Libro de Matematica (senati).docx

8/21/2019 Libro de Matematica (senati).docx

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Tcnico en Ingeniera MecnicaESCUELA SUPERIOR DE TECNOLOGA

MDULO I

NDICE

I. FUNCIONES.

1. Concepto de funcin.2. Grfica.3. Funcin l ineal .4 . Funcin cuadrtica.5. Funcin exponencial6. Funcin logartmica7. Operaciones con funciones

I I . L MITE DE FUNCIONES.

1. Concepto de l mite.2. Interpretacin grfica.3. Formas indeterminadas. Clculo de l mites.

I I I . DERIVADA.

1. Concepto de Der ivada

2. Interpretacin grfica.Derivadas de funciones algebraicas, tr igonomtricas,exponenciales y logar tmicas.

3. Aplicaciones de la der ivada.

IV. INTEGRACIN.

1. Pr imit iva.2. Integrales definidas.3. Aplicaciones.

V. VECTORES.

1. Definicin.2. Mdulo y direccin.3. Operaciones con vectores.

VI . Matr ices y Determinantes.

1. Matr iz .2 . Operaciones con matr ices.3. Determinantes.

4. Clculo de determinantes


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VII . NMEROS COMPLEJOS

1. Concepto de nmero complejo.2. Operaciones.3. Formas: cartesiana, polar y exponencial .4 . Races de nmeros complejos.5. Funcin de var iable compleja.

VI I I . ESTADSTICA.

1. Grficos: diagrama de barras, polgonos de frecuencia,frecuencias acumuladas, frecuencias relat ivas, sectores,histogramas.

2. Distr ibucin de frecuencia.3. Medidas de central izacin.4. Medidas de dispersin.5. Probabil idad.


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INTRODUCCIN

El presente curso rea l iza abstracc iones matemt icas y las ap l ica en laso luc in de prob lemas in terd isc ip l inar ios y s i tuac iones de la v idarea l .Adems de def in i r , in terpretar y ap l icar operac iones matemt icasre lac ionadas a los l mi tes , der ivadas, in tegra les , matr ices y es tads t ica.

- Descr ibe e l comportamiento f s ico de s is temas mecnicos y e lc tr icosmediante su correspondiente modelo matemt ico. Para e l lo

Para el lo: * Def ine el concepto de funcin * Interpreta grf icamente unafunc in * Reconoce func iones l inea les , cuadrt icas, po l inomia les ,exponencial y logar tmicas * Efecta operaciones con funciones

- Real iza abstracc in matemt ica para cuant i f icar cambios ins tantneosde variables mecnicas y elctr icas y respecto a la variableindependiente.

Para e l lo : * Def ine e l concepto de Lmi te en un punto * In terpretagrf icamente e l concepto de Lmi te * Calcu la l mi tes caracter s t icos defunciones

- Calcu la e l va lor de l cambio ins tantneo de l desp lazamiento y deve loc idad en movimientos de par t cu las mecnicas y e lc tr icas. - Calcu la

e l va lor de l cambio ins tantneo de var iab les trmicas y magnt icas

Para e l lo : * Def ine e l concepto de Der ivada * In terpreta grf icamente e lconcepto de Der ivada * Determina las der ivadas de func iones l inea les ,cuadrt icas, po l inomia les , exponenc ia l y logar tmicas * Asoc ia e lconcepto de Derivada con apl icaciones en la determinacin de rapidezde cambio de var iab les f s icas y qumicas. * Real iza ap l icac iones de lc lcu lo der ivat ivo

-Calcu la e l va lor de l sesgo de una var iab le respecto a o t ra , presente enun proceso de carcter mecnico o e lc tr ico

Para e l lo : * Def ine e l concepto de In tegra l , def in ida e indef in ida *In terpreta grf icamente e l concepto de In tegra l * Ap l ica mtodosgenerales de integracin * Asocia el concepto de Integral con ladeterminacin de valor acumulado y sesgo de una variable * Calculain tegra les de func iones * Real iza ap l icac iones de l c lcu lo in tegra l

-Descr ibe re lac iones de comportamientos mecnicos y e lc tr icos cuandostos se pueden representar con variables en las que su magnitud,direccin y sent ido son relevantes.

Para e l lo : * Def ine e l concepto de Vector * In terpreta grf icamente e lconcepto de Vector * Suma Vectores * Resta Vectores * Calcula elproducto esca lar * Calcu la e l producto vector ia l * Real iza ap l icac ionesdel c lcu lo vector ia l .


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- Modela comportamientos de s is temas mecnicos y e lc tr icos medianteoperac iones a lgebra icas obten idos a par t i r de t ransformaciones de

s is temas

Para e l lo : * Ident i f ica componentes de un nmero comple jo * Ident i f icagrf icamente un nmero complejo * Real iza operaciones de nmeroscomple jo * Def ine e in terpreta una func in comple ja * Real izaapl icac iones en e l p lano comple jo

- Modela comportamientos de s is temas mecnicos y e lc tr icosmul t ivar iab les

Para e l lo : * Def ine e l concepto de Matr iz * Suma matr ices * Real izaproductos * Real iza ca lcu las matr ic ia les en ap l icac iones l in ea les

- In terpretar y exponer comportamientos de s is temas mecnicos yelctr icos expresados grf icamente

Para e l lo : Ut i l iza mtodos grf icos para presentar datos: d iagrama debarras, po l gonos de f recuenc ia , f recuenc ias acumuladas, f recuenc iasre la t ivas, sectores, gr f icos en esp i ra l , h is t rogramas. Def ine ein terpreta medidas de d is t r ibuc in de f recuenc ia * Def ine e in terpretamedidas de centra l izac in * Def ine e in terpreta medidas de d ispers in *

Def ine e in terpreta e l concepto de probabi l idad * Real iza c lcu los deprobabi l idades * Apl ica el control estadst ico para medir la cal idad


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A. Contenido Curricular

Unidad didctica: Matemtica.

Aprendizaje: Funciones.

Tema:- Concepto de funcin.

- Grfica.- Funcin Lineal.- Funcin Cuadrtica.- Funcin exponencial- Funcin logartmica- Operaciones con funciones

Objetivo Principal.Conocer e interpretar el concepto de funcin.

Objetivos Secundarios:

- Graficar funciones.- Reconocer y graficar funciones lineales.- Reconocer y graficar funciones cuadrticas.

- Reconocer y graficar funciones exponenciales.- Reconocer y graficar funciones logartmicas.- Reconocer y graficar funciones trigonomtricas.- Operar con funciones.


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B. Balotario

1. Qu es una v a r i a b l e ?

En matemt ica se denomina var iab le a un smbolo al que se le puedeas ignar un va lor numr ico cua lqu iera de un determinado con junto. Otradef in ic in s imi lar nos d ice que es un s mbolo que representa unelemento no espec i f icado de un con junto dado. Dicho con junto esl lamado conjunto un iversa l de la var iab le , universo o dominio de lavariable, y cada elemento del conjunto es un valor de la var iab le .

E j . Para e l caso de l con junto A={3; 2 ; 0 ; 1} cada uno de sus e lementosse puede representar por xo por cua lqu ier o t ro s mbolo .

En e l caso par t icu lar que e l domin io sea un con junto un i tar io (con unsolo e lemento) e l s mbolo representa una constante .

E j . e representa a l nmero i r racional 2,71828. g representa a la ace lerac in debida a la gravedad terres tre .

Las magni tudes f s icas representadas por su respect ivo s mbolo setra tan como var iab les matemt icas. Por e jemplo, la in tens idad decorr iente ( representada por i) toma valores en el conjunto de losnmeros rea les ( i IR), la variable dis tanc ia (d) toma valores en elconjunto de los reales posi t ivos ( d [0 ; ) , e tc .

2. Qu t ipos de relaciones se pueden establecer entre dos o msvar iab les?

Matemt icamente se pueden estab lecer re lac iones de igua ldad, pore jemplo:

y= 2x+1; x2 + y2 = 4 ,

o de des igualdad, por e jemplo:

y< x2

; x+y > z

En e lec trn ica es b ien conoc ida la re lac in v = r i estab lec ida por Ohm(v=vol ta je , r = res is tenc ia, i= in tens idad de corr iente ) .

Tambin se pueden estab lecer re lac iones def in idas mediante una tab lade va lores aunque no haya una frmula a lgebra ica exp l c i ta (o de o trot ipo) que las re lac ione.Por e jemplo, las tab las :

x 3 0 1 4 5 ,5

y 2 ,01 1 ,32 3 ,00 5 ,41 8 ,79


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tambin def inen re lac iones entre las var iab les xe y

3. Qu es una f u n c i n ?

Una re lac in de modo ta l que cada va lor de x se corresponde,n icamente, con un so lo va lor de y, se denomina funcin (x sedenomina var iab le independiente e y se denomina var iab ledependiente) .

En los e jemplos anter iores:

1 . y = 2x +1, es func in porque cada va lor de x se corresponde con unsolo va lor de y (e l doble de xms 1) .

2 . La re lac in def in ida por la pr imera tab la tambin es una func in, puesa cada va lor de x le corresponde uno solo de y, mientras que lasegunda no es funcin, pues a un valor de x, como por e jemplo 4, lecorresponden dos va lores de y (5 ,41 y 8 ,79 )

3 . y < x2 no es func in, pues, a un va lor de x le corresponden varios de

y (por e jemplo, a x = 3 le corresponden todos los va lores de y que sonmenores que 9) .

4 . La re lac in x2 + y2 = 4 no es func in porque un va lor de x secorresponde con dos de y (por e jemplo a x=0 le corresponden y=2)

5. En e l caso de la re lac in que def ine la ley de Ohm: v = r i , sta sedenomina func in de dos var iab les y se denota, formalmente, por v(r , i )= r i para resaltar e l hecho de que v depende de r e i , s iendo estas l t imas las var iab les independientes. As como stas, muchasmagni tudes f s icas se re lac ionan func ionalmente.

4. Cul de las s iguientes grf icas corresponde a una funcin?

x 3 3 1 4 4

y 2 ,01 1 ,32 3 ,00 5 ,41 8 ,79

X

Y

X

Y
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Rp

No es func in porque a un va lor de l e jeX le corresponde ms de un va lor en e le je Y.

Es func in porque a todo va lor de l e jeX le corresponde un so lo va lor en e le je Y.

5. Qu inconveniente presenta la s igu iente re lac in func ional : y=ax+b?

En e l la no se puede d ist ingu i r cu l es la var iab le independiente, puespuede ser cualquiera: a, xo b

6. Cmo se puede mejorar la representacin de modo que se puedadis t ingu i r cu l es la var iab le independiente?

Se recurre a una nomencla tura denominada la notac in func ional :y= f(x) ,

la cua l ind ica expresamente que la var iab le entre parntes is (x) es laindependiente. En adelante, la var iab le independiente se denominar,brevemente, la var iab le de la func in

Ej . En cada una de las s igu ientes func iones:

f(x) = ax+ b

f(a ) = ax+ bf(b ) = ax+ b

determine cu l es su var iab le respect iva.

Sol .En f(x) su variable es x, en f(a ) su var iab le es a y en f(b ) su var iab le esb . Las restantes letras que acompaan a las variables son constantes dela funcin, denominadas p a rm e t r o s .

7. Cmo se evala una func in?

Se le as igna a su var iab le un va lor numr ico; y , luego, se e fec tan lasoperac iones ind icadas por la reg la de la func in, s i e l lo es pos ib le .

X

Y

X

Y
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Ej.

1 . Eva luar f (x) = 2x+ 7 , para x=3.

Sol. Reemplazamos cada xpor 3 y e fec tuamos las operac iones:

f (3) = 2(3) + 7 = 13

Simi larmente, para va luar en x=2 se t iene: f (2) = 2(2) + 7 = 3

2. La func in2-x

3f(x) no se puede eva luar en x=2, pues a l reemplazar

e l denominador se har a cero: 0

3

2-2

3f(2) .

Como no se puede d iv id i r por cero, conc lu imos que f (2) no ex is te .

Para valuar una funcin def in ida mediante una tabla se procede como enel s igu iente e jemplo:

3 . Para

Se t iene: f (1)=2; f (6)=0; f (9)=7.

4 . Qu va lores de x permi ten eva luar la func in 3 xf(x) de modoque f (x ) se un nmero rea l?

R. Recordemos que para ca lcu lar una ra z cuadrada, la cant idadsubrad ica l no debe ser negat iva , en caso contrar io se obtendrannmeros imaginar ios . Esto s ign i f ica que x 3 debe ser mayor o igua lque cero, es to es :

x 3 0 x 3

Es decir , esta funcin se puede evaluar para todo valor de x que seamayor o igua l que 3.

8. Qu es el d o m i n i o y r a n g o d e u n a f u n c i n ?

El domin io de una func in y = f(x) , es e l con junto de valores quepermi ten va luar la f unc in.

Ej .

1 . Para la func in def in ida por la tab la :

x 1 6 9f(x) 2 0 7


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El dominio de f es e l con junto :

D f= {3; 0; 1 ; 4 ; 5,5 } .

Un va lor fuera de este con junto , por e jemplo: 3 , no t iene uncorrespondiente valor de y en la tab la , eso impl ica que f (3) no ex iste .E l con junto de va lores de y= f(x) , se denomina rango . Veamos algunosejemplos:

Su rangoes e l con junto :

R f= {2,01 ; 1,32 ; 3,00; 5,41; 8,79}

2 Para la func in def in ida por la reg la de correspondenc ia y = 2x + 3su domin io es e l con junto de todos los nmeros reales , D f = IR, puestodo nmero rea l se puede mul t ip l icar por 2 y a l resu l tado sumar le 3 .Puesto que e l resu l tado de estas operac iones es a su vez un nmerorea l , su rango es todo IR.

3 Para la func in def in ida por la reg la de correspondenc ia1

x

xy , su

domin io es e l con junto de todos los nmeros rea les , sa lvo e l 1 , es dec i r ,D f = IR {1} , pues e l nmero 1 anula a l denominador ( lo hace cero) ,esto hace imposible la d iv is in y por lo tanto no es posible determinarun correspondiente va lor de y (por eso dec imos que f (1) no ex is te) . Surango es IR {1} .

4 . Para la func in 3 xf(x) , su dominio es el conjunto de todos losnmeros x, ta les que x 3 , ta l como v imos anter iormente.Puesto que la func in est def in ida como una ra z pos i t iva su rango ese l con junto de todos los nmeros rea les mayores o igua les que cero: R f= [0 ;

9. Cmo se graf ica una func in?

I lustremos con un ejemplo. Se sabe que la re lacin entre el espacio y e lt iempo est dada por la ecuac in:

e=vt .

Suponiendo que la ve loc idad de un mvi l es 3m/s ; y , suponiendo,adems, que en e l momento in ic ia l ( t = 0) e l mv i l se encuentra en lapos ic in cero (e = 0) entonces

e = 3t

x 3 0 1 4 5 ,5

f(x) 2 ,01 1 ,32 3 ,00 5 ,41 8 ,79


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En este caso t es la variable independiente y e es la dependiente.Le asignamos algunos valores a t: 1; 2; 3 ; y evaluamos loscorrespondientes va lores de e: 3 ; 6; 9 ; . La presentac in habi tua l es en

forma tabu lar :

t ( e ns e g u n d o s ) 1 2 3

e ( e nm e t r o s ) 3 6 9

Estos va lores se graf ican en un p lano coordenado. En genera l , en e l e jehor izonta l se ub ican los de la var iab le independiente ; y , en e l ver t ica llos correspondientes valores de la var iab le dependiente . Se marcan lospuntos determinados por las parejas de valores correspondientes; y,

luego, se unen con un trazo cont inuo s iguiendo la tendencia marcadapor los puntos.

10. Cmo se in terpreta e l gr f ico anter ior?

En e l gr f ico notamos que por cada segundo que t ranscurre , e l mv i l se

desplaza 3 metros . Obv iamente, en dos segundos e l mv i l se desp lazaseis metros y as suces ivamente.

11. Cmo se graf ica una func in def in ida por una tab la?

Simplemente se graf ican los pares dados por la tab la que def ine lafunc in.

Ej . Dada la func in def in ida por la tab la :

x 3 0 1 2 4

f(x) 2 1 3 3 4

1 2 30

3

6

9

t(seg.)

e (met.)


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Su graf ica correspondiente es :

La grf ica consta de todos los puntos ubicados en sus respect ivascoordenadas.

12. Qu es una f u n c i n i n v e r s a ?

Si en una re lac in func ional y = f(x) cambiamos la x por la y, yv iceversa, obtendramos la re lac in x = f(y) y s i de sta l t imadespejamos su variable y, obtendramos una nueva re lac in que deser func in, se denomina funcin inversa y comnmente se denota pory= f 1(x) .

E jemplos.

1 . Dada la func in f(x)=2x + 3, obtener su respect iva func in inversa.

Sol .a) Escr ib imos: y= 2x+ 3.b) Cambiamos la xpor la y, y la yporx: x= 2y+ 3.

c) Despejamos y: y= x32

Esta l t ima re lac in es func in, por lo tanto es la func in inversa yescr ib imos:

2

3

x(x)f 1 .

