Prof.ing. Mauro Prof.ing. Mauro Coni Coni (( Metodologie di ......sottofondi, della tipologia di...

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1. Metodi di verifica e dimensionamento

2. Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali

3 Il metodo di Ivanov o della massima deflessione

Università degli Studi di CagliariUniversità degli Studi di CagliariSOVRASTRUTTURE SOVRASTRUTTURE DIDI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTISTRADE, FERROVIE ED AEROPORTIProf.ing. Mauro Prof.ing. Mauro ConiConi ((http://web.tiscali.it/mauroconi/)http://web.tiscali.it/mauroconi/)

Metodologie di calcolo

3. Il metodo di Ivanov o della massima deflessione

4. Metodo agli elementi finiti

5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione

1. Metodi e fattori del dimensionamento

Il calcolo delle pavimentazioni stradali ha originato una molteplicità di metodi che possono essere raggruppati in:MetodiMetodi empiricoempirico--sperimentalisperimentali:: derivano dalle indagini condotte su piste sperimentali e dalle correlazioni trale deformazioni o i decadimenti misurati sulla pista con le condizioni di carico imposte (numero e peso degli assi), gli


spessori degli strati, le caratteristiche dei materiali e dei sottofondi. I risultati vengono presentanti come abachi,tabelle e equazioni interpolanti i dati sperimentali e utilizzabili in fase progettuale. Il metodo empirico per eccellenza èquello proposto dall’AASHTO che, a partire dagli anni ’60, ha messo a punto un espressione analitica che interpretauna notevole serie di misure sperimentali. L’espressione è stata recentemente (’93) aggiornata introducendo alcuneimportanti modifiche che la rendono più “razionale” (alcuni coefficienti possono essere ricavati direttamente dalleteoria della meccanica del continuo) e innovativa con l’introduzione del modulo resiliente per caratterizzare ilsottofondo e, soprattutto, del concetto di “affidabilità”

Metodi semiMetodi semi--empirici:empirici: derivano da un’analisi teorica semplificata all’interno della quale vengono introdotti parametri e coefficienti correttivi per ottenere la massima rispondenza tra il modello teorico e i dati misurati. Tra questi si ricordano il metodo di del CBR, di Goldbeck e dell’Indice di gruppo.MetodiMetodi razionalirazionali:: i metodi precedenti hanno il pregio di derivare da indagini sperimentali ma cadonoin difetto poiché non consentono di tener conto di molti parametri come la frequenza di carico, latemperatura, le condizioni di vincolo, il reale comportamento elasto-plasto-viscoso dei materiali, ladirezione e dinamicità dei carichi, etc. Tra i metodi razionali hanno grande importanza il metodo delmultistratomultistrato elasticoelastico (del quale verrà analizzata un’applicazione proposta da IvanovIvanov) e più recentementeil metodometodo agliagli elementielementi finitifiniti FEMFEM. Il primo, ricorre ad una serie di ipotesi semplificative, per dedurrealcune semplici equazioni risolubili in modo iterativo. Nel metodo FE si rinuncia alla precisioneassoluta dei risultati al di fuori dell’elemento finito ma in compenso non esistono limitazioninell’analizzare qualunque configurazione di carico, di materiali, vincoli, etc., anche le più bizzarre.

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1. Metodi e fattori del dimensionamento

•Spessore degli strati (si)•Caratteristiche dei materiali (ai, di, Ei, i, etc.)•Vita utile (n, Nu, etc.)•Caratteristiche del sottofondo (CBR, K, Md, Mr, etc.)

Tutti i metodi di dimensionamento considerano come dati di ingresso i seguenti parametri:


•Caratteristiche degli assi (Ceq, P, d, etc.)•Entità del traffico (TGM, p%, pl, na, pd, N, r, etc.)•Sollecitazioni termiche (T, Tm, etc.)•Condizioni ambientali (pioggia, vento, irragg., etc.)•Decadimenti, sforzi e deformazione limite (n, n, PSI, fatica, freccia limite, etc.)

r

rnCdpppTGMN

n

aeqld

1)1(365

fpa

arcns

2

8 21

1

2

8

33 51

tan

8.072.32logM

1SN10940.40

1.54.2∆PSIlog

0.201SN9.36logSZlogW R

5.19

0R18

f

En a

8

3

2 2 30

3 5.

Molto utili in fase di predimensionamento risultano essere i cataloghi delle pavimentazioni, che propongono una serie di soluzioni preordinate in funzione dell’entità del traffico, dei sottofondi, della tipologia di sovrastruttura e strada. In Italia è stato redatto dal CNR il “Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali”BU 168/95.



