PROGRAMMA CLASSE V I. T. C. A.S 2009/10

Disciplina: Matematica Generale ed Applicata

Titolo modulo Contenuti

(suddivisi in unità didattiche)

1 Geometria analitica U.D.1 Equazione retta in forma esplicita ed implicita U.D.2 Equazione della parabola

2 Disequazioni U.D.1 Disequazioni di primo grado in una incognita U.D.2 Sistemi di disequazioni in un’incognita U.D.3 Disequazioni in due incognite U.D.4 Sistemi di disequazioni in due incognite

3 Funzioni di due variabili U.D.1 Funzione numerica di una variabile reale e dominio. U.D.2 Funzione di due variabili reali: dominio e rappresentazione mediante curve di livello

4

Funzioni economiche U.D.1 Funzione costi di produzione U.D.2 Funzione di ricavo U.D.3 Funzione di guadagno o profitto

5 Ricerca operativa U.D.1 Introduzione alla ricerca operativa. U.D.2 Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati e differiti. U.D.3 Programmazione lineare

MODULO 1: GEOMETRIA ANALITICA

- U.D.1 FUNZIONE DI PRIMO GRADO: LA RETTA ax+by+c=0 equazione della retta in forma implicita by = (-a *x)-c y = (-a/b* x)-c/b poniamo –a/b =m e -c/b =q y = m x+ q equazione della retta in forma esplicita y= variabile dipendente x= variabile indipendente m= coefficiente angolare (indica la pendenza della retta rispetto all’asse delle x). Se m>0 la retta passa per il primo e terzo quadrante; se m<0 la retta passa per il secondo e quarto quadrante. q= termine noto. Se q=0 la retta passa per l’origine degli assi cartesiani; se q≠0 la retta non passa per l’origine. ESEMPIO: 3x+2y+1=0 2y=-3x-1 y=-3/2x-1/2 Per rappresentare la retta sul piano cartesiano dobbiamo attribuire un valore alla variabile indipendente x e determinare il corrispondente valore della variabile dipendente y. Se x=0 y= -3/2*(0)-1/2= -1/2 Se x=1 y= -3/2*(1)-1/2= -3/2-1/2= -4/2= -2 Se x= -1 y= -3/2*(-1)-1/2=+3/2-1/2=2/2=1 Possiamo dunque rappresentare la retta sul piano cartesiano Due rette sono parallele quando hanno lo stesso “coefficiente angolare”. Per esempio: la retta y=3x+2 (m=3); avrà come rette parallele y=3x oppure y=3x-3, ecc. Per determinare il punto di intersezione di due rette è sufficiente risolvere il sistema formato dalle equazioni delle rette. Si individuano in tal modo le coordinate del punto cercato. - U.D.2 FUNZIONE DI SECONDO GRADO: LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano aventi uguale distanza da un punto fisso detto “fuoco” e da una retta detta “direttrice”. Consideriamo la funzione di secondo grado espressa dall’equazione: y = ax2+bx+c Con a, b, c costanti note e a≠0 (altrimenti si avrebbe una funzione di primo grado, cioè una retta). Tale funzione è rappresentata graficamente da una curva detta “parabola”. A seconda dei valori – positivi, negativi o nulli – che assumono i coefficienti si possono presentare diversi casi. PRIMO CASO: se b=c=0 l’equazione della parabola diventa y=ax2

Questa equazione rappresenta una parabola che passa per l’origine degli assi cartesiani. Il punto V(0,0) coincide con il vertice della parabola. L’asse di simmetria della parabola coincide con l’asse delle ordinate (una curva è simmetrica rispetto all’asse delle y se cambiando il valore di x in (- x) il valore di y non cambia). Se a>0:

- la concavità della parabola è rivolta verso l’alto; - l’origine rappresenta il minimo della funzione.

Se a<0: - la concavità della parabola è rivolta verso il basso; - l’origine rappresenta il massimo della funzione.

Esempio: rappresentare graficamente la parabola y=3x2 SECONDO CASO: se b=0 l’equazione diventa y=ax2+c Questa equazione rappresenta una parabola non passante per l’origine degli assi cartesiani. Anche in questo caso l’asse di simmetria coincide con l’asse delle ordinate. Se a>0 la parabola avrà la concavità rivolta verso l’alto, se a<0 la concavità sarà rivolta verso il basso. Il vertice V(0,c) rappresenta nel primo caso il minimo della funzione e nel secondo caso il massimo della funzione. Per determinare i punti di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse (se esistono) bisogna risolvere un sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equazione dell’asse delle ascisse (y=0). ESEMPIO: y= -9x2+4 TERZO CASO: y = ax2+bx+c Essa rappresenta una parabola con:

- l’asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate di equazione x= -b/2a; - il vertice di coordinate x= -b/2a; y=(4ac-b2)/4a; - la concavità rivolta verso l’alto se a>0 e verso il basso se a<0.

