggi, viene diviso in tanti triangoli isosceliquanti sono i suoi lati. La base del triangoloisoscele corrisponde al lato del poligono,l’altezza all’apotema ed i lati obliqui ai raggi.

L’ampiezza degli angoli al verticedi questi triangoli è uguale a 360°diviso il numero dei lati. Nelquadrato questi angoli sono retti.Nell’esagono regolare sono di

60°. Un triangolo isoscele con un angolo di 60°è anche equilatero. Per tale motivo, il raggiodell’esagono regolare è uguale al lato.L’apotema è l’altezza del triangolo equilatero.

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 18

AREE

Le superfici si possono confrontare. Nellapagina precedente trovi un quadrilatero e lacirconferenza ad esso circoscritta. Questacontiene per intero il quadrilatero e quindi èmaggiore di esso. Nell’altra figura accade ilcontrario: il quadrilatero contiene per intero lacirconferenza ed è maggiore di essa.

Il quadratino bianco è contenutocinque volte sia nel poligono a croceche in quello ad U. Questo dimostrache è possibile misurare l’estensionedelle superfici. La misura della

superficie prende il nome di area. Due figure sidicono equivalenti se le loro aree sono uguali. Idue poligoni concavi della figura sonoequivalenti. Useremo i seguenti criteri perdimostrare che due figure sono equivalenti:1) Se sono congruenti.2) Se sono equiscomponibili, ossia si possonoscomporre nello stesso numero di parti e seciascuna parte di una figura è equivalente aduna parte dell’altra.3) Se sottraendo parti equivalenti ciò che rimanesono superfici equivalenti.4) Se una figura A è equivalente ad una figura Be la figura B è equivalente a una figura C, allorale figure A e C sono equivalenti fra di loro.Come nel caso delle lunghezze, adottiamo unaunità di misura. Anziché crearla di sana pianta,la colleghiamo al metro usato per le lunghezze.L’unità di misura delle aree è un quadrato il cuilato è lungo 1m. L’area di questo quadrato sichiama metro quadro e il suo simbolo è m2.

QUADRATI E DEI RETTANGOLI

Nel caso più semplice vogliamo misurare unquadrato il cui lato è un numero intero di metri.Per esempio, 5m. Possiamo suddividere lasuperficie in 25 quadrati di 1m2, pertanto l’areamisura 25 m2. Un rettangolo con base = 6m ealtezza = 4m conterrà 24 di tali quadrati. Laformula è: Area = base ∙ altezza.Cosa succede se invece prendiamo un quadratoil cui lato misura 20cm? Accade il contrario.Questa volta è il quadrato da misurare che ècontenuto (25 volte) dentro 1m2. La formula è lastessa:

15

m⋅15

m=1

25m2

Consideriamo ora un rettangolo in cui la base

misura56

m e l’altezza79

m . Copriamolo

con piastrelle quadrate di lato1

18m (18 è il

m.c.m. fra 6 e 9). Lungo la base ci vanno 15piastrelle, lungo l’altezza ne vanno 14. Percoprire l’intero rettangolo ci vogliono 15 ∙ 14 =210 piastrelle. L’area di ogni piastrella è

118

⋅ 118

= 1324

m2 L’area di tutte le piastrelle

è210324

=3554

m2 ossia b⋅h=56⋅

79=

3554

m2

Quindi la formula è valida anche se lelunghezze dei lati sono numeri razionali.Esaminiamo il quadrato di lato

3√6 m=1,8171. . . Nella figuraè tratteggiato. La sua area èmaggiore del quadrato di lato 1me minore del quadrato di lato 2m.Possiamo approssimare l’area Acon un quadrato di lato approssimato, maespresso da un numero razionale, ad esempio

1,8172 m2 < A < 1,8182 m2

Se approssimiamo la lunghezza per difetto,a n c h e l ’ a r e a l o s a r à . Vi c e v e r s a s eapprossimiamo la lunghezza per eccesso. Peresclusione, l’unico valore esatto è:

A=( 3√6)2m2

In conclusione, la formula base ∙ altezzafunziona con numeri naturali, razionali e reali.

PARALLELOGRAMMI

Un parallelogramma è equivalente ad unrettangolo che ha la stessa base e la stessaaltezza. Osserva queste costruzioni dinamiche:https://www.geogebra.org/m/dYEqGNdPhttps://www.geogebra.org/m/BdhsWaVEhttps://www.geogebra.org/m/tWupY7zP

È facile dimostrare che i duetriangoli sono congruenti per il 3°c r i t e r i o . EC=FD p e r c h éd i f f e r e n z e f r a s e g m e n t i

congruenti. FA=EB e AD=BC perché latiopposti di un parallelogramma. Se i lparallelogramma è molto obliquo la precedentedimostrazione non è più possibile ma facciamo

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 19

ora vedere che un parallelogramma moltoobliquo equivale ad uno un poco meno obliquo,il quale equivale ad uno ancora meno obliquo,ecc. fino a quando non si arrivi ad un rettangolo.

I p a r a l l e l o g r a m m iABCD e ABDE sonoequiscomponibili perchéi due triangoli chiari

sono congruenti, sempre per il 3° criterio. Inparticolare, ED=CD perché entrambi congruenticon AB.In conclusione, l’area di un parallelogramma sicalcola moltiplicando base per altezza.

TRIANGOLI

https://www.geogebra.org/m/xwKSBmufSe disegniamo due volte un triangolo qualsiasi,come mostrato in figura, otteniamo unparallelogramma. Infatti a pag. 39 del primofascicolo, al punto 2), abbiamo dimostrato cheun quadrilatero in cui i lati opposti sonocongruenti è un parallelogramma.

L’area del triangolo deveessere la metà di quella del

parallelogramma. A= b⋅h2

TRAPEZI

https://www.geogebra.org/m/uT3cx35KProlunghiamo la base maggioreAB di un segmento BE = CD.Gli angoli ^CBE e ^BCD sonoalterni interni. Anche ^BED e ^EDC lo sono.I due triangolini sono congruenti per il 2°cr i te r io . Quindi i l t rapezio ABCD èequiscomponibile con il triangolo AED.Siccome la base del triangolo è la somma delle

basi del trapezio, la formula è A= (B+b )⋅h2

POLIGONI REGOLARI

https://www.geogebra.org/m/yS3JfcHhTracciando i raggi dal centro del pentagono atutti i suoi vertici, si ottengono tanti triangolicongruenti. Rifletti: l’area di un triangolodipende solo da base ed altezza.