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6

Ad esempio, per stradestrade extraurbaneextraurbane principaliprincipali a forte traffico, una sovrastruttura flessibile avrà gli stratisuperficiali di 5 e 6 cm, la base compresa tra 14 e 23 cm, la fondazione di 15 cm; nel caso sia di tiposemirigido lo strato di usura è di 5 cm, quello di collegamento variabile tra 5 e 11 cm, la base in mistobitumato assente o, se presente, fino a 10 cm, la base in misto cementato compresa tra 20 e 30 cm, lafondazione assente; infine se di tipo rigido sarà realizzata una lastra di 22 - 25 cm armata o no, poggiatasu di uno strato di misto cementato di 15 cm e una fondazione di misto granulare di 15 cm. Ciascun tipo

2.- Il Catalogo Italiano delle Pavimentazioni Stradali


su d u o s a o d s o ce e a o d 5 c e u a o da o e d s o g a u a e d 5 c C ascu podi sovrastruttura è caratterizzato da meccanismi di rottura differenti. Per le sovrastrutturesovrastrutture flessibiliflessibiliaccade spesso che i fenomeni di fatica siano quelli che generalmente portano a collasso l’infrastruttura.Questi si manifestano con fessure che, partendo dall’interfaccia tra strato di base e fondazione, sipropagano verso l’alto sino ad interessare gli strati superficiali; con il progredire del fenomeno la miscelasi degrada perdendo le caratteristiche meccaniche iniziali e riducendo la portanza dell’intera opera. Perquesto tipo di sovrastrutture è importante evitare l’accumulo eccessivo di deformazioni plastiche conl’insorgere di ondulazioni, buche e ormaie. Più rara è la rottura per punzonamento che si manifesta conuno sfondamento repentino della superficie viabile. Nelle pavimentazionipavimentazioni semirigidesemirigide i fenomeni sono piùcomplessi. Talvolta si assiste a una fessurazione diffusa riconducibile al basso contenuto di legante eall’applicazione dei carichi quando ancora non è completo il processo di maturazione del materiale. In altria app ca o e de ca c qua do a co a o è co p e o p ocesso d a u a o e de a e a e acasi si assiste ad una fessurazione localizzata che si produce nel materiale a causa del ritiro e dellesollecitazioni termiche. Tali fessure sono regolarmente distribuite di ampiezza ed interasse costante, infunzione delle caratteristiche del materiale e delle condizioni climatiche in esercizio. Uno stato critico siverifica quanto tali fessure si propagano allo strato superiore di conglomerato bituminoso. Lepavimentazionipavimentazioni didi tipotipo rigidorigido in lastre di conglomerato cementizio manifestano una più varia gamma diammaloramenti. La fessurazione delle lastre può essere conseguenza dai fenomeni di ritiro igrotermico,imputabile all’eccessivo distanziamento dei giunti di contrazione. La insufficiente portanza del piano diposa della lastra determina una fessurazione estesa, con la formazione di blocchi separati, o in prossimitàdel giunto di fenomeni di fatica.

3. Metodo di Ivanov o della massima deflessioneNegli anni sono stati messi a punto una serie di metodi razionali per il calcolo delle sovrastrutture chehanno come punto di partenza l’impostazione data da Boussinesq. Una di queste metodologieparticolarmente diffusa è dovuta a Ivanov e si basa sul criterio di limitare la massima deflessione che siverifica al termine della vita utile sulla pavimentazione. Il metodo si sviluppa dapprima attraverso lasemplificazione delle espressioni proposte da Boussinesq, arrestando al primotermine il loro sviluppo in serie. In particolare per le tensioni verticali sia ha: z

p

2


termine il loro sviluppo in serie. In particolare per le tensioni verticali sia ha: z z

a

1

8

3 2

2

fE

dzpa

Ez

0 8 3/La freccia massima vale:

2

8

3

2

f

pa

E

pd

E

2posto risulta

Consideriamo ora un doppio strato:

Il valore differisce da quello già calcolato per ladeterminazione del modulo E valida per un caricotrasmesso da piastra rigida.

)1(2

2

E

paf

Il cedimento totale sarà la somma di quello dovuto allot t di di ll d ll’ istrato di spessore s1 e di quello dell’ammasso semi-

infinito

con

f f fE

dzE

dzns

s

1 01

1

0

00 1

1

z

p

nz

a

1

8

3 2

2

7

In genere, a favore delle sicurezza, si pone:

È stato introdotto un parametro nn di equivalenza tra il modulo EE00 dell’ammasso e il modulo EE11 dellostrato 1 di spessore s1. In altri termini il problema sarebbe ricondotto al caso di ammasso semi-infinitose fosse possibile sostituire allo strato 1 di modulo E1 uno strato di spessore ns1 di modulo E0, con glistessi cedimenti totali. Si tratta di porre in eguaglianza i due cedimenti nelle due differenti situazioni.

E13 n

E 1

2 5In base della teoria dell’elasticità

il t l


3. Metodo di Ivanov o della massima deflessione

In genere, a favore delle sicurezza, si pone: nE

1

0

3 nE

0

2 5.nn assume il seguente valore:

Svolgendo le integrazioni e sommando si ottienef

pa

En

arcns

a

2

8

3

21

1

2

8

30

3 51

. tan

Il metodo procede con il calcolo del cosiddetto modulomodulo equivalenteequivalente, ossia del modulo di uno stratosemi-infinito Ee con lo stesso cedimento di uno strato s1 E1 poggiante su un mezzo semi-infinito E0.In altri termini: f(f(EE00,a) ,a) strato strato seminfinitoseminfinito = f(= f(EE00, , EE11,, ss11,,a,n) a,n) doppio stratodoppio strato

Dalla soluzione di questa equazione si ha:

EE

narc

ns

a

e'

. tan

0

3 511

21

1

2

8

3

Da questa espressione deriva la definizione del modulo di elasticità di un ammasso indefinito fittizioequivalente all’insieme del sottofondo e dello strato di spessore s1. Il metodo è suscettibile di iterazione,consentendo così di sostituire ad un insieme di più strati un ammasso ideale indefinito.

