Moto armonico

§  Moti periodici

§  Moto armonico semplice: descrizione

cinematica e dinamica

§  Energia nel moto armonico semplice

§  Il pendolo

§  Oscillazioni smorzate

§  Oscillazioni forzate e risonanza

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Moto periodico Si definisce periodico un moto che si ripete ad intervalli di tempo regolari.

A

B

C

L’intervallo di tempo necessario per compiere l’intero ciclo di oscillazione (AàCàA) è detto periodo.

In numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo è detto frequenza

€

f =1

T

>> Unità di misura nel SI à hertz (Hz) = 1/s

>> Unità di misura nel SI à secondo (s)

h h

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Moto armonico semplice: il sistema massa-molla

Una massa m, collegata ad una molla, è libera di oscillare su una superficie orizzontale priva di attrito.

x

Quando la molla è a riposo ha una sua lunghezza caratteristica e non esercita forze sulla massa.

Sia x=0 la posizione della massa quando la molla è a riposo à posizione di equilibrio

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Moto armonico semplice: la forza elastica di richiamo

x

Se si sposta la massa m dalla posizione di equilibrio ad una generica posizine x, la molla, compressa o allungata, esercita una forza per riportare m nella posizione iniziale à forza elastica di richiamo

!F = −k!x k à costante elastica della molla

x à spostamento dalla posizione di equilibrio

0 x1

Oscillatore armonico semplice: sistema oscillante caratterizzato da una forza di richiamo direttamente proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e di verso opposto a questo.

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Moto armonico semplice

x

POSIZIONE DI EQUILIBRIO (x=0)

0 A x

0 -A

x

Forza di richiamo nulla

MOLLA ALLUNGATA (x>0)

Forza di richiamo negativa

MOLLA COMPRESSA (x<0)

Forza di richiamo positiva

La massa m portata nella posizione A e lasciata libera oscillerà tra le posizioni A e -A

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Accelerazione di un corpo in moto armonico semplice

x

POSIZIONE DI EQUILIBRIO (x=0)

0 A

x

0 -A

x

Accelerazione nulla

MOLLA ALLUNGATA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=A)

Accelerazione massima

MOLLA COMPRESSA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=-A)

Accelerazione massima

!F = −k!x!F =m!a

−k!x =m!a!a = − k

m!x

a = − kmA

a = kmA

!a

!a

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Velocità di un corpo in moto armonico semplice

MOLLA ALLUNGATA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=A)

Velocità nulla

Velocità nulla

Accelerazione non nulla à velocità variabile nel tempo

x

POSIZIONE DI EQUILIBRIO (x=0)

Velocità massima

0 A

x

0 -A

x

MOLLA COMPRESSA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=-A)

Punto di inversione del moto

Punto di inversione del moto

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Lo spostamento di una massa attaccata ad una molla ha un andamento temporale sinusoidale o cosinusoidale.

Spostamento di una massa attaccata ad una molla

A

A à ampiezza

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Rappresentazione matematica del moto armonico semplice

a = − kmx

a = dvdt=ddt(dxdt) = d

2xdt2

d 2xdt2

= −kmx d 2x

dt2= −ω 2x

km=ω 2

d 2xdt2

= −ω 2xEquazione differenziale del secondo ordine

Soluzione: famiglia di funzioni x(t) la cui derivata seconda è uguale alla funzione stessa cambiata di segno e moltiplicata per ω2

Le funzioni seno e coseno si comportano così

x(t) = Acos(ωt +φ)Soluzione:

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Verifica della soluzione trovata… x(t) = Acos(ωt +φ)

dxdt=ddt[Acos(ωt +φ)]= −ωAsen(ωt +φ)

d 2xdt2

=ddt[−ωAsen(ωt +φ)]= −ω 2Acos(ωt +φ)

x(t)

1. Abbiamo verificato che l’equazione è soddisfatta d 2xdt2

= −ω 2x

2. Abbiamo derivato l’andamento della velocità in funzione del tempo

3. Abbiamo derivato l’andamento dell’accelerazione in funzione del

tempo

= v(t)

= a(t)

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Parametri del moto armonico x(t) = Acos(ωt +φ) Equazione del moto (legge oraria)