Tutti e sei i triangoli colorati hanno la stessabase e la stessa altezza, quindi sono equivalenti.Siccome il pentagono è equivalente a cinque didetti triangoli, esso sarà equivalente al triangologrande, a strisce, sulla destra. La base deltriangolo grande è uguale al perimetro delpentagono; l’altezza all’apotema. Questaequivalenza si osserva in tutti i poligoniregolari, qualunque sia il numero dei loro lati.

area=perimetro⋅apotema2

POLIGONI CIRCOSCRITTI

La stessa formula siapplica anche ai poligonii r r e g o l a r i , p u r c h éc i r c o s c r i t t i a d u n acirconferenza. Infatti il

poligono si può scomporre in tanti triangoli conla stessa altezza, uguale al raggio dellacirconferenza, ossia all’apotema. Applicando,all’inverso, la proprietà distributiva dellamoltiplicazione:

A= a⋅r2

+ b⋅r2

+ c⋅r2

+ d⋅r2

+ e⋅r2

A=(a+ b+ c+ d +e)⋅r

2= P⋅r

2In questo caso le aree dei triangoli sono unadiversa dall’altra, eppure la formula è uguale aquella del poligono regolare.

ROMBO E AQUILONE

Note le diagonali D e d, la formula è

A= D⋅d2

Sai spiegare perché?

FORMULA DI ERONE

Si può calcolare l’area di un triangoloconoscendone solo i lati.

A=√p ( p−a ) (p−b ) (p− c)

p= a +b+ c2

= semiperimetro

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 20

TEOREMA DI PITAGORA

Rettangoli e triangoli rettangoli hanno sempreattratto le attenzioni di matematici ed architetti.Sono interessanti sia in teoria che in pratica econtengono proprietà sorprendenti. Inizialmentefurono osservate le caratteristiche di singolitriangoli, come il seguente:

Abbiamo accostato tre quadrati per formare, alcentro, un triangolo rettangolo. Dal numero dipiastrelle puoi misurare le aree dei quadrati: 9,16 e 25 piastrelle. L’area del quadrato maggioreè la somma delle altre due. Non è un casofortuito: accade sempre così! SuccessivamentePitagora dimostrò il famoso teorema: in ognit r i a n g o l o r e t t a n g o l o i l q u a d r a t odell’ipotenusa è la somma dei quadrati deicateti. Tutto ciò era già noto ai babilonesi, cheperò non cercarono di dimostrarlo.Nella figura i cateti misurano 3 e 4. L’ipotenusamisura 5. Il teorema prevede che: 32 + 42 = 52.Questo video è ancora più chiaro:https://www.youtube.com/watch?v=tYhQj0PeGHkPossiamo usare il teorema per calcolare un latoqualsiasi di un triangolo rettangolo, se giàconosciamo le lunghezze degli altri due. Ilcalcolo prevede tre fasi:1) Calcolare i quadrati dei lati noti.3) Calcolare il quadrato del lato incognito.4) Calcolare il lato dell’ultimo quadrato.I seguenti problemi mostrano come mettere inpratica il procedimento.

① I cateti di un triangolo rettangolo misurano4,5m e 7,2m. Calcolare la lunghezzadell’ipotenusa.1) Le aree dei quadrati sono:4,5m ∙ 4,5m = 20,25m2

7,2m ∙ 7,2m = 51,84m2

2) Adesso applichiamo il teorema. Sommando ledue aree otteniamo l’area del quadrato costruitosull’ipotenusa.

20,25m2 + 51,84m2 = 72,09m2

3) Estraiamo la radice quadrata per calcolare illato dell’ultimo quadrato.

√72,09 m2= 8,49 mNella prima fase abbiamo applicato la formuladell’area del quadrato. Nell’ultima fase abbiamoapplicato la sua formula inversa. Solo nella faseintermedia, che contiene una sempliceaddizione, abbiamo applicato il teorema diPitagora. La relazione fra i tre lati diventasemplicissima solo quando saltiamo nellaseconda dimensione, quella dei quadrati.Siccome, di solito, siamo interessati allelunghezze e non ai quadrati, siamo costretti adaggiungere due fasi: una per passare allaseconda dimensione, un’altra per tornareindietro.

② L’ipotenusa misura 17cm. Un cateto misura8cm. Quanto misura l’altro?1) Quadrato dell’ipotenusa = 289cm2

Quadrato del cateto noto = 64cm2

2) Il quadrato di un cateto è la differenza frail quadrato dell’ipotenusa ed il quadratodell’altro cateto: 289cm2 – 64cm2 = 225cm2

3) Estraiamo la radice per ottenere la lunghezza

del cateto: √225 cm2=15 cm

③ I cateti misurano 10m e 14m. Calcolal’altezza relativa all’ipotenusa.La formula per il calcolo dell’area di un

triangolo generico: A= b⋅h2

, invert i ta ,

diventa h= 2⋅Ab

Non conosciamo né A né b.

La base b corrisponde all’ipotenusa, chepossiamo calcolare col teorema di Pitagora.Raggruppiamo le nostre tre fasi in un’unica

espressione b=√102+ 142=√296=17,2 mL’area la possiamo calcolare ricordando cheogni cateto è l’altezza rispetto all’altro.