Tuttavia, Ivanov suggerisce di utilizzare l’espressione:

ans

n

EE e

2arctan

11

21 1

5.3

0'



pdf

eEf

8

Si procede dal basso verso l’alto trasformando lostrato più profondo (s1, E1) e l’ammasso sottostante(E0) in un ammasso indefinito equivalente (Ee).Questo poi verrà combinato con il penultimo strato(s2, E2), e così via fino all’ultimo strato.Quanto illustrato è valido nell’ipotesi che il carico per



E d E d E d E de e p0 0 1 2 ' ' '

Quanto illustrato è valido nell ipotesi che il carico perciascun bistrato sia distribuito su un area circolare didiametro d. Il calcolo può avere una diversaimpostazione, considerando che le pressioni sidistribuiscano secondo una particolare legge.Nell’ipotesi che la freccia rimanga costante e che lepressioni si distribuiscano uniformemente si ha:

In questo caso il calcolo inizia dall’alto fissando Ep e di, valutando ogni volta il valore di si/di. Il valoredi viene fornito dalla precedente espressione. Si troverà un valore per il modulo del sottofondo chedovrà risultare inferiore a quello che effettivamente si riscontra nella realtà, altrimenti occorreràripetere la verifica modificando gli spessori e i moduli degli strati. Quest’ultima impostazione è piùcautelativa della precedente in quanto a parità di E0 conduce ad un valore di Ep inferiore.Il calcolo può essere agevolmente condotto con l’impiego dell’abaco di Kogane. In funzione delrapporto s1/d e E0/E1 si individua sull’abaco un punto. Si assume come valore Ee/E1 quello della curvache meglio approssima il punto. Si ripete il calcolo con s2/d ed Ee/E2 e così via per tutti gli stratipervenendo in tal modo al modulo equivalente dell’intera sovrastruttura.



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Per poter condurre il calcolo di verifica occorrerà confrontare il modulo equivalente così determinatocon il modulo di progetto globale che la sovrastruttura dovrà possedere in relazione al tipo di strada, ditraffico e dei materiali impiegati. Tale modulo potrà essere determinato sulla base delle espressioni giàviste che lo legano alla massima deflessione dello strato superficiale. Questa a sua volta dipenderà dalnumero di assi equivalenti N che si ipotizza transiteranno sulla strada.

p pressione di gonfiaggio del pneumatico (circa 8 daN/cm²) pd



p pressione di gonfiaggio del pneumatico (circa 8 daN/cm )

d diametro di impronta supposta circolare (circa 30 cm)

f freccia massima ammissibile

La freccia massima ammissibile risulta dipendente da numero N di assi equivalenti all’asse standard (in un giorno e per corsia) che transiteranno sulla strada all’anno n, termine della vita utile.

Esistono diverse formule che esprimono questo legame. Una di queste è la seguente:

f

pdEe

f N 0 1 7 0 0 2 6. . lo g ( )

Il porre un limite superiore alla massima deflessione corrisponde ad limitare inferiormente il modulo di progetto dell’insieme sovrastruttura-sottofondo.

Se, ad esempio, si ipotizzano 1500 assi equivalenti da 10 t, la massima freccia ammissibile sarà:

mentre per il modulo di progetto è:

f cm 017 0 026 1500 017 0 0826 0 0874. . log( ) . . .

Epd

f

daN

cmp

8 30

0 08742746 2.

Ivanov propone per Ep i valori in tabella:

In sintesi il metodo procede secondo il seguente schema:



INPUT:INPUT: OUTPUT:OUTPUT:spessori degli strati ssii

moduli degli strati EEii modulo equivalente EEeemodulo del sottofondo EE00 della sovrastruttura

La verifica sarà positiva quando: EEe e > E> Epp

seguente schema:

StatoStato tensionaletensionale neglinegli stratistrati delladella sovrastrutturasovrastruttura secondosecondo lala teoriateoria deldel multistratomultistrato elasticoelasticoOltre ai carichi derivanti dal traffico è stato illustrato come anche le escursioni termiche stagionaliinducono stati tensionali notevolmente variabili. Il comportamento del conglomerato bituminosodipende oltre che dai carichi, dalla temperatura, dal numero di ripetizioni del carico e dalla lorofrequenza.Numerosi studi anno mostrato che nel periodo invernale, in cui si verificano degli strati bitumatimoduli più elevati, le maggiori sollecitazioni per trazione si verificano sul piano inferiore dello strato dibase, mentre sulla superficie del manto si verificano tensioni di compressione. Inoltre durante la fase difrenata la superficie del manto e sottoposta a sollecitazioni di trazione.

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Il metodo di seguito riportato consente di ricavare la massimatensione di trazione per flessione alla base di uno strato si spessores1 e modulo E1, nell’ipotesi che poggi su un piano posa di moduloEe. Il metodo ha il pregio di essere collegato a quello di Ivanov.Supponiamo di aver determinato attraverso questo metodo ilmodulo Ee tra gli strati di base e fondazione. Il seguente abaco



fornisce il valore di rr (valore massimo della trazione incorrispondenza dell’asse del carico). I dati di partenza sono:

EE11/E/Eee rapporto tra modulo degli strati superficiali e modulo equivalente dello strato su cui poggiano;

ss11/d/d rapporto tra lo spessore strato superficiale e il diametro dell’area impronta, supposta circolare;

p p massima pressione di gonfiaggio

Nell’ abaco si parte con s1/d sino alla curva relativa al valoredi E1/Ee. Sull’asse delle ordinate è possibile leggere il valoredella adimensionale, da cui ricavare

Nello stesso diagramma sono riportate le rette di pp cheforniscono direttamente il valore di Tale valore deveessere confrontato con quello ammissibile Rr che, sulla basedi indagini sperimentali, può assumersi in base al seguentediagramma in funzione dell’intensità del traffico pesante.

La verifica sarà positiva quando: r Rr

r r p

r

Progetto di una sovrastruttura semirigida per una strada extraurbana secondaria ordinaria CARATTERISTICHE DELLA CORRENTE VEICOLARE traffico giornaliero medio 16800 vita utile 30 traffico commerciale 0.15 traffico per senso di marcia 0.50



traffico per senso di marcia 0.50traffico per corsia lenta 0.95 dispersione delle traiettorie 0.80Coeff. equivalenza veic.commerciale - asse standard 0.625 tasso di accrescimento annuo del traffico 0.02 Modulo di deformazione del sottofondo Md 420 Kg/cm² (CBR 8%)

Numero dei cicli di carico equivalenti all’anno iniziale:

Numero dei cicli di carico equivalenti anno finale:

218453625.080.095.050.015.0168003650 N

395696)02.01(218453 30 nNq

Numero assi equivalenti per giorno e per corsia all'anno finale:

Numero di assi cumulati durante la vita utile:

)(n

1084365/395696 nNg

886220103.0

1)02.01(218453

1)1( 30

0

r

rNN

n

c

Numero di veicoli cumulati durante la vita utile:(valore di ingresso nel Catalogo Italiano delle Pavimentazioni)

14179522625.0

8862201/ eqcc CNVC

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In genere non si ha l’esatta corrispondenza tra i dati in ingresso e quelli cheil Catalogo propone. Occorrerà scegliere la soluzione che più si avvicinarimandando ai calcoli specifici l’eventuale riduzione o incremento deglispessori. La soluzione del Catalogo che più si avvicina ai dati del nostroesempio (Strada extraurb. Second. ordinaria VCc=14 .179.522, Md = 420kg/cm2, CBR = 8%) è quella mostrata in figura:



kg/cm , CBR 8%) è quella mostrata in figura:

3.1758

152

09.620arctan)

09.6

11(

21

273

2arctan)

11(

21

09.6273

25000

5.35.3

0

5.25.21

a

sn

n

EE

E

En

e

e

27342065.065.00 dME

Il modulo di elasticità E del sottofondo è assunto pari a:

1a iterazione

1758

16.21758

120005.25.2

1

E

E

En

e2a iterazione

Poiché lo strato di usura èsoggetto a “consumo” da parte

N.B. Tutti i valori sono N.B. Tutti i valori sono in cm e kg/cmin cm e kg/cm22

0.2669

15216.29

arctan)16.21

1(2

1

1758

2arctan)

11(

21 5.35.3

0

asn

n

EEe

3.3194

15282.15

arctan)82.11

1(2

1

2669

2arctan)

11(

21

82.12669

12000

5.35.3

0

5.25.21

asn

n

EE

E

En

e

e

3a iterazione

soggetto a consumo da partedell’azione veicolare, sipreferisce non considerare il suocontributo alla rigidezzacomplessiva della sovrastruttura

La freccia ammissibile al termine della vita utile vale:

28.2634

0911.0

308

cm

kg

f

pdEp

è EE > E> E ( 3195 > 2635 )( 3195 > 2635 )

cmf 0911.0)1084log(026.017.0



La verifica è positiva: EEe e > E> Epp ( 3195 > 2635 )( 3195 > 2635 )La tensione r alla base dello strato in misto bitumatosarà determinata, a partire dai rapporti: E1/ Ee =12000/1759 = 6.82 s1 /d =9/30 = 0.3 per i quali l’abaco

Sullo strato di binder siha: E1/ Ee = 12000 / 2667= 4.5 s1 /d = 5/30 = 0.167l’abaco fornisce r = 11.6

fornisce r= 14.4 Kg/cm²

I valore di resistenza ammissibile

non risulta verificatonon risulta verificato per lo strato di base dove si verifica una

t = 14.4 maggiore del valore ammissibile di 12.0 kg/cm2

rKg/cm²

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Nonostante la verifica, secondo il metodo di Ivanov ,sia positiva, lo stato tensionale r supera il limiteammissibile Rr. È necessario modificare la soluzione iniziale al fine di ridurre lo stato tensionale sulmisto bitumato. Si può procedere in diversi modi:

• Modificare i rapporti di input all’abaco;• Migliorare le prestazioni dei conglomerati bituminosi;• Aumentare lo spessore di misto bitumato;



Aumentare lo spessore di misto bitumato;• Modificare gli spessori degli strati;• Migliorare il modulo di elasticità del sottofondo;• Introdurre lo strato di fondazione.

Alcune considerazioni possono aiutare nella scelta:• Aumentare lo spessore del misto bitumato significa modificare il rapporto s1 /d = 0.3 in ad es. 0.5. In

questo caso sarà necessario uno strato di 15 cm di m.b. con un aggravio notevole dei costi.• Aumentare la rigidezza del piano di posa su cui poggia il m.b. da 1759 ad es. a 3000. Ciò può essere

fatto modificando lo spessore del m.c. (diventerebbe di circa 35 cm) o in modo più economicointroducendo uno strato di fondazione di 20 cm.

• Migliorare le caratteristiche del misto bitumato ad esempio introducendo bitumi modificati con undiscreto incremento di costo

In sintesi la deficienza della pavimentazione analizzata nell’esempio può ricercarsi nella mancanza dello strato di fondazione..

4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradaliLa teoria del multistrato elastico, della quale il metodo di Biroulia-Ivanov precedentemente espostorappresenta una delle applicazioni più diffuse, è stato nel corso degli anni esteso fino a comprenderecondizioni di carico più complesse. Oggi sono disponibili codici di calcolo che consentono di valutare inqualsiasi punto della sovrastruttura tensioni e deformazioni derivanti da qualsiasi configurazioni deicarichi esterni. Questa analisi viene correntemente utilizzata per valutare il contributo di ciascunostrato alla resistenza complessiva ed ottimizzare in tal modo il comportamento strutturale della


strato alla resistenza complessiva ed ottimizzare in tal modo il comportamento strutturale dellasovrastruttura. Nonostante il metodo offra efficienti risoluzioni alla determinazione dello stato tenso-deformativo, esso presenta ancora numerose vincoli che limitano il suo campo di applicazione:

1. l’impossibilità di analizzare pavimentazioni di dimensioni finite; ciò può essere trascurato nellesovrastrutture flessibili e semirigide, per carichi lontani dal bordo, in quanto la dimensionelongitudinale può essere considerata indefinita. Nelle lastre in calcestruzzo di tipo tradizionaletale approssimazione introduce errori non trascurabili; in esse inoltre non è possibile studiarel’effetto della presenza dei giunti o d possibili lesioni;

2 l’impossibilità di valutare le conseguenze di una parziale perdita del contatto tra i diversi strati2. l impossibilità di valutare le conseguenze di una parziale perdita del contatto tra i diversi stratidella sovrastruttura, a causa delle deformazioni plastiche del sottofondo. Questo aspetto limitaulteriormente l’applicazione del metodo sovrastrutture rigide e in misura ancora maggiore se inpresenza di fenomeni di pumping o di deformazioni termiche;

3. l’impossibilità di condurre il calcolo in presenza contemporaneamente di carichi esterni egradienti termici;

4. l’eccessiva approssimazione del modello conseguente all’introduzione del sottofondo come unsemispazio elastico.

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Tali limitazioni sono state superate con la messa punto di codici di calcolostrutturale agli elementi finiti. I numerosi modelli sviluppati possonoclassificarsi in base alla schematizzazione operata:

1. modello a lastra: la sovrastruttura viene considerata una lastra sottiledi dimensioni finite poggiante su un sottofondo alla Winkler; questo


4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali4. Il metodo agli elementi finiti nelle sovrastrutture stradali

consente di tenere conto del grado di compartecipazione delle lastre,delle loro deformazioni termiche anche nel caso di parziale contattotra la lastra e il piano di posa;

2. modelli bidimensionali: la sovrastruttura viene analizzata nella suasezione trasversale; con tale schematizzazione non è possibile tener inadeguato conto della presenza dei giunti, così come non è possibileintrodurre componenti di carico longitudinali che simulano azionitangenziali di accelerazione o decelerazione;

3 d lli i l i t i i i ti l t tt i3. modelli assialsimmetrici: in questi la sovrastruttura vieneschematizzata come un sistema multistrato a simmetria rotazionalecaricata assialmente; anche in questo caso non è possibile considerarela presenza di discontinuità o di lastre caricate sul bordo;

4. modelli tridimensionali: in questi essendo possibile inserire l’effettivaconfigurazione geometrica e di carico forniscono i risultati piùaccurati e completi. La sua elevata complessità e onere di calcolo fa siche non trovi applicazione nei normali lavori di routine.

L’importanza di questi metodi risiede nella varietà delle situazioni che possono essere studiate,consentendo uno studio più approfondito dell’influenzadell’influenza delledelle discontinuità,discontinuità, didi lesioni,lesioni, didi giunti,giunti, statistati didideformazionedeformazione termica,termica, presenzapresenza didi materialimateriali aa comportamentocomportamento nonnon lineare,lineare, etcetc.

I metodi agli elementi finiti sono una serie di tecniche atte ad approssimare le equazioni differenzialiche governano un sistema continuo con un sistema di equazioni algebriche in un numero finito dii it Il di ti t di è d t tt tt ll f ilità i i



incognite. Il successo di questi metodi è dovuto, soprattutto, alla facilità con cui essi possono esseretradotti in programmi di calcolo, nonché alla versatilità nella geometria del mezzo continuo modellato,dei possibili carichi agenti, dei vincoli, dei materiali, etc., ma anche all’attendibilità dei risultatiottenibili. Il primo passo è rappresentato dalla discretizzazione del mezzo continuo in oggetto. Si trattadi suddividere il dominio in sottodomini, detti elementi finiti, e scegliere dei punti chiamati nodi sulconfine di elementi contigui o all’interno degli elementi. Gli spostamenti e/o gli sforzi nei nodi sono leincognite, mentre in un punto generico lo stato tenso-deformativo viene dedotto dalle variabili nodalimediante interpolazione. Infine le equazioni algebriche risolventi sono generate mediante l’impiego diun principio variazionale (ad esempio il Principio delle Minima Energia Potenziale Totale).

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PrincipiPrincipi generaligenerali deldel metodometodo deglidegli spostamentispostamenti..Nel metodo degli spostamenti si assumono come incognite parametri di spostamento in certi punti.Noti questi, mediante le relazioni di congruenza si valutano le deformazioni e da queste gli sforzi inbase alle leggi costitutive dei materiale.Il Principio delle Minima Energia Potenziale Totale assicura che l’energia potenziale totale della



c p o de e e g o e e o e ss cu c e e e g po e e o e destruttura discretizzata è maggiore di quella corrispondente alla deformazione effettiva. Al crescere delnumero degli elementi l’energia potenziale totale converge al suo valore esatto.Nel metodo degli spostamenti la matrice di rigidezza dalla struttura viene costruita sovrapponendo perogni nodo il contributo della matrici di rigidezza dei singoli elementi.

1. Fasi del metodo:

2. discretizzazione del corpo, cioè scelta di elementi tra loro connessi in certi punti nodali;

3. determinazione delle matrici di rigidezza degli elementi e dei vettori di forza nodali;

4. assemblaggio delle matrici di rigidezza degli elementi e dei vettori delle forze nodali per l’intero . sse b gg o de e c d g de deg e e e e de ve o de e o e od pe e o

sistema di elementi e nodi (equazioni del sistema);

5. introduzione delle condizioni al contorno;

6. soluzione delle equazioni risultanti;

7. calcolo delle deformazioni e degli sforzi in base agli spostamenti nodali.

SempliceSemplice esempioesempio numericonumerico..Il metodo agli elementi finiti viene illustrato con riferimento ad un casoestremamente semplice di cui si conosce la soluzione esatta, ossia quello di un’astaa sezione uniforme A incernierata ad un estremo, soggetta al peso proprio e a unaforza assiale, F, nell’altro estremo. La trattazione viene condotta in campo



elastico, nell’ipotesi, quindi, di perfetta linearità tra sforzi e deformazioni. Si èstabilito un sistema di riferimento globale diretto come l’asta e con origine nellacerniera. Si farà ricorso, inoltre, ad un sistema di riferimento locale, valido cioèper ciascun elemento, con origine nel primo estremo dell’elemento finito. Con edE si sono indicati il peso specifico e il modulo di elasticità del materiale.

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La (5) e la (6) rappresentano laformulazione esatta del problema.Applichiamo ora un principio variazionale;uno dei più utilizzati è il Principio della



Minima Energia Potenziale p “L’energiapotenziale di una qualunqueconfigurazione deformata, equilibrata econgruente, rappresenta un limitesuperiore alla p della soluzione esatta”.

L’espressione dell’energia potenziale nel nostro esempio è fornita da tre contributi. Il primo esprimel’energia accumulata sottoforma di deformazione elastica del generico elementino; il secondorappresenta la perdita di energia potenziale per l’abbassamento di tale elementino; infine, il terzocontributo è l’energia potenziale persa per l’abbassamento del punto di applicazione della forza F.

SoluzioneSoluzione approssimataapprossimata..Operiamo ora un discretizzazione agli elementi finiti.Suddividiamo l’asta L in tre elementi di lunghezza l. Esprimeremolo spostamento di un nodo interno in funzione degli spostamentinodali, ipotizzando per esso un andamento lineare tra i dueestremi i e j Talvolta si utilizzano funzioni di tipo quadratico o di



estremi i e j. Talvolta si utilizzano funzioni di tipo quadratico o diordine maggiore, che consento di ottenere risultati più precisi mache aumentano i gradi di libertà del sistema.

