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Meccanica dei fluidi

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Programma

• Parte I – Meccanica dei Fluidi• Proprietà generali dei Fluidi;• Il Principio di Pascal;• La legge di Stevino per i liquidi pesanti;• Il Principio di Archimede;• Il moto dei fluidi;• Legge di Bernoulli;• Effetto Venturi e sue applicazioni;• Fluidi reali.

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Programma

• Parte II – Moti di Filtrazione• Principali caratteristiche dei suoli (porosità,

permeabilità, ecc.);• Infiltrazione, Percolazione e Filtrazione;• Definizione di Acquifero;• Legge di Darcy per mezzi saturi;• Legge di Richards per mezzi insaturi;• Moto dell’acqua negli acquiferi.

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FLUIDOqualsiasi sostanza allo stato LIQUIDO.

qualsiasi sostanza allo stato AERIFORME.

• in generale, i fluidi NON hanno una forma propria, assumendo sempre quella del recipiente che li contiene;

• i fluidi aeriformi NON hanno volume proprio, ma occupano tutto il volume del recipiente che li contiene, a prescindere dalla loro quantità;

• in generale, i fluidi presentano un comportamento “elastico”:• i fluidi aeriformi sono COMPRIMIBILI;• i fluidi liquidi sono INCOMPRIMIBILI.

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Liquido: INCOMPRIMIBILE Aeriforme: COMPRIMIBILE

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IDROSTATICA: studia le leggi dell’equilibrio applicate ai fluidi.

IDRODINAMICA: studia le leggi del movimento applicate aifluidi.

IDRODINAMICA + IDROSTATICA = MECCANICA DEI FLUIDI

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PRESSIONE: è definita come il rapporto tra una forza Fche agisce perpendicolarmente ad una superficie S, sullaquale è uniformemente distribuita, e la superficie stessa.

p = [Pa] SF

• l’unità di misura nel SI è il Pascal [Pa], equivalente a[N/m2];

• la pressione è una grandezza scalare (a volte èrappresentata come un vettore, il cui modulo è pariall’intensità della pressione stessa;

• se la forza applicata è molto intensa, il peso del fluido ètrascurabile.

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…una forza applicata su una superficie di un fluido si trasmette in tutte le direzioni nell’interno del fluido

con la stessa intensità su superfici uguali…

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PRINCIPIO DI PASCAL: una pressione esercitata in unpunto qualsiasi di una massa fluida si trasmette in ognialtro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità.

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PRINCIPIO DI PASCAL: una pressione esercitata in un puntoqualsiasi di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto ein tutte le direzioni con la stessa intensità.

p1 = = p2A1

F1

A1

F1

A2

F2=

A1

A2F2 = · F1

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• una corona di fori in unabottiglia di plastica generadegli zampilli in tutte ledirezioni, il cui getto arriva allastessa distanza dalla bottiglia;

• a parità di quota la pressioneall'interno del fluido è ugualein tutte le direzioni.


Il principio di Pascal con una bottiglia

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…su qualsiasi superficie all’interno di un liquido, indipendentemente dalla sua orientazione, agisce una

pressione, dovuta al liquido sovrastante, che trasmette il suo peso alla superficie stessa…

• si consideri un recipiente cilindrico di base S;• il liquido in esso contenuto abbia densità ρ;• sia h l’altezza della colonna liquida.

LEGGE DI STEVINO (valida per fluidi incomprimibili)

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LEGGE DI STEVINO: la pressionealla profondità h, dovuta SOLTANTOal peso del liquido, è pari a:

p = = ρgh [Pa]SP

con:

P = m·g = (ρ·S·h)·g [N] = peso del liquido

Pressione Idrostatica

h

S

p0

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• un dinamometro a cui è appeso un corpo misura una diminuzione della forza necessaria a sostenere il peso del corpo quando esso viene immerso in acqua.

• l’entità della diminuzione varia se si cambia il liquido in cui il corpo è immerso.

• la diminuzione apparente del peso è causata da una forza in verso opposto, esercitata dal liquido sul corpo.

