Frazioni, decimali, razionali Anna Paola Longo

14 novembre 2017

FARE MATEMATICA FARE MATEMATICA

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•Premessa* • Non sappiamo esattamente quando nasce la frazione: il carattere

strumentale è sempre stato evidente, ma spesso mescolato a quello teorico, anche nel mondo antico.

• Nel Medioevo arabo ed europeo si nota un tentativo di teorizzazione, nel quale la frazione è un «oggetto», ma mai disgiunta dalle sue caratteristiche di strumento.

• Nella situazione attuale, l’unico luogo di teorizzazione delle frazioni come oggetto è la scuola, primaria e secondaria, luogo principale anche della loro utilizzazione come strumento. Fuori della scuola la frazione è presente in modo minimo.

*Tesi di laurea in matematica, Università di Bologna, 2011-2012

Marina Moreschi, Questioni storiche e didattiche connesse alle frazioni.

Relatore prof. Giorgio Bolondi

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• Nella lingua italiana: parte di un tutto

• Scarlino, frazione di Massa (appartiene al comune di Massa) • Frantoio (schiaccia) • Le onde si infrangono sulla spiaggia (si rompono) • Cadendo, ho riportato una frattura del bacino (ossa rotte) • Frazionare un immobile (per esempio per la vendita) • Cuore infranto (analogia) • Mi restano solo i frantumi della statuina cinese (irrecuperabile) • La verità gli apparve in una frazione di secondo (parte di un tutto)

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L’apprendimento

avviene con continui rimandi tra casi particolari

(livello concreto, azioni reali)

e studio della struttura (livello astratto),

privilegiando problemi e rappresentazioni.

Anche noi seguiremo questa via.

La formazione inizia molto prima di introdurre il simbolo, eseguendo suddivisioni e dando alle parti i nomi della lingua corrente. Si utilizzano in classe termini del linguaggio comune, come mangiare mezza mela o un quarto di mela; piegare un foglio in 4 parti uguali, si può dare un nome alle parti fatte con la divisione (esperienza di Clelia Frittoli, Ma.P.Es).

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Elenco di significati*

1) parte di un uno-tutto, a volte continuo a volte discreto

2) quoziente; divisione non necessariamente effettuata, ma solo indicata

3) Rapporto, un legame tra grandezze

4) Operatore

5) Frazione in probabilità

6) Frazione nei punteggi

7) Frazione come numero razionale

8) Come punto di una retta orientata

9) Come misura

10) Percentuale

11) Indica una quantità di scelta in un insieme

*M.I. Fandino Pinilla, Le frazioni, aspetti concettuali e didattici Pitagora

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Nel linguaggio quotidiano , il senso scolastico di frazione si perde e viene

sostituito da altri significati. Pensiamo alla lettura dell’orologio, agli sconti e

alle percentuali che ci troviamo a dover calcolare, e ancora in musica, nelle

ricette di cucina, nei medicinali, durante i giochi nei calcoli di punteggi e

potremmo continuare con tanti altri esempi. Un’insegnante sostiene:

«Prima di questi incontri ero io che a un certo momento decidevo di trattare le

frazioni in classe, ora ho capito che, per permettere agli allievi la costruzione di un

apprendimento significativo sulle frazioni, sia importante introdurle con grande

naturalezza, tentando insieme di porre l’attenzione su quelle occasioni reali che

appaiono come più originali e interessanti»

Fandiño Pinilla M.I., Santi G.,Sbaragli S., 2008,Insegnamento e apprendimento delle frazioni in aula, archetipolibri, Bologna

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Perchè interessarsi alle frazioni?

Le frazioni sono ritenute «difficili», perchè fonte di molti errori.

Perché? Come affrontare il problema?

Una possibilità estrema sarebbe eliminarle dal programma.

Ma esiste una possibilità più interessante:

comprenderne lo scopo

comprendere gli ostacoli

comprendere le difficoltà didattiche

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Scopo delle frazioni

1)indicare quantità non intere nell’esperienza quotidiana e in quella scientifica.

2)Sono la via migliore, intuitiva, per acquisire la conoscenza

dei numeri razionali

Traccia del lavoro verso i numeri razionali:

Un numero razionale è una «classe» di frazioni «equivalenti».

Ciascuna frazione della classe rappresenta lo stesso numero razionale.

