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ANNO ACCADEMICO 2011 - 2012

1

CORSO DI

“MECCANICA DELLE TERRE”

LEZIONE 7

STATI DI DEFORMAZIONE, ANALISI LIMITE E

SPINTA DELLE TERRE

Prof. Ing. Geol. Eugenio Castelli

Dipartimento di Ingegneria Civile ed Architettura

Università degli studi di Trieste



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Stati di deformazione

E’ necessario avere idee abbastanza chiare sui vari modi di

deformazione (si ricordi quanto illustrato per le diverse prove di

laboratorio: compressione unidimensionale (edometro), compressione

uniassiale cilindrica (triassiale), taglio diretto, taglio semplice, ecc.).

Consideriamo un piccolo cubo di materiale di area trasversale A e di

altezza z; applichiamo un'azione F N in direzione normale all'area A e

il cubo si allunga fino a raggiungere la nuova lunghezza (z + l).

Seguendo le definizioni convenzionali di tensioni e deformazioni

abbiamo una tensione normale data da σ=F N/A e una deformazione

unitaria lineare normale data da ε = -l/z ; è inserito il segno - per gli

sforzi di trazione che agiscono raramente nel terreno, di modoche tensioni e deformazioni di compressione sono di segno

positivo.

Se poi un'azione FS è applicata (figura b) al cubo nel piano A, cioè

parallelamente alle Superfici del cubetto, si ha la distorsione del

cubetto con la rotazione delle facce verticali. La tensione di taglio τ

e la deformazione di taglio γ sono definite da:

si ha segno + se si produce un incremento degli angoli nei

quadranti positivi (figura b in basso).



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Molti problemi in geotecnica possono essere considerati, senza gravi errori, sia in condizioni di

deformazione piana (o bidimensionale) che in condizioni disimmetria assiale.

Nella prima situazione si ha che in una direzione (generalmente orizzontale) una deformazione principale è

nulla (fondazione continua di una lunga parete, un muro di sostegno, un lungo rilevato e le deformazioni del

terreno secondo la lunghezza sono nulle). Nella seconda situazione si ha che le tensioni e le deformazioni, rispetto ad un asse di simmetria che

generalmente è verticale, rimangono costanti con la rotazione.

La prima situazione è quella più comune in geotecnica e molte soluzioni usualmente applicate si riferiscono

ad essa.



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Si consideri un piccolo elemento ABCD giacente nel piano x, z nella

situazione bidimensionale (piana); come risultato di una variazione dello

stato delle tensioni effettive si muove ed è distorto, e quindi si trova in

una nuova posizione.

Possiamo studiare lo stato di deformazione dell'elemento separando lecomponenti di rotazione e di spostamento dalle deformazioni e dalle

distorsioni. Con riferimento alla figura abbiamo lo spostamento

dell'elemento con il vettore di estremi A e A' e la rotazione dell'elemento

con l'angolo α di rotazione della diagonale AC-A'C.

Tutti gli altri effetti sono dovuti a deformazione normale e

distorsione e si possono vedere rimuovendo le componenti di

spostamento e rotazione.

Le deformazioni normali sono definite come i cambiamenti delle

dimensioni dell'elemento nelle due direzioni.

Se i lati dell'elemento ABCD sono originariamente di lunghezza

unitaria per piccole deformazioni si può scrivere che le dimensioni

dell'elemento distorto sonoB'C' = A'D' = (1 – εx) e B'A' = C'D' = (1 – εz).

Le deformazioni di taglio sono date dalle εxz e εzx che rimangono dopo

che la rotazione α dell'intero elemento è stata rimossa; dalla geometria

della figura risulta che εxz = εzx e che esse rappresentano la

deformazione di taglio puro. I segni sono ancora quelli

precedentemente definiti.



La situazione ora vista può essere rappresentata nell'elemento

indeformato indicando le deformazioni sulle quattro facce. In

questa figura quindi, le deformazioni εx e εzx sono le

deformazioni normali e di taglio tra i piani BA e CD.

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Se ora con riferimento alle distorsioni εxz e εzx facciamo ruotare

l'elemento in senso antiorario di εxz otteniamo quanto già visto

inizialmente nella rappresentazione della deformazione di taglio;

si può dimostrare che γzx = εzx + εxz = 2 εzx poiché εxz = εzx

cioè

la deformazione di taglio semplice è il doppio di quella di

taglio puro.



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I terreni possono deformarsi:

1. con continuità, cioè le deformazioni variano uniformemente nel

materiale;

2. con uno scivolamento discontinuo.