Nell’ipotesi di deformazione lineare a tratti, si può scrivere la relazione che lega il generico spostamento di un punto agli spostamenti dei punti estremi dell’elemento a cui appartiene:

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Occorre ora ricercare l’insieme di valori di u2, u3, u4 che renda minimo il valoredell’energia potenziale p del sistema. Questo può essere fatto imponendo che:



ConfrontoConfronto tratra lala soluzionesoluzione esattaesatta ee quellaquella approssimataapprossimata..

Il diagramma a lato mostra il confronto tra la soluzione esatta equella approssimata. In ascisse è riportata la posizione corrente x inun dato punto mentre in ordinate il valore assunto dallospostamento u



Se per esempio l’asta fosse una barra d’acciaio di FeB44 K Ø18,sollecitato da una forza di 1000 kg, della lunghezza di 6 m, si avrebbe:A = 2.54 cm² F = 1000 kg L = 600 cml = 200 cm E = 2060000 kg/cm² = 0.00785 kg/cm34

spostamento u.

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Se è presente una differenza di temperatura t, il legame - diviene: con

Ripercorrendo gli sviluppi già illustrati nel precedente caso si ha:

che integrata fornisce:

Ex

xx

0 txx 0

txLE xxx )(10

txx

Lxxu

)(1 2



g

I calcoli procedono poi come già mostrato. L’esempio illustrato è estremamente semplice sia per lageometria e le caratteristiche dei materiali, sia per il numero di nodi ed elementi utilizzati. Nella realtàuna sovrastruttura stradale è un sistema tridimensionale con una geometria abbastanza semplice macostituito da materiali elesto-plasto-viscosi. Nel passare dal caso monosimensionale a quellotrimensionale le relazioni (1), (2), (3), (4) divengono:

txLxxE

u x

)2

(

vwvx

v

y

u

x

uxyx

1) Equazioni di equilibrio: 2) Legame costitutivo del materiale:

3) Relazioni di congruenza:

0

0

0

zzzyzx

yzyyxy

xzxxyx

bxyy

byxy

byyx

zx

yz

xy

x

x

x

zx

yz

xy

x

x

x

simm

1

01.

001

00021

2

00021

2

21

)1(2

00021

2

21

2

21

)1(2

x

w

z

u

z

wz

v

y

w

y

v

zxz

yzy

nmlp

nmlp

nmlp

zyzzxz

yzyxyy

zxxyxx

4) Condizioni al contorno:

L’espressione dell’energia potenziale diviene in tal caso molto più complessa cosìcome il numero dei gradi di libertà del sistema cresce enormemente (non è raro ilcaso di sistemi con oltre 50.000 componenti di spostamento nodali). È per talemotivo che i metodi agli elementi finiti hanno potuto essere efficientementesviluppati solo con l’avvento dei moderni elaboratori elettronici. Nel caso di stato disforzo piano gli elementi utilizzati sono rettangolari o triangolari di vario ordine, così



p g g g ,come nelle strutture tridimensionali vengono spesso utilizzati elementi tipo brick,prismatici o tetraedrici. Le immagini mostrano alcuni elementi finiti usati.

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Per meglio comprendere come si distribuiscono gli sforzi e ledeformazioni, vengono riportati i risultati della simulazione FEMdi una sovrastruttura semirigida sollecitata da un asse standard di12 t. Le analisi si basano sull’ipotesi di comportamento elasto-plastico dei vari strati, rappresentabile tramite il modello

C AG



DRUCKER-PRAGER.

Il materiale non modifica le sue capacità durante ilprocedere della sollecitazione, non è soggetto cioèad incrudimento. Per i segni degli sforzi e delledeformazioni, si fa riferimento alle usualiconvenzioni della scienza delle costruzioni dove glisforzi di trazione e le deformazioni diallungamento vengono considerati positivi. Si devesottolineare che le sollecitazioni, soprattutto neiprimi elementi degli strati superficiali, sonoestremamente sensibili alle modalità diapplicazione del carico e in particolare allarigidezza del sistema utilizzato per trasmetterlo. Lecaratteristiche della sovrastruttura semirigidaanalizzata sono mostrate in figura.

Sulla superficie grava un carico di 120.000 N (12 t), ripartito sulle4 aree di impronta dei battistrada delle ruote gemellate checostituiscono l’asse standard. L’elemento finito scelto perrappresentare il materiale e la geometria della pavimentazione èun elemento tipo PLANE La geometria del modello è mostrata


5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione

un elemento tipo PLANE. La geometria del modello è mostratain figura.

La struttura è statasupposta incastrata sulpiano inferiore delsottofondo e semplicementeconfinata sui contornilaterali.

Il metodo agli elementi finiti tende alla ricerca di soluzioni esatte in corrispondenza dei nodi deglielementi. Gli errori o meglio le approssimazioni che si realizzano con tale metodo divengono via menosignificative all’aumentare del numero dei nodi e al diminuire della loro distanza. Tuttavia maggiore èil numero di nodi maggiore sarà il numero di gradi di libertà del sistema e la complessitàcomputazionale. Ciò può portare rapidamente a lunghi tempi di calcolo senza significativi aumenti diprecisione. È dunque da ricercare una mediazione tra le due opposte esigenze: precisione e rapidità.