2 . Dada la func in fx=x 4 , obtener su respect iva func in inversa.Sol .

a) Escr ib imos: y=x 4b) Cambiamos la x por la y, y la y porx: x=y 4c) Despejamos y: y = x2 4

F ina lmente: f 1

x = x2 4


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3. Dada la func in fx=x 3

x1 , obtener su respect iva func in inversa.

Sol .

y=x 3

x1 x=

y 3

y1 xy1=y 3 xyx=y 3

yxy= x 3 y=x 3

1 f 1x=

x 3

1 x

13. Qu es una f u n c i n l i n e a l ?

Es una func in de la forma:

y= mx+ ny su grf ica es una l nea rec ta .

El e jemplo de l mv i l anter ior (e = 3 t) es un e jemplo de este t ipo defunc iones (con m = 3 y n= 0; obv iamente las var iab les de d icho e jemplono son las c ls icas x e y s ino t y e ) . En prob lemas ap l icat ivos lasvar iab les x e ygenera lmente ceden su lugar a o t ras , de acuerdo a losmagnitudes que se estn tratando; por e jemplo, en el caso de unacorr iente cont inua in terv ienen las var iab les t iempo ( t) e in tens idad decorr iente ( i) aunque la pr imera no aparezca en forma exp l c i ta , as en e lcaso que tengamos una corr iente cont inua de 5 amperes su ecuacin seescr ibe:

i= 5. (t > 0)

Es una funcin l ineal que corresponde a m=0 y n= 5.

La podemos escr ib i r , completamente, como i= 0 t+ 5 y su grf ica es :

x

yy=mx +n

i amp

5

t s
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La in terpretamos af i rmando que en todo momento la intensidad decorr iente es de 5 amper ios, es decir se mantiene constante y no cambiacon e l t ranscurso de l t iempo.

Nota. La re lac in x=c (constante) corresponde a una l nea rec tavert ica l , la cua l no es funcin .

E j . La re lac in x=5 es una l nea ver t ica l que in tersecta a l e je X en(0; 5)

Un e jemplo ms completo de func in l inea l es e l s igu iente :

y= 2x+ 3

su grf ica es la s igu iente :

Notemos que por cada un idad de var iac in en x (x=1) se t ienen dos

unidades de var iac in en y y=2). La razn (geomtr ica) de estasvar iac iones es de dos a uno:

x

y

=

1

2= 2

1 2 3

3

5

7

0

x=1

y=2

x=5

X

Y

(0; 5)


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14. Qu es p e n d i e n t e ?

Se denomina p e n d i e n t e de la rec ta y se denota por la le t ra m a la razn

o cociente de la variacin de y con respecto de x

m = x

y

xx

yy

01

01

Estas variaciones se pueden medir entre dos puntos cualesquiera de larec ta .

Por e jemplo, para determinar la pendiente de una rec ta que pasa por lospuntos (3; 3) y (3 ; 1) ap l icamos la frmula anter ior :

3

1

6

2

3)(3

31m

Una pendiente negativa indica que cuando x aumenta entonces ydisminuye. En este caso la grf ica de la rec ta es t inc l inada hac ia laizquierda y se denomina decrec iente.

Observemos que para toda func in l inea l f (x ) = mx + b , la pendienteco inc ide con e l coef ic iente (m) de x en la ecuac in de la rec ta . As , por

e jemplo, en la rec ta y =

2

3x 1 , su pendiente es 3 /2 y nos ind ica que

por cada dos unidades de variacin en x se t ienen tres en y.

E l gr f ico s igu iente muestra la re lac in entre la in tens idad de corr ientemedida en amper ios I (A) y la d i ferenc ia de potenc ia l medida en vo l t iosV(v) de un determinado c i rcu i to . En ingenier a se acostumbra a dec i rque se est graf icando I(A) versus V(v) .

x

y

X0 X1

y0

y1


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Obsrvese que esta re lac in es l inea l y con pendiente negat iva( 0 ,00303)

Verht tp : / / focus lab. lfp .uba.ar /pub l ic /E lec tron ica/ In formes/Trans is tores_Fernandez-Ordonez.PDF .

15. Cmo se def ine la func in u( t a )?

u ( t a)=

at

at

1

0

Esta func in se puede asoc iar con la ac t iv idad o la inact iv idad: cero , s iun s is tema est inact ivo hasta e l ins tante a, y uno s i e l s is tema seact iva en ese instante y se mantiene en ese estado. En algunos textosse representa brevemente por u a ( t ) .

Por e jemplo, para a=0 la func in se escr ibe:

u( t)=

0t

0t

1

0

a

1

t

0

1

t
http://focuslab.lfp.uba.ar/public/Electronica/Informes/Transistores_Fernandez-Ordonez.PDFhttp://focuslab.lfp.uba.ar/public/Electronica/Informes/Transistores_Fernandez-Ordonez.PDFhttp://focuslab.lfp.uba.ar/public/Electronica/Informes/Transistores_Fernandez-Ordonez.PDFhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://focuslab.lfp.uba.ar/public/Electronica/Informes/Transistores_Fernandez-Ordonez.PDFhttp://focuslab.lfp.uba.ar/public/Electronica/Informes/Transistores_Fernandez-Ordonez.PDF


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Un vo l ta je cont inuo V(t ) = V 0 se puede representar , tambin, porV(t ) = V 0u ( t)

16. Qu es una f u n c i n c u a d r t i c a ?

Es una func in de la forma:

y= ax2+ bx+ c.

Corresponde a una f igura l lamada p a r b o l a, su grf ica presenta doscasos:

Si a 0 S i a 0

El punto V se denomina vr t ice de la parbola y sus coordenadas son:

x =a

b

2

e y =

a

b-ac 2

4

4.

Por e jemplo, la parbola y= 2x2 + 4x+ 3 , t iene vr t ice en:

x =(2)2

4 = 1 e y =

(2)4

(4)-(3)(2)4 2= 1.

Su grf ica se esboza en la s igu iente f igura:

V

V

0

V0

t

V(t)

V

1

1
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En la natura leza se presentan muchas formas parabl icas:

En l as sombras . En e l rebo te de una bo la . En l a ca da de un cho r ro de agua

Una de las prop iedades ms importantes de las formas parabl icas esque cualquier rayo que inc ida de forma parale la al e je de la parbolarebota en su superf ic ie pasando por un punto in ter ior de la parboladenominado foco (F) . V iceversa, todos los rayo que sa len de l foco yrebotan en la parbola salen parale los al e je de la parbola.

Esta pro iedad se ap l ica, por e jemplo, en las antenas parabl icas paraconcentrar las seales que l legan a la antena en e l punto foca l de laparbola logrndose una mejor recepc in de las mismas. Tambinconseguimos que la luz que sa le de un faro se concentre en un haz ms

o menos cerrado, ub icando e l foco de luz en e l punto foca l

F Eje de la parbola
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17. Qu ap l icac iones a la Fs ica t iene la parbola?

En electr ic idad se presentan algunas relaciones cuadrt icas de este

t ipo, por e jemplo, cuando re lac ionamos la potenc ia , res is tenc ia , lain tens idad y la d i ferenc ia de potenc ia l .

La potenc ia e lc tr ica se def ine como la cant idad de energa e lctr ica ot rabajo , que se t ransporta o que se consume en una determinada un idadde t iempo.

Si la tens in se mant iene constante, la potenc ia es d i rec tamenteproporc iona l a la corr iente ( in tens idad). sta aumenta s i la corr ienteaumenta. Cuando se trata de corr iente cont inua (CC) la potenc iae lc tr ica desarro l lada en un c ier to ins tante por un d ispos i t ivo de dostermina les , es e l producto de la di ferenc ia de potenc ia l entre dichostermina les y la in tens idad de corr iente que pasa a travs del d isposit ivo.Esto es ,

.

Donde I es el valor instantneo de la corr iente y V es el valorins tantneo de l vo l ta je . S i I se expresa en amper ios y V en vol t ios, Pestar expresada en watts ( vat ios) . Cuando e l d ispos i t ivo es unares is tenc ia de va lor R o se puede ca lcu lar la res is tenc ia de l d ispos i t ivo ,

la potencia tambin puede calcularse como

Ej. Considerando P como funcin de I , tenemos las s iguientes grf icaspara R= 0,5 ; 1 ; 2

P = RI 2

R=0,5

R= 1

R= 2P

I
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trabajohttp://es.wikipedia.org/wiki/Trabajohttp://es.wikipedia.org/wiki/Intensidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Voltajehttp://es.wikipedia.org/wiki/Voltajehttp://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_corriente_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_corriente_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_corriente_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Amperiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vatiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resistorhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Resistorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vatiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amperiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_corriente_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Voltajehttp://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Intensidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Trabajohttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_el%C3%A9ctrica


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Ej. Calcu lar la potenc ia correspondiente a una res is tenc ia de 0 ,5 ohm yuna in tens idad de corr iente de 2amp.Sol .