Deformazioni uniformi caso (a): un elemento piano assoggettato ad

incrementi δσ’ v e δσ’ h delle tensioni effettive verticali e orizzontali

subisce piccoli cambiamenti δv e δ h delle dimensioni verticali e

orizzontali e, come si vede dalla figura, non ci sono discontinuità

nell'elemento.

Scivolamento discontinuo (b): avviene in una zona ristretta di

elevato taglio che passa attraverso l'elemento formando due blocchi

triangolari; le deformazioni nei due blocchi, ai lati della zona

ristretta, sono trascurabili e tutti gli spostamenti sono dovuti alle

grandi deformazioni nella zona di taglio; al limite la zona ristrettacon spessore nullo diventa un piano di slittamento.

Generalmente si hanno tutti e due i modi di deformazione, ma

usualmente uno dei due è predominante ed è quindi conveniente

riguardare un incremento di deformazione legato o all'uno o all'altro.



Buona parte della meccanica dei terreni usata per la soluzione dei problemi di ingegneria fa riferimento a due

modelli costitutivi delle terre:

1. I1 primo modello considera il materiale elastico lineare per stati di sforzo lontani dalla rottura e a

questo modello si fa riferimento ad esempio per il calcolo dei cedimenti nella valutazione della

distribuzione delle tensioni nel terreno.2. I1 secondo modello considera il materiale rigido plastico con limite di rottura governato dal criterio

di Mohr-Coulomb e a questo modello si fa riferimento nel calcolo della capacità portante delle

fondazioni o della stabilità dei muri di sostegno, e per altri problemi.

Queste semplificazioni nella rappresentazione del comportamento del terreno hanno permesso di risolvere in

forma chiusa problemi anche molto complessi.

E’ però evidente che nel trattare certi problemi si hanno delle evidenti contraddizioni legate specialmente al

comportamento non lineare e poco elastico del terreno.

Si consideri ora il mezzo plastico perfetto, il cui modello descrive il comportamento di un materiale ideale

in grado di assorbire le azioni esterne fino ad un limite fisso, prima del quale la deformazione è nulla (oppure

solo elastica) e oltre il quale si ha scorrimento o deformazione indefinita.

I1 comportamento plastico perfetto è rappresentato nello spazio degli sforzi dalla superficie limite che mette

in relazione tra loro le componenti del tensore delle tensioni in condizioni di rottura.

Se ora ci si riferisce al comportamento delle terre, la superficie limite può essere rappresentata da relazioni

analitiche diverse che si basano sui vari modi con cui si manifesta il fenomeno della rottura; riprendendo

quanto visto trattando la resistenza al taglio dei terreni:

a. per un materiale granulare si è vista la relazione di Coulomb τ = σ tg Φ

b. per materiale puramente coesivo si è vista la relazione τ = cu (criterio di rottura di Tresca)

corrispondente al comportamento a rottura delle terre coesive non drenate.



Per materiale dotato di attrito e coesione si ha la relazione di Mohr-Coulomb τ =c+ σ tg Φ dove i

parametri c e Φ possono assumere significati diversi in relazione al tipo di materiale e alle

condizioni in cui si ha la rottura.

Rappresentando nel piano di Mohr la relazione di Mohr-Coulomb si può anche scrivere:

E quindi si può anche scrivere:

Semplificando e ricordando che si ottiene:

Si può anche scrivere:

Ricordando che:



Nel piano di Mohr, per materiale puramente coesivo in condizioni non drenate, la relazione τ

=cu può essere rappresentata da σ1 - σ3 = 2 cu. La resistenza al taglio τ è indicata da una retta

parallela all'asse σ, retta che è la linea limite e rappresenta la rottura dell'argilla a volume

costante.



La risoluzione del problema del mezzo plastico perfetto richiede che, nel rispetto del criterio di resistenza e

delle assegnate condizioni al contorno, siano soddisfatte:

I. le equazioni di equilibrio,II. le equazioni di congruenza

III. la legge costitutiva del materiale.

L'analisi dell'equilibrio plastico presenta talvolta delle difficoltà notevoli che vengono superate adotatndo la

teoria della plasticità perfetta ed utilizzando due teoremi fondamentali che portano a soluzioni approssimate,

ma teoricamente corrette e che derivano dall'applicazione del principio dei lavori virtuali ai sistemi continui.

