Riassumiamo i concetti e le grandezze fisiche definite nella lezione precedente

La “finestra” radio

A

dA

z

d

sin d

d= d sin d

x

y

BrillanzaAbbiamo definito la Brillanza partendo dalla definizione di potenza infinitesima:

dW = B cos dA d d watt

B = B(, , ) watt m-2 Hz-1 rad-2

Brillanza Totale B’

B’ (,,, ) = B(,,)d

watts m-2 rad-2

Potenza Spettrale

dw = dW/d watt Hz-1

dw = dW/d = B (,,) cos dA d

+

Abbiamo anche visto che di norma la Brillanza B non dipende dalla posizione dell’elemento infinitesimo di superficie dA, e quindi si può portare fuori da questi integrali un termine A corrispondente alla superficie totale.

Distribuzione di Brillanza e pattern d’antenna

dDistribuzione di brillanza

Apertura efficace A e

dell’antenna

Pattern d’antenna Pn (,)

Lobo principale

Lobi secondari

Il pattern d’antenna normalizzato Pn è una misura della risposta dell’antenna in funzione degli angoli e . E’ normalizzata a 1 e non ha dimensioni. Nel caso di un’antenna, sostituisce il termine cos, utilizzato in precedenza per tenere conto della componente della superficie di raccolta perpendicolare alla direzione di incidenza della radiazione.

Half-pwer beam width

(HPBW)

w = ½ Ae B (,) Pn(,) d watt Hz-

1

Rappresentazioni del pattern d’antenna

Pn()

1

Lobo principale

Lobi secondari

Coordinate polari P(), e scala di potenza lineare

0 db

-10 db

-20 db

-3 db

Half-pwer beam width

0.25 0.50.3750.125

Half-pwer beam width

Coordinate rettangolari P(), e scala di potenza in decibel

Distribuzioni d’apertura e corrispondenti pattern d’antenna

Angolo solido del pattern d’antenna A= Pn(,) d rad2

Direttività D = Gmax = 4/A

Angolo solido del lobo principale MB= Pn(,) d rad2

Efficienza del beam MB = MB/A

Efficienza d’apertura A = Ae/Ag

4

MB

1.0

0.9

0.80.51.0

Efficienza d’apertura

Efficienza del beam

L’apertura efficace Ae e la Direttività D che abbiamo definito come:

D = Gmax = 4/A

sono connesse dalla formula:D = Gmax = 4Ae / 2

da cui:Ae A = 2

Sorgenti radio in relazione alla loro estensione angolare

•Sorgenti puntiformi ( 0)

•Sorgenti localizzate ( 1°)

•Sorgenti estese ( 1°) convenzione

L’integrale della Brillanza (,) esteso all’angolo solido della sorgente:

S = B(,) d

definisce la densità di flusso S

B(,) = Brillanza (watt m-2 Hz-1 rad-2)

d = sin d d (rad2)

S = densità di flusso (watt m-2 Hz-1)

La densità di flusso e si misura in Jansky:

1 Jy = 10-26 watt m-2 Hz-1

source

Se una sorgente è osservata con un’antenna con un pattern Pn(,), la densità di flusso misurata sarà in generale inferiore a quella reale:

S = B(,) Pn(,) d source

Se tuttavia la sorgente ha una estensione angolare piccola rispetto all’angolo solido del beam, così che sulla sorgente:

Pn(,) 1

allora la misura di S è attendibile, e se B è relativamente costante:

S B(,) source

Nel caso opposto, in cui source MB, se B è relativamente costante, potremo scrivere:

S B(,) MB

Relazione fra densità di flusso S e potenza W

In base a tutto quello che abbiamo visto in precedenza, la potenza W (in watt) ricevuta da un’antenna con un pattern Pn(,) da una sorgente avente un angolo solido source è:

W = ½ Ae B (,) Pn(,) d d

che, ricordando la definizione di densità di flusso diventa:

W = ½ Ae S d

e se il flusso S è costante su :

W = ½ Ae S watt

+

s

+

Radiazione di corpo nero

Radiazione di corpo nero

Sappiamo che la Brillanza della radiazione emessa da un corpo nero alla temperatura T è data dalla legge di radiazione di Planck:

B = (2 h 3/c2) / (eh/kT - 1 )

dove:

B = Brillanza in watt m-2 Hz-1 rad-2

h = costante di Planck (6.63 10-34 joule sec)

= frequenza in Hz

c = velocità della luce (3 108 m sec-1)

k = costante di Boltzman (1.38 10-23 joule °K-1)

T = temperatura in °K

(da notare che il rapporto h/kT è un numero puro)

Si osservi che il punto di massima brillanza si sposta verso lunghezze d’onda corte (alte frequenze) al crescere della temperatura (si veda più avanti la legge dello spostamento di Wien), e che l’area totale racchiusa sotto la curva, l’integrale della brillanza sullo spettro, cioè la brillanza totale, cresce fortemente con la temperatura (si veda più avanti la legge di Stefan-Boltzman).

Rappresentazione della legge di radiazione di Planck in scala logaritmica

B(

) w

att

m-2 H

z-1 r

ad-2

1012

106

1

10-6

10-12

10-18

10-14 10-10 10-6 10-2 104

Lunghezza d’onda m

1022 1016 1010 104

Frequenza Hz

Radiazione di corpo nero: La legge dello spostamento di Wien

Una caratteristica che è stata notata qualitativamente sullo spettro di corpo nero è che il punto di massima brillanza si sposta verso alte frequenze al crescere della temperatura. Una espressione quantitativa di questo spostamento può essere ottenuta imponendo la condizione di massimo relativo (dB/d = 0) alla funzione B():

2h/c2 [ 32(eh/kT – 1) - 3(h/kT)e h/kT ] = 0

nel caso in cui eh/kT >> 1, si ottiene:

h/kT = 3

cioè, la frequenza del punto di massima Brillanza è data da:

= 3kT/h

e, ponendo = c/, la lunghezza d’onda del punto di massima Brillanza e’ data da:

= hc/ekT

= 0.0048/T

Un valore più preciso, ottenuto senza adottare la semplificazione eh/kT >> 1 è:

= 0.0051/T

Radiazione di corpo nero: Legge di Stefan-Boltzman

La Brillanza totale di un corpo nero:

B’ = B() d watt m-2 rad-2

si ottiene integrando la formula di Planck:

B’ = 2h/c2 3 / (eh/kT - 1 ) d

Si ponga: x = h/kT, da cui:

= (kT/h) x e d = (kT/h) dx

sostituendo, si ha:

B’ = 2h/c2 (kT/h)4 x3 / (ex-1) dx

L’integrale è una costante, per cui:

B’ = T4

0

0

0

dove: B’ = Brillanza totale, watt m-2 rad-2

= 1.8 10-8 watt m-2 rad-2 °K-4

T = temperatura corpo nero, °K

Radiazione di corpo nero: approssimazione di Rayleigh-Jeans

A frequenze radio, si ha tipicamente: h kT e in questo caso nella formula di Planck, il termine eh/kT può essere approssimato:

eh/kT 1+ h/kT

da cui:

(eh/kT -1) 1+ h/kT -1 = h/kT

il che riduce la formula di Planck della Brillanza del corpo nero a:

B = 2h3kT/c2h = 2kT/2

Quindi, a frequenze radio, la Brillanza è proporzionale alla Temperatura:

B T

log log

Log

B

Planck

Rayleigh-Jeans

Radiazione di corpo nero: approssimazione di Wien

Nel caso di radiazione ad altissima frequenza, in cui h >> kT, nel termine a denominatore della formula di Planck si ha:

eh/kT >> 1 e h/kT - 1 eh/kT

e la formula di Planck si riduce a:

B = (2h3/c2) e -h/kT

log log

Log

B Planck

Wien

log log

Log

B Planck

Rayleigh-Jeans

Wien

Densità di flusso S di una sorgente discreta nell’approssimazione di Rayleigh-Jeans

Se si assume che la temperatura, e quindi la brillanza, è costante sull’estensione angolare s di una data sorgente, nell’approssimazione di Rayleigh-Jeans della legge di radiazione, il flusso S della sorgente è dato dalla:

S = (2kT/2) s Jy

Nel caso di distribuzione non uniforme di temperatura si avrà invece:

S = (2k/2) T(,) d Jy

Si può dimostrare che questa formula è valida non solo quando T(,) rappresenta la effettiva distribuzione di temperatura sulla sorgente, ma anche quando T(,) è la temperatura d’antenna osservata.