A = 10m ∙ 14m : 2 = 70m2

Infine h= 2⋅Ab

= 2⋅70 m2

17,2 m= 8,14 m

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 21

DIMOSTRAZIONE

Il teorema di Pitagora è stato dimostrato damolti autori in maniere diverse. Un secolo fa nevennero contate 371. Quelle anteriori ad Euclidesono andate perse. Fra le tante dimostrazioni, lepiù semplici si basano su due quadraticoncentrici. Osserva le seguenti animazioni:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/Pythagoras-proof-anim.svghttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Pythag_anim.gifhttps://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem#/media/File:Pythagoras-2a.gif

Disegniamo quattro volteil triangolo rettangolo(bianco) in modo daf o r m a r e u n g r a n d equadrato con gli ottocateti ed un quadrato piùpiccolo (Qc) c o n l eipotenuse.Cos t ru iamo un’a l t roquadrato grande come ilprimo e disegniamo alsuo interno il triangolor e t t a n g o l o , s e m p r eripetuto per quattro volte,come mostrato a fianco.Il lato del quadrato Qa è ilcateto maggiore del

triangolo, il lato del quadrato Qb il catetominore.Dai quadrati grandi, congruenti, sottraiamo itriangoli bianchi, anch’essi congruenti. Lesuperfici che rimangono (quelle colorate) sononecessariamente equivalenti.Quindi il quadrato costruito sull’ipotenusa èuguale alla somma dei quadrati costruiti suicateti.Per rendere la dimostrazione rigorosa,dobbiamo ancora dimostrare che Qa, Qb e Qc

sono veramente dei quadrati, ossia che i loroangoli sono rett i . Sai farlo da solo?Suggerimento: gli angoli acuti del triangolosono complementari…

TEOREMA INVERSO

Si può dimostrare il teorema inverso: se, e solose, il quadrato di un lato di un triangolo è lasomma dei quadrati degli altri due lati, allora iltriangolo è rettangolo. Immagina di partire da un triangolo rettangolo,per il quale vale il teorema di Pitagora. Mantienicostanti le lunghezze dei cateti, ma stringi dipochissimo l’angolo da essi formato. Il triangolonon sarà più rettangolo, ma noi continueremo,per comodità, a chiamare i lati con i nomi dicateti e ipotenusa. Stringendo l’angolo retto,anche di pochissimo, l’ipotenusa si accorcia. Ilquadrato della nuova ipotenusa sarà inferiore aquello di prima, quindi inferiore alla somma deiquadrati dei cateti.Viceversa, se allarghi anche di pochissimol’angolo fra i cateti, si allunga l’ipotenusa ed ilsuo quadrato sarà maggiore della somma deiquadrati di cateti.Possiamo usare queste conclusioni perdeterminare, con le sole lunghezze dei lati, se untriangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo.Se il quadrato del lato più lungo è maggioredella somma degli altri due quadrati il triangoloè ottusangolo. Se invece il quadrato del lato piùlungo è minore della somma degli altri duequadrati allora il triangolo è acutangolo.

FORMULE SINTETICHE

I tre passaggi con cui abbiamo finora risolto inostri problemi possono essere inglobati inun’unica espressione. Se c è l’ipotenusa ed a e bsono i cateti:

c =√a2+ b2

a=√c 2−b2

b=√c 2−a2

In figure molto regolari si può applicare ilteorema di Pitagora ai simboli dei lati, anzichéai loro valori numerici. Si ottengono delle nuoveformule che richiedono meno calcoli. Ne troviun paio all’inizio della prossima pagina.

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 22

FORMULE DERIVATE

In un triangolo equilatero di lato ll’altezza h è il cateto di unt r i angolo re t t angolo in cuil’ipotenusa è lunga l e l’altro cateto½ l.

h=√l2−( l2 )

2

=√l2− l2

4=√3 l2

4= √3

2l

La diagonale del quadrato è

d=√l2+ l2=√2 l

CRITERIO DI CONGRUENZA

Come ormai ben sappiamo, se sono notil’ipotenusa ed un cateto, è possibile determinarela lunghezza dell’altro cateto. Ne derival’esistenza di un nuovo criterio di congruenza:due triangoli rettangoli sono congruenti se sonocongruenti ipotenusa ed un cateto. Infatti ilteorema di Pitagora ci assicura che, in questocaso, esiste una sola soluzione per l’altro cateto.Pertanto tutti e tre i lati sono congruenti e, per il3° criterio, lo sono anche i triangoli.

A p a g . 1 6 a b b i a m oaffermato che i segmenti ditangente che partono da unpun to es te rno ad unac i r c o n f e r e n z a s o n oc o n g r u e n t i . A d e s s o

possiamo dimostrarlo. Gli angoli in B e in Csono retti perché una tangente è perpendicolareal raggio nel punto di tangenza. I due triangolirettangoli ABO e ACO hanno l’ipotenusa AO incomune ed i cateti OB e OC congruenti (i raggidi una circonferenza sono tutti congruenti).Pertanto anche i cateti AB ed AC sonocongruenti fra di loro. Ma i cateti AB ed ACsono i segmenti di tangente. Abbiamo cosìdimostrato che i segmenti di tangente tracciatida un punto esterno ad una circonferenza sonocongruenti.

TERNE PITAGORICHE

In casi particolari le lunghezze dei tre lati sonoesprimibili con numeri interi, a volte anche dipoche cifre. È una questione aritmetica, più chegeometrica. Esistono infinite terne di quadratidi numeri naturali, tali che il maggiore sia lasomma dei minori.

32 + 42 = 52

52 + 122 = 132

82 + 152 = 172

72 + 242 = 252

Si chiamano terne pitagoriche. Nel caso ancorpiù particolare in cui i tre numeri sono primi fraloro si dicono terne pitagoriche primitive.Quelle che abbiamo elencato sono tutte terneprimitive. Una terna non primitiva è quellaformata dai numeri 6, 8 e 10.È facile creare terne pitagoriche usando uno deiseguenti metodi. I tre numeri della terna,chiamati, a, b e c, sono forniti dalle formule:

a = 2 ∙ m ∙ nb = m2 – n2

c = m2 + n2

Al posto di m ed n sei libero di usare qualsiasinumero intero, basta che sia m > n ed n > 0. Sem ed n sono primi fra di loro e se uno dei due èpari, allora la terna sarà primitiva. Ad ognidiversa combinazione di m ed n corrisponderàuna nuova terna.Si può anche costruire una terna partendo da uncateto prefissato, chiamiamolo a. Se a è disparie maggiore di 1 le formule per gli altri due latisono:

b= a2−12

c = a2 +12

Se a è pari e maggiore di 2 le formule sono:

b=(a2 )

2

−1 c=(a2 )

2

+1

Nessuna terna contiene il numero 1 o il numero2 ma, per ogni numero intero maggiore di 2, èpossibile costruire una terna che lo contenga.

