Meccanica 1419 aprile 2011

Oscillatore armonico, energia meccanica

Oscillatore smorzato

Oscillatore forzato. Risonanza. Fattore di qualita`

Oscillatore armonico

• Abbiamo visto diversi sistemi che si muovono di moto armonico– Un punto sotto l’azione di una molla, il pendolo, il

pendolo di torsione

• Altri sistemi fisici presentano grandezze che seguono la stessa legge oraria– Solidi elastici, fluidi, circuiti elettrici, campi

elettromagnetici– Strutture meccaniche che si allontanano di poco

dall’equilibrio, per cui le forze di richiamo sono lineari rispetto agli spostamenti

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Oscillatore armonico

• Tutti questi fenomeni sono regolati da equazioni (in generale più d’una) del tipo

• Ove le k sono opportune grandezze che caratterizzano il sistema e le pulsazioni k

2 sono costanti che dipendono dai parametri del sistema

d2kdt 2

k2k

3

Oscillatore armonico

• Le soluzioni di queste equazioni sono

• Ove le ampiezze Ak e le fasi k sono costanti calcolabili conoscendo le condizioni iniziali

k t Ak sin kt k

k t 0

dkdt

t0

4

Energia dell’oscillatore armonico

• Riferiamoci al caso particolare del punto materiale sotto l’azione della forza elastica F=-kx

• Questa forza è conservativa, quindi l’energia meccanica si conserva. Verifica:

K t 1

2mv 2 t

1

2mdx

dt

2

1

2mA2 2 cos2 t

U t 1

2kx 2 t

1

2kA2 sin2 t

E K t U t 1

2A2 m 2 cos2 t k sin2 t

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Energia dell’oscillatore armonico

• Poiché abbiamo

• Che è costante nel tempo• Possiamo riscrivere K e U in termini di E

• I valori medi su un periodo sono

2 k

m

E 1

2m 2A2

1

2kA2

6

tEtK 2cos tEtU 2sin

EdttKT

KT

2

11

0

EdttUT

UT

2

11

0

OA smorzato da forza viscosa• L’oscillatore armonico sia smorzato da una

forza viscosa, cioe` proporzionale e opposta alla velocita`

• L’equazione del moto e` omogenea e ha forma

• Detto il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale, l’eq. si puo` riscrivere

vF

02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

m2 mk0

02 202

2

xdt

dx

dt

xd 7

OA smorzato da forza viscosa

• Per risolvere questa equazione, studiamo le soluzioni dell’eq. algebrica associata (EAA)

• Queste sono

• Abbiamo tre casi, a seconda del valore del discriminante

02 20

2

20

22,1

8

OA smorzato da forza viscosa

• Caso smorzamento forte, le soluzioni dell’EAA sono entrambe negative

• La soluzione generale del’eq. differenziale e`

• A e B si determinano specificando le condizioni iniziali

0

20

21 2

02

2

tt BeAetx 21

9

• Caso smorzamento debole, le soluzioni dell’EAA sono complesse coniugate

• La soluzione generale del’eq. differenziale e`

0

ii 2201

titittt BeAeeBeAetx 21

OA smorzato da forza viscosa

ii 2202

10

• Usando la formula di Eulero e ridefinendo le costanti, abbiamo

• Ove C e si determinano specificando le condizioni iniziali

• La soluzione e` una sinusoide smorzata esponenzialmente. Si definisce lo pseudoperiodo e in un tempo T l’ampiezza si riduce di

tCetx t sin

OA smorzato da forza viscosa

2T

TetxTtx 11

• Caso smorzamento critico, le soluzioni dell’EAA sono negative e uguali

• La soluzione generale del’eq. differenziale e`

• A e B si determinano specificando le condizioni iniziali

0

21

BAteBeAtetx ttt

OA smorzato da forza viscosa

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Proprieta` asintotica

• In tutti e tre i casi la soluzione tende a zero per tempi sufficientemente grandi