s

Temperatura di rumore

Sappiamo che la potenza di rumore per unità di banda disponibile ai capi di una resistenza R a temperatura T e data da:

w = kT watt Hz-1 dove: k = costante di Boltzmann

(1.38 10-23 joule K-1)

T = temperatura °K

R

T

Se sostituiamo la resistenza R con un’antenna che presenta ai suoi terminali la stessa impedenza R, la potenza di rumore disponibile ai suoi capi sarà quella dovuta alla Brillanza corrispondente alla temperatura T della regione da cui l’antenna sta ricevendo la radiazione, cioè:

w = ½ Ae B (,) Pn(,) d watt Hz-1

Se immaginiamo di chiudere l’antenna in una scatola nera a temperatura T, la Brillanza sarà costante in tutte le direzioni, e nell’approssimazione si Rayleigh-Jaens:

Bc = 2kT/2 w = (kT/2)Ae A

ma: AeA = 2 w = kT T w

TR

T

T

Pattern d’antenna

w = kT w = kT w = kT

(a) (b) (c)

Sebbene nel caso di un’antenna racchiusa in una scatola nera, la temperatura della struttura stessa dell’antenna è T, occorre rendersi conto che non è la temperatura della struttura dell’antenna che determina la temperatura della resistenza radiativa R dell’antenna. Questa è determinata dalla temperatura della regione emittente che l’antenna vede attraverso il suo pattern direzionale.

La temperatura della resistenza radiativa si chiama temperatura d’antenna TA

Dalla relazione:

w = ½ Ae B (,) Pn(,) d = kTA [1]

e dalla definizione di densità di flusso S di una sorgente:

S = B(,) Pn(,) d

si ottiene:

S = 2kTA/Ae TA = S Ae/2k

Quindi: osservando una radio sorgente di flusso S, misureremo una temperatura d’antenna TA proporzionale a S e all’area efficace Ae.

Se, in aggiunta, il cielo ha una temperatura media di background Tbg, quale sarà il contributo di questa componente alla temperatura d’antenna ? In questo caso, ponendo nella [1]:

B = 2kTbg(,)/2 (approssimazione di Rayleigh-Jeans)

e ricordando che AeA = 2, si ha:

TA = (1/A) Tbg Pn (,) d = Tbg MB/A

Cioè: la TA dovuta al background è tanto più vicina a Tbg quanto migliore è la efficienza del beam

Sensibilità: minima temperatura rivelabile

La minima temperatura rivelabile da un radiotelescopio è data da:

Tmin = Trms =

dove:

Tmin = minima temperatura rivelabile

Trms = rms della temperatura di sistema Tsys

Tsys = temperatura di sistema (TA + Tr + Tloss)

= larghezza di banda

t = intervallo di tempo di integrazione

n = numero di record mediati

Da questa formula per la temperatura si ricava la formula per il minimo flusso rivelabile, ricordando che S = 2kTsys/Ae

Tsys

t n

Esercizi

Nel sistema MKS, quale è l’unità di misura della Brillanza ?

L’unità di misura della Brillanza B è:

[B] = watt m-2 Hz-1 rad-2 (MKS)

Quale grandezza fisica si misura in Jansky e quale formula la collega alla Brillanza ? Quale è l’unità di misura del Jy ?

Il Jansky (Jy) è l’unità di misura della densità di flusso S definita dalla:

S = B(,) d source

Le unità di misura del Jansky sono: 1 Jy = 10-26 watt m-2 Hz-1 (MKS)

Specificate quale è il range tipico della finestra radio (in lunghezza d’onda e in frequenza) e indicate quali sono i fenomeni di assorbimento che la delimitano.