In ogni terna primitiva:- uno dei cateti è sempre pari mentre gli altridue lati sono dispari;- uno dei tre lati è divisibile per 3, un altro per 5;- il prodotto dei tre numeri è sempre un multiplodi 60.

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 23

SIMILITUDINE

Immagina una stessa foto visualizzata sulloschermo di un telefonino o su quello di uncomputer. Oppure immagina una cartinadell’Italia in un atlante e quella appesa inun’aula scolastica. In entrambi i casi hai unafigura che si ripete con dimensioni diverse.Quello che non cambia è la forma. Ma comepossiamo definire il concetto di forma, usandole nozioni di geometria finora accumulate?Due figure si dicono simili se:1) Ad ogni punto della prima corrisponde unoed un solo punto della seconda e viceversa.2) Misurata la distanza fra due punti della primae misurata la distanza fra i punti corrispondentidella seconda, il rapporto fra le due distanze ècostante, qualsiasi siano i punti presi.Due figure congruenti sono ovviamente simili.Incominciamo con unesempio di figure nonsimili. Qui possiamo farcorrispondere A’ ad A, B’ aB, ecc.I r a p p o r t i f r a l a t icorrispondenti sono tuttiuguali a 1,84. Ad esempio:

¯A ' B 'AB

=1,84

Però i due rombi non sono simili, perché altredistanze hanno rapporti diversi:

¯A ' C 'AC

= 2 e¯D ' B '

DB= 1

I prossimi due rombisono veramente simili.Il rapporto fra duedistanze corrispondentip rende i l nome d ir a p p o r t o d isimilitudine.Nell’ultimo caso vale1,5. Per calcolare una distanza nella secondafigura, si può moltiplicare la distanzacorrispondente nella prima figura per il rapportodi similitudine: A’B’ = AB ∙ 1,5.Consideriamo due figure F e F’, la prima conlati a, b, c…, la seconda con lati a’, b’, c’… Ilperimetro della seconda è:P’ = a’ + b’ + c’ + … = a ∙ k + b ∙ k + c ∙ k + …Applichiamo la proprietà distributiva all’inverso

P’ = k ∙ (a + b + c + …) = k ∙ PIl rapporto fra perimetri di figure simili èuguale al rapporto di similitudine.

Ritorniamo all’ultima figura. Dalla proporzioneAC : A’C’ = DB : D’B’ permutando i medi siricava A C : DB = A’C’ : D’B’. In generale irapporti fra segmenti in una figura siconservano nella figura simile.Fai attenzione che questi rapporti non vannoconfusi col rapporto di similitudine. Questavolta stiamo parlando di rapporti all’internodella stessa figura come, ad esempio, il rapportofra base e altezza o fra lato e diagonale.

Se si ruotano due figure simili in modo che duesoli segmenti corrispondenti siano paralleliaccadrà che tutti i segmenti corrispondentisaranno paralleli fra loro. È un effetto del fattoche tutte le distanze, in tutte le direzioni, sonoproporzionali. Un’altra conseguenza è chefigure simili hanno angoli congruenti.Nota che la congruenza degliangoli è una conseguenza, nonla causa della similitudine.Osserva questi due pentagoni:Ti sembra che abbiano la stessaforma? No! Eppure gli angolisono tutti congruenti! Quindia n g o l i c o n g r u e n t i n o ndeterminano figure simili.

Il rapporto fra le aree è il quadrato delrapporto di similitudine. Un esempio ben notoè la relazione fra ettaro e metro quadro. Il lato diun ettaro misura 100 m, quindi il rapporto disimilitudine col metro quadro è 100, ma unettaro equivale a 10.000 m2.Prendiamo due rettangoli simili R e R’. Le lorobasi misurano rispettivamente b e b’, le loroaltezze h e h’, le loro aree A e A’.Se k è il rapporto di similitudine, possiamocalcolare b’, h’ e A’ a partire da b e h.

b’ = b ∙ k h’ = h ∙ kA’ = b’ ∙ h’ = b ∙ k ∙ h ∙ k = b ∙ h ∙ k ∙ k

Ma b ∙ h = A, pertanto A’ = A ∙ k2.Questo non accade solo col rettangolo, ma conqualsiasi figura. Infatti, in tutte le formule cheabbiamo incontrato per il calcolo delle aree,appaiono una base ed una altezza.

G. Balacco – Matematica per la seconda media – 24

CRITERI DI SIMILITUDINE

Se una figura A è simile ad una figura B equesta figura B è simile ad un’altra figura C,allora A e C sono simili fra di loro. Infatti A e Cavranno angoli congruenti e un rapporto disimilitudine che è il prodotto dei rapporti delleprime due similitudini. Ad es., se le lunghezzedi B sono il doppio di quelle di A e le lunghezzedi C il triplo di quelle di B, allora le lunghezzedi C saranno sei volte quelle di A. Per brevità,basta dire che la similitudine gode dellaproprietà transitiva.Se ci viene dato un triangolo e ci viene chiestodi riprodurne uno simile con un rapporto disimilitudine X, almeno in teoria saremo in gradodi farlo, qualsiasi sia il valore di X. Bastamoltiplicare per X le lunghezze dei lati dipartenza. In altri casi non è detto che, dati trenumeri a caso, si possa costruire un triangolo(ad es. non è possibile costruirne uno con lati di1, 2 e 5m). Ma nel nostro caso partiamo da untriangolo in cui i rapporti fra i lati sono giàcorretti, e sappiamo che la similitudine nonaltera i rapporti fra le lunghezze.Nella pagina precedente abbiamo visto duerombi con i lati proporzionali che non eranosimili. Questo succede perché un poligono conpiù di tre lati è flessibile. Ma un triangolo èrigido e questo cambia tutto: se i lati sonoproporzionali, due triangoli sono sempre simili.Immagina infatti di partire da un triangolo,moltiplicarne ogni lato per un fattore costante epoi riarrangiare i nuovi lati. Tutti i triangoli checostruirai saranno congruenti fra di loro (per il3° criterio di congruenza). Prima abbiamo dettoche è sempre possibile costruire il triangolosimile, quindi questi nuovi triangoli nonpossono non essere simili al triangolo dipartenza.Succede lo stesso anche quando due triangolihanno gli stessi angoli? Nella pagina precedenteabbiamo visto due pentagoni dissimili, ma conangoli tutti congruenti. Cosa succede quandodue triangoli hanno tutti gli angoli congruenti?