A A à ampiezza: massimo valore della posizione del corpo nella direzione x sia positiva che negativa

km=ω 2 ω =

km

ω à pulsazione

>> Unità di misura nel SI à metro(m)

>> Unità di misura nel SI à rad/s

T = 2πω

= 2π mk

T à periodo: tempo impiegato dal corpo a compiere una oscillazione completa >> Unità di misura nel SI à secondo (s)

T

f = 1T=ω2π

=12π

km

f à frequenza: numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo

>> Unità di misura nel SI à hertz (Hz)

φ à fase iniziale (in radianti)

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Significato della fase iniziale

!1.5%

!1%

!0.5%

0%

0.5%

1%

1.5%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%!1.5%

!1%

!0.5%

0%

0.5%

1%

1.5%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%

!1.5%

!1%

!0.5%

0%

0.5%

1%

1.5%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%

y=cos(t)

y=cos(t-π/4)

φ = -π/4

φ = 0

φ = -π/2

y=cos(t-π/2)

La fase iniziale determina l’istante in cui il movimento raggiunge l’ampiezza massima.

La fase iniziale φ non modifica la forma della funzione ma la trasla lungo l’asse delle ascisse.

Come l’ampiezza è determinato dalle condizioni inizlali del moto

Se a t=0 il corpo parte dalla posizione di massimo spostamento x=A la fase iniziale è nulla.

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Riassumendo …

x(t) = Acos(ωt) v(t) = −Aωsen(ωt) a(t) = −Aω 2 cos(ωt)

Massimo positivo

x=A v=0

Massima a = -Aω2

Massimo negativo

x= -A v=0

Massima a = Aω2

Posizione di equilibrio

x=0 a = 0 Massima

v = -Aω

Posizione di equilibrio

x=0 a = 0

Velocità massima v = Aω

Massimo positivo

x=A v=0

Massima a = -Aω2

ω =km=2πT t

0

T/4

T/2

3T/4

T

ωt

0

π/2

π

3π/2

2π

posizione velocità accelerazione A

.So

lano

- F

isic

a -

CTF

L’energia nel moto armonico semplice(1)

U =12kx2

!F = −k!x

0 A

x

Forza di richiamo esercitata da una molla:

varia durante lo spostamento

L = − kxi

x f

∫ x dx = −k xxi

x f

∫ dx = − 12kx f

2 − (− 12kxi

2 ) = 12kxi

2 −12kx f

2

Il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale della massa m à  La forza di richiamo della molla è una forza conservativa

Possiamo definire un’energia potenziale elastica

L =Ui −Uf =12kxi

2 −12kx f

2

Se il corpo di massa m si sposta da xi a xf, la forza di richiamo compie un lavoro L

>> Unità di misura nel SI à joule (J)

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Se l’unica forza che agiste sul corpo di massa m è la forza di richiamo della molla, l’energia meccanica totale si conserva.

L’energia cinetica e potenziale variano ma la loro somma rimane costante

U =12kx2 = 1

2k A2 cos2(ωt)

K =12mv2 = 1

2m A2ω 2sen2 (ωt)

L’energia nel moto armonico semplice(2) A

.So

lano

- F

isic

a -

CTF

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

0

0

0

K=1/2mv2 U=1/2kx2 E=U+K

12m(Aω)2

K massima

12m(Aω)2

K massima

12kA2

U massima

0

12kA2

U massima

0

12kA2

U massima

12kA2

12kA2

12kA2

12kA2

12kA2

t

0

T/4

T/2

3T/4

T

ωt

0

π/2

π

3π/2

2π

L’energia nel moto armonico semplice(3) ω =

km=2πT

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Molla verticale Una massa m appesa ad una molla verticale ne causa l’allungamento

Posizione di equilibrio senza la massa appesa

Posizione di equilibrio con la massa appesa

La molla è in equilibrio quando esercita una forza verso l’alto uguale al peso della massa.

kx0 =mg x0 =mgk

La massa oscilla intorno alla nuova posizione di equilibrio (x0); per gli altri aspetti le oscillazioni sono uguali a quelli di una molla orizzontale

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Il moto circolare uniforme è una composizione di moti armonici semplici