Per determinare il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate bisogna risolvere il sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equazione dell’asse delle ordinate (x=0). Per determinare i punti di intersezione con l’asse delle ascisse bisogna risolvere un sistema formato dall’equazione della parabola e dall’equazione dell’asse delle ascisse (y=0), così facendo sono tre i casi che si possono verificare: - se delta >0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte e quindi la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti;

- se delta=0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti e quindi la parabola è tangente all’asse delle ascisse;

- se delta<0 la parabola non incontra l’asse delle ascisse. ESEMPIO: y=3x2-9x+2 L’asse di simmetria x=-b/2a=9/6=3/2 Le coordinate del vertice sono: x=-b/2a=3/2 y=(4ac-b2)/4a=(24-81)/12=-19/4 La parabola ha la concavità rivolta verso l’alto poiché a>0 e il suo punto di intersezione con l’asse delle ordinate è (0,2). Per determinare i punti di

intersezione della parabola con l’asse delle ascisse bisogna risolvere il sistema formato dall’equazione della parabola y=3x2-9x+2 e l’equazione y =0 I punti così individuati sono: A(2,76;0) B(0,24;0). Avendo queste informazioni possiamo rappresentare la parabola. ESERCIZI: rappresentare graficamente le seguenti parabole

1) y= -4x2 2) y= -16x2+25 3) y= x2-7x+1

VERIFICA MODULO 1

1) Rappresentare graficamente le seguenti rette: a) y=3x+7 b) y=1/2x+4 c) y=3/4x+5/2

2) Rappresentare graficamente la retta 4x+3y-8=0 e trovare le intersezioni con gli assi cartesiani.

3) Rappresentare tre parabole, utilizzando i tre casi studiati, descrivendone le

caratteristiche fondamentali. 4) Data la parabola y=x2-3x+2 determinare: le coordinate del vertice, i punti in

cui essa interseca gli assi cartesiani e rappresentarla.

MODULO 2: DISEQUAZIONI

-U.D.1 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una o più incognite, verificata solo per particolari valori attribuiti a queste incognite, appartenenti a determinati intervalli. La soluzione di una disequazione è legata al rispetto di due principi fondamentali: 1) se si aggiunge ad entrambi i membri di una disequazione uno stesso polinomio si ha una disequazione equivalente; 2) se si moltiplicano o si dividono tutti i termini della disequazione per un numero negativo si deve cambiare il verso della disequazione per ottenerne una equivalente. ESEMPIO: 3x+2>0 3x>-2 x>-2/3 -U.D.2 SISTEMI DI DISEQUAZIONI AD UN’INCOGNITA Un sistema di disequazioni è formato da due o più disequazioni aventi una sola incognita. Per trovare la soluzione di un sistema di disequazioni è necessario dapprima risolvere le singole disequazioni e poi considerare gli intervalli di contemporanea verifica di tutte le disequazioni. -U.D.3 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO IN DUE INCOGNITE Una disequazione lineare in due variabili ha la seguente forma: a x +by +c>0 oppure a x +by +c <0 ( possiamo anche trovare i simboli di disuguaglianza attenuata). Per risolvere graficamente una disequazione di questo tipo si traccia innanzitutto la retta di equazione ax+by+c=0; la soluzione della disequazione sarà data da tutti i punti appartenenti a uno dei due semipiani in cui la retta divide il piano. Per determinare tale semipiano si sostituiscono nella disequazione le coordinate di un punto qualsiasi non appartenente alla retta. Se la disequazione è verificata allora la soluzione è formata da tutti i punti del semipiano a cui appartiene il punto considerato, se essa non è verificata la soluzione è formata dai punti del semipiano opposto. ESEMPIO: risolvere la disequazione 3x+y-9<0 3x+y-9=0 y= -3x+9 rappresentiamo la retta graficamente. Poiché essa non passa per l’origine degli assi cartesiani, prendiamo il punto O(0,0) e lo sostituiamo nella disequazione iniziale 3(0)+0-9<0 Siccome –9<0 è una disuguaglianza vera, il semipiano che verifica la disequazione è quello contenente l’origine, cioè quello al di sotto della retta.

- U.D.4 SISTEMI DI DISEQUAZIONI LINEARI IN DUE VARIABILI

Un sistema di disequazioni lineari in due variabili è costituito da due o più disequazioni, la cui soluzione è costituita dall’insieme dei punti del piano che soddisfano tutte le disequazioni, cioè dall’intersezione dei semipiani che rappresentano le singole disequazioni.

VERIFICA MODULO 2

5) Risolvere la seguente disequazione: (x-3)/2+(x+1)/3-1/2>x-(x-3)/3+x/2

6) Risolvere le seguenti disequazioni di primo grado in due incognite: a) 6x-2y+7<0

b)1/2x+2y-5>0 c) 3x+2y-3>0 3) Rappresentare graficamente il seguente sistema di disequazioni lineari in due variabili: �x-y+1>0 �2x+y-5<0 �x+5y+5>0 (triangolo frontiera esclusa)

MODULO 3: FUNZIONI DI DUE VARIABILI - U.D.1 FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A e B si definisce funzione di A in B ( f :A→B) una legge che associa ad ogni elemento x appartenente ad A uno ed un solo elemento y appartenente a B. L’insieme A è il DOMINIO (o campo di esistenza) della funzione, cioè l’insieme di tutti i valori che si possono attribuire alla variabile indipendente x affinché la y non perda significato; l’insieme B è il CODOMINIO della funzione, cioè l’insieme di tutti i valori che può assumere la variabile dipendente y. Le funzioni di una variabile, che genericamente si indicano con y = f(x), si rappresentano nel piano “x O y” a due dimensioni. Quindi, come si deduce dal concetto di funzione, stabilita una legge di corrispondenza fra la variabile indipendente x e la variabile dipendente y, si può calcolare, assegnato un valore di x, il relativo valore di y. Questo è possibile purché i valori di x appartengano all’insieme di definizione (dominio) della funzione. Data la funzione y = f(x) esaminiamo come si determina il dominio in base al tipo di funzione:

A) FUNZIONE POLINOMIA INTERA Se la funzione f(x) è esprimibile con un polinomio di grado qualsiasi non frazionario, il dominio della variabile indipendente è costituito dall’insieme di tutti i numeri reali. Per esempio y = (3/4x)+5 D = {∀x ∈ R}

B) FUNZIONE POLINOMIA FRATTA Per determinare il dominio si considera l’insieme dei numeri reali da cui si escludono i valori che annullano il denominatore delle frazioni. Per esempio y = 3/(x-4) D = {∀x∈ R : x≠ 4}

C) FUNZIONE IRRAZIONALE Se la funzione contiene radicali con indice dispari il campo di scelta è quello del radicando; cioè se la funzione è polinomia intera D = {∀x∈ R} Se, invece, è una funzione fratta bisogna escludere i valori che annullano il denominatore. Se la funzione contiene radicali con indice pari è necessario porre la condizione che il radicando sia positivo o nullo, non esiste infatti in campo reale il valore della radice con indice pari di un numero negativo.

D) FUNZIONE LOGARITMICA

Se la funzione contiene logaritmi è necessario porre il valore argomentale del logaritmo strettamente positivo: non esiste, infatti, il logaritmo di un numero negativo o di zero. Per esempio y = log(x + 2) Si pone x+2>0 quindi D = {∀ x∈ R : x>-2} Per la determinazione del dominio spesso si ricorre alla risoluzione di disequazioni. Se la funzione è equivalente ad una somma algebrica di funzioni, il dominio sarà l’intersezione dei domini delle singole funzioni parziali. Dopo aver determinato il dominio della funzione è possibile eseguirne la rappresentazione grafica per punti: si scelgono i valori di x nel dominio e si calcolano le corrispondenti ordinate. Riportando i punti sul piano cartesiano e unendoli con una curva si ottiene il diagramma della funzione. - U.D.2 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Molte grandezze che si incontrano nelle applicazioni dipendono non da una sola, ma da diverse variabili. Ad esempio:

- in matematica l’area della superficie di un rettangolo è uguale al prodotto della misura della base per la misura dell’altezza e quindi è funzione di due variabili;

- in matematica finanziaria il montante di un capitale è funzione del tempo di impiego e del tasso di interesse applicato. La nozione di funzione da un insieme A ad un insieme B come relazione fra A e B che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di B, è valida qualunque siano gli insiemi A e B. Si definisce funzione reale di due variabili reali una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x,y), uno ed un solo numero reale. Il DOMINIO è costituito da tutte le coppie ordinate (x,y) di numeri reali che hanno per corrispondente uno ed un solo numero reale z. L’insieme dei valori z corrispondenti è detto CODOMINIO della funzione. Le variabili x e y sono dette variabili indipendenti, la variabile z è detta variabile dipendente. Z = f(x,y) Quindi, la coppia di numeri (x,y) che si usa per calcolare z non può essere casuale, e ciò in analogia con quanto succede nel piano per il calcolo di y dopo aver scelto x, ma deve appartenere all’insieme di definizione. Le regole per la determinazione del dominio delle funzioni z = f(x,y) sono le stesse enunciate per le funzioni y = f(x) e precisamente:

- se la funzione è polinomia intera il dominio è dato dall’insieme di tutte le possibili coppie di numeri reali

- se la funzione è frazionaria si escludono le coppie (x,y) che annullano il denominatore

- se la funzione è irrazionale con le radici aventi indice pari il dominio è dato dalle coppie (x,y) che rendono il radicando positivo o nullo

- se la funzione contiene logaritmi per trovare il dominio si pone l’argomento strettamente positivo. - FUNZIONI DI DUE VARIABILI: rappresentazione mediante curve di livello Per rappresentare graficamente una funzione di due variabili z = f(x, y) non ci si può riferire al piano cartesiano ma bisogna ricorrere ad una rappresentazione tridimensionale piuttosto complicata. Spesso si tralascia tale rappresentazione e ci si limita a rappresentare l’immagine della funzione nel piano cartesiano mediante le “curve di livello”, che uniscono tutti i punti nei quali la funzione assume lo stesso valore. Data la funzione z = f(x, y), attribuendo a z un valore costante k si ottiene una funzione di una variabile nella forma implicita f(x, y) = k che può essere rappresentata nel piano cartesiano da una curva o da una retta se la funzione è lineare. Cambiando il valore di k si ottiene una serie di curve di livello. Quando la funzione è lineare, le curve di livello che si ottengono sono delle rette che risultano tra loro parallele. Al crescere del valore k assegnato a z si ottengono linee di livello posizionate in modo che aumentando k si passa da una all’altra seguendo uno stesso verso. La rappresentazione mediante curve di livello è molto usata in geografia per evidenziare la distribuzione dei rilievi, delle profondità marine, della pressione ecc.

VERIFICA MODULO 3 Quesiti: 1) Dare la definizione di funzione reale di una variabile. 2) Dare la definizione di funzione reale di due variabili. 3) Quale metodo si utilizza per rappresentare le funzioni di due variabili? 4) Definire il dominio di una funzione di due variabili. 4) Cosa sono le linee di livello? 6) Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

a) z=4x3+5x2-3xy+3 b) z=(3x2+9x-y)/(3x-4y) 23) + = xyzc d) y= log (-x+5) e) y=(1-x)/(x2-6x+5) f) y=(4x2+3x+5)/x2

MODULO 4: FUNZIONI ECONOMICHE U.D.1 FUNZIONE COSTI DI PRODUZIONE

Quando un’impresa produce un bene sostiene vari tipi di costo: - COSTI FISSI, che non variano al variare della quantità prodotta (per es. i macchinari); - COSTI VARIABILI, che variano al variare della quantità prodotta (per es.

costo materie prime). Graficamente, se trattasi di funzione lineare, cf ha un andamento costante parallelo all’asse delle x; cv ha un andamento crescente e parte dall’origine o(0,0)

La somma tra costi fissi e costi variabili ci consente di determinare il COSTO TOTALE. Il “costo totale” è una funzione crescente e non parte dall’origine in presenza di costi fissi. Ct = c f +c v(x) con x>0 Ct = costo totale Cf = costo fisso Cv = costo variabile x = quantità prodotta e venduta La funzione di costo totale può essere espressa da una funzione di primo grado Ct = a x +b oppure da una di secondo grado Ct = ax2+bx+c Per esempio: se c v=30 c f= 70 Ct=70+30x La rappresentazione grafica di tale funzione si ottiene indicando sull’asse delle ascisse la quantità x di bene prodotto e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori di Ct. Se x=0 Ct=70+30(0)=70 (possiamo notare che anche in assenza di produzione l’impresa sostiene ugualmente costi fissi pari a 70) Se x=10 Ct=70+30(10)=70+300=370 Il COSTO UNITARIO O MEDIO della produzione di una quantità x di un bene è dato dal rapporto tra il costo totale e la quantità prodotta Cu(x)= Ct/x con x>0 Esso indica in media il costo di ogni unità prodotta. Se la funzione di costo totale è lineare Ct=a x +b la funzione di costo unitario è Cu(x) = a +b/x e la sua rappresentazione grafica e un ramo di iperbole equilatera decrescente. Per es. se Ct = 30x+70 Cu(x) = (30x+70)/x = 30+70/x

U.D.2. FUNZIONE DI RICAVO

Si dice RICAVO TOTALE il prodotto tra la quantità venduta x e il prezzo unitario di vendita. Rt = x *p(x) con x>0 x = quantità venduta di un bene

p(x) = corrisponde al prezzo di vendita Graficamente è una funzione che parte dall’origine degli assi cartesiani perché se io vendo zero unità avrò ricavo nullo. Il RICAVO MEDIO O UNITARIO è il rapporto tra il ricavo totale e la quantità x di bene venduto. R medio(x) = Rt/x = p(x)

U.D.3 FUNZIONE DI GUADAGNO O PROFITTO

Si dice guadagno, profitto o utile netto la differenza tra il ricavo totale e costo totale. G(x) = Rt – Ct con x>0 Per es. se Ct = 0,5x2+100x+10000 e p = 450 Allora Rt=x *p(x)=450x Quindi G=450x-(0,5x2+100x+10000)=-0,05x2+350x-10000 Il punto di max di tale funzione è rappresentato dal vertice della parabola; poiché a<0 la concavità sarà rivolta verso il basso. Se ci troviamo di fronte ad una retta, essa avrà origine da un punto che si trova al di sotto dello zero dando origine ad un’area di guadagno e una di perdita.

Break even point (BEP) Si determina rappresentando ricavo totale e costo totale nello stesso diagramma

cartesiano. Esso è il punto di intersezione tra le due funzioni. In questo punto il

ricavo totale è uguale al costo totale. Prima del BEP il ricavo totale è minore del

costo totale (area di perdita). Dopo il BEP il ricavo totale è maggiore del costo

totale (area di utile).

VERIFICA MODULO 4 QUESITI: 1) Definire il costo totale di un bene. 2) Spiegare cos’è il break even point.

3) Definire il guadagno di un bene. RISPONDERE VERO O FALSO 1) I costi variabili decrescono all’aumentare della produzione. 2) La funzione di costo totale è crescente.

3) Il guadagno di un bene si determina sommando ricavi totali e costi totali.

4) Il ricavo totale è rappresentato da una funzione sempre decrescente. RISOLVERE: Il ricavo totale e il costo totale relativi alla produzione e alla vendita di un determinato articolo sono dati rispettivamente dalle seguenti funzioni: Rt=-0,04x2 + 600x e Ct=25000+100x Determinare la funzione di guadagno, la quantità da produrre e vendere per realizzare il massimo guadagno e il relativo valore.

MODULO 5: RICERCA OPERATIVA

- U.D.1 INTRODUZIONE ALLA RICERCA OPERATIVA Le applicazioni della matematica all’economia si sono sviluppate negli ultimi decenni. Con il termine “ricerca operativa” si indicano le tecniche con le quali si giunge alla soluzione di problemi economici per mezzo di modelli scientifico - matematici. Il nome “ricerca operativa” è nato all’inizio della seconda guerra mondiale per indicare la metodologia di studio di difesa antiaerea della Gran Bretagna dagli attacchi dell’aviazione tedesca; successivamente essa ha trovato applicazione nel settore pubblico, nell’industria, nell’economia, ecc. La R. O. non è una scienza che effettua esperimenti per produrre qualcosa di nuovo, ma è uno studio scientifico svolto sul campo (da qui il termine “operativa”) dei procedimenti e dei metodi di lavoro. Tale studio ha lo scopo di migliorare il risultato finale dell’attività considerata, per esempio se si rivolge alla programmazione industriale, uno degli obiettivi può essere l’aumento della produzione; se si rivolge a problemi di tipo territoriale - urbanistico, un obiettivo può essere l’ottimizzazione dei trasporti urbani. La R. O. non si sostituisce ai dirigenti responsabili nell’assumere decisione ma permette loro di effettuare scelte razionali. L’ambito di applicazione della ricerca operativa che a noi interessa è quello economico. La R. O. si struttura in varie fasi, ciascuno delle quali presuppone l’impiego di mezzi e competenze diverse. La I FASE della R. O. consiste nell’ESAME DELLA SITUAZIONE REALE e nella RACCOLTA DI INFORMAZIONI per ottenere un quadro dei termini economici in cui si ambienta il problema (strutture disponibili, capacità produttiva e di vendita, ecc.). La II FASE è la FORMULAZIONE DEL PROBLEMA, che comporta l’individuazione delle variabili controllabili e non controllabili, e la scelta della funzione economica da massimizzare o minimizzare. In tutti i sistemi organizzati, vari sono gli obiettivi che si possono fissare, ma la funzione economica da ottimizzare (cioè da rendere massima o minima) è una sola. Spesso gli obiettivi possono essere diversi e contrastanti tra di loro, per esempio l’obiettivo del settore vendite è di avere sia grandi scorte sia una vasta gamma di prodotti, l’obiettivo del settore finanziario è invece quello di ridurre le quantità di capitali immobilizzati, ciò implica la riduzione delle scorte. La III FASE è la COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO che deve dare una buona rappresentazione del problema (il modello non è, comunque, qualcosa di statico e definitivo, ma può essere successivamente modificato). Un buon modello deve essere semplice da utilizzare, rappresentare completamente il

problema, fornire tutte le informazioni per poter assumere una decisione razionale. Il modello matematico è, in generale, espresso da una funzione di più variabili:

U = f ( x1 ……….. xn, y1 ………….. ym ) dove le x sono le variabili controllabili, le y quelle incontrollabili, U è invece la funzione economica da ottimizzare (per es. la funzione dei ricavi da massimizzare). In un’impresa che produce “n” beni , sono variabili “controllabili” le quantità di beni prodotte, sono “non controllabili” le quantità di beni richieste dai consumatori. Alla funzione “U” sono, in genere, associati dei vincoli che sintetizzano le limitazioni alle variabili d’azione. Un vincolo sempre presente è quello del segno perché le variabili di tipo economico non possono essere negative (quindi x>0). In una IV FASE si cerca la SOLUZIONE DEL MODELLO a seconda delle caratteristiche del problema. La risoluzione dei “problemi di scelta” (che affronteremo) consiste nel determinare il valore da attribuire alle variabili d’azione “x”, soggette a vincoli di segno (per es. prezzi>0) e tecnici (per es. massima capacità produttiva), affinché il risultato della funzione sia ottimo. La V FASE è quella di ANALISI E VERIFICA DELLE SOLUZIONI OTTENUTE. E’ questo il momento di controllare se la soluzione teorica offre i vantaggi attesi e di verificare la rappresentatività del modello. Se è necessario, si provvede alla correzione del modello. Dopo aver controllato ed, eventualmente, modificato il modello, si procede all’ATTUAZIONE DEL PROGETTO.

U.D.2 PROBLEMI DI SCELTA Esamineremo adesso alcuni “problemi di decisione” che si presentano ai dirigenti di impresa. Ogni decisione comporta una scelta al fine di ottimizzare una funzione economica. La R. O. permette di individuare varie vie di azione e di determinare quella più conveniente. I “problemi di scelta” possono essere classificati in base a varie caratteristiche. La prima distinzione riguarda le condizioni in cui si opera la scelta:

- PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA, se i dati e le conseguenze sono determinabili a priori, per es. i problemi di natura finanziaria;

- PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA, se i dati dipendono da eventi aleatori al cui verificarsi è possibile attribuire una certa

probabilità (problemi di natura attuariale o basati sulla probabilità di vendita dei prodotti). I problemi di scelta si distinguono anche in base all’effetto della scelta nel tempo:

- PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI IMMEDIATI, cioè fra il momento della decisione e il momento della realizzazione decorre un tempo breve che non influisce sulle grandezze economiche (per es. bene da produrre in un ciclo produttivo);

- PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI, cioè occorre tenere conto dell’intervallo di tempo che intercorre tra il momento della decisione e le epoche in cui si manifesteranno le conseguenze (problemi relativi ad investimenti finanziari, industriali, commerciali), per es. impianto da installare per una produzione futura. I problemi di scelta si distinguono, inoltre, in base al numero delle variabili d’azione:

- IN UNA VARIABILE (l’azienda produce un solo tipo di bene); - IN PIU’ VARIABILI (l’azienda produce più articoli).

Infine, le variabili non sono libere di assumere qualunque valore, ma sono condizionate da vincoli di natura tecnologica o di segno. I “vincoli di segno” possono assumere solamente valori positivi oppure non nulli per es. quelli relativi alla quantità da produrre, vendere, prezzi di vendita, ecc. I “ vincoli tecnici” sono utilizzati per indicare la massima disponibilità di risorse oppure la massima capacità produttiva. Per effetto dei vincoli la variabile può assumere un insieme di valori, detto “campo di scelta” che può essere DISCRETO, se i valori delle variabili sono in numero finito (ad es. n° di operai, n° di macchine) oppure CONTINUO, cioè la variabile d’azione può assumere un qualunque valore reale compreso in un certo intervallo.

- PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA E CON EFFETTI IMMEDIATI: CASO CONTINUO

In questi problemi la funzione economica è una funzione reale di una variabile reale y = f(x) e la variabile x è una variabile continua che può assumere tutti i valori reali di un certo intervallo [a ,b]. Per risolvere questi problemi si ricerca il valore della variabile d’azione che rende la funzione obiettivo massima o minima, rappresentando graficamente la funzione e determinandone il minimo o il massimo assoluto nell’intervallo considerato.

- PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA E CON EFFETTI IMMEDIATI: CASO DISCRETO Rientrano nel caso discreto i problemi di scelta in cui la variabile d’azione della funzione obiettivo rappresenta quantità che possono assumere valori interi, ad

esempio numero di macchinari, di articoli, di operai. In questo caso la funzione obiettivo sarà rappresentata nel piano cartesiano, non da una curva continua ma da un insieme di punti. Se i valori sono finiti, e in numero limitato, per il calcolo del minimo o del massimo si costruisce una tabella da cui si deduce il valore della variabile d’azione che ottimizza la funzione obiettivo.

- PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA E CON EFFETTI IMMEDIATI:

SCELTA TRA DUE O PIU’ ALTERNATIVE

Nei problemi di scelta tra due o più alternative, ogni scelta è rappresentata da una funzione e non dal valore che assume la variabile d’azione; in questo caso si hanno due o più funzioni che rappresentano, ad esempio procedimenti differenti per fabbricare lo stesso prodotto e si deve scegliere quale alternativa è migliore. La risoluzione di questi problemi si effettua con la rappresentazione grafica, in uno stesso piano cartesiano, delle diverse funzioni obiettivo e la determinazione degli eventuali punti di intersezione, detti punti d’indifferenza. La lettura del grafico permetterà di individuare rispetto a quali intervalli della variabile d’azione sia più conveniente scegliere una delle possibili alternative. - IL PROBLEMA DELLE SCORTE Ogni impresa industriale per lo svolgimento della sua attività produttiva necessita di avere in magazzino una quantità sufficiente di materia prima; ogni ditta commerciale necessita di una quantità sufficiente delle varie merci all’interno del suo magazzino per soddisfare prontamente le richieste della clientela, ecc. In base al consumo delle materie prime, al costo di ordinazione e di magazzinaggio l’impresa deve decidere la quantità ottima da ordinare di volta in volta al fine di minimizzare il costo totale, cercando anche di conciliare opposte e, spesso, contrastanti esigenze. Infatti, mentre da una parte può risultare più conveniente ridurre il numero delle ordinazioni di grandi quantitativi al fine di diminuire il peso delle spese fisse (per es. quelle di trasporto); dall’altra detenere degli enormi quantitativi comporta spese di assicurazione, deperimento, sorveglianza, non indifferenti. L’obiettivo è dunque quello di tenere conto di queste diverse esigenze al fine di minimizzare il costo complessivo. In realtà, il “problema delle scorte” è un problema di scelta in condizioni di incertezza perché vari sono i fattori aleatori (per es. la quantità di merce rimasta in magazzino dipende sia dall’andamento delle vendite sia dal suo possibile deperimento), però, come accade spesso per tali problemi, il modello

matematico che lo rappresenta è più semplificato della realtà. Infatti, è possibile passare da un problema di scelta in condizioni di incertezza ad uno in condizioni di certezza mediante l’utilizzo di due ipotesi:

1) il consumo di ogni ordinazione è uniforme nel tempo, in un periodo costante T; 2) la quantità di merce ordinata arriva in magazzino nel momento stesso in cui si

esaurisce la merce dell’ordinazione precedente. Se indichiamo con “Q” la quantità totale di merce da ordinare in un anno e con “x” la quantità da ordinare di volta in volta, il numero delle ordinazioni n = Q/x; invece, il costo di ordinazione sarà pari a S1 * Q/x (dove S1 indica la spesa unitaria fissa di ordinazione). Indicando con s2 la spesa unitaria di magazzino, il costo di magazzino sarà pari a s2 * x/2 ( x/2 indica il valore medio della scorta determinato facendo la media aritmetica fra la giacenza max “x” e quella minima “o”). Allora, la funzione obiettivo costo totale C(x) = (S1*Q/x)+(s2*x/2), tenendo conto del vincolo rappresentato dalla capienza C del magazzino (0<x<C). Si deve quindi calcolare la quantità x di ogni ordinazione che consenta di minimizzare il costo complessivo C(x), studiando la funzione costo che può essere ricondotta alla funzione y = a x + b/x il cui punto di minimo si determina facendo la radice quadrata di b/a (nel nostro caso b = S1*Q; a = s2/2).

- PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA CON EFFETTI DIFFERITI Si ha un “problema di scelta in condizioni di certezza con effetti differiti” quando le condizioni di un problema sono certe a priori (cioè non si presentano eventi aleatori) ma sono collegate a fatti che avvengono in tempi diversi. Quindi, il tempo che intercorre tra il momento della scelta e la realizzazione del risultato diventa un elemento determinante per effettuare la scelta migliore. Nella realtà ciò si verifica quando si esaminano investimenti finanziari (impieghi di capitale, acquisti o vendite di beni economici, ecc.), investimenti commerciali (gestione di attività commerciali), investimenti industriali (acquisto o noleggio di macchinari). I metodi di soluzione utilizzano l’operazione finanziaria di “sconto composto”. Infatti, per tali problemi di investimento, la scelta consiste nel valutare “oggi” costi e ricavi e nel fissare criteri di scelta, ossia dei procedimenti attraverso cui ad ogni possibile alternativa corrisponda un solo risultato che sia confrontabile con gli altri ottenuti. I principali criteri di scelta sono:

1) Preferenza assoluta. Si ricorre a tale criterio se la scelta tra investimenti è immediata, senza ricorrere a calcoli particolari, tenendo presente che:

- date due somme con la stessa scadenza si preferisce incassare quella di importo superiore (o pagare quella di importo minore);

- date due successioni di importi, con le stesse scadenze, si preferisce la prima se ad ogni scadenza essa presenta un ricavo maggiore e un costo minore rispetto alla seconda;

- date due successioni di uguale importo, si preferisce la successione con scadenze più vicine se si tratta di ricavi e viceversa. ESEMPI PAG. 71

2) Criterio dell’attualizzazione. Esso consiste nel calcolare il valore attuale, ad un tasso prefissato, di costi e ricavi futuri delle diverse alternative.

3) Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento). Esso consiste nel determinare, per ogni operazione finanziaria a quale tasso il valore attuale dei ricavi eguaglia quello dei costi.

4) Criterio dell’onere medio annuo. Esso è utilizzato soprattutto negli investimenti industriali e consiste nel ripartire costi e ricavi come rate costanti di una rendita per i vari anni al fine di scegliere l’alternativa avente l’onere medio annuo minore. CRITERIO DELL’ATTUALIZZAZIONE E’ il criterio di scelta più usato. Per investimenti che prevedono costi e ricavi, occorre calcolare la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi, detta risultato economico attualizzato: R.E.A. = V(R) – V(C). Di fondamentale importanza è la scelta del “tasso di valutazione” che, risulta “soggettivo”, poiché non esiste un criterio prefissato per tale scelta. Ogni operatore economico nella scelta deve tenere conto sia dei tassi di mercato per investimenti analoghi, sia dei tassi di interesse e di sconto sui capitali, sia delle leggi economiche della domanda e dell’offerta. La scelta del tasso è, inoltre, influenzata dalla situazione finanziaria dell’operatore. Pertanto, operatori diversi possono effettuare valutazioni secondo tassi differenti e prendere, dunque, decisioni diverse. La funzione obiettivo dei problemi risolti con il “criterio dell’attualizzazione” è il R.E.A. che assume valori che variano al mutare del tasso di valutazione. Calcolati i R.E.A. di ogni investimento, con un medesimo tasso di valutazione, si sceglierà l’investimento a cui corrisponde il valore del R.E.A. più elevato; se i valori sono uguali la scelta risulterà indifferente.

- U.D.3 PROGRAMMAZIONE LINEARE La programmazione lineare (P. L.) occupa una parte molto importante della ricerca operativa. I problemi di scelta aventi per oggetto due o più variabili presentano generalmente notevoli difficoltà di risoluzione. Fra essi hanno assunto particolare importanza, per le varie applicazioni nella ricerca operativa, i problemi di programmazione lineare. Dal termine “lineare è chiaro che si tratta di quesiti la cui funzione obiettivo, riferita sempre ad una grandezza economica come il costo o il guadagno, è una funzione di primo grado in due o più variabili. I problemi di P. L. sono problemi di massimo o minimo vincolati, con funzioni e vincoli tutti lineari. Si ha un programma lineare quando il problema si traduce in un modello matematico costituito da:

a) una funzione lineare di “n” variabili (funzione economica) da rendere massima o minima;

b) un sistema di vincoli espressi da equazioni o disequazioni lineari delle “n” variabili;

c) un sistema di vincoli di segno che esprimono la non negatività delle variabili, poiché si tratta di grandezze economiche.

I problemi di P. L. sono problemi di scelta economica della migliore distribuzione, fra più attività, di risorse limitate in modo da massimizzare un profitto o minimizzare un costo. I problemi classici oggetto della P. L. sono: problemi di programmazione della produzione che richiedono di minimizzare i costi o massimizzare gli utili, problemi di trasporto, problemi di scelta di fonti energetiche, ecc. PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI: METODO GRAFICO Se la funzione obiettivo è dipendente da due variabili, cioè y = f(x1,x2) oppure z = f(x, y), si ha che il suo campo di scelta è l’area o la “zona ammissibile” che si ricava con la rappresentazione grafica del sistema di disequazioni di primo grado dei “vincoli”. Se il dominio dei vincoli è un poligono, si calcola il valore della funzione economica nei vertici e si ricava il vertice (o i vertici) in cui la funzione assume valore max o minimo. Se il dominio dei vincoli è illimitato, si esamina l’andamento delle linee di livello per dedurre se esiste un vertice che ottimizza la funzione. Nel caso economico la rappresentazione grafica si limita al primo quadrante (per i vincoli di segno).