Immagina di avere due triangoli, T e U, di cuisai che gli angoli sono congruenti ma i lati nonlo sono. Se ad ogni angolo del primocorrisponde un angolo del secondo, è possibilefar corrispondere anche i vertici e quindi anche ilati. Prendiamo due lati corrispondenti ecalcoliamone il rapporto. Chiamiamo k questorapporto. Adesso costruiamo il triangolo similea T, chiamiamolo T’, con questo rapporto disimilitudine. T’ ed U hanno un lato congruente etutti gli angoli pure. Per il 2° criterio dicongruenza T’ ed U sono congruenti. Quindi Uè simile a T.Possiamo riassumere le nostre osservazioni contre criteri di similitudine. Essi ci permettono distabilire se due triangoli sono simili senzaconfrontare tutti i lati e tutti gli angoli, maconfrontando solo due o tre elementi su sei.

1) Due triangoli sono simili se hanno dueangoli congruenti. Siccome il terzo angolo èquello che manca per arrivare a 180°, anche ilterzo angolo deve essere congruente. È comequando vai a fare la spesa e paghi con €180. Ilresto che calcoli tu è uguale a quello che calcolail negoziante, a meno di errori. Se non fosse cosìnon sarebbe più possibile pagare in contanti!Quando confronti due triangoli rettangoli, bastascoprire che un angolo acuto sia congruente perconcludere che i due triangoli sono simili.

2) Due triangoli sono simili se hanno due latiproporzionali e gli angoli compresi sonocongruenti. Possiamo usare la figura in cima elo stesso modo di ragionare. Calcoliamo ilrapporto di similitudine k fra i lati di T ed U,costruiamo il triangolo T’ simile a T aventerapporto di similitudine k, quindi usiamo il 1°criterio di congruenza. Siccome U è congruentecon T’, U è simile a T.

3) Due triangoli sono simili se hanno i latiproporzionali.

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TEOREMA DI TALETE

Talete di Mileto, vissuto fra il 640 e il 547 a.C.,fu uno dei più celebri saggi dell’antica Grecia.Egli scoprì un importante teorema che siriferisce ad un insieme di rette parallele (dettofascio), tagliate da due trasversali ed aisegmenti che le parallele tagliano sulletrasversali. Talete disse che i segmenti tagliati suuna trasversale sono proporzionali a quellitagliati sull’altra.

AB : A’B’ = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DE : D’E’= AC : A’C’ = AD : A’D’ = AE : A’E’= BD : B’D’ = CE : C’E’ = fDimostriamolo. Chiamato O il punto di incontrodelle trasversali, consideriamo i triangoli OAA’,OBB’, OCC’, ecc. L’angolo in O è comune atutti i triangoli. Gli angoli in A, B, C, ecc. sonoangoli corrispondenti formati da paralleletagliate da una trasversale. Per il 1° criterio disimilitudine i triangoli sono tutti simili. Allora ilrapporto fra i due lati obliqui è sempre lo stessoin tutti i triangoli.OA : O’A’ = OB : O’B’ = OC : O’C’ = fPrendiamo un segmento a caso, come CD.Siccome lo abbiamo preso a caso, sedimostr iamo che CD : C’D’ = f , ladimostrazione vale anche per tutti gli altri. Itriangoli OCC’ e ODD’ sono simili, quindi valela proporzione OD : OC = OD’ : OC’.Applichiamo la proprietà dello scomporre.(OD – OC) : OC = (OD’ - OC’) : OC’Calcoliamo le differenze. Ad es. OD–OC = CD.

CD : OC = C’D’ : OC’Permutiamo i medi

CD : C’D’ = OC : OC’OC ed OC’ sono i due lati obliqui di untriangolo. Abbiamo detto che il loro rapporto èf. Pertanto anche DC : D’C’ = f.

UN ANEDDOTO

Lo storico Plutarco narra che, quando Taletevisitò l’Egitto, il faraone Amasis volle metterealla prova le sue capacità matematiche e glichiese di misurare l’altezza della piramide piùalta, quella di Cheope. Nessuno era mai riuscitonell’impresa.Talete piantò un bastone perfettamente verticalenella vicinanze della piramide e misurò ilbastone e la lunghezza delle ombre, sia quelladella piramide che quella del bastone. La lineaimmaginaria FE che andava dalla punta delbastone alla punta della sua ombra, assiemeall’ombra ed al bastone, formava un triangolorettangolo. Nella nostra figura l’abbiamochiamato DEF.

Siccome i raggi del sole cadevano con la stessainclinazione, questo triangolo era simile altriangolo ABC, formato dall’altezza dellapiramide e l’altezza della sua ombra. AB è lasomma della lunghezza dell’ombra dellapiramide e della metà della larghezza dellapiramide (nella direzione dell’ombra). I rapporti fra cateti formano la proporzione

AC : AB = DF : DE

la cui soluzione è AC= AB⋅DF DE

.

Con questa formula Talete risolse il problemapostogli dal faraone.

Ti abbiamo presentato prima Euclide, poiPitagora, infine Talete. In realtà questi grandigeni sono nati nell’ordine inverso. Anche se nonconosciamo le date esatte, Pitagora nacquequando Talete era già anziano. Euclide nacquepiù di due secoli dopo Pitagora.

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PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativaall’ipotenusa (AH) forma due triangoli piùpiccoli. Siccome l’altezza è perpendicolareall’ipotenusa, i due triangolini sono rettangoli.

Il triangolino di sinistra (ABH) ha l’angoloB in comune col triangolo grande (ABC).