I metodi dell'analisi limite per un materiale rigido plastico, isotropo e omogeneo, permettono la ricerca,

mediante un metodo cinematico e un metodo statico, di un limite superiore e di un limite inferiore del carico

di rottura; questi sono basati su due teoremi.

I. I1 teorema del limite superiore dice che, se viene fatta una stima del carico di collasso analizzando un

meccanismo di deformazione cinematicamente ammissibile, la stima sarà uguale o maggiore del valore

corrispondente alla soluzione esatta. Cioè, se si individua un meccanismo di collasso plastico tale che il

lavoro svolto dalle forze esterne Le uguagli il lavoro fatto dalle tensioni interne Li, avviene la rottura e leforze esterne costituiscono un limite superiore dei carichi di collasso reale.

II. Il teorema del limite inferiore stabilisce che, se è possibile trovare un complesso di forze esterne che

sia in equilibrio con uno stato di tensioni interne tale che non violi in nessun punto il criterio di rottura

del materiale, allora la rottura non può avvenire e le forze esterne costituiscono un limite inferiore dei

carichi di collasso reale.

ANALISI DELL’EQUILIBRIO PLASTICO



Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e

orizzontale

Stato tensionale geostatico nel punto A



Se analizziamo la situazione della spinta su una parete rigida verticale, addossata ad un mezzo plastico con

un metodo statico facendo l'ipotesi che la parete non alteri la distribuzione delle tensioni che si avrebbe in sua

assenza, cioè la parete si comporta come il volume del mezzo mancante per ricostruire il semispazio.

Se consideriamo il piano di Mohr, le tensioni verticali e orizzontali sono tensioni principali, poiché per

l'ipotesi fatta non possono esservi tensioni tangenziali sulla superficie di contatto tra il muro e la parete equindi nelle condizioni iniziali si ha la relazioneσh0 = K 0σvo con K 0 in genere inferiore a 1.

Nell'ipotesi di uno spostamento δh della parete verso

l'esterno, la tensione orizzontale σh = σ3 (tensione principale minore) si riduce mentre si mantiene

costante quella verticale σv = σ1 (tensione principale

maggiore); il valore minimo della tensione orizzontale

viene raggiunto quando il cerchio tocca la retta limite

e in questo caso si ha la tensione in condizioni di

equilibrio limite attivo.



Spinta a riposo Condizione di spinta attiva

Stato tensionale attivo (limite inferiore)



Condizione di spinta passiva



Piani di scorrimento nella condizione di spinta attiva



Si è già visto che si aveva:

E quindi

con K a indicato come coefficiente di spinta attiva. Quindi nel caso generale con coesione:

Se invece consideriamo uno spostamento δh della parete verso l'interno (verso il terreno) la tensione

orizzontale aumenta fino a raggiungere le condizioni di equilibrio limite passivo per cui σhp = σ1 e:

ovviamente la spinta totale viene ottenuta integrando le relazioni precedentemente indicate lungo la

parete. Questa soluzione è ottenuta nel rispetto delle condizioni di equilibrio e del criterio di resistenza

(metodo statico).



I1 valore di α che rende massima la spinta attiva si ha imponendo la condizione: e svolgendo laderivata si ha cioè per cui:

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Vediamo ora una soluzione di tipo cinematico esaminando la situazione rappresentata in figura, nella

quale è indicato il movimento della parete e di un cuneo rigido retrostante (stato attivo).

Il lavoro delle forze esterne è dato da

Le = WδVw - Pa δhPa mentre quello delle forze

interne è dato da Li = TδS .

Si ha W = ½ γ h2 tgα e per il criterio di Mohr-

Coulomb τf =c+σtgΦ:

I1 valore di N può essere ricavato proiettando i vettori che rappresentano Pa e W nella direzione

perpendicolare a T e ottenendo N= Wsenα + Pa cosα. Perciò la condizione Le - Li =0 si scrive:

tenendo conto che δ Vw = δs cosα e δ hPa = δs senα si ottiene:

valore che coincide con quello ottenuto con la soluzione statica.



Stato attivo: il meccanismo di collasso

plastico avviene su un piano di

slittamento individuato dall'angolo

45° - Φ/2 rispetto alla verticale (45° +

Φ/2 rispetto alla orizzontale).

Analogamente per lo stato passivo si

arriva ad una relazione equivalente a

quella ottenuta con il metodo statico e il

meccanismo di collasso plastico avviene

su un piano individuato dall'angolo45° +

Φ/2 rispetto alla verticale (45° - Φ/2

rispetto alla orizzontale).