• tale forza è prodotta da ogni fluido e cresce con la sua densità.


PRESSIONE IDROSTATICA

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La pressione complessiva agente sul fondo del recipientedeve tenere conto anche della pressione agente sullasuperficie libera del liquido, pari alla pressioneatmosferica (p0):

ptot = p0 + ρgh [Pa]

• l’espressione è indipendente dalla forma del recipiente;• la pressione idrostatica agisce su ogni superficie

nell’interno del liquido e su tutte le pareti delrecipiente.

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ALCUNE UNITÀ DI MISURA DELLAPRESSIONE IDROSTATICA:

1 atm = 1,013 · 105 Pa

1 atm = 1013 mbar

ATMOSFERA: è la pressione idrostatica esercitata da unacolonna di mercurio alta 76 cm, alla temperatura di 0 °C eda livello del mare.

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Calcolare la pressione a 100 metri di profondità sotto il livello delmare, essendo la densità ρ dell’acqua di mare pari a 1030 kg/m3.


PROBLEMA 1

ptot = p0 + ρgh [Pa]

ptot = p0 + ρgh = 1,013 · 105 + 1030 · 9,8 · 100

= 1,013 · 105 + 10,094 · 105 = 11,107 · 105 Pa

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LEGGE DI STEVINO E VASI COMUNICANTI

• si consideri un tubo ad U, come in figura;• due liquidi non miscibili di densità rispettivamente ρ1 e

ρ2, siano contenuti nel tubo (con ρ1≠ρ2);

h2

h1 =ρ1

ρ2

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Meccanica dei fluidiLEGGE DI STEVINO E VASI COMUNICANTI

• in condizioni di equilibrio le pressioni sono uguali;• liquidi non miscibili posti in due vasi comunicanti, in condizioni

di equilibrio, raggiungono altezze inversamente proporzionalialle densità;

• se nei tubi comunicanti si trova lo stesso liquido, essoraggiunge in essi, in condizioni di equilibrio, lo stesso livello aprescindere dal numero di tubi comunicanti.

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PRINCIPIO DI ARCHIMEDE: un corpo, immerso in un fluidoin equilibrio, subisce una spinta (forza) diretta dal bassoverso l’alto ad avente un’intensità uguale al peso (inteso comeforza peso) del liquido spostato.

a) b)

C

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Meccanica dei fluidiPRINCIPIO DI ARCHIMEDE

b)a)

C

• le forze agenti sul corpo C sono la forza peso e la risultantedelle forze di pressione sulla superficie che lo delimita;

• poiché il liquido è in equilibrio, se al posto del corpo C sisostituisce una massa di fluido avente lo stesso volume, il suopeso equilibrerà la risultante delle forze di pressione (chenon sono mutate).

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IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI

• si consideri una sfera immersa in un liquido;• le forze agenti su di essa sono il peso P della sfera e la

Spinta di Archimede, S;• si possono verificare TRE casi:

• P>S: la sfera affonda;• P=S: la sfera è in equilibrio in ogni posizione nel

liquido;• P<S: la sfera galleggia (il corpo emerge dal

liquido in modo tale che la spinta dovuta al pesodel liquido spostato dalla parte immersa delcorpo sia uguale al suo peso).

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IL GALLEGGIAMENTO DEI CORPI

• il peso del corpo è dato dal prodotto del pesospecifico del corpo (pS) per il volume del corpo stesso;

• la spinta di Archimede è pari al prodotto del pesospecifico del liquido (pL) per il volume del corpo;

• l’equilibrio del corpo nel liquido può quindi essereespresso in termini di peso specifico:

• pS>pL: il corpo affonda;• pS=pL: il corpo è in equilibrio;• pS<pL: il corpo galleggia.

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IDRODINAMICA

• studia il movimento dei fluidi;• i fluidi considerati non presentano attrito interno (le

singole particelle scorrono liberamente senza essereostacolate dalle forze d’attrito);

• i fluidi considerati sono supposti incomprimibili(densità costante) a patto che le velocità nonsuperino i 30 m/s.