Pertanto i due triangoli sono simili. Iltriangolino di destra (ACH) ha l’angolo C incomune col triangolo grande. Pertanto anche iltriangolino di destra è simile a quello grande.Per la proprietà transitiva i triangolini sonosimili anche fra di loro.Se due triangoli rettangoli sono simili possiamoscrivere la proporzionecateto min. : ipotenusa = Cateto min. : Ipotenusadove indichiamo con nomi minuscoli i lati deltriangolo minore e con nomi maiuscoli i lati deltriangolo maggiore. Se ci riferiamo ai triangoliABH e ABC la prima proporzione diventa:

BH : AB = AB : BCSe invece ci riferiamo ai triangoli ACH ed ABC

CH : AC = AC : BCQueste proporzioni sono uno dei modi dienunciare il primo teorema di Euclide: in untriangolo rettangolo ogni cateto è medioproporzionale fra l’ipotenusa e la propriaproiezione sull’ipotenusa.Per la proprietà fondamentale delle proporzioniil prodotto dei medi è uguale a quello degliestremi. Nelle proporzioni che abbiamo appenascritto il prodotto dei medi è uguale all’area diun quadrato che ha per lato un cateto. Ilprodotto degli estremi è uguale a un rettangoloche ha per lati l’ipotenusa e la proiezione delcateto sull’ipotenusa. È pertanto possibileenunciare il teorema nella seguente formaalternativa: il quadrato di un cateto equivaleal rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e laproiezione del cateto sull’ipotenusa.

Ogni quadratodella figura èequivalente alrettangolo dellostesso colore.

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

Se confrontiamo fra di loro i due triangoliniABH e ACH, la proporzionecateto min. : cat. magg. = Cat. min. : Cat. Maggdiventa:

BH : AH = AH : CHUno dei modi di enunciare il secondo teoremadi Euclide è: in un triangolo rettangolol’altezza relativa all’ipotenusa è medioproporzionale fra le proiezioni dei catetisull’ipotenusa.

Nell’ultima proporzione il prodotto dei medi èAH2. Il prodotto degli estremi è BH ∙ CH. Ilsecondo teorema di Euclide si può enunciareanche così: il quadrato dell’altezza relativaall’ipotenusa equivale ad un rettangolo cheha come lati le proiezioni dei catetisull’ipotenusa.

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TRASFORMAZIONI

A volte due figure hanno tanti di quegli aspettiin comune che possiamo immaginarle ognunacome una lieve modifica dell’altra. Durante latrasformazione ogni punto di una figura diventaun punto dell’altra.Per dare un senso compiuto a questa idea:- classificheremo i tipi più semplici ditrasformazione;- chiariamo quali a quanti dati sono necessariper specificare una trasformazione;- distinguiamo ciò che cambia nella figura e ciòche non cambia.- individuiamo la trasformazione inversa.Le trasformazioni più semplici sono quelle incui la figura trasformata è congruente con quelladi partenza. Trasformazioni di questo tipo sichiamano isometrie che etimologicamentesignifica “misure uguali”.

TRASLAZIONE

In questa isometriaogni punto si spostadella stessa distanza.U n s e g m e n t ot r a s f o r m a t o èparallelo a quello dip a r t e n z a . P e rs p e c i f i c a r e u n atraslazione occorrei n d i c a r e s i a l ad i s t a n z a d e l l ospostamento che la

sua direzione nello spazio. Si potrebbero usaretre numeri: uno che misura lo spostamento versonord (o verso sud se il numero è negativo); unaltro numero che misura lo spostamento versoest (o ovest se negativo); un terzo numero chemisura lo spostamento verso l’alto (o verso ilbasso se negativo). È più facile da capire unvettore, cioè un segmento con la punta a frecciache racchiude tutte le informazioni. Nella figuraabbiamo disegnato un vettore da A ad A’. Nonha importanza il punto in cui viene applicato ilvettore, le uniche cose che contano sono la sualunghezza, la direzione ed il verso della freccia.

ROTAZIONE

La rotazione èuna isometria incui lospostamento nonè lo stesso pertutti i punti, ma èproporzionalealla distanza delpunto da unaretta, detta asse di rotazione.La distanza di ogni punto dall’asse di rotazioneè una delle cose che non cambiano durante larotazione. La figura trasformata è congruente enon è mai ribaltata: il verso di rotazione perandare da A’ a B’ e poi a C’ è lo stesso che serveper andare da A a B a C.La rotazione avviene in un piano perpendicolareall’asse di rotazione. Quando si raffigura ilpiano della rotazione, come nel nostro caso,dell’asse si vede un solo punto (il punto O), cheprende il nome di centro di rotazione.Gli archi di centro O sopra raffigurati sonodiversi per quanto riguarda il raggio ma hannolo stesso angolo al centro. Essi descrivono lospostamento dei vertici di un triangolo durantela rotazione attorno al centro O.Per descrivere una rotazione occorre specificare:l’asse o il centro, il verso (che può essere orarioo antiorario) e l’angolo.La figura mostra che il triangolo A’B’C’ è statoottenuto da ABC mediante una rotazione di 57°in senso orario. Si sarebbe potuto ottenere lostesso risultato con una rotazione di 303° insenso antiorario (303 = 360-57). A volte siprende la convenzione di effettuare tutte lerotazioni in senso antiorario. Lo si fa quando ilrisultato finale è più importante del meccanismocon cui è stato ottenuto. Con tale convenzione,basta indicare asse di rotazione ed angolo.

Una rotazione orariadi 180° ha gli stessie f f e t t i d i u n aantioraria di 180°.Il centro O è il puntomedio dei segmentiAA’, BB’, CC’ e DD’e di tutti i segmentidi questo genere.

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SIMMETRIA CENTRALE

In un piano due punti A e A’ si diconosimmetrici rispetto a un centro O quando O è ilpunto medio del segmento AA’. Una simmetriacentrale è una isometria che trasforma ognipunto del piano nel suo simmetrico rispetto adun punto O detto centro di simmetria.Una simmetria centrale equivale ad unarotazione di 180° attorno al centro O.

SIMMETRIA ASSIALE

In un piano, due punti A e A’ si diconosimmetrici rispetto a una retta r quando r èl’asse del segmento AA’. Una simmetria assialeè una isometria che trasforma ogni punto delpiano nel suo simmetrico rispetto ad una retta rdetta asse di simmetria.