Un n. razionale è rappresentato da una qualsiasi frazione della sua classe, la più comoda è però quella ridotta ai minimi termini.

Se nella classe c’è una frazione decimale, il numero razionale è rappresentato anche da un numero decimale.

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Equivalenza E’ la novità sostanziale delle frazioni, serve sia per definire le operazioni che per arrivare ai numeri razionali

Due frazioni sono intuitivamente equivalenti «se hanno lo stesso valore»: mangiare mezza torta è come mangiare due quarti di torta, è anche come mangiare 5/10 di torta.

Una frazione p/q è certamente equivalente a m/n se m ed n sono rispettivamente multipli di p e q secondo lo stesso fattore di proporzionalità; se ciascuna delle n parti è suddivisa in k parti uguali, per ripristinare la quantità devo moltiplicare m per k. Si generalizzi quanto si osserva sul disegno.

1/2 1/4 1/16

1/2

2/4

1/4

1/16

8/16

1 0

Come costruirle?

Classe di frazioni equivalenti a 1/2

1/2; 2/4; 3/6; 4/8; 5/10… È noto che 5/10 = 0,5 dunque 1/2 = 0,5

(il segno = significa che appartengono alla stessa classe)

4/8 si ottiene da ½ moltiplicando numeratore e denominatore per 4

Classe di frazioni equivalenti a 1/3

1/3; 2/6; 3/9; 4/12… Non esiste una frazione con denominatore 10, se si vuole la scrittura decimale di 1/3 bisogna eseguire la divisione

1:3 = 0,3

1/3 si ottiene da 5/15 dividendo numeratore e denominatore per 5

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Un altro caso

La tecnica precedente è normalmente l’unica segnalata dai sussidiari, ma non sempre è applicabile: questa non è una condizione indispensabile

Per esempio, le frazioni 4/6 e 6/9 sono equivalenti.

Non riusciamo a passare da una all’altra moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale, ma verifichiamo ugualmente la loro equivalenza.

Se le riduciamo ai minimi termini:

4/6 = (2*2/3*2) = 2/3 e 6/9 = (3*2/ 3*3) = 2/3,

otteniamo la stessa frazione 2/3, perciò sono equivalenti. Questa è una condizione più ampia della precedente.

«Ridurre ai minimi termini» :

Individuare la frazione equivalente con i termini minimi, si ottiene semplificando tutti i fattori comuni del numeratore e del denominatore.

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Cosa vedremo:

due frazioni equivalenti si rappresentano nello stesso punto di una

retta; aggiungendo sulla retta la rappresentazione di frazioni, ci sono

punti che corrispondono a infinite frazioni, cioè la corrispondenza tra

punti e numeri non è più biunivoca

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Come definire la frazione?

La prof. M.I. Fandiño Pinilla riporta una definizione di frazione molto comune in tutto il mondo:

Si mostra una ripartizione di una pizza in 4 parti uguali;

Si dice che ciascuna di queste parti è una unità frazionaria;

L’ «unità - tutto» è stata divisa in 4 «unità frazionarie», ciascuna si chiama «un quarto» e si scrive ¼ .

Se si prendono alcune parti, la parte presa si chiama frazione, es. se si prendono 3 parti, si è presa la frazione «tre quarti» che si scrive 3/4.

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Nascono subito alcune difficoltà:

«uguali» rispetto a quale delle sue proprietà?

«La complicazione nasce dal fatto che quando si chiede di dividere una

pizza in parti uguali, questa dal punto di vista dell’adulto è un’idea

astratta: si sta riferendo ad un oggetto concreto, ma lo si vuol far

considerare astratto. L’allievo fa riferimento alla situazione reale, una

pizza ricoperta di tutti gli ingredienti tenderà ad essere difficilmente

ripartita in parti davvero uguali. L’adulto propone un oggetto reale ma si aspetta un comportamento astratto».

Tesi di Marina Moreschi

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• Consideriamo un rettangolo, unità continua meno ricca di riferimenti realistici. L’adulto con l’aggettivo «uguale» sottintende implicitamente un riferimento alla superficie del rettangolo. Questo non è scontato per l’allievo, «uguali» potrebbe essere interpretato come congruenti, sovrapponibili, riferendosi a modelli standard:

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• Una suddivisione «non standard» della figura non sarebbe ammessa. Le parti in questo caso non appaiono più uguali nella forma, ma allora sono o non sono ciascuna ¼ della figura?