• Cioe` la soluzione generale dell’eq. omogenea soddisfa

tt BeAetx 21 tCetx t sin

BAtetx t

000

t

0lim

tx genomot

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OA forzato

• Il moto di un OA si puo` rendere persistente, in presenza di attrito viscoso, applicando una forza esterna sinusoidale

• L’equazione del moto diviene non omogenea

• La pulsazione della forza, , e` in generale diversa dalla pulsazione naturale

tFF sin0

tm

Fx

dt

dx

dt

xd sin2 0202

2

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OA forzato• Nella teoria delle eq. differenziali si dimostra che la

soluzione generale dell’eq. non omogenea e` somma della soluzione generale dell’eq. omogenea e di una soluzione particolare dell’eq. non omogenea

• Cerchiamo allora se esiste una soluzione particolare di forma sinusoidale con pulsazione uguale a quella della forza esterna e dipendente da due parametri da determinare A e

partomonon

genomo

genomonon xxx

tAx part omonon sin

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OA forzato• Inserendo la soluzione di prova nell’eq.

differenziale, eseguendo le derivate, sviluppando seni e coseni e raggruppando, otteniamo

• L’eguaglianza deve valere ad ogni tempo e questo puo` accadere se e solo se le espressioni in parentesi quadre sono entrambe nulle

0cos2sincos

sin2cossin22

0

022

0

AAt

mFAAt

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OA forzato• Dalla seconda ricaviamo il valore di

• Per evitare la singolarita` della tangente in ridifiniamo la fase:

22

0

2

tg

0

2

sincos

cossin

17

OA forzato• Avremo allora

2

20

2 tg

tAtAtAtx cos

2sinsin

222

02

2220

2

20

2

2

2cos

2sin

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OA forzato• Da cio` si ricava il valore di A

• Abbiamo cosi’ trovato la soluzione particolare cercata

222220

0

4

1

m

FA

19

OA forzato

• Caratteristiche della soluzione particolare della funzione spostamento:– ha la pulsazione della forza esterna, non quella

naturale– e` sfasata rispetto alla forza– ampiezza e fase dipendono dalla pulsazione

esterna– ampiezza e fase non dipendono dalle condizioni

iniziali

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Soluzione generale

• Abbiamo visto che la soluzione generale dell’eq. non omogenea si scrive

• E che la soluzione generale dell’omogenea tende a zero per tempi sufficientemente grandi

• Quindi per tempi grandi la soluzione generale della non omogenea si riduce alla soluzione particolare

)(cos)()(

)()()(

tAtx

txtxtxgenomo

partomonon

genomo

genomonon

)(cos)()( tAtx omonon21

Risonanza

• Cerchiamo il valore di che rende massimo il valore assoluto dell’ampiezza

• Se il massimo si ha per• E vale

• Se allora e AM tende all’infinito, cioe` piu` piccolo e` lo smorzamento, piu` la pulsazione di risonanza e` vicina alla pulsazione naturale, maggiore diventa l’ampiezza massima o di risonanza

220 2 22

0 2 M

22

0

0

2

m

FAA MM

0 M0

22

Potenza • La potenza istantanea e`

• La media temporale della potenza e`

• Il cui massimo si ha per la pulsazione naturale

sincoscossinsin

sinsin

0

0

tttAF

ttAFFvtP

222220

220

04

cos2

1

m

FAFP

mF

PM 4

20

23

Larghezza di risonanza

• E` definita dalle due pulsazioni per cui la potenza media e` meta` della potenza media massima

• Si ottengono due equazioni quadratiche in , le cui due soluzioni accettabili sono

• La larghezza di risonanza e`

20

21 2

02

2

212

2M

PP

24

Fattore di merito

• E` definito come

• E` tanto maggiore quanto piu` stretta (cioe` migliore) e` la risonanza

km

Q

0

25