Limite inferiore: circa 10 MHz e limite superiore circa 600 GHz

Conversione in lunghezza d’onda: = c/, dove c ~ 3 x 108 m/s 10 MHz -> 10x106 Hz; = 3 x 108 /107 = 30 m 600 GHz -> 600x109 Hz; = 3 x 108 /6•1011 = 0.0005 m (1/2 mm)

A basse frequenza l’assorbimento è limitato dagli elettroni liberi della ionosferaAd alte frequenze da parte delle molecole nella troposfera, principalmente H2O e O2

BackgroundConcetto di frequenza di plasma: sappiamo che una nube di particelle cariche neutra (plasma), formata di elettroni e ioni, ha una sua frequenza caratteristica detta frequenza di plasma 0 = e (Ne/me)1/2

dove:0 = frequenza di plasmae = carica dell’elettrone 4.8x10-10 esuNe = densità di elettroni in cm-3

me = massa dell’elettrone 9.1x10-28 g

0 = 8.97 (Ne)1/2 kHz

Questa è in sostanza la frequenza naturale di oscillazione del plasma. Solo per le onde elettromagnetiche al di sopra di questa frequenza, il plasma è trasparente. Nel caso della ionosfera, Ne = 1.5 106 cm-3, per cui 0 = 10 MHz

L’emissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla temperatura di 225 °K. A quale frequenza si ha il picco di emissione ?

Usando la legge dello spostamento di Wien:

= 0.0051/T

si ha: = 0.0051/225 = 0.000023 m = 0.023 mm

= c / = 3 108/0.000023 13000 GHz

L’emissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla temperatura di 225 °K. Il diametro angolare della Luna è di 30’. Calcolate la densità di flusso in Jy ricevuta da un radiotelescopio che osserva alla frequenza di 10 GHz con un beam di 5’ di diametro.

Poiché stiamo osservando a una frequenza (10 GHz) molto più bassa del picco di emissione, possiamo stimare la Brillanza alla frequenza adottando l’approssimazione di Rayleigh-Jeans della emissione di corpo nero:

B() = 2kT/2 = 2 2 kT / c2

Da cui risulta:

B() = 2 (10109)2 1.38 10-23 225 / (3 108)2 = 6.9 10-18 Watt m-2 Hz-1 rad-2 Essendo la dimensione angolare del beam più piccola di quella della sorgente, la densità di flusso sarà data da:

S = B() beam

dove: beam = ( (δ)2), con δ = 2.5’

beam = 1.7 10-6 sr

da cui: S = B() beam = 1.7 10-6 x 6.9 10-18 = 1.2 10-23 Watt m-2 Hz-1 (1200 Jy)

L’emissione della Luna è rappresentata abbastanza bene da un corpo nero alla temperatura di 225 °K. Il diametro angolare della Luna è di 30’. Calcolate la densità di flusso in Jy ricevuta da un radiotelescopio che osserva alla frequenza di 10 GHz con un beam di 50’ di diametro.

Poiché stiamo osservando a una frequenza (10 GHz) molto più bassa del picco di emissione, possiamo stimare la Brillanza alla frequenza adottando l’approssimazione di Rayleigh-Jeans della emissione di corpo nero:

B() = 2kT/2 = 2 2 kT / c2

Da cui risulta:

B() = 2 (10109)2 1.38 10-23 225 / (3 108)2 = 6.9 10-18 Watt m-2 Hz-1 rad-2 Essendo la dimensione angolare del beam più grande di quella della sorgente estenderemo l’integrale di B alla sorgente. La densità di flusso sarà data da:

S = B() source

dove: source = ( (δ)2), con δ = 15’

source = 6.1 10-5 sr

da cui: S = B() source = 6.1 10-5 x 6.9 10-18 = 4.2 10-22 Watt m-2 Hz-1 (42000 Jy)

Fornire una definizione qualitativa e una quantitativa di main beam efficiency di una antenna

In termini qualitativi, la main beam efficiency, cioè l’efficienza del beam ( o lobo) principale, è una misura di quanta dell’energia totale irradiata (o ricevuta –teorema di reciprocità) dall’antenna è effettivamente irradiata (ricevuta) nel beam principale. La definizione operativa è quindi:

MB = MB/A

dove: MB = MB Pn (,) d

A = 4 Pn (,) d

Fornire le definizioni di efficienza d’apertura di un’antenna, e direzionalità, spiegarne il significato e descrivere la relazione fra queste due grandezze fisiche

L’efficienza d’apertura A è il rapporto fra l’apertura efficace Ae e l’apertura geometrica Ag , cioè:

A = Ae / Ag

e tiene conto quindi per esempio dell’effettiva illuminazione del riflettore da parte del feed.

La direzionalità è definita come: D = 4/ A

è legata all’apertura efficace Ae dalla relazione:

A = 2/Ae e cioè:

D = 4 Ae / 2