Le ipotesi fatte nei due casi per le condizioni al contorno sono identiche e l'energia dissipata nello

scorrimento coincide con quella dissipata in una deformazione plastica e uniforme del cuneo.

Quanto finora visto per le situazioni di una parete rigida verticale con la determinazione dello stato

tensionale associato è stato risolto da Rankine nel 1857, quando ancora non si conoscevano i teoremi dellimite inferiore e superiore, e gli stati di equilibrio plastico attivo e passivo sono anche detti di Rankine.

La teoria di Rankine considera una massa seminfinita limitata da una superficie orizzontale e formata da

materiale che obbedisce alla relazione di rottura di Coulomb ed esamina le due situazioni per cui una parte

della massa possa espandersi o possa essere compressa orizzontalmente fino a che ogni elemento all'interno

della parte interessata dal fenomeno, possa raggiungere la rottura.



La condizione di rottura è soddisfatta per ogni superficie inclinata di un angolo 45°-Φ/2 rispetto alla

direzione della tensione principale maggiore; con massa seminfinita, limitata da una superficie

orizzontale e sollecitata solo dalla gravità, le tensioni principali e i piani corrispondenti, come si è già

visto, sono quelli verticali e orizzontali; con l'espansione la tensione principale maggiore è quella

verticale mentre con la compressione è quella orizzontale e la rottura si raggiunge con piani dislittamento inclinati di 45°+Φ/2 rispetto all'orizzontale nel primo caso e di 45°-Φ/2 rispetto

all'orizzontale nel secondo caso e le tensioni a rottura per l'elemento della massa interessata sono quelle

già indicate con le relazioni precedenti.

La teoria di Rankine fa parte delle soluzioni con linee di scorrimento nella massa a rottura, linee che

per le situazioni esaminate sono rette.



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Il grafico mostra che, per la mobilitazione della spinta attiva è necessario uno spostamento della sommità del

muro dell'ordine dello 0,l ÷ 0,2% della sua altezza mentre nel caso passivo tale valore può variare dal 2÷ 8%

per le sabbie dense al 5 ÷20% per le sabbie sciolte.

Per le sabbie, nella scelta del Φ da usare per la spinta attiva è lecito introdurre il valore di picco; invece, nel

caso della spinta passiva, a causa delle notevoli deformazioni che danno luogo a fenomeni di rottura

progressiva, il valore di Φ disponibile è probabilmente intermedio tra quello di picco e quello finale.

Prove di laboratorio e prove sperimentali hanno indicato che gli spostamenti dell'opera necessari per

raggiungere le due condizioni limite sono profondamente diversi tra loro.



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Quanto finora detto vale nell'ipotesi che la parete si comporti come il volume mancante per ricostruire il

semispazio e quindi rappresenti il comportamento di una massa di sabbia seminfinita sottoposta a una

espansione o a una compressione uniforme.

In uno stato di sabbia reale queste condizioni possono essere riprodotte solamente per un processo geologicocon movimenti dovuti a forze tettoniche. In realtà, invece, il movimento di un muro di sostegno può produrre

un cambiamento negli sforzi nella sabbia solo nelle vicinanze della causa disturbatrice, mentre il resto della

sabbia rimane in equilibrio elastico. Pertanto stati locali di equilibrio plastico possono essere prodotti da

differenti processi di deformazione; gli sforzi corrispondenti nella zona plastica e la forma della zona stessa

dipenderanno principalmente dal tipo di deformazione e dalla ruvidezza della superficie di contatto tra terra e

struttura.

Sono state così proposte varie teorie e soluzioni riguardanti la spinta delle terre per le diverse ipotesi

che si possono formulare e per le diverse situazioni che si possono presentare.



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Coulomb ha suggerito, per il calcolo dei muri di sostegno, un metodo basato sullo studio dell'equilibrio limite

globale del sistema, formato dal muro e dal prisma di terreno omogeneo retrostante il muro, e coinvolto nella

rottura nell'ipotesi di parete ruvida.

Per ciascuna posizione della linea BC si ha un valore di R e fra tutti i valori di R vi è un massimo P. Questo

valore massimo è quello della spinta attiva delle terre.

Il problema è quindi risolto utilizzando le equazioni dell'equilibrio delle forze e assicurando una condizione

di massimo.

Coulomb ammette che la linea di scorrimento che delimita il

cuneo sia retta; egli considera un muro di sostegno delimitatoverso il terrapieno dalla parete rettilinea AB e traccia una retta

ipotetica di scorrimento BC.