P = 0 ,5(2) 2 = 2wat ts

Es conocida la ecuacin que r ige el movimiento vert ical de un objeto quese lanza l ib remente hac ia arr iba, s in rozamiento:

h = v0 t gt2

Las coordenadas de su vr t ice son:

t

=

v0

2 12g =v0

g y h=

v02

g

Que corresponden al t iempo que demora el objeto en alcanzar la a l turamxima y la correspondiente altura mxima . En e l dob le de este t iempo,a l caer, e l ob je to a lcanza e l sue lo .

E j . Un cuerpo se lanza hac ia arr iba con una ve loc idad in ic ia l de 5m/s .Tomando g =10m/s 2 , determine:

a) E l t iempo que demora en a lcanzar su mxima a l tura .b) Su a l tura mx ima.c) E l t iempo de re torno a t ie rra .

Sol .

a) t =5

10=0,5s

b ) h= 52

210=1,25m

c) t = 2(0,5) = 1s

18. Qu es una func in e x p o n e n c i a l ?

En genera l es una func in de la forma:

y= ax; x IR. a > 0 .

t

h

v0

g

v0g

v02

2g

0


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Un caso part icu lar , ampl iamente conoc ido, es :

y= ex

; x IR.

e es la base de los logari tmos neperianos, su valor aproximado es2,71828.

Un esbozo de su grf ica es:

El e je horizontal la grf ica disminuye su al tura cada vez ms hacia laizqu ierda s in tocar n i pasar debajo de l e je x , por eso dec imos que esteeje es una asntota horizontal de la func in.

Vis ta de izqu ierda a derecha, la gr f ica es t sub iendo rp idamente, poreso decimos que la funcin es creciente .

El caso contrar io es y= excuya grf ica es decrec iente.

Este es un modelo matemtico para muchas apl icaciones en la v ida real.Cuando a lgo crece muy rp ido se d ice que t iene un crec imiento

exponencial y cuando decrece rp idamente se d ice que t iene undecaimiento exponencial .

Algunas var iantes y sus respect ivas grf icas:

1

x

y y= ex

1

x

y

y= ex

1x

y

y=exx

y

y= a + ex

y= a
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En e lec trn ica se presentan muchas de estas var iantes en c i rcu i tos RC yRL de corr iente cont inua (CC). Veamos a lgunos e jemplos en RC:

Circu i tos ser ie RL

Al cerrar e l in terruptor S en e l c i rcu i to ser ie RL, la bobina crea unafuerza e lec tromotr iz ( f .e .m.) que se opone a la corr iente que c i rcu la pore l c i rcu i to , denominada por e l lo fuerza contrae lec tromotr iz . Comoconsecuenc ia de e l lo , en e l mismo ins tante de cerrar e l in terruptor ( t 0 ) laintensidad ser nula e i r aumentando exponencialmente hasta alcanzarsu va lor mx imo, E 0 / I o (de t0 a t1) . Si a cont inuac in, en e l mismoinstante de abr i r S ( t2) se har cor to c i rcu i to en la red RL, e l va lor de I o

no desaparecera instantneamente, s ino que ir a d isminuyendo deforma exponenc ia l hasta hacerse cero (de t2 a t3) .

La durac in de l rg imen t rans i tor io segundos).depende de los va loresde la res is tenc ia (R ohmios ) y de la auto inductanc ia (L henr ios) de labobina,

Matemt icamente se pueden obtener las ecuac iones en rg imentrans i tor io de cada c i rcu i to que se muestran en la s igu iente tab la :

Carga en RL Descarga en RL

19. Qu prop iedades t iene la func in exponenc ia l?

Tiene todas las prop iedades que se estud ian en la teor a de exponentes,entre las ms resa l tantes tenemos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Interruptorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bobinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_(unidad_de_tiempo)http://es.wikipedia.org/wiki/Ohmiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Henriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RegimenTransitorio.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CircuitosSerieRLyRCenCC.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RegimenTransitorio.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CircuitosSerieRLyRCenCC.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RegimenTransitorio.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CircuitosSerieRLyRCenCC.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RegimenTransitorio.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CircuitosSerieRLyRCenCC.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RegimenTransitorio.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CircuitosSerieRLyRCenCC.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Henriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ohmiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_(unidad_de_tiempo)http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bobinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Interruptor


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em en = em + n

(em)n =em n em

20. Qu es una func in l o g a r tm i c a ?

En genera l , es una func in de la forma:

y= logb(x) ; x> 0.

En part icu lar s i b=e se t iene la func in logar i tmo natura l o logar i tmoneper iano, y se escr ibe:

y= loge(x); x> 0

o ms brevemente:

y= ln x; x> 0

Un esbozo de su grf ica es e l s igu iente :

Notamos que e l e je Y es una asntota vert ical .

Las func iones exponencia l y logar i tmo neper iano son inversas entre s Esto impl ica que y= ex x= ln y .

S i en la tab la anter ior , qu is iramos determinar e l t iempo en la carga ydescarga tendramos:

Tiempo de carga en

RL

Tiempo de descarga

en RL

1

en

= emn

X

Y
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Ms adelante veremos cmo se obt ienen estos resultados.Especf icamente en la pregunta 34.

Si b= 10, se or ig ina un s is tema de logar i tmos l lamados decimales ovulgares,en es te caso se omite la escr i tura de b , es to es :

log10 (x)= log (x)

21. Qu prop iedades t iene la func in logar i tmo?

Entre las ms importantes podemos c i tar : log b(mn ) = logb (m) + logb (n) . S i m y n son pos i t ivos. log b(m

n) = n logb (m) . S i m es pos i t ivo . log b(b) = 1

Ejemplos.

1 . ln (m3n2) = ln(m3 )+ ln (n2) = 3 ln (m)+2 ln (n ) .

2 . 2)ln(x3)ln(x2x

3xln

3 . 1)ln(2x5

21)-ln((2x1)-(2xln 2/55 2

4 . Log3 (3) = 15. log(10) = 1 ; ln (e)=1

6. Log(x -1) + Log(x +3) = )( 3x1xlog

22. Qu es una escala logar tmica y por qu usarla?

Las esca las logar tmicas se emplean cuando se qu ieren representardatos que var an entre s var ios rdenes de magni tud como, por e jemplo,magnitudes relacionadas con una frecuencia que vara entre 1 rad/s y10 6 rad/s . S i se emplean esca las linea les , s lo aprec iar amos b ien losdatos correspondientes a las f recuenc ias mayores mientras que, pore jemplo, todos los puntos por debajo de 10 4 rad/s se representar an en

la cents ima parte de l e je de absc isas.Para ev i tar es te prob lema se usan las esca las logar tmicas, quepermi ten representar en un mismo e je datos de d i ferentes rdenes demagni tud, separndolos en dcadas . Para e l lo , en lugar de marcar sobree l e je la pos ic in de l dato que queremos representar se marca la de sulogar i tmo dec imal . Esto se hace aprovechando la s igu iente prop iedad delos logar i tmos:

log(N 10D )= log(N)+ D log10 =log(N)+ D

De este modo, e l orden de magni tud ( D ) establece un desplazamiento,separando una dcada ( D = i) de la s igu iente (D = i + 1) y los puntoscorrespondientes a un mismo orden de magni tud (dcada) t ienen e l


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mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a unadcada superior.

Como e jemplo en la s igu iente f igura se ind ica dnde se ub icar an en un

eje logar tmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

Algunas ap l icac iones de los logar i tmos.

La intensidad sonora .Las un idades ut i l izadas comnmente para medir los n ive les dein tens idad de un son ido, l lamadas be l io y dec ibe l io , son, en rea l idad,re la t ivas y de natura leza logar tmica. As , un dec ibe l io se def ine enacst ica como la dc ima parte de l logar i tmo dec imal de l coc iente entrela in tens idad de un son ido ( I ) y una in tens idad umbra l ( I 0 ) tomada comoreferenc ia .

Bel = 10 log( I / I 0)Esta def in ic in se ap l ica no so lo a in tens idades de son idos, s i laap l icamos a la potenc ia e lc tr ica con res is tenc ia de 1ohm, se tendra :

Bel =

0

2

0

2

0

2

V

V20log

V

V10log

V

V10log

Diagramas de Bode .

