Risoluzione di triangoli Risoluzione di triangoli qualsiasiqualsiasi

Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso vogliamo trovare il terzo lato a.

Tracciamo l’altezza CH

CH = b sen AH = b cos

BH = AB - AH= c - b cos

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB

a2 = CH2 + BH2 = (b sen )2 + (c - b cos )2

a2 = b2 sen2 + c2 + b2 cos2 bc cos

aa22 = b = b22 + c + c22 bc cos bc cos

Ma: b2 sen2 + b2 cos2 b2 (sen2 + cos2 b2pertanto

HA

C

B

b

c

ab sen

c - b cos

Abbiamo così ottenuto il

Teorema di Carnot (o del coseno)Teorema di Carnot (o del coseno)In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo compreso.

aa22 = b = b22 + c + c22 bc cos bc cos

cc22 = a = a22 + b + b22 ab cos ab cos

bb22 = a = a22 + c + c22 ac cos ac cos

A

C

B

b

c

a

Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere un triangolo qualunqe, in due casi

• caso 1: dati due lati e l’angolo compreso

• caso 2: dati i tre lati

Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla relazione

a2 = b2 + c2 bc cos

possiamo ricavarebc

acb

2cos

222

e quindi poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e 1800 avente un dato coseno.

CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c,

ac

bca

2cos

222

ab

cba

2cos

222

da cui si ricava

da cui si ricava

cos222 bccba

a

A

C

B

b

c

CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, cCASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c

ac

bca

2cos

222

ab

cba

2cos

222

da cui si ricava

da cui si ricava

bc

acb

2cos

222 da cui si ricava

A

C

B

b

c

a

In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se cos , cos cos sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non esiste alcun triangolo che ha i tre lati quelli dati.

Vediamo ora un teorema che da la relazione tra un lato di un triangolo e l’angolo opposto.

A

B

C

Dato il triangolo ABC, costruiamo la circonferenza circoscritta e sia R il raggio.

Tracciamo il diametro BD passante per B. L’angolo BDC è congruente ad C perché entrambi insistono sull’arco BC

Il triangolo BCD è rettangolo in C, perché l’angolo BCD insiste su una semicirconferenza. Quindi

a = BD sen = 2R sen

Dunque otteniamo Ra

2sen

a

D

Abbiamo così ottenuto il

Teorema dei seniTeorema dei seniIn un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

sensensen

cba

A

C

B

b

c

a

Il teorema dei seni ci consente di risolvere un triangolo dato un lato e i

due angoli ad esso adiacenti.

CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c,

0180

sen

senca

sen

sencb

poiché dal teorema dei seni

dal teorema dei seni

A

C

B

b

c

a