VERIFICA MODULO 5 SCEGLI LA TIPOLOGIA “A” O “B” TIPOLOGIA “A”

1) Per la produzione di un articolo un’impresa può seguire tre diversi processi produttivi. Le spese di produzione sono le seguenti:

• Per il processo A si deve sostenere una spesa fissa di 4.800 euro e un costo di 6 euro per ogni unità prodotta;

• Per il processo B si deve sostenere una spesa fissa di 3.000 euro e un costo di 9 euro per ogni unità prodotta; • Per il processo C si deve sostenere una spesa fissa di 1.500 euro e un costo di 10

euro per ogni unità prodotta. Rappresentare graficamente le funzioni dei costi totali e determinare la scelta del processo più conveniente in relazione alla quantità da produrre.

2) Un’industria, per produrre un certo articolo, sostiene spese fisse settimanali di

2.000 euro ed una spesa variabile per ogni unità prodotta di 10 euro diminuita del doppio del numero degli articoli prodotti. La spesa settimanale di vendita è di 960 euro ed il ricavo per unità venduta è di 25euro diminuite del triplo delle unità prodotte. Qual è il numero degli articoli da produrre settimanalmente per ottenere l’utile massimo ?

3) Un dato prodotto è fabbricato in lotti di 100 pezzi, fino ad un massimo di 800

pezzi al giorno, ciascun lotto con spese fisse giornaliere di 250 euro e un costo unitario di 0,9 euro. Sapendo che il prezzo di vendita e di 200 euro per il primo lotto e che il prezzo di vendita unitario decresce di 10 euro per ogni lotto venduto in più, quanti lotti si devono produrre al giorno per avere il massimo guadagno ?

TIPOLOGIA “B” 1) Una ditta che opera in condizioni di monopolio sostiene per la produzione di un

articolo una spesa fissa settimanale di € 280 ed un costo di € 1,5 per ogni unità prodotta. La domanda è espressa dalla funzione: x = 600 – 20p dove x è la quantità richiesta dagli acquirenti in funzione del prezzo di vendita p. Esprimere l’utile netto sia in funzione della quantità, sia in funzione del prezzo di vendita e determinare per quale quantità e per quale prezzo di vendita si massimizza l’utile. Calcolare inoltre i limiti di produzione per non essere in perdita. 2) Un articolo e prodotto in lotti di 500 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa di € 1.200 e un costo di € 0,5 al pezzo. Il prezzo di vendita al lotto è decrescente rispetto al numero di lotti venduti e precisamente è dato dalla seguente tabella: N° Lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (€) 800 800 780 750 700 670 600 520

Determinare il numero di lotti da produrre settimanalmente per ottimizzare l’utile. 3) Una ditta deve decidere la produzione di un capo di vestiario fra due modelli che comportano i seguenti costi di produzione: a) costo fisso settimanale di € 300 e € 20 per ogni capo; b) costo fisso settimanale di € 450 e € 24 per ogni capo.

Il primo modello può essere venduto al prezzo di € 40, il secondo a € 50.

Determinare quale modello è più conveniente produrre in funzione delle quantità

vendute.

Disciplina: Matematica applicata V ITC

VERIFICA MODULO 5 SCEGLI LA TIPOLOGIA “A” O “B” TOPOLOGIA “A” Quesiti: • Dare una definizione, il più possibile completa, della Ricerca Operativa.

• Quali furono gli Stati in cui si sviluppò originariamente la Ricerca Operativa?

• In quale ambito nacque la Ricerca Operativa?

• Quali sono, attualmente, i settori di maggior applicazione della Ricerca Operativa?

• Descrivere le fasi della Ricerca Operativa.

• In quale fase della Ricerca Operativa vengono applicate le tecniche statistiche?

• Com’è strutturato, in generale, il modello matematico in un problema di Ricerca

Operativa?

• Il problema delle scorte è un “problema di scelta in condizioni di incertezza?

Perché?

Esercizio: Un pastificio industriale consuma 240 q di farina al mese.

Ogni ordinazione comporta una spesa fissa di 50 euro e le spese di magazzinaggio

ammontano a 20 euro al quintale all’anno.

La merce è depositata in un magazzino che ha la capacità di 150 q.

Determinare la quantità che conviene ordinare ogni volta per rendere minima la spesa

complessiva annua per ordinazioni e magazzinaggio, il numero di ordinazioni

occorrenti all’anno e la loro periodicità.

TIPOLOGIA “B” Quesiti: • Dare una definizione, il più possibile completa, della Ricerca Operativa.

• Quali furono gli Stati in cui si sviluppò originariamente la Ricerca Operativa?

• In quale ambito nacque la Ricerca Operativa?

• Quali sono, attualmente, i settori di maggior applicazione della Ricerca Operativa?

• Descrivere le fasi della Ricerca Operativa.

• In quale fase della Ricerca Operativa vengono applicate le tecniche statistiche?

• Com’è strutturato, in generale, il modello matematico in un problema di Ricerca

Operativa?

• Il problema delle scorte è un “problema di scelta in condizioni di incertezza?

Perché?

Esercizio: Un commerciante di calzature di un grosso centro deve effettuare ordinazioni annue

per un totale di 10.000 paia di scarpe. Il costo di ogni ordinazione è di 20 euro, il

costo di magazzinaggio è di 10 euro per paio all’anno.

Determinare la quantità che conviene ordinare ogni volta per rendere minima la spesa

complessiva annua per ordinazioni e magazzinaggio, il numero di ordinazioni

occorrenti all’anno e la loro periodicità.