• L’equivalenza diventa un cardine per definire la misura di una superficie:

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• Nome e significati

• La frazione in matematica è un simbolo (coppia di due numeri naturali, indicata con «a/b», a detto numeratore, b detto denominatore, la linea, di solito orizzontale nella scrittura, è detta linea di frazione). La frazione ha molti significati, a seconda del contesto in cui se ne parla.

• Dentro la matematica, a prescindere dal significato, l’insieme delle frazioni a/b è dotato di precise regole di calcolo, che individuano

«una struttura», cioè un gruppo di operazioni sull’insieme,

dotate di proprietà specifiche.

Nella classificazione di Vergnaud, la frazione appartiene alla

struttura moltiplicativa (V.1994)

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Capire il simbolo

nel simbolo a/b i due numeri naturali numeratore (a) e denominatore (b) costituiscono un unico oggetto, un nuovo ente numerico;

per comprendere e memorizzare occorre ricordare che i loro

significati derivano da due verbi:

denominatore da denominare

(indica il nome: sono ottavi, ecc.)

numeratore da numerare

(conta, dice quante sono le parti)

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La definizione esposta (parte uno-tutto) è di facile comprensione e di uso molto comune, ma non è generale:

a) non soddisfa tutti i significati che assume il termine frazione;

b) produce troppo presto un modello difficile da modificare.

Notiamo infatti che:

perdono significato le frazioni improprie, che non possono rimanere

nella unità-tutto;

se la frazione è «la parte presa», cioè una grandezza,

difficilmente diventerà un numero, come ci aspettiamo

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Esempio di Salvador Llinares

Una maestra racconta: Quest'anno siamo in 5° e come nell'anno passato abbiamo affrontato alcune situazioni con le frazioni. Ho pensato che potevamo incominciare questo tema ricordando alcune cose dell'anno passato. Perciò ho scritto il compito seguente sulla lavagna: Che cosa sono i 5/4 di questa figura?

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Mi sono resa conto che c'era un gruppo di alunni che non avevano capito la domanda. Mentre stavano lavorando su questo esercizio, mi sono accostata a Javier, ho ripetuto la domanda, chiedendogli di spiegarmi cosa stava facendo. Egli ha cominciato a dividere in parti un rettangolo fatto sul foglio, e ha fatto questo disegno:

S. Llinares, Fracciones, decimales y razòn, in C.Chamorro, Didactica de las mathematicas para primaria, Pearson, Madrid

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Per Javier il rettangolo disegnato alla lavagna non è l'unità a cui deve riferirsi per costruire una nuova grandezza, ma è l'oggetto entro cui deve assolutamente rimanere.

Perciò inventa una suddivisione in 5 parti, per niente preoccupato dal fatto che le parti non siano uguali.

Ma quanto lo ha ingannato la maestra con il suo linguaggio

“i 5/4 di un rettangolo”? (appare come oggetto contenuto)

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Una condizione essenziale

E’ sottile la differenza tra

Suddividere in parti

Suddividere in parti uguali

Cosa ci suggerisce l’etimologia?

Frangere = spezzare, infrangere, rompere, pestare, tritare….

Non c’è alcun riferimento al modo di farlo, alla forma e alla grandezza delle parti, solo in matematica viene aggiunta la caratteristica dell’uguaglianza delle parti, di cui abbiamo visto qualche difficoltà

nell’interpretazione

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Come suddividere? Casi reali e modelli ideali

Fare davvero parti uguali? Impossibile!

Immaginare di fare parti uguali?

Ci si presenta una differenza tra le azioni reali,

che dipendono da qualche strumento e dalla sua precisione,

e i modelli mentali delle stesse azioni,

prototipi con cui confrontare, interpretare il reale.

Ecco una caratteristica positiva dell’astrazione

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Uscire dal limite dell’unità:

la frazione come «operatore»

Scopo: le frazioni vengono unificate, non c’è più motivo di distinguere frazione propria, impropria, apparente.

Nella lingua italiana “operatore” è chi compie delle funzioni tecniche particolari, l’operatore delle riprese, il capo operatore del suono.