Esistono regole operative per minimizzare l’errore senza appesantire il modello: in genere si cerca direalizzare un modello più dettagliato dove sono maggiori i gradienti di tensione e deformazione.

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Le tensioni orizzontali x sono di compressione sulla superficie dello strato di usura con valori massimidi circa 3.3 Kg/cm²; questi si riducono negli strati inferiori annullandosi in corrispondenzadell’interfaccia tra misto bitumato e misto cementato. I valori massimi di trazione si verificano tra basee fondazione dove assumono un valore di 0.91.0 Kg/cm².

Gli strati granulari sono in grado di resistere a sforzi di trazione di limitata intensità (inferiori a 12



kg/cm2). E’ quindi opportuno porre a questi particolare attenzione. Occorre osservare che sforzi ditrazione sono possibili anche sullo strato di usura sul bordo della piattaforma; non è inusuale osservaresulla superficie stradale lesioni longitudinali in superficie conseguente a tali sollecitazioni.

Gli sforzi sono considerati negativi se di compressione e positivi se di trazione.

Gli sforzi y in direzione verticale,come prevedibile, risultano sempre dicompressione in corrispondenza dellostrato di usura. Questi si estinguonorapidamente diventando trascurabili



rapidamente diventando trascurabilisul piano di posa del sottofondo.

Le azioni di taglio sono di entitàlimitata con valori massimi di circa0.5 Kg/cm².

Lo studio può essere ulteriormenteapprofondito studiando l’andamentodelle componenti principali di sforzo.

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L’andamento degli sforzi equivalenti,così come definito dal criterio di VonMises, è quello illustrato in figura



Le deformazioni lineari in direzione x,sono di allungamento negli stratiinferiori base e fondazione e divengonodi compressione in superficie sottol’asse di sollecitazione della coppia diruote gemellate. Anche in superficie auna distanza di 4-5 diametri (80 – 120cm) si determinano deformazioni diallungamento che possono assumerevalori elevati se la sovrastruttura non èvalori elevati se la sovrastruttura non èsufficientemente rigida.

Lo schiacciamento verticale degli stratiè massimo negli strati inferiori e nelsottofondo

Le deformazioni angolari presentano un andamento alternato orario e antiorariocon un valore massimo di 0.000389 radianti esternamente all’asse di sollecitazione.

La tabella riassume i risultati



La tabella riassume i risultati sotto l’asse di sollecitazione.

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The behaviour of the pavement improves significantly using “modified bituminous”. For modifiedbituminous the higher the modulus of elasticity the higher the flexural rigidity and the dynamic resistanceare. Also, the higher the modulus of elasticity the less the thermal susceptibility and plastic deformationare. Two different models of pavement were analysed using the finite element method. The two modelswere designed with same geometry and bearing capacity of the agger, whereas either pavements weremade with modified bituminous The behaviour of the materials was simulated assuming an


5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo5. Analisi dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni ad alto modulo

made with modified bituminous. The behaviour of the materials was simulated assuming anelasto-plastic model. The load was applied in both static and dynamic conditions. The magnitude of bothstress and strain was measured in correspondence of the interface between the base and the subbase ofthe pavements. The magnitude was resulted lower for the pavement made with modified bituminous. Thatbecomes more evident long the wheeler-paths for superstructures made with low stiffness and bearingheavy loads.

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5. Analisi dinamica dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni5. Analisi dinamica dello stato di sforzo e deformazione pavimentazioni


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Nella memoria vengono riportati i primi risultati di uno studio che analizza le possibili modifiche causatedalla costruzione un rilevato stradale al profilo piezometrico di una eventuale falda acquifera sottostante.Infatti, la presenza dell’opera altera la permeabilità del terreno sottostante, la quale dipende soprattuttodall’indice dei vuoti, dal peso specifico e dalla granulometria del terreno stesso. Nota la curva dicompressibilità di un determinato tipo di terreno è stato possibile associare alle sovrapressioni (ottenutecon una simulazione FEM), generate dalla presenza del rilevato, la variazione dell’indice dei vuoti a da qui

5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti 5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti –– moti di filtrazionemoti di filtrazione


la riduzione di permeabilità.

Il risultato è quello di una risalita delprofilo piezometrico della falda. Sisono pertanto tracciati i profilipiezometrici per differenti altezze dirilevato, diversa profondità dellafalda, mantenendo inalterato laprofondità dello strato impermeabilesul quale scorre la falda stessa.

5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti 5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti –– moti di filtrazionemoti di filtrazione


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5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti 5. Altri impieghi del metodo agli elementi finiti –– simulazione prova su piastrasimulazione prova su piastra


5. Metodo agli elementi finiti5. Metodo agli elementi finiti


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5. Metodo agli elementi finiti5. Metodo agli elementi finiti

Prof.ing. Mauro Prof.ing. Mauro Coni Coni (( Metodologie di ......sottofondi, della tipologia di...

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