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MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE: le proprietàdel moto non variano al passare del tempo. Le particelle difluido hanno la stessa velocità in un determinato punto A,e la velocità può variare da punto a punto.

MOTO IN CONDIZIONI DINAMICHE: le proprietà delmoto variano al passare del tempo.

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MOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE

• le traiettorie descritte dalle particelle durante ilmoto si dicono linee di corrente (ldc);

• la direzione delle ldc e la direzione della velocitàdelle particelle coincidono;

• in un condotto a sezione costante, le ldc sonoequidistanti;

• in un condotto a sezione variabile, le ldc siinfittiscono dove la sezione si restringe.

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Linee di flusso in un condotto asezione costante

Linee di flusso in un condotto asezione variabile

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• le linee di corrente che passano per ipunti di una linea chiusa, tracciatanell’interno di un condotto, formano untubo di flusso;

• il fluido che passa all’interno di un tubodi flusso NON si mescola col fluido chescorre all’esterno del tubo stesso;

• il fluido scorre cioè all’interno di un tubodi flusso come se fosse in un condotto.

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• il volume di fluido che attraversa una sezione del condottonell’unità di tempo si dice PORTATA attraverso ilcondotto;

• il valore della portata si mantiene COSTANTE in tutte lesezioni del condotto:

Q = S · v (m3/s)

S = sezione di passaggio (m2)v = velocità del fluido nel condotto (m/s)

con:

NB: se Q non fosse costante, ci sarebbe accumulo di volume con variazione di densità, esclusa per l’ipotesi di incomprimibilità!

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Meccanica dei fluidiMOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE

• la portata attraverso un condotto si mantienecostante, dunque:

• ad un restringimento della sezione dipassaggio deve corrispondere un aumento divelocità del flusso;

• ad un aumento della sezione di passaggio devecorrispondere una diminuzione della velocitàdel flusso.

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• siano S1 ed S2 due diverse sezioni di un condotto, conS1≠S2;

• siano v1 e v2 le velocità del flusso in corrispondenzadelle sezioni S1 ed S2;

• vale la relazione:

S2·v2 = S1·v1

v1

v2 =S2

S1 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

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Meccanica dei fluidiPROBLEMA 2Un liquido ideale scorre alla velocità v1 di 5 m/s lungo uncondotto, avente sezione S1 pari a 0,5 m2. In un trattodel condotto si ha un restringimento della sezione dipassaggio (S2), che diventa pari a 0,2 m2. Quale sarà lavelocità v2 del fluido in quel tratto?

Q = S · v = cost. (m3/s)

Q = S1 · v1 = 0,5 . 5 = 2,5 (m3/s)

Q = S2 · v2 = 2,5 (m3/s) v2 = =12,5 (m/s)S2

Q=

0,22,5

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Meccanica dei fluidiMOTO IN CONDIZIONI STAZIONARIE(Teorema di Bernoulli)

• si consideri un fluido IDEALE (incomprimibile e privo diattrito interno) in moto stazionario lungo un condotto;

• considerato un piano orizzontale di riferimento, siano S1

ed S2 due sezioni poste rispettivamente alle altezze h1 edh2 rispetto ad esso;

• siano p1 e p2 le pressioni del fluido in corrispondenza dellesezioni S1 ed S2;

• siano v1 e v2 le velocità del fluido in corrispondenza dellesezioni S1 ed S2;

• sia ρ la massa per unità di volume del fluido.

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• sotto le ipotesi precedentemente indicate, vale la relazione:

21

21

p1 + ρgh1 + · ρv12 = p2 + ρgh2 + · ρv2

2

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• in generale, riferendosi ad una sezione qualsiasi delcondotto, vale la relazione:

21

p + ρgh + · ρv2 = costante TEOREMA DIBERNOULLI

• poiché lungo un condotto ORIZZONTALE l’altezza ècostante in tutte le sezioni e può essere trascurata valela relazione:

21

p + · ρv2 = costante

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• considerato il Teorema di Bernoulli per condottiorizzontali:

21

p + · ρv2 = costante

si osserva che:

• se p , allora v , ma se v allora S p se S

• se p , allora v , ma se v allora S p se S

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Meccanica dei fluidiPROBLEMA 3a

Un liquido ideale avente densità ρ pari a 3000 kg/m3

fluisce in un condotto obliquo avente una sezione SA paria 1m2, alla pressione di pA 1·105 Pa.Essendo la portata Q pari a 0,15 m3/s, calcolare lapressione pB alla profondità di 0,6 m dove la sezionediventa pari a 0,5 m2 (SB).