In matematica “operatore” è un simbolo che indica una strada operativa per costruire un nuovo oggetto matematico, è una scrittura che dà alcuni «ordini», alcune disposizioni (una «funzione»)

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Un operatore

Una frazione n/m (m ed n naturali, denominatore m non nullo) può essere interpretata come un operatore in un insieme di grandezze omogenee:

simbolo che associa ad una grandezza A una nuova grandezza B, ottenuta dall’unione di n grandezze (uguali), ricavate suddividendo A in m unità frazionarie.

A e B risultano essere grandezze omogenee: importanza della «amicizia» con la misura per comprendere le frazioni.

L’ordine dato dall’operatore consiste in due passaggi successivi:

a) il denominatore chiede la suddivisione della grandezza unitaria A in m unità frazionarie (la divisione non sussisterebbe se m=0);

b) il numeratore chiede di costruire una grandezza B mediante

l’unione di n unità frazionarie (disposte come si vuole, vedi disegno).

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Il primo disegno mostra la

parte di una unità-tutto

Il secondo disegno, conforme

alla definizione di operatore,

mostra la grandezza ¾ di A

composta da 3 parti, prese in

unità diverse

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La frazione «operatore» unifica:

L’operatore «n/m di» ha significato per qualsiasi valore del numeratore n; varie possibilità per la frazione n/m :

a) per n<m le frazioni coincidono con le frazioni proprie, parti di una unità-tutto (come 4/5 di qualcosa);

b) per m=n si ottiene nuovamente A : l’unione di 4 “quarti” di A ricostruisce A (4/4 di A coincide con A)

c) per n multiplo di m si ottengono grandezze multiple di A, sono le frazioni apparenti (20/4 di A coincide con 5A);

d) per n>m si ottengono grandezze B maggiori di A (si dicono frazioni improprie, le frazioni apparenti sono improprie).

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Osservazione

è identico il procedimento per costruire ¾di A (fr. propia) oppure 7/4 di A (fr. impropria),

una volta chiarito che ci si riferisce ad una grandezza A considerata come «unità».

Nel processo reale possiamo costruire «7/4 di A» solo se disponiamo di almeno 2 unità, ma l'immaginazione isola il processo, costituito dal riportare 7 volte la quantità ¼ di A,

come quando si riporta un’unità di misura.

Prerequisiti: i passaggi precedenti richiedono di conoscere

il significato delle operazioni sulle grandezze.

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Sintesi

La frazione/operatore rappresenta un modo sintetico di costruire una grandezza a partire da un’altra:

a) si costruisce l’unità frazionaria mediante la suddivisione di una unità in m parti uguali,

b) poi si moltiplica questa parte per un qualsiasi numero naturale n, intero positivo, (3 nel primo caso, 7 nel secondo caso) a prescindere dai diversi modi operativi con cui la costruzione si realizza, i quali dipendono dalla natura dell’oggetto iniziale.

È possibile dunque notare che lo stesso processo permette di costruire una nuova grandezza, omogenea con quelle iniziali, anche se nella frazione il numeratore è uguale o maggiore del denominatore

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Frazione di un numero

Dalla programmazione della dott. A. Davoli (sito Ma.P.Es):

a) Facciamo prima incontrare ai bambini uno «schema operativo»

mediante problemi che richiedono:

prima una divisione

poi una moltiplicazione.

Chiediamo di risolverli in modo libero

b) Successivamente avverrà l’ introduzione del simbolo: si

riprendono i problemi alla ricerca delle frazioni, si torna all’inizio e

accanto allo svolgimento si segnano al posto giusto le frazioni

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Un esempio di problema introduttivo: “La famiglia di Norman va a mangiare al ristorante con una coppia di amici, i signori Rossi. La famiglia di Norman è composta da mamma, papà e figlio. Durante il pranzo mangiano tutti le stesse cose ed il conto finale è di 300 €. Quanto spende ciascuna famiglia?”

Si propone la risoluzione libera, mediante rappresentazione grafica e uso di operazioni note, i simboli verranno in seguito, dopo aver fissato la struttura operativa con parecchi esempi

Nota; pagano tutti la stessa quota (occorre una divisione); la spesa di ciascuna famiglia è proporzionale al numero dei componenti (occorre una moltiplicazione)

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Altri problemi *

Problema n. 1. Giovanni ha 80 biglie, divise in 5 sacchetti uguali. Usa le biglie di 2 sacchetti per giocare con Andrea. Quante biglie usa per giocare?