Un Diagrama de Bode es una representacin grf ica que s irve paracaracter izar la respuesta en frecuenc ia de un s istema. Normalmenteconsta de dos grf icas separadas, una que corresponde con la magnitudde d icha func in y o t ra que corresponde con la fase . Recibe su nombredel c ient f ico que lo desarro l l , Hendr ik Wade Bode.

Es una herramienta muy ut i l izada en el anl is is de c i rcu i tos enelectrn ica, s iendo fundamenta l para e l d iseo y anl is is de f i l t ros yampl i f icadores.

El diagrama de magni tud de Bode d ibu ja e l mdulo de la func in de

transferenc ia (gananc ia) en dec ibe l ios en funcin de la frecuencia (o laf recuenc ia angular) en esca la logar tmica. Se sue le emplear enprocesado de seal para mostrar la respuesta en f recuenc ia de uns is tema l inea l e invar iante en e l t iempo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hendrik_Wade_Bode&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplificadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Decibeliohttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesado_de_se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/wiki/Respuesta_en_frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_LTIhttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_LTIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Respuesta_en_frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesado_de_se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Decibeliohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplificadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hendrik_Wade_Bode&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia


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S lope : pend ien te ; cu to f f f requency : f recuenc ia de co r te

23. Cmo se def ine la funcin seno y qu prop iedades t iene?

Se denomina funcin seno , y se denota por f (x ) = sen x , a laap l icac in de la razn t r igonomtr ica seno a una variable independientex expresada en radianes.

La funcin seno es per id ica de per iodo 2 : sen(x + 2 ) = senx. Es cont inua y acotada: 1 senx 1 . Su rango est entre 1 y 1 . Su domin io de def in ic in es e l con junto de todos los nmeros rea les . Es una func in impar: sen(x) = senx

Gr f i ca de l a func in seno .

24. Cmo se def ine la func in coseno y qu prop iedades t iene?

Se denomina funcin coseno , y se denota por f (x ) = cos x , a laapl icacin de la razn tr igonomtr ica coseno a una var iab leindependiente x expresada en rad ianes.

La funcin coseno es peridica de periodo 2: cosx2 = cosx Es cont inua y acotada: 1 cosx 1 . Su rango est entre 1 y 1 Su dominio de def in ic in es e l con junto de todos los nmeros rea les. Es una func in par: cos(x) = cosx.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Butterworth_filter_bode_plot.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htmhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Butterworth_filter_bode_plot.pnghttp://www.senati.edu.pe/Inicio.htm


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Gr f i ca de l a func in coseno .

25. Cmo se def ine la func in tangente y qu prop iedades t iene?

Se denomina funcin tangente , y se denota por f (x) = tan x, a laapl icacin de la razn tr igonomtr ica tangente a una var iab leindependiente x expresada en radianes.

La func in tangente es per id ica de per iodo : tanx = tanx Es no acotada: su rango es el in terva lo ; Su domin io de def in ic in es e l con junto de todos los nmeros rea les

menos los ml t ip los impares de /2: IR { (2k-1)/2 / kZ} Es una func in impar: tan(x) = tanx.

Gr f i ca de l a func in tangen te .

26. Cmo es la gr f ica de una func in de la formay = A s in [x - ] C?


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A es la ampl i tud ( la a l tura de cada mximo arr iba de la l nea base). Ces e l desp lazamiento ver t ica l ( la a l tura de la l nea base).

P es el periodo o longitud de onda ( la longitud de cada c ic lo). es la f recuenc ia angular , y se expresa por = 2/ P o P= 2/. es e l desplazamiento de fase.

Ejemplo.

Cules son los e lementos respect ivos de la s igu iente grf ica?

Respuesta

La lnea base (e l punto medio de osc i lac in) se ub ica 2 un idades

abajo de l e je x A = ampl i tud = 2 C = desplazamiento vert ical = coordenada y de la l nea base = -2 P= per iodo = 4 = f recuenc ia angular = 2/P= 2/4 = /2 = 1 Esta es la d istancia horizontal del e je Y al pr imer punto donde

la grf ica cruza la l nea base.

Entonces, la ecuac in es: y= 2 sen[ 1)(x2

] 2

27. Qu ap l icac iones f s icas t ienen las func iones seno y coseno?

Las denominadas corr ientes a l ternas son c c l icas, es to es , t ienen uncarcter osc i la tor io , por lo tanto se les puede as ignar un modelomatemt ico de t ipo senoida l . As , por e jemplo, una corr iente dada por:

i ( t ) = 4sen(200t)

es una corr iente a l terna y se in terpreta d ic iendo que su va lor mx imo es4 y su frecuencia es de 200 hertz

A

P

Lnea baseC
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El tema de v ibrac iones mecnicas se puede i lus t rar con e l s is tema masaresorte , como se ve en la gr f ica:

Una masa m su je ta a una pared mediante un resorte , cuya constantede r ig idez es igua l a k, se es t i ra una long i tud x y se suelta. El cuerpose encuentra su je to a una fuerza res tauradora igua l a F= kx.

Cuando no hay fuerza de res is tenc ia o amort iguac in, n i se encuentrasomet ido a una fuerza externa, e l cuerpo osc i la segn la ecuac in:

x( t ) = cos km

t sen km

t,la cua l se puede l levar a la forma:

x( t ) = Ccos(t ),Donde: C = 22 ; tan =

; km se denomina f recuencia

c i rcu lar .

El per iodo de osc i lac in es: T =20

y la f recuenc ia de osc i lac in es : f=1

T

m

m

x

t

x

C

C

0

2

0

x(t) = Ccos(t )


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Ej. Un cuerpo que pesa 16 lb es t su je to a l ex t remo de un resorte quese est i ra 2 f t mediante una fuerza de 100 lb . E l cuerpo se pone enmovimiento. Determinar su f recuenc ia c i rcu lar , per iodo y f recuenc ia de

osc i lac in, cons iderando g = 32 f t /s 2 .

So l .

m =16

32=0,5 slug ; k =

100

2=50 l/ft

La f recuenc ia c i rcu lar es : 0=500,5 =10rad/sE l per iodo de osc i lac in es: T =

2

10=0,63s

La f recuencia de osci lacin es : f =10

2= 1,59 Hz

28. Cmo se def ine cada func in inversa de seno, coseno y tangente?

1. La func in a r c o s e n o se def ine:

y=arcsenx x =seny x [ -; ] ; y [ -1 ; 1 ]Es comn la notac in:Arcsenx = sen 1x

2. La func in a r c o c o s e n o se def ine:

y=arccosx x =cosy x [ -; ] ; y [ -1 ; 1 ]Es comn la notac in:Arccosx = cos 1x

3. La func in a r c o t a n g e n t e se def ine:

y=arctanx x =tany x [ -/2; /2] ; y ; Es comn la notac in:

Arctanx = tan 1

x


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29. Qu o p e r a c i o n e s se pueden efec tuar con las func iones?

Determinaremos 4 operac iones e lementa les :

Suma: ( f+g) (x) = f(x) + g(x) x D f Dg Resta: ( fg) (x) = f(x) g(x) x D f Dg Mul t ip l icac in: ( fg) (x) = f(x)g(x) x D f Dg D iv is in: ( f /g) (x) = f(x)/g(x) x D f Dg { x / g(x) = 0}

En la d iv is in debe cu idarse que e l denominador no se anule paraalgunos valores de x, de ser el caso estos deben excluirse del dominio .

E j . Efec tuar las operac iones anter iores para f(x)=2x+ 3 y g(x)= 4x 8

( f+g) (x) = (2x + 3) + (4x 8) = 6x 5 D f+ g= IR

( fg) (x) = (2x + 3) (4x 8) =2x + 11 D f g= IR

( fg) (x) = (2x + 3)(4x 8) = 8x2 4x 24 D f g= IR

( f /g) (x) =84

32

x

x D f / g= IR {2}

La d iv is in t iene sent ido para todo va lor de x salvo para x= 2. Por lo

tanto su domin io es : IR {2} .

S i las func iones estn def in idas de manera tabu lar , se determinan losva lores comunes de x y se operan los correspondie ntes de y.Por e jemplo, para las func iones def in idas por las tab las :

Se t iene:

Si las func iones se dan con un domin io preestab lec ido, in tersectamoslos domin ios dados para obtener e l domin io de la func in resu l tante .

Ej . S i f (x ) = x 2 x [2; 3 y g(x) = e 2 x x1; 6 ] , determinar la suma

y d iv is in g / f de ambas func iones.Sol .