Una simmetria assiale equivale ad una rotazionedi 180° attorno alla retta r.Fai attenzione: se tu ruoti le due figure quasopra attorno alla retta r, esse escono fuori dalpiano del disegno. Solo quando l’angolo dirotazione è un multiplo di 180° le due figuretornano nel piano da cui sono partite. Mentreuna rotazione di 360° rimette ogni cosa al suoposto, una simmetria assiale non soltantoscambia la destra con la sinistra, ma ribalta lefigure. Ad. es., la lettera q diventa una p. Si diceche diventa la propria immagine speculareperché è quella che si vede in uno specchio.

COMPOSIZIONE DI ISOMETRIE

Presa una figura, possiamo sottoporla a duetrasformazioni successive. La combinazionedelle due trasformazioni può essere considerataa tutti gli effetti come un’unica trasformazione,come quando combini due colori e ne ottieniuno solo. La combinazione è dunque unaoperazione che ha come operandi non deinumeri ma delle trasformazioni. Consideriamole combinazioni di isometrie. Siccome le figure

rimangono congruenti, una combinazione diisometrie è un’altra isometria.

L a t r a s l a z i o n e ttrasforma il punto P inP ’ . U n a s e c o n d atraslazione r trasformaP’ in P”. Potremmoandare direttamente da

P in P” con una traslazione s. Nota come ill’origine del vettore s coincida con quella delvettore t e la punta del vettore s con la punta delvettore r. La combinazione di due traslazioni èuna nuova traslazione ed il vettore che ladescrive si ottiene concatenando i due vettori.

A p p l i c h i a m o d u esimmetrie assiali altriangolo ABC, primaattorno alla retta r, poialla retta s. Alla fineotteniamo il triangolo

A”B”C”. Potremmo eseguire la stessatrasformazione con una rotazione attorno alcentro O, il punto di intersezione di r ed s.L’angolo di rotazione è il doppio dell’angolo frai due assi di simmetria.Cosa accade se le rette r ed s non si incontrano?

La composizionedi due simmetrieassiali, se gli assisono paralleli,

equivale ad una traslazione perpendicolare agliassi e lunga il doppio della distanza fra gli assi.Il verso è quello che va da r ad s. La composizione di due rotazioni, se sonoattorno allo stesso asse e con lo stesso verso, èuna rotazione di un angolo che è la somma dellesingole rotazioni. La composizione di unasimmetria assialeed una rotazioneè una simmetriaassiale. Il nuovoasse passa per ilc e n t r o d ir o t a z i o n e e ,r i s p e t t o a lv e c c h i o , èruotato di un angolo che è la metà di quellodella rotazione. Come in tutte le simmetrieassiali, il verso per andare da A” a B” e poi inC” è invertito rispetto al triangolo ABC.

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FIGURE SIMMETRICHE

La parola simmetria non indica solo unaisometria. Molto più spesso indica la capacità diuna figura di ritornare su se stessa se gli siapplica una trasformazione di simmetria.Un rettangolo contiene dueassi di simmetria, paralleli ailati, che passano per il centro.L’asse verticale trasforma Ain B, B in A, C in D e D inC. L’asse orizzontale trasforma A in D, B in C,C in B e D in A. Una figura che contienealmeno un asse o un centro di simmetria si dicesimmetrica. La simmetria interna trasforma ognipunto della figura in un altro punto della figurao in se stesso.Nei rombi ognidiagonale è una s s e d isimmetria. Ilquadrato possiede quattro assi, due ereditati dairettangoli e due dai rombi, ed un centro disimmetria. Un poligono contiene un numero diassi di simmetria uguale al numero di lati. Se ilnumero di lati è pari, il punto di incontro degliassi è un centro di simmetria.

OMOTETIA

Passiamo ora ad una trasformazione che non èuna isometria, perché la figura trasformata non ècongruente ma solo simile a quella di partenza.Occorre definire un punto O, chiamato centro diomotetia ed un numero k, chiamato rapporto diomotetia. Per ogni punto P da trasformare simanda una semiretta a partire da O. Sullasemiretta si individua il punto trasformato P’ inmodo che OP’ = k ∙ OP.Nel caso qua a fianco k= 3. La figuratrasformata è simile aquella di partenza, conun rapporto disimilitudine = k.Il rapporto di omotetiaprevede che le rette chepassano fra due punticorr i spondent i (pe r

esempio A e A’ oppure B e B’) si incontrino tuttenel punto O. Questa condizione non era previstaper la similitudine. Ecco perché tutte le figureomotetiche sono anche simili, ma non tutte lefigure simili sono omotetiche.

Qua i l rapporto di

omotetia è13

. L a

figura trasformata è piùvicina al centro O diquanto non sia la figuradi partenza.Quando il rapporto diomotetia è maggiore di1, la figura trasformata èun ingrandimento diquel la di par tenza.

Quando il rapporto è minore di 1, la figuratrasformata è una riduzione. Quando il rapportoè 1 la figura trasformata coincide con quella dipartenza.Il rapporto puòa n c h e e s s e r enegativo. In talcaso il centro di omotetia si trova fra le duefigure e la figura trasformata appare capovoltama non è ribaltata, è solo ruotata. Infatti unaomotetia con rapporto -1 equivale ad unasimmetria centrale attorno al punto O. La figuraqua sopra mostra una omotetia con rapporto -2.La composizione di una omotetia con unaisometria, o viceversa, produce una figurasimile. Potremmo sostituire la nostra precedentedefinizione di similitudine con la seguente: duefigure sono simili se una può essere generatadall’altra con una omotetia seguita da unaisometria.

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STATISTICA

Alle domande: “Quanto piove in un anno?”,“Quanto dura una lampadina?”, “Quanteassenze fa un alunno in un quadrimestre?” èlecito rispondere: “Dipende (dall’anno, dallalampadina, dall’alunno)”. La Statistica può darequalche risposta in più. La Statistica è unabranca della Matematica applicata che descrivefenomeni per i quali sono state raccolte un grannumero di osservazioni. Esaminiamo un caso inparticolare: quelle delle assenze. Partiamo daidati grezzi, cioè una tabella delle assenze alunnoper alunno, in ordine alfabetico:Giulia Amato 4

Marco Balducci 7

Vincenzo Delvecchio 2

... ...Siccome non ci interessano i nomi, costruiamoun’altra tabella che ci dice quanti alunni hannofatto zero assenze, quanti ne hanno fatta una,quanti due, ecc. D’ora in poi useremo solo laseguente tabella:

assenze alunni %

1 2 8

2 6 24

4 5 20

7 5 20

9 3 12

10 2 8

13 1 4

18 1 4

Totale = 147 Totale = 25 Totale = 100Nel linguaggio statistico, ogni alunnorappresenta un’osservazione del fenomeno.I numeri della colonna centrale si chiamanofrequenze assolute, ossia i l numero diosservazioni che hanno dato lo stesso risultato. Inumeri della colonna di destra sono lefrequenze relative, che si ottengono da quelleassolute dividendole per il numero totale diosservazioni. Per ottenere il totale delle assenze,ogni numero della prima colonna è statomoltiplicato per il numero alla sua destra. La

somma di tutti i prodotti dà il totale delleassenze. Sei d’accordo? Ripeti da solo il calcoloper essere sicuro di aver compreso. Al giornod’oggi questi calcoli si effettuano al computer,con un foglio di calcolo o un programmaapposito per la statistica. I programmi nonsoltanto eseguono i calcoli ma creano anchedel le rappresentazioni grafiche, comeistogrammi, aerogrammi, diagrammi cartesiani,ecc.Il numero di assenze per ogni alunno èdistribuito in un intervallo di valori che vannoda 1 a 18. Questo intervallo prende il nome dicampo di variazione. Piuttosto che riportare ilvalore centrale del campo, in statisticariportiamo tre indici (media, mediana e moda)ognuno dei quali dà un’idea della distribuzionedei valori. Se li prendiamo tutti e tre assiemeotteniamo una visione più ricca di informazioni.L a media si calcola dividendo tutte le assenze(147) per il numero degli alunni (25). La nostramedia è quindi 5,88. Se ogni alunno avesse fatto5,88 assenze il totale sarebbe stato lo stesso.Come spesso capita, nessun alunno ha fattoesattamente 5,88 assenze, né potrebbe mai farle.O ne fa 5 oppure 6…L a moda è il risultato che si è presentato piùspesso. Nel nostro caso la moda è 2. Questonumero di assenze si è ripetuto per sei volte,ossia per sei alunni.L a mediana è calcolata in modo tale che lametà delle volte si osserva un valore inferiore ela metà delle volte un valore superiore. Siprocede così. Dividiamo per due il totale delleosservazioni: 25:2=12,5. A partire dall’alto dellaseconda colonna si sommano i valori fino adarrivare a 12,5. 2+6=8. Non basta. 2+6+5=13.Siamo arrivati. Il tredicesimo alunno nellaclassifica dei più presenti ha totalizzato 4assenze. La mediana è 4.Nel nostro caso il rilevamento dei dati eratotale, ossia disponevamo di tutti i dati di tuttigli alunni della stessa classe. A volte lapopolazione statistica è tanto vasta chemancano i soldi ed il tempo per un rilevamentototale. Si procede allora all’estrazione di uncampione con un sorteggio oculato che facciain modo che ogni percentuale del campione(sesso, religione, ceto sociale, ecc.) sia il piùvicino possibile a quella della popolazione.

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PROBABILITÀ

Un evento è aleatorio se dipende dal caso. Laprobabilità che esso si verifichi è un numerocompreso fra 0 ed 1. Se la probabilità è zerol’evento non si verificherà mai. Se è 1 l’eventosi verificherà certamente. Indichiamo con lalettera E un evento e con p(E) la sua probabilità.La probabilità classica è data dalla formula

p (E)= casi favorevolicasi possibili

Se lanciamo un dado, i casi possibili sono 6; laprobabilità che esca un numero minore di 5 è4/6. Due eventi s i dicono compatibili s e i lverificarsi dell’uno non esclude il verificarsidell’altro. Sono compatibili l’uscita di unnumero minore di 5 e l’uscita di un numero pari.S i d i c o n o incompatibili se il verificarsidell’uno esclude il verificarsi dell’altro. Sonoincompatibili l’uscita di un numero minore di 5e l’uscita del 6. Si dicono complementari sesono incompatibili e se uno dei due si verificasicuramente. Sono complementari l’uscita di unnumero pari e l’uscita di un numero dispari.La probabilità totale di due eventi è laprobabilità che almeno uno dei due si verifichi.La probabilità totale di E ed F si indica con

p (E∪F)Se E ed F sono complementari:

p (E∪F )=1Se sono incompatibili:

p (E∪F )=p (E)+ p (F )Se sono compatibili:

p (E∪F )=p (E)+ p (F )− p (E∩F )La probabilità che esca un numero pari minoredi 5 (ossia il 2 o il 4) è 2/6. p(n pari)=3/6.p(n<5)=4/6. La probabilità che esca un numerominore di 5 o un numero pari è:

4/6 + 3/6 – 2/6 = 5/6

Due eventi si dicono indipendenti se ilverificarsi dell’uno non modifica la probabilitàche si verifichi l’altro. L’evento composto è ilverificarsi di entrambi gli eventi. Se D è ilcomposto dei due eventi indipendenti E ed F

p(D) = p(E) ∙ p(F)Lanciamo due dadi. La probabilità che esca 6 suun dado non dipende dal numero uscitosull’altro. p(E)=p(F)=1/6. La probabilità cheescano due 6 è p(D) = 1/36.

Estraiamo due numeri della tombola. Laprobabilità che il primo sia pari è 1/2. Laprobabilità che il secondo sia pari varia: sarà45/89 se il primo era dispari, 44/89 se il primoera pari. La probabilità dell’evento F dopo chesi è verificato l’evento E si chiama probabilitàcondizionata e si indica con p(F|E). Se D è ilcomposto dei due eventi E ed F

p(D) = p(E) ∙ p(F|E)La probabilità che escano due numeri pari è

12⋅44

89= 22

89

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