Problema n. 2. Un lattaio sistema su 9 ripiani 117 lattine di bibite, mettendo lo stesso numero di lattine su ciascun ripiano. Su 4 ripiani ci sono lattine di Coca-cola, mentre sugli altri ripiani ci sono lattine di Fanta. Quante sono le lattine di Coca-cola e quante quelle di Fanta?

*Longo A.P.,2005, L’insegnamento delle frazioni, in Roletto E., La scuola dell’apprendimento (didattiche disciplinari, modelli e applicazioni operative), Erickson, Trento, pag.235-261

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Una sorpresa della matematica

Prendere i ¾ di 60 biglie si traduce con l’operazione ¾ * 60 oppure 60*3/4, che è anche (60 *3)/4.

Osserva Stella Baruk: Una delle ragioni della difficoltà sta nella diversità fra un procedimento che ci si immagina «realizzato concretamente» e quello matematico. In matematica l’ordine delle due operazioni «dividere per 4», «moltiplicare per 3» è indifferente mentre non è così nel concreto. Se infatti si seguissero alla lettera le prescrizioni «prendere ¾ di» si dovrebbe prima dividere per 4, trovando mucchi di 15 biglie, e poi prendere 3 di questi mucchi, che farebbero 45 biglie.

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Sulla carta si può procedere in altro modo , moltiplicando 60 per 3 (180) e poi dividendo queste biglie inesistenti in 4, ottenendo ancora 45. L’ordine con cui si fanno le operazioni sulla carta è indifferente.

Stella Baruk, 1998, Dizionario di matematica elementare, Zanichelli

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(60:4)x3=45

(60x3):4 =45

45

15

60 120 180

La frazione come misura

Con il linguaggio della misura si riepiloga bene quanto detto sulla frazione in quanto operatore:

Ricompare il cambiamento di unità di misura

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Grandezza A, unità iniziale U

3/4 di A, cioè 3 U’

7/4 di A cioè 7 U’

Nuova unità U’ = 1/4 U

frazione e divisione Problema «Il signor Piero vuole liberarsi di un residuo della sua fabbrica di dolciumi, per questo vuole dividere 3.571 pacchetti di cioccolatini tra 4 dipendenti facendo parti uguali». La divisione tra naturali non è esatta, fornisce: (si consiglia l’uso delle marche nella divisione) 3.571 (pacchetti) = 892 (pacchetti per persona)×4 (numero di persone)+ 3 (pacchetti); il resto 3 della divisione indica pacchetti; dividendo per 4 il primo e il secondo membro dell’uguaglianza si scrive: 3.571 (pacchetti) : 4 (numero di persone) = 892 (pacchetti per persona) + 3/4 di pacchetto, dove la frazione 3/4 indica una divisione ancora non effettuata.

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Il risultato, somma di un numero intero e di una frazione, è un numero razionale, che può essere scritto come un’unica frazione:

3.571 : 4 = 892 +3/4 =(892*4 +3)/4 = 3.571/4

Nota: i numeri interi fanno parte dell’insieme dei razionali e perciò si può eseguire la somma come operazione tra razionali, cioè tra frazioni.

La divisione tra naturali non è sempre possibile, mentre tra razionali è sempre possibile

Ecco che si fa avanti l’identificazione tra una divisione e una frazione

«Anche per la maniera di scrivere le espressioni numeriche e letterali sono state concordate sul piano internazionale alcune regole convenzionali. Esse valgono in particolari per i testi a stampa:

5/2 oppure 5:2; a/b oppure a:b, ecc.»*

*Pellerey M., 2003,Matematica per competenze. Algebra, SEI, Torino

Pag.107

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Equivalenza di operatori

Nell’insieme delle frazioni/operatori si estende la relazione di equivalenza già vista:

due operatori sono «equivalenti» se conducono a costruire la stessa grandezza, anche se per vie diverse.

Riconosciamo frazioni equivalenti in situazioni reali

usando rappresentazioni:

a) avere mezza cioccolata è come avere 2 quarti della stessa cioccolata, i due operatori 1/2 e 2/4 sono equivalenti,

b) se la distanza di A da B è 5/4 della distanza di A da C, può essere anche descritta anche come 10/8 di AC.

