RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA NON SMORZATOSISTEMA NON SMORZATO

tFtF sin0

tFtkxtxm sin0

Forza impressa

equaz. del moto:

k m

x(t)posizione di equilibrio statico x(t)=0

F 0sint ..kx

N

mx

mg

F 0sint

rr

kF

mk

FX

1 20

20 rapporto

di frequenza

0 0 00 xx trtr

kFtx

sinsin

1 20per

La risposta è la sovrapposizione di due termini armonici di differenti frequenze: moto non armonico.

ttr

kFtx

cos2

sin21 2

0

frequenza della forzante vicina alla frequenza naturale del sistema:

r1,

BATTIMENTI:

ttk

Ftx cos

20

frequenza della forzante uguale alla frequenza naturale del sistema, , r=1

RISONANZA: oscillazione armonica la cui ampiezza aumenta gradualmente fino all'infinito

permanente risposta

sin 21ia transitorrisposta

sincos222

0

trr

kFtBtAetx DD

t

tFtf sin0

2222

0

1

2tan sin

21 r

rt

rr

kFtx

tFtf cos0

2222

0

1

2tan cos

21 r

rt

rr

kFtx

La presenza del fattore esponenziale fa sparire rapidamente la parte transitoria cosicché il moto rimane descritto dalla sola risposta permanente:

RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA SMORZATO SISTEMA SMORZATO

tFtkxtxctxm sin0

crcc

equaz. del moto:

per il sistema sottosmorzato

rmc 2

20 1

2tan sin

r

rθtω ωHFtx

20 1

2tan cos

r

r θtω ωHFtx

22

2

22

21

11)(

mH

Le precedenti possono essere scritte, rispettivamente:

in cui

funzione di risposta in frequenzao

funzione di trasferimento

k

Fxst

0

21 222

0

rr

kFX

222 21

1

rrx

XD

st

deflessione statica del sistema su cui agisce la F0 statica

"FATTORE DI AMPLIFICAZIONE DINAMICA": rapporto fra l’ampiezza della vibrazione e la corrispondente deflessione statica

ampiezza della risposta dinamica

tan eD . ed r variano con

r 1 2 2

12

0 7,

qualsiasiper 90

2

11

rD

Ascissa del picco (derivando rispetto ad r e ponendo = 0):

Il picco si verifica per r<1; per non c'è picco.

Per sistemi leggermente smorzati, l'ampiezza max si verifica per r 1.

Alla risonanza (r 1):

fattore di amplificazione in funzione di r per diversi valori di

per = 0 e r = 1, D diventa infinitamente grande, cioè il moto si amplifica indefinitamente (RISONANZA)

per r grande, cioè per , risulta D<<1, cioè il sistema non risente praticamente dell’effetto di forzanti con pulsazione relativa, , elevata.

angolo di fase in funzione di r per diversi valori di

FORZA TRASMESSA ALLA FONDAZIONE

tFtf sen0

2222

0

1

2tan

21 sin

r

ξrθ

ξrr

kF XθtωXtx

oscillatore smorzato soggetto ad una forza armonica

risposta per lo stato permanente:

kxxc

xckxfT

rk

ctckXfT

2tan sin222

La forza trasmessa al sostegno attraverso la molla è

e attraverso l’elemento smorzante è

forza totale trasmessa al sostegno: sostituendo, si ottiene:

valore massimo della forza trasmessa alla base:

222

2

021

21

rr

rFFT

TRASMISSIBILITÀ Tr : rapporto tra la forza trasmessa

alla base e l’ampiezza della forza applicata:

222

2

0 21

21

rr

r

F

FT T

r

espressione utile, ad esempio, in problemi di isolamento dalle vibrazioni prodotte da motori

Per massimizzare l’isolamento si può intervenire sia sullo smorzamento che sulla frequenza propria dell’oscillatore (r grande perciò piccolo, ovvero k piccolo e/o m grande). Si nota che lo smorzamento tende a ridurre l’efficacia dell’isolamento dalle vibrazioni per frequenze corrispondenti a .2r

Determinazione sperimentale delle caratteristiche dinamiche:

2 - METODO DELLE OSCILLAZIONI FORZATE

Tecnica basata sull'osservazione delle risposte per lo stato permanente ad eccitazioni armoniche in un campo di frequenze prossimo alla risonanza.

Si applica una forzante armonica e si traccia la curva di risposta rilevando le ampiezze di spostamento in funzione della frequenza.

E’ utile tracciare anche il grafico dell’angolo di fase in funzione della frequenza.

L’ampiezza della risposta raggiunge il valore max in prossimità della risonanza. Si commettono errori trascurabili se si confonde l’ampiezza massima con l’ampiezza relativa ad r=1.

In corrispondenza del massimo della risposta, si può quindi valutare frequenza naturale dell’oscillatore.

si può ricavare anche dal grafico dell’angolo di fase, in corrispondenza di 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5

frequenza di eccitazione

Am

piez

za d

i ris

post

a picco

f

Metodo dell'ampiezza di banda (mezza-forza) per la valutazione dello smorzamento

La forma delle curve di risposta è controllata dallo smorzamento, cioè le curve sono tanto più strette quanto minore è lo smorzamento.

La "ampiezza di banda", differenza fra due frequenze che corrispondono allo stesso valore di risposta, è correlata al valore dello smorzamento.

Conviene misurare la larghezza di banda a del picco della curva; le frequenze corrispondenti vengono chiamate "punti di mezza forza", f1 ed f2 .

21

22

1

21 222

stst x

rr

x

21

221 1 221 rr

Analiticamente, i valori di f1 ed f2 si determinano ponendo la risposta uguale a

Per l'ampiezza di risonanza:

Sottraendo la prima dalla seconda delle precedenti, si ottiene:

f

fr

f

fr

f

ffrr 22

211

11212

12 ; 2

1

2

1

2

1

2

21 fff

Per la simmetria della curva di risposta:

12

12

ff

ff

Infine, si ha:

21

2211221 2222r

22

222 1 221 rr