Q = S · v = cost. (m3/s)

21

21

pA + ρghA + · ρvA2 = pB + ρghB + · ρvB

2

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PROBLEMA 3b

vA = = 0,15 (m/s) ;SA

Q=

10,15

vB = = 0,30 (m/s)SB

Q=

0,50,15

ρghB - · ρvB2

21

21

pB = pA + ρghA + · ρvA2 -

= 1·105 + 3000·9,8·0,6 + 0,5·3000·0,152 – 0 – 0,5·3000·0,302

= 1,17·105 Pa

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p se S

p se S

EFFETTO VENTURI

La pressione di una corrente fluida (liquida o gassosa):

• aumenta col diminuire della velocità(all’aumentare della sezione di passaggio);

• diminuisce con l’aumentare della velocità (aldiminuire della sezione di passaggio).

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• una delle più efficienti tecnologiedi rimozione del particolato (fine efinissimo) da correnti gassosecontaminate;

• il liquido di lavaggio e la correntegassosa contaminata sono spinteinsieme nella zona turbolentaposta in corrispondenza delrestringimento;

• il particolato viene catturato dallepiccolissime goccioline di liquido dilavaggio.

Meccanica dei fluidiAPPLICAZIONI DELL’EFFETTO VENTURI:LO SCRUBBER VENTURI

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Meccanica dei fluidiAPPLICAZIONI DELL’EFFETTO VENTURI:LO SCRUBBER VENTURI

ingresso gas

ingresso liquidodi lavaggio

zona di convergenza

zona Venturi

zona di divergenza

uscita gas

uscita liquido di lavaggio + particolato

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• nel moto dei fluidi occorre considerare l’attrito interno,che ostacola lo scorrimento di uno “strato” di fluidosull’altro;

• in un condotto orizzontale a sezione costante, la velocitàe la pressione di un fluido in movimento al suo internodovrebbero mantenersi costanti (Teorema di Bernoulli);

• nella pratica, la pressione del liquido lungo il condottodiminuisce in maniera costante nel verso del moto;

• tale diminuzione è detta PERDITA DI CARICO, ed èdovuta alle forze di attrito interno.


FLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO

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VISCOSITÀ DINAMICA (η): in un fluido rappresenta l’attritointerno, che determina la maggiore o minore facilità discorrimento di uno strato rispetto ad uno strato adiacente.Dipende dalla temperatura in modo inversamenteproporzionale.L’unità di misura nel SI è il N·s/m2.

VISCOSITÀ CINEMATICA (µ): definita come il rapporto trala viscosità dinamica e la densità del fluido consideratoL’unità di misura nel SI è il m2/s.

FLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO

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• per mantenere un liquido in moto in un condotto occorreuna differenza di pressione tra le estremità del condottostesso;

• la portata del liquido attraverso il condotto dipende dalladifferenza di pressione, dalla sezione e dalla lunghezza delcondotto;

• per un condotto orizzontale a sezione circolare, di raggio re lunghezza l, vale la relazione (se il moto èsufficientemente lento):

Meccanica dei fluidiFLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO (conseguenze)

LEGGE DI POISEUILLEπ∆pr4

8ηlQ =

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Meccanica dei fluidiFLUIDI REALI IN MOTO STAZIONARIO (conseguenze)

con:• ∆p: differenza di pressione a monte e a valle del

condotto (N/m2);• r: raggio del condotto (m);• l: lunghezza del condotto (m);• η: viscosità dinamica del fluido (N·s/m2).

π∆pr4

8ηlQ =

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