PARABOLA E

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

parabola edisequazioni di

II grado

OBIETTIVI TRASVERSALI

PREREQUISITI OBIETTIVI SPECIFICI

CONTENUTICONTENUTI

METODOLOGIAMETODOLOGIA

VERIFICHEVERIFICHE

STRUMENTISTRUMENTI

TEMPITEMPI

Mappa dell’Unità Didattica

inizio

• Operazioni sugli insiemi

• Equazioni di I e II grado

• Disequazioni razionali intere di I grado

• Concetto di funzione

• Rappresentazione grafica di una funzione

• Concetto di intervallo

• Traslazione

• Uso del Derivemappa

Prerequisiti

• Saper utilizzare un’adeguata terminologia

• Saper estendere le conoscenze acquisite adattandole alle diverse situazioni

• Saper utilizzare il computer in ambiente Windows

• Saper risolvere problemi

Obiettivi trasversali

mappa

• Saper studiare il segno di una funzione di II grado in una variabile

• Acquisire tecniche per la risoluzione algebrica e grafica di disequazioni di II grado in una variabile

• Acquisire la capacità di tradurre problemi di II grado in forma algebrica

Obiettivi specifici

mappa

• Funzione quadratica

• Parabola

• Disequazioni razionali intere di II grado

Contenuti

mappa

Gli argomenti saranno proposti scegliendo un percorso didattico finalizzato a stimolare l’interesse, la curiosità e la riflessione degli studenti anche mediante l’uso di mezzi informatici.

Alla lezione di tipo frontale si accosteranno discussioni guidate, lavori individuali, di gruppo ed esercitazioni pratiche.

L’impostazione della lezione sarà di tipo interattivo allo scopo di personalizzare il percorso di apprendimento in base alle capacità di ogni singolo allievo, mediante schede di approfondimento e di recupero in itinere.

Metodologia

mappa

• Lavagna

• Libro di testo

• Appunti

• Computer

• Lavagna luminosa

Strumenti

mappa

• Schede di controllo dei prerequisiti

• Verifiche scritte

• Verifiche orali

Verifiche

mappaParametri di valutazione

Parabola:

Accertamento prerequisiti 1 ora

correzione e discussione degli esercizi svolti dagli studenti 1 ora

lezione frontale ed esercitazione con Derive 2 ore

attività di recupero e potenziamento 1 ora

Disequazioni:

correzione e discussione degli esercizi svolti dagli studenti 1 ora

lezione frontale ed esercitazione con Derive 2 ore

attività di recupero e potenziamento 1 ora

Tempi

mappaverifica finale 2 ore

Tale valutazione costituisce il momento conclusivo dell’U.D. ed attesta i miglioramenti conseguiti dal singolo allievo, dall’intera classe e la validità della progettazione effettuata.

Si valutano i seguenti tre fattori: conoscenze, competenze, capacità; per ognuno di essi si danno cinque indicatori.

Parametri di valutazione del test finale

Conoscenza Competenza Capacità

Sca

rsa

Lim

itat

a

Suf

fici

ente

App

rofo

ndit

a

Rig

oros

a

Mar

gina

le

App

ross

imat

a

Ade

guat

a

Ade

rent

e

Pun

tual

e

Ines

iste

nte

Ince

rta

Acc

etta

bile

Sic

ura

Aut

onom

a

052 x 0154 2 xx

Risolvere in R le seguenti equazioni

Risolvere la seguente disequazione interpretando geometricamente l’insieme S delle soluzioni

3

12

26

1

3

12

2

1

xxxxx

Risolvere il seguente sistema di disequazioni

xxxx

xxxx

32121

122

121

22

Tracciare il grafico della funzione y=3x+4

Scheda di controllo dei prerequisiti

mappa

Tracciamo il grafico della curva associata all’equazione di II grado y = x2

Essa è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, cioè f(x)=f(-x)

x

y

per cui per costruire il grafico basta determinare alcuni suoi punti di ascissa positiva

La curva di equazione y = ax2

Consideriamo ora alcune curve del tipo y = ax2 con a>0

y = x2 y = 2x2 y = 3x2

Esaminando le curve possiamo trarre alcune conclusioni

ognuna ha come asse di simmetria l’asse y

tutte passano per l’origine degli assi, che è il punto di ordinata minore

tutte volgono la concavità verso l’alto, hanno la stessa forma e l’apertura diminuisce all’aumentare di a

Consideriamo ora le stesse curve con a < 0

I grafici risultano simmetrici dei precedenti rispetto all’asse delle x

y = -x2 y = -2x2 y = -3x2

y=ax2 come luogo geometricoPossiamo definire la curva come luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e da una retta detta direttrice.

x

y

y = - p

F(0;p)

H

P(x;y)

PHPF

pyPH

pyxPF 22

pypyx 22

sviluppando e riducendo si ottiene:2

4

1x

py

a

2ax

V(0;0) F(0; 1/4a) direttrice y= -1/4a asse x=0

una funzione del tipo y = ax2 con aR - {0} ha come diagramma una curva che chiamiamo parabola, la quale ha:

vertice nell’origine degli assi del sistema di riferimento,

asse di simmetria coincidente con l’asse delle ordinate,

concavità rivolta verso l’alto se a>0, verso il basso se a<0

Riassumendo:

Vogliamo ora determinare l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y e vertice nel punto V(xo,yo).

Consideriamo una parabola del tipo y = ax2 e la sottoponiamo ad una traslazione del vettore

dieq

oo

yyy

xxx

yx

dieq

xxayyaxy

o

o

oo

o .

2);(

.

2 )(

Come si vede l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e vertice in V(xo;yo) è

y - yo = a (x - xo)2

y = a x2 - 2 a xo x + a xo2 + yo

y = ax2 + bx + csi ottiene:

b c

Dalla -2axo = b ricaviamo chea

bxo 2

e quindi, essendo yo = f(xo), si ottiene

aa

acbyo 44

42

Concludendo la parabola di equazione y = ax2 + bx + cha per vertice il punto

aa

bV

4;

2

parabola di equazione

y = ax2 + bx + c = b2 - 4ac

asse di simmetria

a

bx

2

vertice

aa

bV

4,

2

fuoco

aa

bF

4

1,

2

direttrice

ay

4

1

intersezionicon l’asse x

intersezionicon l’asse y

y = -3x2 + 5x +2

y = 4x2

y = 2x2 - 4x

y = -x2 - 2x - 1

y = 2x2 + 3

35

8

25

4 2 xxy

322

1 2 xxy

52-4(-3)2=49

=49

6

532

5

x

x

12

49,

6

5V

yF=…..=4

4,6

5F

34

491

y

6

25y

-3x2 + 5x +2=0

2,3

1 xx

x = 0;

y = 2

Esercizi applicativi del concetto di parabola

Una ditta intende creare su di un suolo di sua proprietà un’area di parcheggio rettangolare per le automobili dei suoi dipendenti. Nei suoi magazzini sono disponibili soltanto 100 metri di recinzione metallica. Quali devono essere le dimensioni del parcheggio affinché si realizzi la massima capienza possibile?

Un ricco signore ha decretato che alla sua morte i suoi beni, che ammontano ad otto miliardi di lire, debbano essere divisi tra l’unico nipote ed un’associazione benefica. Egli è però una persona che ama i giochi matematici; inoltre non ha molta fiducia nelle capacità di gestire denaro del nipote. Stabilisce quindi che le cifre che i due eredi avranno dovranno essere tali da rendere minima la somma tra il quadrato della parte destinata al nipote ed il doppio di quella destinata all’associazione. Sarà contento il nipote della decisione dello zio?

Rappresentare in un opportuno sistema di riferimento cartesiano le parabole aventi equazione assegnata:

y=-x2+2x

y =x2-7x+12

Le disequazioni di II grado

Una disequazione intera di II grado può sempre essere riportata alla forma ax2 + bx + c > 0

che a sua volta può essere scritta come

0

2

y

cbxaxy

l’interpretazione grafica di tale sistema è la seguente:

determinare i punti della parabola aventi ordinata positiva

Se la disequazione da risolvere è del tipo ax2 + bx + c < 0 si considera invece il sistema

0

2

y

cbxaxy

e perciò si dovrà determinare l’insieme dei punti della parabola con ordinata negativa

se nella disequazione compare il segno o si dovranno considerare come soluzione anche gli eventuali punti di intersezione della parabola con l’asse delle x

questi si ottengono risolvendo l’equazione ax2 + bx + c = 0

a

acbbx

2

42

2/1

esempio 1

Risolvere la disequazione x2 - 4 0

0

42

y

xyTale disequazione equivale al sistema

Dobbiamo perciò determinare i punti della parabola y = x2 - 4 che giacciono nel semipiano delle ordinate negative o nulle

Tale parabola ha la concavità rivolta verso l’alto ed interseca l’asse delle x nei punti A(-2;0) e B(2;0)

x

y

2-2A B••

S:[-2;2]

esempio 2

Risolvere la disequazione - x2 + 5x + 6 < 0

0

652

y

xxyTale disequazione equivale al sistema

Risolviamo la - x2 + 5x + 6 = 0 x =6

-1

S:]-;-1[]6;[

esempio 3

x2 + 6 x +9 0

0

962

y

xxy

x2 + 6 x + 9 = 0 x1 = x2 = -3

S = {-3}

esempio 4

0

13 2

y

xxy

3x2 - x + 1 = 0 < 0 non ha radici reali

3 x2 - x + 1 > 0

S =

esempio 5

0

122

y

xxy

- x2 + 2 x - 1 = 0 x1 = x2 = 1

- x2 + 2 x - 1 > 0

S = {Ø}

- x2 + 8 x - 17 0

esempio 6

0

1782

y

xxy

-x2 + 8 x - 17 = 0 < 0 non ha radici reali

S =

a>0

=b2-4ac parabolavalori di x che soddisfano la disequazione

ax2+bx+c>0 ax2+bx+c0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c0

= 0

< 0

x1= x2

> 0

(x1 < x2) x1 x2

x < x1

x > x2

x x1

x x2

x1<x<x2 x1 x x2

qualsiasi

x con

a

bx

2

x

x x

nessun valore di x

nessun valore di x

a

bx

2

nessun valore di x

Dall’analisi dello schema si deduce che:

>0 ax2 + bx + c assume lo stesso segno di a per valori esterni all’intervallo delle radici

ax2 + bx + c assume sempre lo stesso segno di a escluso i valori per i quali si annulla

=0

ax2 + bx + c assume sempre lo stesso segno di a<0

trinomioax2 + bx +c

scrivil’equazionedella parabolacorrispondente y = ax2 + bx +c

scrivi ilcoefficiente deltermine di 2°grado e indica iltipo di concavitàdella parabola

determina leintersezioni dellaparabola con l’assedelle x

disegna il graficoapprossimato dellaparabola

Scrivi i valori dix per cuiax2 + bx +c > 0

Scrivi i valori dix per cuiax2 + bx +c < 0

-2x2+x+3 y = -2x2+x+3

a =-2La parabolavolge laconcavità versoil basso

-2x2+x+3 = 0x1 =-1, x2=3/2

-1 < x < 3/2 x < -1 V x > 3/2

2x2+x+1 y= 2x2+x+1

a = 2La parabolavolge laconcavità versol’alto

2x2+x+1 = 0non ci sonointersezioni R

-x2-2x –1

6x2 + x –2

-x2 +2x – 3

-3x2 +x -2

disequazione scrivil’equazionedella parabolacorrispondente al trinomio aprimo membro

scrivi il coefficientedel termine di 2°grado e indica il tipodi concavità dellaparabola

determina leintersezioni dellaparabola con l’assedelle x

disegna il graficoapprossimato dellaparabola

Scrivi i valori di xche verificano ladisequazione

9x2 + 6x + 1 0 y = 9x2 + 6x +1

a = 9 > 0La parabola volge laconcavità versol’alto

9x2 + 6x +1 = 0x1 = x2=-1/3

x = -1/3

-2x2 + 3x + 2 >0

9x2+ 6x + 2 0

6x2 -11x + 3 0

-16x2 + 8x –1<0

-5x2 + 2x – 1 <0

9x2 -12x + 4 < 0

Esercizi applicativi delle disequazioni di II grado

Risolvere per via algebrica e ricorrendo al grafico della parabola le seguenti disequazioni:

-6x2+7x-20

x2-6x+8>0

4x2+12x+9<0

-x2-6x-9>0

2x2-3x+50

2x2+x+10

Si determini il lato di un quadrato affinché la sua area diminuita di 3 sia maggiore di 6.

Una ditta ha una capacità produttiva massima mensile di kg 1500 di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di lire 500000 ed un costo di lire 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce è espressa in funzione del prezzo dalla relazione x=2400-0,4p dove x è la quantità di merce e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità di merce che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

Verifica sommativa finale

La prova è composta da domande di tipo vero - falso, quesiti a risposta multipla, frasi da completare ed esercizi da risolvere.

Punteggio massimo = 10

Durata della prova: 2 ore

Quesiti vero - falso (0,2 punti per ogni risposta esatta)

Indica quali affermazioni sono vere (V) e quali false (F)

a) La disequazione x2 + x +1 > 0 non ammette soluzione V F

b) Una disequazione di 2° grado ax2 + bx + c >0 e con il vertice della parabola

corrispondente nel 2° quadrante, non è verificata da alcun valore di x V F

c) La disequazione ax2 + c > 0 non ha soluzione se a >0 e c > 0 V F

d) La disequazione ax2 + c > 0 non ha soluzione se a >0 e c < 0 V F

e) Se > 0 la disequazione ax2 + bx + c > 0 ha sempre infinite soluzioni V F

f) Il numero zero non appartiene mai all’insieme soluzione della disequazione ax2 + bx < 0 V F

g) Il numero zero appartiene sempre all’insieme soluzione della disequazione ax2 + c > 0 V F

h) La disequazione -x2 -1 0 non ammette soluzione V F

i) La disequazione x2 + x + 2 >0 è verificata x V F

l) La disequazione x2 -x + 3 0 non ammette soluzione V F

m) La disequazione x2 -x + 1 > 0 è verificata x V F

n) La disequazione x2 + 10 < 0 non ammette soluzione V F

Quesiti a risposta multipla (0,5 punti per ogni risposta esatta)

a) La seguente figura illustra la risoluzione grafica di una disequazione di 2° grado. A quale disequazione, fra le seguenti, si riferisce?

x2 - 3x + 2 < 0

- x2 - 3x + 2 < 0

- x2 - 3x + 2 > 0

x2 - 3x + 2 > 0

b) La parabola di equazione y = (k+1)x2 +(k-1)x -2k, k, passa per il punto P(-2,6)

per nessun valore di k� per k = - �

� x

per k = -1�

c) La disequazione x2 + ax > 0, con a >0, è verificata per:

x < 0 v x > -a

-a < x < 0

x < -a v x > 0

0 < x < -a

Esercizi di completamento

Completare le seguenti frasi: (0,1 punti per ogni risposta esatta)

a) La parabola è il ……….. dei punti del piano …………………. da un punto fisso detto ………… e da una retta fissa detta ………………

b) L’equazione y=ax2 rappresenta una parabola avente come ……….. l’asse y, come vertice il punto di coordinate (..…;……), come fuoco il punto F(..…;……) e come direttrice la retta y = …….

c) Data la parabola y = ax2 + bx + c, se a > 0 la parabola ha concavità verso ………..

Completare: (0,4 punti per ogni risposta esatta)

a) x è soluzione di x2 ……. 25 > 0

b) impossibile è soluzione di x2 ……... 7 < 0

c) 2 < x < 5 è soluzione di x2 - … x + … < 0

d) x è soluzione di 2x2 - x + 1 ... 0

e) x 4 V x 6 è soluzione di x2 - … x ….. 0

Esercizi da risolvere (max 1 punto per ogni esercizio)

a) Descrivi, senza disegnarla, la parabola individuata dall’equazione y = x2+6x+5, precisando:

1) se è concava verso l’alto o verso il basso;

2) se incontra l’asse x e, in caso affermativo, in quanti punti;

3) se presenta punti di ordinata positiva;

4) se presenta punti di ordinata negativa.

b) Data la disequazione 4x2 - 12x +9 > 0

• risolverla algebricamente

• risolverla graficamente

c) Determinare i valori del parametro k per i quali la seguente equazione di secondo grado ammette soluzioni reali.

4x2 - 4kx + 4k2 - 3 = 0

Attività di recupero e potenziamento

In una fase successiva saranno proposti esercizi di recupero o potenziamento in base alle capacità dei singoli allievi.