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Costruire frazioni equivalenti

Con una striscia di rettangoli si possono rappresentare le varie classi di grandezze (isomorfismo delle misure); generalizzando il significato delle rappresentazioni, si visualizzano frazioni equivalenti di ogni tipo

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4/4

5/4

10/8

Una relazione nell’insieme delle frazioni

L’equivalenza di frazioni è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva:

a) proprietà riflessiva: ogni frazione è equivalente a se stessa;

b) proprietà simmetrica: se m/n è equivalente a p/q, allora anche p/q è equivalente ad m/n;

c) proprietà transitiva: se m/n è equivalente a p/q e p/q è equivalente a r/s, allora la prima, m/n, è equivalente all’ultima, r/s.

Perciò è una «relazione di equivalenza» su quell’insieme

Come tutte le relazioni di equivalenza, definisce una

«partizione» dell’ insieme delle frazioni in sottoinsiemi:

ogni elemento appartiene ad un sottoinsieme

due diversi sottoinsiemi non hanno alcun elemento in comune.

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La frazione diventa un numero

Il primo passo è il confronto:

possibile solo se le frazioni sono riferite alla stessa unità

Il secondo passo è la rappresentazione su una retta orientata:

Ad ogni frazione si associano le infinite frazioni equivalenti cioè un numero razionale.

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Confronto di frazioni: cosa rimane in testa?

Primo anno di scuola superiore, primi giorni di scuola; problema:

Il sig. Bianchi e il sig. Rossi giocano insieme al totocalcio. Bianchi vince un premio di 2 milioni e Rossi ne vince 5. Si recano in vacanza, dove Bianchi spende 3/4 della sua vincita e Rossi 1/2 della sua. Chi spende di più? Confronta le frazioni 3/4 e 1/2, c'è contrasto con il risultato del problema?

Giustifica le tue affermazioni.

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Le due frazioni operano su insiemi diversi e quindi non si possono confrontare, ma gli studenti ricordano solo il confronto «formale» tra frazioni, cioè una regola di calcolo:

½ = 2/4; 2/4 < ¾. E sbagliano!

Ecco uno svolgimento tipico.

a) Spende di più Rossi che spende 2.5 milioni (nota, quello di ½), rispetto a Bianchi (nota, quello di ¾) che spende 1.5 milioni.

b) 1/2 < 3/4 (è affermato in modo assoluto) quindi c'è contrasto con il risultato del problema perché la frazione 3/4 prende quasi l'intero della vincita di Bianchi mentre la frazione 1/2 prende solo la metà della vincita di Rossi.

Ma… la vincita è differente, si tratta di 2 milioni per Bianchi e 5 per Rossi, quindi facendo riferimento alle vincite è giusto il problema e contrastanti le soluzioni rispetto alle frazioni.

Non si nota contrasto se si riconosce l’impossibilità di confrontare

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Alcuni studenti intuiscono, ma questo non basta per trovare le parole! Per spiegare ricorrono ad una rappresentazione:

Conclusione: le frazioni sono confrontabili solo quando sono riferite ad una stessa grandezza.

Si confrontano solo grandezze omogenee!!

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1/2 3/4

Su una retta orientata…

Le frazioni sono confrontabili solo quando sono riferite ad una stessa grandezza, in questo caso è anche possibile rappresentarle mediante i punti di una retta orientata.

Retta dei numeri:

Con le frazioni la corrispondenza numero-punto non è più biunivoca, ad un punto può corrispondere una classe di frazioni equivalenti (vedi slide 41)

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Torniamo alla biunivocità:

Se ogni classe di frazioni equivalenti viene considerata un’unica entità, ovvero un numero razionale, la corrispondenza punto-numero torna biunivoca.

Anche i razionali sono «numeri», sulla retta cominciamo a vederlo!

Che cosa intendiamo e cosa intendono i bambini quando diciamo che le frazioni o i decimali sono numeri? Che cosa è un numero?

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Questo non è solo un problema che possono porsi i bambini mentre imparano, la natura degli oggetti costruiti in aritmetica è stato infatti un grave problema anche per la comunità dei matematici nel corso dei secoli.

Un esempio:

Pascal considerava la sottrazione di 4 da 0 come una pura assurdità; nei Pensieri disse:

“Ho conosciuto anche chi non riesce a capire che togliendo quattro da zero rimane sempre zero”.

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