Su suma es: ( f+g)(x) = x 2 + e 2 x x [2; 3 1; 6] = 1; 3 .

x 1 6 9

f(x) 3 0 7

x 1 3 9

g(x) 5 0 2

x 1 9

( f+g) (x) 8 5


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Su d iv is in es:2

2x

x

e

f(x)

g(x) x1; 3 {0} .

30. Se puede evaluar una funcin empleando una variable en lugar deun determinado nmero?

S, es pos ib le . Por e jemplo, la func in f(x) = 2x+7, se puede evaluarpara x= a: f(a ) = 2a + 7

31. Se puede eva luar una func in empleando una expres in a lgebra icaen lugar de un determinado nmero?

S, es pos ib le . Por e jemplo la func in f(x) = 2x + 7, se puede evaluar

para x= a+2: f(a+2) = 2(a+2) + 7 = 2 a + 11.

32. Se puede eva luar una func in empleando otra func in en lugar deun determinado nmero?

S, es pos ib le . Por e jemplo, la func in f(x) = 2x + 7 se puede evaluarempleando la func in g(x) = 3x1: f(g(x) )= 2(3x1)+ 7= 6x+5.

Este proceso se denomina composic in de funciones .

33. Qu es c o m p o s i c i n de func iones?

La composic in de funciones f y g - conocida, tambin, como func inde func inse def ine como:

( f g) (x) = f (g(x) ) D fg= {x / x Dg g(x) D f}

Ejemplos.

1 Dadas f(x)=2x + 5 y g(x)= 4x 3, determinar: a) f g b ) g f .

So l .

a) f(g(x) ) = 2(4x 3)+ 5 = 8x 1b) g( f(x) ) = 4(2x + 5) 3 = 8x +17

Algunas funciones son e l resul tado de la composic in de dos o msfunc iones

2. ln (4x 3) = ln(x) (4x 3)

3. 4 ln(x) 3 = (4x 3) ln (x)

4. e s e n ( 2 x - ! )= e x senx (2x 1)


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5. ))i(t)I

I(ln(t)

i(t)I

Iln(t

0

0

0

0

6. Si f(x)=2x + 5 x [2; 5] y g(x)= 4x 3 x 0; 4 ] , determinar sufunc in compuesta y su respect ivo domin io .

La compuesta g fes: g( f(x) ) = 4(2x + 5) 3 = 8x +17

El dominio es: D g f={x /xD f f(x)Dg}={x /x [2; 5 ] (2x+ 5) 0; 4 ] }

= { x / x [2; 5 ] x5/2; 1/2]}= [2; 1/2] .

Si e l domin io es e l conjunto vaco, la composic in no se puede efectuar.

7. Si f(x)=2x + 5 x [4; 3] y g(x)= 4x 3 x 0; 4 ] , determinar sufunc in compuesta y su respect ivo domin io .

El dominio es: D g f={x / xD f f(x)Dg}={x / x [4; 3] (2x+5) 0; 4 ] }

= { x / x [4; 3] x5/2; 1/2]}=

La compuesta no ex is te ; ya que e l domin io es vaco .

34. Qu sucede cuando se compone una funcin con su inversa?

El resu l tado de su composic in es la func in ident idad, es to es :

f ( f 1 (x )) = x

Se puede decir que cuando se compone una funcin y su inversa ambasse cancelan mutuamente .

E j .

1 . arcsen(senx)= x

2. ln (e x) = x

3. e l n 2 x= 2x

4. tan(arc tanx 2 ) = x2

35. Para qu es t i l es ta prop iedad?

Esta prop iedad es de gran ut i l idad para despejar incgni tas que se

encuentren como argumentos de las func iones t r igonomtr icas ologar tmicas.

Veamos a lgunos e jemplos:


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1. Resolver e x+ 3 = 5 .

Sol . Tomamos logar i tmos neper ianos a ambos miembros de la ecuac in,

para cancelar la funcin exponencial que es donde se encuentra laincgni ta , para despejar la poster iormente.

Ln(e x+ 3 ) = ln5 x + 3 = ln(5) .x = ln(5) 3 x = 1,39056

2. Resolver ln(3x +1) = 2.

Sol. Tomamos exponencial a ambos miembros de la ecuacin, paracancelar la func in ln que es donde se encuentra la incgnita, para

despejar la poster iormente.e l n ( 3 x + 1 ) = e2 3x +1 = e2

x =e 21

3 x= 0,288.

3. Resolver cos (x2 1 ) = 0 ,45.

Sol . Tomamos cos 1 (o, lo que es lo mismo, arccos ) a ambos miembrosde la ecuacin, para cancelar la funcin cos que es donde se encuentrala incgni ta .

cos 1 cos (x 2 1 ) = cos 1 0 ,45.

x2 1 = cos 1 0 ,45.x2 = cos 1 0 ,45 + 1 .

x = cos 10,45 1x = 2,104030.rad

4. Despejar t de la relac in i ( t ) = I0(1 e t / )

So l .

i ( t ) = I 0 I 0e t / I0e t / = I 0 i ( t )

et/=I0 it

I0 lnet/=ln I0 it

I0

t = ln I0 itI0 tln I0 itI0 F ina lmente:t ln I0I0 it


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Fundamentos Tericos.

El anl is is matemt ico es la rama de la matemt ica que proporc ionamtodos para la invest igac in cuant i ta t iva de los d is t in tos procesos decambio, mov imiento y dependenc ia de una magni tud respecto de otras .Surge as , de manera natura l , en un per odo en e l que e l desarro l lo de lamecnica y la as tronoma, nac idas de los prob lemas de la tecnologa yla navegacin, haban proporc ionado ya un cmulo considerable deobservaciones, medidas e hiptesis y estaban impulsando a la c ienciahacia la invest igacin cuant i tat iva de las formas ms senci l las demovimiento.

El prob lema de l an l is is es e l es tud io de las func iones, es to es , de la

dependenc ia de una var iab le respecto de otra .

F u n c i n

El concepto ms importante de todas las matemt icas es, s in dudar lo , e lde func in: en cas i todas las ramas de la matemt ica moderna, lainvest igacin se centra en el estudio de funciones.Los dist intos objetos y fenmenos que observamos en la naturalezaestn orgnicamente re lac ionados unos con otros ; soninterdependientes. El gnero humano conoce desde hace t iempo lasre lac iones ms senc i l las de esta c lase, y es te conoc imiento se ha l la

expresado en las leyes f s icas. Estas leyes ind ican que las d is t in tasmagni tudes que caracter izan un fenmeno dado estn tan n t imamentere lac ionadas que a lgunas de e l las quedan completamente determinadaspor los va lores de las dems. . . Fueron correspondenc ias de esta c laselas que s i rv ieron de or igen a l concepto de func in.

E l concepto moderno de func in t iene su base en los pares ordenados.Un par ordenado es un par de nmeros (a , b) ta les que:

a , = c , d a = c b = d .

La relacin de igualdad ordena los nmeros que conforman el par por lapos ic in que ocupan dentro de l mismo: a se denomina la pr imeracomponente y b se denomina la segunda componente. S i no se cumple la re lac in anter ior , los pares son d i ferentes.

As, modernamente, una func in se def ine como un con junto de paresordenados ta les que dos pares ordenados d i ferentes no t ienen la mismaprimera componente

E j f = { (3 ; 4) , (5 ; 4) , (1; 3)} es func in pues la pr imera componente es

d i ferente en cada par ordenado.

R = {(3; 4), (5; 4), (3; 3)} no es funcin pues la pr imeracomponente se rep i te en e l pr imer y tercer par ordenado


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Ejercicios Resueltos

1. Determinar s i R= { (3,2) , (5 ,1) , (3,3) , (0 ,1)} es func in. Calcu lar sudomin io y rango.

Sol .

No, pues en e l pr imer y tercer par a x = 3, le corresponde n dosva lores d i ferentes de y: 2; 3 .

D = {3,0, 5} R= {0 , 2 , 3}

2. f = {(2,2) , (5 ,1) , (3,3) , (0 ,1)} es func in pues a cada va lor de x, lecorresponde un valor de yd i ferente de otro .

So l .

Su dominio es D = {3, 2, 0 , 5} y su rango R= {1 ; 2 ; 3}

Obsrvese que s i en el grf ico de una relacin hay dos (o ms) puntosubicados en una misma ver t ica l , entonces no corresponde a una funcin.

3. Determinar a, b , s i e l con junto f = { (3,2) , (5 ,1) , (2a 1, 2) ,(3b +1,1)} . es func in.

Sol .

2a 1= 3 2a = 2 a = 1

3b +1= 5 3b = 4 b= 4 /3

4. Determinar e l domin io de: 2

x4f(x)

So l .

4 x2 0 x2 4 2 x 2 .

-3

2

3

1

0 5

50

1

2

3

-3 -2
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5. Determinar e l domin io de9x

xf(x)

2

So l .

Recordemos que e l denominador de una f racc in no debe ser cero.

X29 0 X2 9 x 3.

Esto s ign i f ica que x puede tomar cua lqu ier va lor rea l (x IR) excepto 3 y3. En trminos de con juntos, e l domin io lo expresamos como:

D= IR {3; 3}

6. Dada la func in f = {(1; 4) , (2 ; 0) , (3 ; 1) , (5 ; 5) , (6 ; 2), (0 ; 1)} ;ca lcu lar f (2) + f (0) f (3) .

So l .

f (2) + f (0) f (3) = 0 + (1) 1= 2

7. Graf icar y= 2x+ 4

Sol .

Le asignamos a cada variable el valor cero y determinamos sucorrespondiente valor, los valores determinados son las respect ivasin tersecc iones con los e jes coordenados

8. Graf icar y= x2 + 6x+5

Sol .

Determinamos su vr t ice :

x= 32(1)

6 y= (3)2 +6(-3) + 5= 4

Determinamos la in tersecc in con e l e je Y:x = 0 y= 5

x y

0 42 0

2

4

3

4

5
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9. Se def ine e l valor absoluto de x como: |x| =

0x x

0x x. Graf icar la

func in def in ida por f (x ) = |x| .

So l .

10. Si f (x ) = 3x4, determinar su func in inversa.

Sol .

y= 3x4 x= 3y4 3y = x + 4 y =3

4x

f1 (x) =3

4x

11. Determinar la inversa de la func in f (x ) =3

2x 1.

So l .

y=3

2x 1 x=

3

2y 1 2xy x = 3 2xy = 3 x y=

x 3

2x

f1

x =x 3

2x

12. Determinar la inversa de la func in f (x ) =x 2x 1

.

So l .

y=x 2

x 1 x=

y 2

y 1 xy x = y 2 xy y = x + 2

y(x 1 = x 2 y=x 2

x 1

f1

x =x 2x 1

En este e jemplo se nota que la func in inversa es la misma que laor ig ina l . Este es un hecho que se presenta en a lgunas func iones comolas de l e jemplo.

2 1 1 2

1

2


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13. Determinar la inversa de la func in f (x ) = 4x 5So l .

y=4x 5 x=4y 5 x2= 4y 5 y= x2 54 f 1x= x2 54 14. Despejar t en la expres in e 2 t 3 = 5 y determinar su va lor

numr ico.

Sol .

Empleamos la inversa de la func in exponenc ia l , que es la func inlogar i tmo neper iano ( ln) :

2 t 3 = ln5 2 t = 3 + ln5 t=2

ln53 = 2,305.

15. Despejar t en la expres in ln( t+2) = 1 y determinar su valornumr ico.

Sol .

Empleamos la func in exponenc ia l , que es la inversa de la f unc in ln :

t+2 = e 1 t = 2 + e 1 t = 1,632.

16. Resolver sen(2x2) = 0 ,8 .

Sol .

2x2 = arcsen 0,8 2x= arcsen 0,8 + 2 x = (arcsen 0,8 +2) /2

x= 1,4636 rad.

17. Si f (x ) = x2 +2x + 5 y g(x) = x 2 + x , determinar:

a) ( f 2g)(x) ; b) ( fg)(x ) ; c ) ( f /g)(x )

Sol .

a) ( f 2g)(x) = f (x ) 2g(x) = x 2 +2x + 5 2( x2 + x)= . x2 + 5.

b) ( fg)(x ) .= f (x )g)(x) .= (x 2 +2x + 5)( x2 + x)= x4 + 3x3 + 7x2 + 5x .

c) ( f /g)(x )=xx

52xx

g(x)

f(x)2

2

, x 0 ; 1


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18. Si f (x ) = cosx y g(x) = senx. Calcu lar a) f (x ) 2 g(x) b) f 2(x ) +g2(x ) c ) f 2 (x ) - g 2(x ) .

So l .

a) f (x ) 2 g(x) = cosx 2senx.

b) f2 (x ) + g 2(x ) .= cos 2(x ) + sen 2(x ) .= 1 .

c) f2 (x) g2 (x ) .= cos2 (x) sen 2(x ) .= cos2x.

19. Si f (x ) = x 2 + 5, ca lcu lar : a) f ( 3 ) b) f ( f (1)) c ) f (x1)

Sol .a) f ( 3 ) = 3

2+ 5 = 8 .

b) f 1 = 6 f f 1 = f (6) = 6 2 + 5 = 41.c) f (x1) = (x1)2 + 5 = x 2 2x + 1 + 5= x 2 2x + 6.

20. Si f (x ) = x2 4 y g(x) = x 2 , ca lcu lar : a) g)(x)(f ; b ) f)(x)(g ;f ) (x(f

So l .

a) f (g(x)) = (x2)2

4= x2

4x + 4 4 = x2

4xb) g( f (x )) = (x 2 4 ) 2 = x2 6c) f ( f (x )) = (x2 4 )2 4 = x4 8x2+ 16 4 = x4 8x2+ 12.

21. Si f (x ) = senx y g(x) = 3x 2 , ca lcu lar : a) g)(x)(f ; b ) f)(x)(g ;f ) (x(f

So l .a . f (g(x)) = sen(3x 2)b. g( f (x )) = 3senx 2c. ( f (x )) = sen(senx)


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EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Determinar cu les de las s igu ientes re lac iones def in idas por las tab lasrespect ivas son func iones. As imismo determinar su domin io y rango.

2. Hal lar a, b en cada caso, s i e l conjunto f es func in.

a) f= { (3,2) , (5 ,1) , (2a 1, 2) , (3b +1,1)}b) f= { (4 , 3) , (5 ,6) , (2 a b, 3) , (3b +2a , 6 ) , (2, 7)}

3. Determinar cu les de los s igu ientes con juntos son re lac iones y cu lesson func iones:

a) R = { (x,y) R2 / 2x 3y+7 = 0}b) R = { (x,y) R2 / 2x2 + y+x= 2}c) R = { (x,y) R2 / x2 y2 = 4}d) R = { (x,y) R2 / x2 > y} .

4. Para cada func in e fec tuar las operac iones ad juntas ind icadas:

a) f = {(1, 3) , (2 ,7) , (3 ,3) , (5 ,1) , (6 , 4), (0 , 1)} ; f (2) + f (0) f (3)b) f = {(1 , 4) , (2,5) , (3 ,4) , (5 ,1) , (6 , 8) , (0 , 0)} ; 3 f 2 (6) 2 f (0) f ( f(2))

5. Determinar e l domin io de:

a) f (x) = 2x 3 b)

c) 92x

1xf(x)

d ) 3xx4f(x)

e )42x

12xf(x)

f ) f (x) = | x 3 |

g) f (x) = 4 (x 3)2 h ) f (x) = ln(x 3)

i ) j )

x -2 6 8 10y 3 7 0 9

x 4 4 3 0 1y 5 6 2 0 4

x 3 5 9 10 13

y 8 8 8 8 8

1xx

f(x)2

1x

xf(x)

2

2x4f(x)


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6. Graf icar las s igu ientes func iones:

a) f (x ) = 2x + 2 b) f (x) = 3x 2

c) f (x) = 3x + 2 , x [1; 3 d ) f (x) = x2 4

e) f (x) = x2 + 1 f ) f (x) = x2 4x + 3

g) f (x) = x2 + 2x 1 h) f (x) = 5

I ) j ) f (x ) = ln (x + 2)

k) f (x) = e x l ) f (x ) = ln (x )

7. Dadas las func iones: f (x ) = x + 1,g(x) = 3x 4,h(x) = x2 + 2x.

Efectuar las s igu ientes operac iones:

a) ( f + g)(x) b) ( f g)(x)

c) (h + 2 f ) (x ) d) (h - f + g)(x)

e) (g

2

+ 2 f ) (x ) f ) ( f g)

2

(x )g) ( f / g )(x ) h) (g / h)(x )

i ) ( fg + h)(x) j ) ( f (g + h)) (x )

8. Dadas las funciones f(x) = 3x 1 , x [3; 4 yg(x) = (x - 2) 2 + 1 , x 5 ; 3 ]h(x) = x 1 , x 0; 6

Efec tuar las s igu ientes operac iones:

a) ( f 2 g )(x ) b) (2 f g )(x )

c) ( f / g )(x ) d) (g / f ) (x )

e) (h 2 g )(x ) f ) (3h - f + 2g)(x)