Suppone poi che:1. il terreno sia incoerente (ΦK0, c=0) ed omogeneo

2. la superficie non sia caricata.

I1 cuneo ABC è allora sottoposto all'azione di tre forze:

1. il peso W del terreno,

2. la reazione risultante Q delle forze di attrito lungo la linea di

slittamento

3. la reazione R del muro sul terreno stesso.

La risultante di queste tre forze deve essere nulla perché il cuneo sia in equilibrio; W è noto come pure ledirezioni di R e Q (R deve fare un angolo δ con la normale al paramento e Q un angoloΦ con la normale alla

linea di slittamento). Quindi è possibile determinare R.



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Coulomb ha risolto il problema anche analiticamente ed ha ottenuto l'equazione:

Per δ = 0°, α = 90° e β = 0° la spinta di Coulomb coincide con quella di Rankine; comunque si è visto ancheche K a dedotto con il metodo di Coulomb differisce poco dai valori ricavati con soluzioni analitiche esatte.

con:

e la componente normale Pan sul paramento del muro vale:

La formula sopraindicata è piuttosto gravosa e la soluzione

analitica per superfici variamente inclinate diventa praticamente

proibitiva.I1 problema può essere risolto con dei metodi grafici tra i quali

sono da ricordare quelli di Poncelet, Culmann e Rebhan.



Il metodo di Coulomb è stato applicato anche alla spinta passiva che si esercita su pareti ruvide,

pervenendo, sempre con l'ipotesi che la superficie di slittamento sia piana, a formule simili a quelle

viste per la spinta attiva.

L'errore che si fa con l'ipotesi di superficie piana è però a favore della rottura, in quanto conduce a

valori in eccesso di K p e quindi della spinta passiva, che di solito agisce da forza stabilizzante. Sel'angolo di attrito col muro è piccolo allora la superficie di slittamento si avvicina abbastanza ad un

piano, ma se δ è notevole l'errore è grande.

Per Φ=δ=30°, β=0 (riempimento orizzontale) e α = 90° (muro verticale) il valore della spinta

passiva trovata con Coulomb è del 30% superiore a quella corrispondente a superfici di

slittamento curve.

Addirittura per Φ=δ= 40° si ha con Coulomb Kp = 92,3 e con superfici curve Kp = 17,5.Per δ = 0 il valore di Coulomb coincide con quello di Rankine.

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Quando si ipotizzano superfici ruvide del muro ed il muro ha uno spostamento in A'B la sabbia tende a

muoversi e ad abbassarsi lungo la parete retrostante del muro. Si sviluppano allora delle forze di attrito che

inclinano la risultante della spinta attiva di un angolo δ rispetto alla normale al muro. Questo angolo d'attrito

terra-muro viene considerato positivo quando la componente tangenziale della spinta è diretta verso il basso,

cioè quando la sabbia si abbassa rispetto al muro.

Alcune analisi teoriche e sperimentali del fenomeno hanno mostrato che la superficie di scorrimento BC

consiste di una parte bassa curva e di una parte alta retta; all'interno della zona ADC i piani di scorrimento

corrispondono a quelli dello stato attivo di Rankine, mentre nella zona ADB la rete di scorrimento è formata

da due famiglie di linee curve.

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Se invece la parete è spinta indietro si ha resistenza passiva. Quando il peso della parete è

maggiore della forza di attrito sabbia-muro, la sabbia s’alza e la spinta passiva agisce inclinata

dell’angolo δ. La sua componente tangenziale è diretta verso l’alto ed in questo caso l’angolo δ è

considerato positivo; all’interno del triangolo ADC la rete è corrispondente allo stato passivo di

Rankine, mentre nella zona ADB, come nel caso precedente, si hanno due famiglie di curve.

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Quando la superficie del terreno è

orizzontale e il retro del muro èverticale e liscio, dimodoché non vi

sono tensioni di taglio, si può

valutare la spinta attiva nell'ipotesi

che la zona attiva sia un triangolo e

che il terreno entro esso si trovi

nello stato attivo di Rankine.

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Consideriamo ora un muro che sostenga della sabbia asciutta; in questo caso la spinta attiva ad ogni

profondità è data come abbiamo già visto daσh = γzK a essendo γ il peso di volume della terra, z la profondità

e K a il coefficiente di spinta attiva. La spinta totale vale:

ed agisce ad un'altezza H/3.

Spinta delle terre sulle opere di sostegno

Generalmente con i muri di sostegno vengono soddisfatte le condizioni di spostamento che danno luogo alla

spinta attiva.

Nello stato attivo di Rankine la determinazione K a corrisponde al caso in cui la superficie del terreno è

orizzontale, sui piani verticali non ci sono tensioni di taglio e le tensioni orizzontali sono tensioni principali.

Quando il muro di sostegno si muove, soddisfacendo così la condizione di deformazione, anche il terreno

retrostante si muove e quindi si sviluppano tensioni di taglio tra il terreno ed il muro. Queste tensioni però,

nel caso di spinta attiva, riducono la spinta; l'adottare il metodo di Rankine porta quindi ad una stima in

eccesso e a favore della sicurezza.



Caso di un muro che sostenga un riempimento formato da sabbia asciutta per l'altezza H1 e immersa per

l'altezza H2 e sulla cui superficie orizzontale agisca un sovraccarico uniformemente ripartito q.

L'angolo di attrito interno sia Φ, eguale per sabbia asciutta ed immersa, e il peso di volume della sabbia

asciutta sia γd. Si è già visto che si deve tener conto dell'effetto della pressione neutrale sugli sforzi

effettivi della sabbia assegnando alla sabbia immersa il peso di volume immerso γ’. Quindi, fino alla profondità H1, la spinta sul muro è rappresentata, con acqua ferma, dal triangolo ABC; alla profondità

z', sotto la falda con acqua in quiete, la pressione verticale vale σv = γdH1+z’γ’ e quindi quella

orizzontale è data da:

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La spinta totale è data dall'area ABDEC. Bisogna poi aggiungere la spinta dell'acqua 1/2 γwH22

rappresentata da LMN. Il sovraccarico q fa aumentare la pressione verticale σz ad ogni profondità di q e

quindi la pressione orizzontale aumenta di:

e la spinta corrispondente al sovraccarico è data dall'area FGIH.



Più complicata è la valutazione della spinta dovuta ad un sovraccarico di tipo lineare o puntiforme.

Generalmente in questi casi si ricorre a soluzioni ottenibili dalla teoria dell'elasticità (Boussinesq),

però corrette opportunamente sulla base di prove sperimentali. Per un carico di tipo lineare il valore

di σh è dato per m ≤ 0,4 da:

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Nel caso di un carico puntuale si hanno le seguenti espressioni:

30



Se il muro sostiene della terra la cui resistenza al taglio sia data dalla relazione τ = c’+σ’tgΦ’, si può

applicare la relazione che può essere scritta nella forma

31

La pressione orizzontale σh è rappresentata dalla linea CD rispetto ad AB.

Alla profondità z 0:

la pressione orizzontale si annulla.

Poiché il terreno non aderisce necessariamente al muro, si fa

in genere l'ipotesi che la spinta attiva di un terreno coerente

sia rappresentata dal triangolo BDE e quindi sia espressa da:

sempre nell'ipotesi che l'adesione terra-muro sia nulla.



Nella tabella sono riportati i valori di K a in funzione dell'angolo d'attrito Φ e dell'angolo β della

superficie libera del terrapieno con l'orizzontale, cioè per la situazione di terreno delimitata da un

piano con inclinazione rispetto all'orizzontale pari a β< Φ.

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Coefficienti di spinta attiva K a



33



Fra le soluzioni che hanno ipotizzato superfici di scivolamento curvilinee e parete ruvida, è

particolarmente accettabile quella proposta da Caquot e Kerisel che prevede di determinare i valori

delle spinte in funzione di Φ e delle caratteristiche geometriche sia del muro che del terreno.

I coefficienti K a e K

p sono funzione di Φ, dell'angolo β della superficie libera con l'orizzontale,

dell'angolo λ del muro sulla verticale e dell'angolo δ della spinta sulla normale al muro; tali angoli

sono computati con il segno indicato da Caquot Kerisel e riportati in figura. Nelle tabelle di Caquot

e Kerisel sia δ che β variano tra 0 e Φ e δ è preso eguale a 0, 1/3 Φ, 2/3 Φ e Φ.

Nella tabella sono riportati i valori di K a e K p per β = λ = 0 e in funzione di e Φ e δ .

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I valori di K a sono riportati sulla prima linea e di K p sulla seconda linea



Altra soluzione a cui viene spesso fatto riferimento è quella riportata da Navfac 1982 e che fornisce i valoridi K a e K p per parete verticale, superficie del terreno inclinata, al variare di β / Φ nell'ipotesi di superficie discorrimento formata da una spirale logaritmica.

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