Mentre il punto materiale P si muove di moto uniforme con velocità v sulla circonferenza di raggio r, le sue proiezione sugli assi x e y, si muovono di moto armonico

θ =ωtxP = rcos(θ ) = rcos(ωt)

Il moto circolare corrisponde alla composizione di due moti armonici che si effettuano in due direzioni ortogonali e sono sfasati di π/2

La pulsazione ω dei due moti armonici corrisponde alla velocità angolare del moto circolare uniforme

yP = rsen(θ ) = rsen(ωt) = rcos(ωt −π2)

y

x

r !r

!v

θ

P

!ω xP

yP

t = 0→θ = 0

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Il pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema meccanico costituito da una massa m appesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile di lunghezza L

Il pendolo è in equilibrio quando la massa è sulla verticale del punto di sospenzione.

Se spostato dalla posizione di equilibrio il pendolo oscilla intorno a tale posizione.

Il periodo di oscillazione T si determina come: T = 2π L

g

Nel regime di piccole oscillazioni, il pendolo si muove di moto armonico semplice

Forza di richiamo F = mg sen(θ) ~ mg θ(componente della forza peso tangente alla traiettoria)

θ

mg

F

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Oscillazioni smorzate In molti sistemi fisici si verificano perdite di energia meccanica per effetto di forze dissipative quali l’attrito o la resistenza dell’aria

Se E diminuisce, l’ampiezza A delle oscillazioni diminuisce

E = 12kA2 Oscillazioni

smorzate

Le forze dissipative non sono semplici da descrivere analiticamente. Spesso si fa lʼ’ipotesi che siano proporzionali alla velocità v con cui oscilla il corpo (es. resistenza dell’aria).

Coefficiente di smorzamento (>0) >> Unità di misura nel SI: kg/s

La forza di smorzamento si oppone al moto

!Fs = −γ

!v Velocità del corpo

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Coefficiente di smorzamento piccolo

il corpo oscilla con una frequenza circa uguale alla frequenza che avrebbe in assenza di forze di smorzamento ma l’ampiezza dell’oscillazione decresce esponenzialmente.

A0e-γt/2m

γ 2 << 4mk f ' ≈ 12π

km

Se ossia §  ampiezza decresce esponenzialmente nel tempo: A=A0e-γt/2m

§  la frequenza di oscillazione diventa f ' = 12π

km−γ 2

4m2

γ 2

4m2 <km

γ 2 < 4mk

Se

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Coefficente di smorzamento grande

Condizione di smorzamento critico: il sistema torna nella posizione di equilibrio nel tempo minimo

Se

il sistema torna nella posizione di equilibrio senza oltrepassarla à non oscilla

γ 2 ≥ 4mk

Alcuni sistemi meccanici (ammortizzatori auto) sono progettati in modo da avvicinarsi alla condizione di smorzamento critico

γ 2 > 4mk

γ 2 = 4mk

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Oscillazioni forzate È possibile aumetare l’energia di un sistema oscillante o integrare l’energia persa a causa di forze dissipative applicando una forza

esterna periodica che compie un lavoro positivo.

In presenza di forze non conservative, se il punto di sospensione del pendolo viene tenuto fermo, le oscillazioni si smorzano rapidamente.

La risposta del sistema dipende dalla frequenza f del movimento della mano. Se f ≅ f0, l’ampiezza dell’oscillazione può diventare piuttosto grande.

Se si fa oscillare avanti e indietro il punto di sospensione il pendolo continua ad oscillare. Poiché si “forza” il pendolo, le oscillazioni sono dette forzate.

f0 à frequenza naturale del pendolo

f0 =1T=12π

gL

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Risonanza Se la frequenza f della forza sollecitante è circa pari alla

frequenza naturale f0 dell’oscillatore à risonanza

Frequenza propria dell’oscillatore non smorzato

CURVE DI RISONANZA à Ampiezza del moto oscillatorio al variare della frequenza della forza esterna sollecitante

Curve diverse si riferiscono a diverse condizioni di smorzamento (à diversi valori di coefficiente di smorzamento)

Smorzamento grande à l’ampiezza varia poco al variare di f

Per piccoli smorzamenti le curve di risonanza hanno un picco alto e stretto §  quando f ≅f0 l’ampiezza delle

oscillazioni può diventare particolarmente grande

§  sistemi selettivi f

Frequenza della forza esterna sollecitante

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Vibrazioni molecolari e moto armonico

È possibile schematizzare una molecola come un insieme di masse puntiformi (atomi) collegate da molle (legame chimico).