9. Dadas las func iones def in idas por las tab las :

x 3 2 0 4 5 7f (x ) 1 6 3 4 0 8

x 3 1 0 2 5 6g(x) 4 5 9 1 5 2

x 3 2 1 2 4 7h(x) 0 4 8 1 3 0

1xx

f(x)


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Efectuar las s igu ientes operac iones:

a) (3 f g )(x ) b) (2 f + g)(x)

c) ( f / g )(x ) d) (g / h)(x )

e) (g2 + 4 f ) (x ) f ) (3h - f + 2g)(x)

10. Determinar la inversa de las s igu ientes func iones:

a) f (x ) = 3x + 2 b) f (x ) = 2x 1

c) f (x ) = 54x

d ) f (x ) = 3-2x2

e ) f )

g) f(x) = ex+ 2 h) f (x ) = ex 3

i ) f (x ) = lnx + 1 j ) f (x ) = ln(2x + 4)

k) f (x ) = sen(3x 4) l ) f (x ) = arc tan(2x + 3)

11. Dadas las funciones f(x)=3x + 2 y g(x)= 2x 1, determinar:

a) ( f g)(x) b) (g f ) (x )

c) ( f f ) (x ) d) (g g )(x )

e) ( ( f g) g )(x ) f ) ( (g 1 g) f ) (x )

g) ( f 2 g)(x) h) (( f + g) g )(x )

i ) ( ( f g) f ) (x )

12. Dadas las funciones f(x) = x 1 , x [3; 8 yg(x) = 3x + 2, x 2 ; 6 ]h(x) = 2x + 1 , x 0; 4

Efec tuar las s igu ientes operac iones:

a) ( f g)(x) b) (2 f g )(x )

c) ( f 3g)(x) d) (g f ) (x )

1xx

f(x)

1x1x

f(x)


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e) (h g )(x ) f ) (3h f 2g)(x)

g) ( (h

+g)

h )(x )

13. Resolver las s igu ientes ecuac iones.

a) e x 1 = 4 b) e x2 1 = 5

c) 5 = 3(1 ) d)

e) ln (2x-5) = 3 f ) ln (2x-5)3 = e 3

g ) ln ( 5 1x ) = 1 h) sen(4x+6) = 0,43

i ) tan(6x4) = 5 j ) tan(4x+5) = cos(1,23)

k) ec o s ( x 1 ) = 0 ,5 l )

4

t

e

1,2e)

4x

1xtan(


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A. Contenido Curricular

Unidad didctica:

Matemtica.

Aprendizaje:

Lmite de funciones.

Tema:

- Concepto de lmite.- Interpretacin grfica.- Formas indeterminadas. Clculo de lmites

Objetivo Principal.

Conocer e interpretar el concepto de lmite.

Objetivos Secundarios:

- Calcular lmites, para diferentes formas deindeterminacin.


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B Balotario

1. Qu se ent iende por aprox imac in de una cant idad a o tra?

Al igual que en la geometr a , que no se puede def in i r e l concepto depunto -en su lugar se da una idea y se trabaja con sta como si de unadef in ic in prec isa se t ra tara- , igua lmente, no es pos ib le def in i r la noc inde aprox imac in en forma r igurosa. Por e jemplo 0 ,49 podemos dec i r queest prx imo de 0,5 , pero a lgu ien podra ob je tar y dec i r que no, que e lnmero 0,49999 es e l que est prx imo de 0,5 . Y as suces ivamente.Eso no impide t raajar con la idea de aprox imacin en forma in tu i t iva.

As , la expresin:x 3

se usa para a f i rmar que la var iab le x toma va lores prx imos ocercanos a 3 pero s in l legar a ser igual a 3.

2. A qu va lor se aprox ima f(x)= 2x+5 cuando x se aproxima a 3?

Hagamos el s iguiente razonamiento, s iguiendo las operaciones indicadasen la func in:

Cuando x se aprox ima a 3 (x 3) entonces 2x se aprox ima a 6(2x 6) y , por lo tanto , 2x+5 se aproxima a 11 (2x+5 11).

Esto se abrev ia escr ib iendo: 115)(23

xlmx

.

Se lee: E l l mi te de 2x+5, cuando x t iende a 3, es igual a 11

3. Qu s ign i f ica , en genera l , la expres in L)(0

xflmxx

?

Signif ica que cada vez que x se aproxima a x0 (s in l legar a ser igua l a

x0 ) entonces f(x) se aprox ima a L .4. Cuntas formas de aprox imarse a un nmero ex is ten?

Dos formas: por la i z q u i e r d a o por la d e r e c h a , las podemos ver en e ls igu iente grf ico, tomando como e jemplo e l nmero 3:

Por e l lado izquierdo de 3 podemos tomar algunos valores prximos

ta les como: 2 ,8; 2 ,9 ; 2 ,99; 2 ,999;.

Por el lado derecho de 3 podemos tomar algunos valores prximos ta lescomo: 3,2; 3 ,1 ; 3 ,01; 3 ,001;.

3


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5. Qu t ipos de l mi tes or ig inan estas dos formas de acercarnos a undeterminado va lor?

En e l c lcu lo de un l mi te ,

f(x)Nxlm a l acercarnos a un va lor de N, ya sea

por e l lado izqu ierdo o derecho, se or ig inan los denominados l m i t esl a t e r a l e s .

Veamos, por e jemplo, los l mi tes la tera les de l e jerc ic io de la pregunta 2

Lo cual se escribe como: 115)(2-3 xlmx , y se lee: : E l l mi te de 2x+5,

cuando x t iende a 3 p o r l a i zq u i e r d a , es igual a 11

Lo cual se escribe como: 115)(23

xlmx

, y se lee: : E l l mi te de 2x+5,

cuando x t iende a 3 por la derecha, es igual a 11

En una grf ica podemos i lus t rar es tas ideas

Las f lechas a ambos lados de los nmeros ind ican los l mi tes la tera les

En los tex tos de ingenier a es comn usar la nomencla tura f(a+ ) en lugarde )(xfl m

x a

. As , por e jemplo, u (0+ ) = )(0

tulmt

x 2 ,8 2 ,9 2 ,99 2 ,999 . 3

f (x)=2x+5 10 ,6 10 ,8 10 ,98 10 ,998 . 11

x 3 ,2 3 ,1 3 ,01 3 ,001 . 3

f (x) =2x+5 11 ,4 11 ,2 11 ,02 11 ,002 . 11

3

11

y =2x+5


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6. Dada una func in y= f(x) , es lo mismo )(0

xflmxx

que f(x0 )? Es decir ,

siempre se cumple la igualdad )(0

xflmxx

= f(x0 )?

No, por e jemplo, la func in1

1)(

2

x

xxf no es t def in ida en x=1, es dec i r ,

f(1) no ex is te . S in embargo, cada vez que x se aprox ima a 1 , la func inse aprox ima a 0 ,5 . Lo cua l podemos notar en los s igu ientes cuadros

En resumen: f(1) no ex is te ; pero 5,0

1

1lm

21x

x

x

S i fac tor izamos y s impl i f icamos la func in, notamos que es equiva lentea:

1x1

1)1)(x(1)(

xxxf ,

Para valores de x di ferentes de 1. Una parte aprox imada de l gr f ico dela func in es como se muestra en e l d ibu jo . E l punto en b lanco, decoordenadas (1 ; 0 ,5) ind ica que f(1) no existe. Las f lechas indican quesu l mi te es 0 ,5 .

7. Qu sucede s i los l mi tes la tera les de una func in en un mismopunto son d i ferentes?

No ex is te e l l mi te en d icho punto, por e jemplo para la func in .

x 0,8 0 ,9 0 ,99 0 ,999 . 1

1

1)(

2

x

xxf 0 ,555 0,526 0,5025 0,5002 .0,5

x 1,2 1 ,1 1 ,01 1 ,001 . 1+

1

1)(

2

x

xxf 0 ,4545 0,476 0,4975 0,4997 .0,5

1

0,5


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u ( t 3)=

3t

3t

1

0

Se puede ver en e l gr f ico que u( t 3 ) = 0 y u ( t 3+ ) = 1 , luego)(

33-tulm

tno ex is te

8. Qu sucede con los va lores de la func inx

1)( xf cuando los valores

de x t ienden a cero por la derecha o por la izqu ierda?

Anal icemos, pr imero , e l caso en el cua l x t iende a cero por la derecha:

x

1)( xf 1 10 100 1000 .

x 1 0 ,1 0 ,01 0 ,001 . 0+

Simi larm ente, veamos el caso cuando x t iende a cero por la izquierda:

Observamos en e l gr f ico que, cuando

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