UN

ITÀ 7 Le frazioni

A

LEZIONI

1. Dall’unità frazionaria alla frazione2. Calcolare una frazione di un numero3. La frazione è anche un numero4. Frazioni proprie e improprie5. Frazioni equivalenti6. Ridurre una frazione ai minimi termini7. Il minimo comune denominatore8. Confronto di frazioni

IHCOIGMatematici

VIDEOTUTORIAL

LABORATORIO DELLE COMPETENZE

I laboratori fai da te I laboratori del coding

IMPARAFACILE

Ripasso e recuperoCLASSECAPOVOLTA

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LEZIONE

313312A A

1Unità frazionarie e frazioniImmagina di tagliare una pizza in 8 fette uguali e di prenderne 3.Quale frazione di pizza hai preso?

• Ciascuna fetta è 1 __ 8 (un ottavo) di pizza e si chiama unità frazionaria.

• Tre fette sono i 3 __ 8 (tre ottavi) e questa è la frazione di pizza che hai preso.

• Le 5 fette che restano sono i 5 __ 8 (cinque ottavi) della pizza.

La scrittura 3 __ 8 significa che una unità è stata divisa in 8 parti uguali e di queste se

ne considerano (o prendono) 3.

3––8di pizza

1––8 1––8 1––8

5––8di pizza

3 __ 8

numeratore(quante parti si considerano)

denominatore(in quante parti è divisa l’unità)

linea di frazione

Frazione

La scrittura a __ b

rappresenta una frazione e significa che

una unità è divisa in b parti uguali e di queste se ne considerano a . Il numero a si chiama numeratore e il numero b denominatore.Il denominatore di una frazione deve essere diverso da 0.

CONCETTO CHIAVE

Modelli di frazioniUna frazione si può rappresentare con diversi tipi di disegni chiamati modelli. Vediamo come esempi il cerchio, la striscia, il segmento e varie forme geometriche.

Cerchio Rappresentiamo alcune unità frazionarie usando un cerchio come unità. Colora le frazioni indicate come mostrato nei primi due casi.

1––11––2

1––31––4

1––51––6

una unità un mezzo un terzo un quarto un quinto un sesto

ESPLORA

Dall’unità frazionaria alla frazione

Non esiste una frazione con denominatore zero perché è impossibile dividere una unità in zero parti!

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NU

MER

I

Le frazioniUnità

313312A A

A7

1 Striscia Rappresenta la frazione 5 __ 8 sulla striscia rettangolare.

1) Disegniamo una striscia e la dividiamo in tante parti uguali (unità frazionarie) quante ne indica il denominatore, cioè 8.

2) Coloriamo tante parti quante ne indica il numeratore, cioè 5.

2 Segmento Rappresenta la frazione 2 __ 7 su un segmento.

Una frazione può indicare una parte di un segmento o la posizione di un punto sul segmento stesso. Disegniamo un segmento AB e dividiamolo in 7 parti uguali.Il punto C divide il segmento AB in due parti tali che:

• AC = 2 __ 7 del segmento

• CB = 5 __ 7 del segmento

A BC

5––72––7

3 Figure geometriche Rappresenta le frazioni 1 __ 4 , 3 __ 4 , 7 __ 9 , 4 __ 4 nelle seguenti forme geometriche.

1––43––4

7––94––4

= 11––43––4

7––94––4

= 11––43––4

7––94––4

= 11––43––4

7––94––4

= 1

4 Parti di un gruppo Osserva l’acquario. Qual è la frazione formata dai pesci rossi?

Una frazione si può usare per indicare una parte di un gruppo. In questo caso non è necessario che le parti siano identiche. Ciò che conta è il numero di individui.Nell’acquario ci sono in tutto 7 pesci. I pesci rossi sono 3 su 7.

Perciò i 3 __ 7 dei pesci nell’acquario sono rossi.

Frazioni complementariOsserva il modello. Il cerchio rappresenta una unità o un intero.

3––8

5––8

La parte colorata corrisponde ai 3 __ 8 dell’unità, mentre la parte bianca

corrisponde ai 5 __ 8 dell’unità.

Le due frazioni messe assieme formano 8 __ 8 , cioè l’unità.

Frazioni complementari

Due frazioni che combinate formano una unità si chiamano frazioni complementari.

CONCETTO CHIAVE

5 Complementare Qual è la frazione complementare di 4 __ 15

?

L’unità è 15 __ 15

. La frazione complementare di 4 __ 15

è la frazione che manca per completare

l’unità, dunque 11 ___ 15

.

ESERCIZI GUIDA

5––8frazione =

8––8unità =

Se tagli una pizza in 4 fette e ne mangi 4, hai

mangiato 4 __ 4 di pizza, cioè l’intera pizza.

Una frazione che ha il numeratore uguale al denominatore rappresenta una unità e si può indicare con il numero 1.

ESERCIZIO GUIDA

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315314A A

Lezione 1 Dall’unità frazionaria alla frazione

315314A A

ESERCIZI DELLA LEZIONE 1

CONOSCERE CONCETTI E PROCEDURE

1 Unità frazionaria Nel disegno, colora una unità frazionaria. Scrivi a lato l’unità frazionaria in simboli matematici.

2 Unità frazionaria Completa la definizione.

La scrittura 1 __ 4

indica una unità e

significa che una unità è stata divisa in

parti e di queste se ne

considera

3 Frazione Nel disegno, colora la parte che corrisponde alla frazione riportata a lato.

ESERCIZIO GUIDA 3

3––4

4 Spiega Completa la spiegazione.

La scrittura 3 __ 4

rappresenta una e

significa che una unità è stata divisa in

parti e di queste se ne

considerano

Il numero 3 si chiama e il

numero 4

5 Segmento 1 Quali frazioni del segmento AB rappresentano le parti AC e CB ? Scrivi le frazioni al posto dei puntini.

ESERCIZIO GUIDA 2

A BC

6 Segmento 2 Segna sul segmento il punto E

tale che FE sia i 5 __ 8

di FG .

F GE

7 Striscia Osserva il seguente modello di una frazione e rispondi alle domande.

ESERCIZIO GUIDA 1

frazione = unità frazionaria

unità =

1––9

a. In quante parti uguali è divisa la striscia?

b. Quale unità frazionaria corrisponde a una

parte?

c. Quante sono le parti colorate?

d. Quale frazione corrisponde alla parte

colorata?

e. Completa la figura scrivendo le frazioni mancanti.

8 Frazione di figure Osserva il seguente modello e rispondi alle domande.

ESERCIZIO GUIDA 4

a. Quale frazione delle figure è formata da

triangoli? b. Quale frazione delle figure è formata da

cerchi? c. Quale frazione delle figure è colorata di

rosso? d. Quale frazione dei triangoli è colorata di

rosso?

9 L’unità Esegui sul quaderno quanto richiesto.a. Disegna sul quaderno un modello della

frazione 3 __ 3

.

b. Scrivi tre frazioni che rappresentano una unità.

c. Quale caratteristica hanno le frazioni che rappresentano una unità?

1 __ 5

frazionaria

quattro uguali

una

frazione

quattro uguali

3

numeratore

denominatore

5 __ 9

4 __ 9

5 __ 9

9 __ 9

9

1 __ 9

5

5 __ 9

4 __ 9

3 __ 9

5 __ 9

3 __ 4

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NU

MER

I

Le frazioniUnità

315314A A

A7

315314A AAltri esercizi a pag. A336

10 Bianco e blu Nei seguenti modelli, scrivi le due frazioni della figura che corrispondono rispettivamente alla parte colorata e alla parte bianca. ESERCIZIO GUIDA 5

frazione colorata =

frazione bianca =

5 __ 8

3 __ 8

frazione colorata =

frazione bianca =

7 __ 12

5 __ 12

11 Frazioni complementari Completa la definizione.

Due frazioni che combinate formano si chiamano frazioni complementari.

12 Coppie Completa le seguenti frazioni in modo che ogni coppia sia formata da frazioni complementari.

2 __ 9

, ___ 9

5 ___ 13

, ___ 13

1 ___ , 4 __ 5

APPLICARE STRATEGIE, RAPPRESENTAZIONI E MODELLI

13 MONDO REALE Parte di… Nelle seguenti situazioni, scrivi le frazioni richieste.

1––4

1––2

parte piena d’acqua

parte di torta

rimasta

parte di uova

mancante

parte di pizza

mancante

14 Giardino Gli alunni dell’Istituto Volta stanno realizzando il giardino della scuola.

Hanno deciso di piantare fiori in 2 __ 3

del

terreno a disposizione e ortaggi nella parte rimanente.Disegna sul quaderno un modello che rappresenti tale suddivisione.

15 Due frazioni In ogni figura, colora di due colori diversi le frazioni indicate sotto.Se necessario traccia le linee mancanti per dividere le figure in parti uguali.

5 __ 8

, 3 __ 8

2 __ 11

, 3 __ 11

1 __ 2

, 5 ___ 16

1 __ 12

, 2 __ 3

16 Complementari Scrivi accanto a ogni frazione la sua complementare.

a. 1 __ 4

b. 7 __ 12

c. 6 __ 7

d. 90 ___ 100

RAGIONARE IN CONTESTI NUOVI O COMPLESSI

17 Automobili In un parcheggio si trovano in tutto 7 automobili bianche e 18 di altri colori. Qual è la frazione delle automobili bianche? 7 __

25

18 Caccia all’errore Spiega perché il seguente modello

della frazione 1 __ 3

è sbagliato.

19 Pizza Sul tavolo c’è una pizza tagliata in tre fette uguali. Aldo e Baldo ne prendono una fetta ciascuno. Carla e Diana dividono la terza fetta in due parti uguali e ne prendono una parte a testa.Quale frazione di pizza ha ricevuto ciascuno?

Aldo e Baldo Carla e Diana

l’unità

7 85

1 __ 2

3 __ 4

5 __ 12

3 __ 10

3 __ 4

5 __ 12

1 __ 7

10 ___ 100

le parti non sono uguali

1 __ 3

1 __ 6

1––3

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LEZIONE

317316A A

2 Nella lezione precedente hai imparato a visualizzare le frazioni usando come modelli delle figure geometriche o degli oggetti: cerchi, quadrati, strisce, pizze e così via. Vediamo ora con un esempio come si calcola una frazione di un numero.

1 Regalo di compleanno Emmanuel ha ricevuto 28 ; come regalo di compleanno. Ha

deciso di spendere i 3 __ 4 di tale somma per comprare un kit di esperimenti scientifici sui cristalli. a. Quanto costa il kit?b. Quanti soldi gli rimangono?

Per risolvere il problema dobbiamo calcolare i 3 __ 4 di 28 ;

cioè dividere l’intero (28 ;) in 4 parti uguali e prenderne 3. Dobbiamo quindi eseguire due operazioni:

28 : 4 = 7 ; Corrisponde a 1 __ 4 di 28 ;.

7 ⋅ 3 = 21 ; Corrisponde a 3 __ 4 di 28 ; ed è il costo del kit.

Scriviamo il calcolo più brevemente, in una unica espressione:

28 : 4 ⋅ 3 = 21 ; Dividiamo per 4 e moltiplichiamo per 3.

I soldi rimasti si trovano con la sottrazione:

28 − 21 = 7 ;

Risposte: a. il kit costa 21 ;;b. a Emmanuel rimangono 7 ;.

Possiamo scrivere la seguente regola generale.

Frazione di un numero

Per calcolare una frazione di un numero si divide il numero per il denominatore della frazione e si moltiplica il risultato per il numeratore.

CONCETTO CHIAVE

frazione 3 __ 5

del numero 20

20 : 5 ⋅ 3 = 12 3 __ 5 di 20

divido per il denominatore

moltiplico per il numeratore

frazione a __ b

del numero n

n : b ⋅ a a __ b di n

divido per il denominatore

moltiplico per il numeratore

CON VIDEO TUTORIALESERCIZIO GUIDA

somma ricevuta → 28 €

→ 21 €3––4 → 7 €1––4

somma spesa

7 € 7 € 7 € 7 €

unità frazionaria

Calcolare una frazione di un numero

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Quando calcoli una frazione di una quantità espressa in metri, kilogrammi, secondi, … devi scrivere il simbolo della corrispondente unità di misura nel risultato.

NU

MER

I

Le frazioniUnità

317316A A

A7

Mezzi, terzi e quartiNella vita di tutti i giorni si incontrano spesso frazioni espresse in mezzi, terzi e quarti. È utile imparare a calcolarle velocemente.

2 Mezzi, terzi e quarti Calcola rapidamente.

Frazione da calcolare Risultato

1 __ 2 di 24 24 : 2 = 12

1 __ 3 di 15 15 : 3 = 5

1 __ 4 di 60 secondi 60 s : 4 = 15 s

2 __ 3 di 21 kilogrammi 21 kg : 3 ⋅ 2 = 14 kg

3 __ 4 di 100 litri 100 L : 4 ⋅ 3 = 75 L

Decimi, centesimi, millesimiUn altro gruppo di frazioni utile per esprimere le parti di una quantità è quello delle frazioni decimali.

Frazione decimale

Una frazione decimale è una frazione che ha come denominatore una potenza di 10, cioè 10, 100, 1000, …

CONCETTO CHIAVE

Per esempio, sono frazioni decimali:

3 __ 10 25 ___ 100 800 ____ 1000

Calcolare una frazione decimale di un numero è più facile rispetto alle altre frazioni perché la divisione per 10, 100, 1000, … si può fare a mente semplicemente spostando la virgola decimale.

3 Frazioni decimali Calcola rapidamente.

Frazione da calcolare Risultato

1 __ 10 di 38 38 : 10 = 3,8

1 ___ 100 di 86 86 : 100 = 0,86

8 __ 10 di 80 metri 80 m : 10 ⋅ 8 = 64 m

3 __ 10 di 7,4 7,4 : 10 ⋅ 3 = 2,22

33 ____ 1000 di 200 ; 200 ; : 1000 ⋅ 33 = 6,6 ;

ESERCIZIO GUIDA

ESERCIZIO GUIDA

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319318A A

Lezione 2 Calcolare una frazione di un numero

319318A A

ESERCIZI DELLA LEZIONE 2

CONOSCERE CONCETTI E PROCEDURE

1 Frazione di un numero Completa la regola che spiega come si calcola una frazione di un numero.

Per calcolare una frazione di un numero si

divide il numero per il della

frazione e si il risultato per il

2 Formula Completa la formula matematica per calcolare una frazione di un numero.

Per ottenere la frazione a __ b

del numero n , si esegue il calcolo:

3 Calcoli Calcola le seguenti frazioni. Per ciascun caso spiega la regola che hai applicato. ESERCIZIO GUIDA 1

a. 3 __ 5

di 40 = =

b. 1 __ 6

di 24 litri = =

c. 5 __ 7

di 14 kilogrammi = =

4 Frazione decimale Completa la definizione.Una frazione decimale è una frazione che

ha come una potenza di 10,

cioè , , , …

APPLICARE STRATEGIE, RAPPRESENTAZIONI E MODELLI

5 Frazione di … Calcola le seguenti frazioni. Scrivi il calcolo eseguito, il suo risultato e, se necessario, il simbolo dell’unità di misura. ESERCIZI GUIDA 2, 3

Frazione da calcolare Risultato

1 __ 3 di 24 ore 24 h : 3 = 8 h

1 __ 4 di 300 litri 300 L : 4 = 75 L

1 __ 2 di 16 metri 16 m : 2 = 8 m

5 __ 12 di 60 kilogrammi 60 kg : 12 ⋅ 5 = 25 kg

7 __ 9 di 207 cm 207 cm : 9 ⋅ 7 = 161

cm

4 __ 11 di 253 ; 253 ; : 11 ⋅ 4 = 92 ;

7 __ 10 di 800 800 : 10 ⋅ 7 = 560

9 __ 10 di 250 metri 250 m : 10 ⋅ 9 = 225 m

21 ___ 100 di 600 600 : 100 ⋅ 21 = 126

6 Presenti Una classe è formata da 22

alunni. Oggi i 3 __ 11

di essi sono assenti.

a. Quanti sono gli alunni assenti?

b. Quanti sono gli alunni presenti?

7 Risultati decimali Calcola le seguenti frazioni. Scrivi il calcolo eseguito, il suo risultato e, se necessario, il simbolo dell’unità di misura.

Frazione da calcolare

Risultato

1 __ 2 di 7 kilogrammi 7 kg : 2 = 3,5 kg

1 ___ 10 di 10 litri 10 L : 10 = 1 L

4 __ 7 di 129,5 metri 129,5 m : 7 · 4 = 74 m

3 __ 4 di 11 11 : 4 · 3 = 8,25

7 __ 10 di 34 34 : 10 · 7 = 23,8

21 ___ 100 di 582 ; 582 ; : 100 · 21 =

122,22 ;

8 Pagine Katia ha letto i 6 __ 13

delle pagine di

un manuale del tennis che ha 182 pagine in tutto.

a. Quante pagine ha letto? b. Quante pagine deve ancora leggere per

terminare il libro?

c. Ha superato la metà del libro?

denominatore

moltiplica

numeratore

n : b ⋅ a

40 : 5 ⋅ 3 24

24 L : 6 ⋅ 1 4 L

14 kg : 7 ⋅ 5 10 kg

denominatore

10 100 1000

6

16

84

98

no

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NU

MER

I

Le frazioniUnità

319318A A

A7

319318A AAltri esercizi a pag. A341

9 Premio Due amici si devono dividere un premio di 580 ;.

Al primo amico spettano i 7 __ 10

del premio e al

secondo amico la parte restante.

Quanto riceverà ciascuno dei due amici?

10 Fiori In un vivaio ci sono 504 fiori.

I 3 __ 7

di essi sono gigli, i 2 __ 9

sono rose e 1 __ 3

sono

garofani. Il resto è formato da orchidee.

Quanti fiori ci sono di ogni tipo?

11 Segmento Disegna il segmento AB lungo

6 cm. Disegna un segmento AC lungo i 3 __ 4

di

AB . Qual è la lunghezza di AC? AC = 4,5 cm

12 Maratona L’atleta Mizuki partecipa a una gara di maratona. Il tragitto è lungo 42 km e

Mizuki ne ha già percorso i 5 __ 7

.

a. Quanti kilometri ha già percorso l’atleta?

b. Quanti kilometri gli mancano per arrivare

al traguardo?

km32 km12

distanza totale→ 42 km7––7

5––7→

tratto percorso

2––7→

quanto manca al traguardo

RAGIONARE IN CONTESTI NUOVI O COMPLESSI

13 Stima Valuta mentalmente le seguenti frazioni. Poi calcola il loro valore esatto con la calcolatrice. Confronta i due risultati.

Frazione da calcolare

Tua stima

Risultato esatto

Differenza

3 __ 4 di 14 10,5

1 __ 2 di 167 83,5

1 __ 3 di 123 41

1 __ 4 di 10 2,5

2 __ 3 di 299 199,3

14 La calcolatrice di Mario Mario ha digitato il numero 72 sulla calcolatrice. Poi ha diviso per 9 e ha moltiplicato il risultato per 8.

a. Qual è il risultato finale?

b. Quale frazione è del numero scritto

all’inizio (cioè di 72)?

15 MONDO REALE Petrolio Dalla raffinazione di una certa quantità di petrolio si ricavano

i 42 ___ 100

di benzina e i 22 ___ 100

di gasolio.

Quanti litri di benzina e quanti di gasolio si possono ottenere da un barile di petrolio che corrisponde a 159 litri?

Arrotonda i risultati al litro. [67 L; 35 L]

16 OCOIG Orologio a LED Sei in una stanza quasi completamente

buia. L’unica luce proviene da un orologio digitale a LED, in cui ciascuna cifra è formata da sette segmenti.

Il display dell’orologio è del tipo HH:MM (ore e minuti). L’orologio visualizza l’ora nel formato 24 ore e la prima cifra è vuota se non è utilizzata (per esempio alle 7:00 i LED della prima cifra delle ore sono tutti spenti).

Per formare la cifra 8si accendono 7 led

6736545526

Per formare la cifra 1si accendono 2 led

Osserva la figura e rispondi alle seguenti domande. Fai almeno tre esempi per ciascuna risposta e spiega il tuo ragionamento.

a. In quali ore c’è esattamente la metà dei LED accesi?

b. In quali ore sono accesi i 3 __ 4

dei LED?

c. In quali ore il numero che esprime le ore

è 1 __ 10

del numero che esprime i minuti?

406 ;, 174 ;

216 gigli, 112 rose, 168 garofani, 8 orchidee

30 km

12 km

64

8 __ 9

per esempio: 12:21, 23:11, 13:47

per esempio: 23:50, 22:50

per esempio: 1:10, 2:20, 3:30

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