Gli atomi legati in una molecola compiono continuamente moti vibrazionali attorno alle loro posizioni di equilibrio (XEQ).

Caso più semplice: molecola biatomica lineare

XEQ

XMAX

XEQ

XMIN

Le masse si allontanano fino a quando arrivano al massimo dellʼ’elongazione (XMAX)… …ripassano per la posizione di equilibrio (XEQ) …avvicinarsi ad una distanza XMIN …

… ripassano per la posizione di equilibrio. E così via…

MOTO DI STIRAMENTO (STRECHING)

Molti sistemi e problemi complicati si possono ricondurre allo studio dell’oscillatore armonico lineare

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Dati due punti materiali di massa M1 ed M2 che si muovono solo in virtù di forze di mutua interazione, il moto di uno (M2) rispetto allʼ’altro (M1) può essere trattato come se questʼ’ultimo fosse fermo, con lʼ’unico accorgimento di sostituire alla massa M2 la massa ridotta μ.

La massa ridotta

M1 M2

xEQ xEQ

La frequenza di vibrazione della molecola biatomica lineare

f0 =12π

kµ

Tale frequenza può essere determinata sperimentalmente con la spettroscopia infrarossa e dà informazioni sulla forza del legame (k) http://www.federica.unina.it/farmacia/metodi-spettroscopici-in-chimica-organica/spettroscopia-ir-1/

Se una molecola assorbe radiazione di una determinata frequenza, vuol dire che può vibrare a quella frequenza

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Oscillatore armonico classico e quantistico

Le molecole si comportano in realtà come oscillatori quantistici

ω =kµ

h = costante di Plank = 6.63 × 10-34 J s

In meccanica quantistica §  l’energia di un oscillatore armonico può assumere solo valori discreti §  l’energia dello stato fondamentale non è nulla.

(stessa ω ricavata nel caso classico)

Costante di Planck

La costante di Planck, indicata con h, è una costante fisica ed ha le dimensioni di un'energia per un tempo. Nel sistema di unità di misura denominato "Unità atomiche", la Costante di Planck, è l'unità di misura del momento angolare.In meccanica quantistica, la sua esistenza nella materia, determina la prima quantizzazione (o assegnazione di valori) a grandezze come l'energia, la quantità di moto e il momento angolare di una particella. La costante di Planck è detta anche “quanto d'azione”, e la sua scoperta ha avuto un ruolo determinante per la nascita e la successiva evoluzione della meccanica quantistica. La costante come detto precedentemente, prende il nome da Max Planck, che attraverso gli studi fondamentali sullo spettro della radiazione di corpo nero, ha fato nascere la teoria quantistica. Max Planck è per questo a pieno titolo il padre della moderna teoria quantistica.

Il valore sperimentale della costante è

.

Un modo differente di esprimere la stessa quantità è:

,

dove π è la costante pigreco. In questa forma la costante è comunemente detta h tagliato e a volte è chiamata costante di Dirac

.

La costante di Planck insieme alla carica dell'elettrone e alla velocità della luce è una delle costanti fondamentali con le quali si definisce la struttura di una particella.

La costante di Planck è responsabile della quantizzazione delle grandezze dinamiche che caratterizzano a livello microscopico, le particelle elementari che compongono materia e luce: elettroni, protoni, neutroni e fotoni. “La quantizzazione consiste nel fatto che, a livello microscopico, energia, impulso e momento angolare, invece di assumere una serie continua di valori, si manifestano in quantità multiple di quantità fisse”.

Ad esempio, l'energia E trasportata da un onda elettromagnetica con frequenza costante ν può assumere solo valori pari a

A volte è più conveniente usare la frequenza angolare ω=2πν, che da

Nel caso di un atomo, la quantizzazione del momento angolare determina nello spettro di emissione atomico delle righe di emissione corrispondenti a una serie di numeri quantici.

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF