05_Dinamica_ Esempio Di Oscillatore Semplice Smorzato e FDL

ESEMPIO DI ANALISI DI UN OSCILLATORE SEMPLICERedattore: Dott. Ing. Simone Caffè - 26/10/2013

Analizzare il comportamento di un'oscillatore semplice avente rigidezza pari a 939.06 kN/mm, massa pari a 12000kg e soggetto ad una forza armonica verticale pari a 100 kN. Descriverne il comportamento dinamico in termini dispostamento verticale, assumendo inizialmente smorzamento del sistema pari al 2% dello smorzamento critico e poi uno smorzamento viscoso lineare dell'oscillarore pari a 0.63 kNs/mm (a 50 Hz). A seguito di ciò, analizzare ilmedesimo oscillatore considerando rigidezza e smorzamento viscoso lineare, variabili in funzione delle frequenza.

Dati di input:

Rigidezza dell'oscillatore: k 939.06kN

mm⋅:=

Forza armonica verticale: Fv 100 kN⋅:=

Massa vibrante: mv 12000 kg⋅:=

Periodo proprio di vibrazione: T0 2 π⋅mv

k⋅ 0.02246s=:=

Frequenza propria di vibrazione: f0 T01−

44.52216 Hz⋅=:=

Pulsazione propria di vibrazione: ω0 2 π⋅ f0⋅ 279.74rad

s⋅=:=

CASO A - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari al 2%:

Rapporto di smorzamento: ξA 0.02:=

Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fA "):

uz_real_A fA( )Fv

k

12 π⋅ fA

ω0

2

−

12 π⋅ fA

ω0

2

−

2

2 ξA⋅2 π⋅ fA

ω0

⋅

2

+

⋅:=

Si definisce ora la parte immaginaria dello spostamento:

uz_imm_A fA( )Fv

k

2− ξA⋅2 π⋅ fA

ω0

⋅

12 π⋅ fA

ω0

2

−

2

2 ξA⋅2 π⋅ fA

ω0

⋅

2

+

⋅:=

L'anadamento dello spostamento complessivo risulterà pertanto pari alla "magnitudo":

uz_magnitudo_A fA( ) uz_real_A fA( )2uz_imm_A fA( )2+:=

40 45 50 55 600

1 103−

×

2 103−

×

[Hz]

[m]

uz_magnitudo_A fA( )

fA

fA 1 Hz⋅:=

Spostamento massimo nel caso di sistema con smorzamento al 2%:

Maximize uz_magnitudo_A fA, ( ) 44.504 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)

uz_magnitudo_A 44.504 Hz⋅( ) 2.663 mm⋅=

Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:

La matrice di smorzamento [C] è composta da un termine MPD (mass proportional dumping α) che moltiplica lamatrice delle masse [M] e da un termine SPD (stiffness proportional dumping β) che moltiplica la matrice dellerigidezze [K]:

[C] = α[M] + β[K]

MPD ed SPD possiedono due caratteristiche opposte, rese evidenti dalla seguente formulazione:

ξn = α/2ωn + βωn/2

Lo smorzamento modale ξn relativo all'n-esima pulsazione propria ωn è costituito da un primo termine che

diminuisce iperbolicamente all'aumentare della frequenza e da un secondo termine che aumenta linearmenteall'aumentare della frequenza.Nel nostro esempio il rapporto di smorzamento ξ è fissato al 2%, pertanto per ottenere la medesima oscillazione in risonanza che si avrebbe nel dominio del tempo, è necessario che il rapporto di smorzamento istereticopossieda un valore doppio, per fare ciò il coefficiente β deve essere posto uguale al 4%.

NOTA:

Il risultato è perfettamenteanalogo a quello ricavatomanualmente.

CASO B1 - Analisi in caso di smorzamento del sistem a pari zero e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:

Smorzamento viscoso lineare:

cv 0.63kN s⋅mm

⋅:=

Determinazione dello smorzamento critico:

ccrit_B 2 mv k⋅⋅ 6.7138kN s⋅mm

⋅=:=

Rapporto di smorzamento:

ξB1

cv

ccrit_B

0.0938=:=

Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fB1"):

uz_real_B1 fB1( )Fv

k

12 π⋅ fB1

ω0

2

−

12 π⋅ fB1

ω0

2

−

2

2 ξB1⋅2 π⋅ fB1

ω0

⋅

2

+

⋅:=


uz_imm_B1 fB1( )Fv

k

2− ξB1⋅2 π⋅ fB1

ω0

⋅

12 π⋅ fB1

ω0

2

−

2

2 ξB1⋅2 π⋅ fB1

ω0

⋅

2

+

⋅:=


uz_magnitudo_B1 fB1( ) uz_real_B1 fB1( )2uz_imm_B1 fB1( )2+:=

40 45 50 55 601 10

4−×

2 104−

×

3 104−

×

4 104−

×

5 104−

×

[Hz]

[m]

uz_magnitudo_B1 fB1( )

fB1

fB1 1 Hz⋅:=

Spostamento massimo risulta:

Maximize uz_magnitudo_B1 fB1, ( ) 44.128 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)

uz_magnitudo_B1 44.128 Hz⋅( ) 0.5699 mm⋅=

Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:

- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico

Primo modo

NOTA:


Secondo modoPer utilizzare gli FDL bisogna trasformare lo smorzamento viscoso nello smorzamento isteretico variabilelinearmente al variare della frequenza.Se a 50Hz lo smorzamento viscoso è costante a 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare:

ch_50Hz_B1 cv 2⋅ π⋅ 50⋅ Hz⋅ 197.92kN

mm⋅=:=

Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:

ch_40Hz_B1 ch_50Hz_B140 Hz⋅50 Hz⋅

⋅ 158.34kN

mm⋅=:=


⋅ 237.5kN

mm⋅=:=

NOTA:

Gli FDL sovrascrivono interamente le proprietà assegnate al link.

NOTA:


CASO B2 - Analisi in caso di smorzamento del sistem a pari al 2% e smorzamento dell'oscillatore pari a 0.63 kNs/mm:

Smorzamento viscoso lineare:

cv 0.63 skN

mm⋅=

Determinazione dello smorzamento critico:

ccrit_B 6.7138skN

mm⋅=

Rapporto di smorzamento:

ξB2 ξA

cv

ccrit_B

+ 0.1138=:=

Si definisce ora la parte reale dello spostamento (previa definizione di una variabile di frequenza " fB2"):

uz_real_B2 fB2( )Fv

k

12 π⋅ fB2

ω0

2

−

12 π⋅ fB2

ω0

2

−

2

2 ξB2⋅2 π⋅ fB2

ω0

⋅

2

+

⋅:=


uz_imm_B2 fB2( )Fv

k

2− ξB2⋅2 π⋅ fB2

ω0

⋅

12 π⋅ fB2

ω0

2

−

2

2 ξB2⋅2 π⋅ fB2

ω0

⋅

2

+

⋅:=


uz_magnitudo_B2 fB2( ) uz_real_B2 fB2( )2uz_imm_B2 fB2( )2+:=

40 45 50 55 601 10

4−×

2 104−

×

3 104−

×

4 104−

×

[Hz]

[m]

uz_magnitudo_B2 fB2( )

fB2

fB2 1 Hz⋅:=

Spostamento massimo risulta:

Maximize uz_magnitudo_B2 fB2, ( ) 43.941 Hz⋅= (funzione che restituisce la frequenza alla quale si verifica il massimo)

uz_magnitudo_B2 43.941 Hz⋅( ) 0.4708 mm⋅=

Di seguito si riporta passo passo come inserire la suddetta analisi su SAP 2000:L'analisi svolta si inputerà su SAP in due modi:

- utilizzando un link con smorzamento viscoso lineare- utilizzando i frequency dependent link con rigidezza fissa e smorzamento isteretico

Primo modo

NOTA:

Il risultato di SAP differiscedello 0.21% rispetto aquello manuale.

Secondo modoPer utilizzare gli FDL bisogna trasformare lo smorzamento viscoso più lo smorzamento del s istema, nellosmorzamento isteretico variabile linearmente al variare della frequenza.Se a 50Hz lo smorzamento viscoso vale 0.63kNs/mm lo smorzamento isteretico sarà lineare e pari a:

ch_50Hz_B2 4 π⋅ ξA⋅ k mv⋅⋅ 50⋅ Hz⋅( ) cv 2⋅ π⋅ 50⋅ Hz⋅( )+ 240.1kN

mm⋅=:=

Considerando un andamento lineare si otterrano i valori a 40 Hz e a 60 Hz:


⋅ 192.08kN

mm⋅=:=


⋅ 288.13kN

mm⋅=:=

NOTA:


CASO C - Analisi in caso di smorzamento del sistema pari a zero. La rigidezza e lo smorzamento dell'oscillatore variano al variare delle frequenza :

Rigidezza variabile: Smorzamento addizionale variabile: Frequenza:

k40 1023.27kN

mm⋅:= c40 1.15

kN s⋅mm

⋅:= f40 40 Hz⋅:=

k50 939.06kN

mm⋅:= c50 0.63

kN s⋅mm

⋅:= f50 50 Hz⋅:=

k60 736.57kN

mm⋅:= c60 0.64

kN s⋅mm

⋅:= f60 60 Hz⋅:=

Considerando un coportamento lineare tra i suddetti valori, si costruiscono le funzioni di rigidezza e smorzamento in ragione della frequenza:

Funzione di rigidezza variabile:

kvar f( )k40 k50−

f40 f50−f⋅

k50 f40⋅ k40 f50⋅−( )f40 f50−

+ f f50≤if

k50 k60−

f50 f60−f⋅

k60 f50⋅ k50 f60⋅−( )f50 f60−

+ otherwise

:=

40 45 50 55 607 10

8×

8 108

×

9 108

×

1 109

×

1.1 109

×

kvar f( )

f

Funzione di smorzamento variabile:

cv_var f( )c40 c50−

f40 f50−f⋅

c50 f40⋅ c40 f50⋅−( )f40 f50−

+ f f50≤if

c50 c60−

f50 f60−f⋅

c60 f50⋅ c50 f60⋅−( )f50 f60−

+ otherwise

:=

40 45 50 55 606 10

5×

8 105

×

1 106

×

1.2 106

×

cv_var f( )

fPeriodo proprio di vibrazione variabile in ragione della frequenza:

T0_var f( ) 2 π⋅mv

kvar f( )⋅:=

ω0_var f( ) 2 π⋅ T0_var f( )( ) 1−⋅:=

40 45 50 55 600.021

0.022

0.023

0.024

0.025

0.026

T0_var f( )

f

40 45 50 55 60240

250

260

270

280

290

300

ω0_var f( )

f

Smorzamento critico variabile in funzione della frequenza:

ccrit_var f( ) 2 mv kvar f( )⋅⋅:=

40 45 50 55 605.5 10

6×

6 106

×

6.5 106

×

7 106

×

7.5 106

×

ccrit_var f( )

fFunzione del rapporto di smorzamento finale al variare della frequenza:

ξvar f( ) ξA

cv_var f( )

ccrit_var f( )+:=

20 40 60 800.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

ξvar f( )

f

Si definisce ora la parte reale dello spostamento:

uz_real f( )Fv

kvar f( )

12 π⋅ f

ω0_var f( )

2

−

12 π⋅ f

ω0_var f( )

2

−

2

2 ξvar f( )⋅2 π⋅ f

ω0_var f( )

⋅

2

+

⋅:=


uz_imm f( )Fv

kvar f( )

2− ξvar f( )⋅2 π⋅ f

ω0_var f( )

⋅

12 π⋅ f

ω0_var f( )

2

−

2

2 ξvar f( )⋅2 π⋅ f

ω0_var f( )

⋅

2

+

⋅:=


uz_magnitudo f( ) uz_real f( )2

uz_imm f( )2+:=

40 45 50 55 600

1 104−

×

2 104−

×

3 104−

×

4 104−

×

[Hz]

[m]

uz_magnitudo f( )

f

Spostamento Massimo:

f 1 Hz⋅:=

Maximize uz_magnitudo f, ( ) 46.38 Hz⋅=

uz_magnitudo 46.38 Hz⋅( ) 0.354 mm⋅=

Inputazione dei Frequency Dependent Link su SAP 200 0:

Rigidezze: Smorzamenti isteretici:

k40_SAP k40 1023.27kN

mm⋅=:= c40_SAP 4 π⋅ ξA⋅ mv k40⋅⋅ f40⋅ c40 2⋅ π⋅ f40⋅+ 324.25

kN

mm⋅=:=

k50_SAP k50 939.06kN


kN

mm⋅=:=

k60_SAP k60 736.57kN


kN

mm⋅=:=

NOTA:

Il risultato di SAP differisce dello 2.74% rispetto a quello manuale.

Per interpretare lo scostamento tra il calcolo manuale ed i risultati di SAP, vediamo di studiare l'andamento dellosmorzamento isteretico in funzione della frequenza:

Se l'andamento dello smorzamento viscoso è linerare, l'andamento dello smorzamento isteretico è parabolico,pertanto sarà necessario inputare su SAP più valori in modo da rispettarne il corretto andamento:

NOTA:

Ora il risultato èperfettamente analogo aquello ricavatomanualmente.

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