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LEZIONI N° 41, 42 E 43

FLESSIONE E TAGLIO ALLO STATO LIMITE ULTIMO

COMPORTAMENTO SPERIMENTALE DI UNA TRAVE DI C.A. SOTTOPOSTA A

FLESSIONE E TAGLIO

Consideriamo il comportamento sperimentale di una trave appoggiata di cemento

armato sottoposta ad un carico verticale uniformemente ripartito, all’aumentare

dell’intensità del carico applicato. Come abbiamo già avuto modo di osservare si

possono individuare tre fasi successive di comportamento.

I STADIO

Finché non si verifica la fessurazione del calcestruzzo teso la trave inflessa è integra

e si comporta, con buona approssimazione, come un solido elastico lineare.

Al suo interno è presente uno stato di tensione rappresentabile mediante il flusso

delle linee isostatiche di compressione e di trazione.

L’intensità e le direzioni delle tensioni principali in ciascun punto della trave possono

essere determinati costruendo il corrispondente cerchio di Mohr.

A titolo di esempio in un punto che si trova in corrispondenza dell’asse neutro ed in

prossimità dell’appoggio di sinistra si ha che le tensioni normali sono nulle e sono

presenti solo tensioni tangenziali.

Con riferimento all’elemento materiale rappresentato in figura, la tensione sul piano

verticale V vale [ = 0; = +] e quella sul piano orizzontale O è: [ = 0; = -].

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Il cerchio di Mohr corrispondente (che passa per i punti O e V) ha centro nell’origine

e raggio . Si individua quindi il polo dei piani K tracciando la verticale per V e

l’orizzontale per O.

La costruzione mostra che la tensione principale di trazione è inclinata di 45° rispetto

alla linea d’asse della trave.

L’andamento delle linee isostatiche, alle quali le direzioni principali delle tensioni

sono tangenti, ha l’andamento di figura:

( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909)

Il primo stadio termina con la comparsa delle prime fessure, che si producono

quando le tensioni di trazione superano la resistenza a trazione del calcestruzzo.

Esse si verificano ortogonalmente alle isostatiche di trazione e quindi parallelamente

alle isostatiche di compressione.

Pertanto le fessure sono verticali (anche per la simmetria) in mezzeria e poi tendono

ad assumere andamenti curvilinei, paralleli a quelli delle isostatiche di compressione

all’avvicinarsi degli appoggi.

Le prime lesioni si verificano, naturalmente, nella sezione di mezzeria della trave

dove la tensione di trazione al lembo inferiore è più grande.

II STADIO

Per tutto il II stadio la trave è fessurata. Le lesioni aumentano di numero e di

ampiezza finché la fessurazione non si stabilizza, nel senso che il loro numero non

aumenta più, ma aumenta la loro apertura.

Le lesioni sono, naturalmente, ortogonali alle isostatiche di trazione e, di

conseguenza sono verticali in mezzeria e sono oblique in prossimità degli appoggi.

L’equilibrio è possibile solo per la presenza dell’armatura metallica, costituita da

barre longitudinali, staffe ed, eventualmente, barre piegate.

178

( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909)

179

III STADIO

Nel terzo stadio la trave raggiunge lo stato limite ultimo.

( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909)

Dal punto di vista qualitativo la rottura può avvenire per uno o più dei seguenti

fenomeni di rottura (stati limite) che possono verificarsi:

A) lo snervamento delle armature tese;

B) lo per schiacciamento del calcestruzzo compresso.

E’ da osservare che lo snervamento delle armature non riguarda solo quelle

longitudinali, ma anche quelle trasversali: staffe e ferri piegati.

Analogamente lo schiacciamento del calcestruzzo può avvenire tanto in direzione

orizzontale, che anche secondo direzioni inclinate nelle zone compresse dell’anima

della trave (le zone compresse sono quelle comprese tra una fessura e l’altra).

180

CASO DELLE STRUTTURE ARMATE A TAGLIO

La prima teoria moderna della sollecitazione di flessione e taglio del c.a. è dovuta ad

E. Mörsch, che, nel 1902, ebbe l’incarico dalla Ditta Wayss & Freytag di svilupparne

la teoria.

Egli utilizzò come modello di calcolo della trave fessurata una trave reticolare

composta, parte di calcestruzzo e parte di acciaio. Tale modello di calcolo è

isostatico e pertanto è applicabile tanto nel II stadio che nel III stadio.

Il corrente inferiore e le aste inclinate di sono di acciaio, il corrente superiore e le

aste inclinate di sono di calcestruzzo.

L’altezza del traliccio è z=0,9 d (braccio delle forze interne) e la distanza fra due nodi

successivi è pari a:

z (cotg + cotg ).

Poiché il traliccio è isostatico, le forze nelle aste possono essere determinate

mediante sezioni di Ritter.

La sezione di Ritter “a-a” conduce alla determinazione delle forza Fc nelle bielle

inclinate di calcestruzzo. Detto V il valore del taglio, si ha:

Fc sin = V ----------> Fc = V/sin

Una seconda sezione “b-b” conduce alla forza Fs nelle aste di acciaio inclinate:

Fs sin = V ----------> Fs = V/sin

181

Peraltro la pratica tecnica prevede che le armature trasversali siano disposte ad un

interasse s inferiore rispetto a quello che deriva dall’applicazione del modello di

traliccio.

Per realizzare un interasse tra i nodi (e le staffe) minore, si può utilizzare un traliccio

“multiplo”, prevedendo di accostare fra di loro n tralicci semplici e sfalsandoli in

direzione longitudinale della quantità s.

E’ immediato verificare che il numero di tralicci necessari a realizzare l’interasse s è

dato da:

n = z (cotg + cotg )/s

Supponendo poi che i tralicci multipli siano uguali fra di loro è ragionevole stabilire

che il taglio totale esterno si ripartisca in n parti uguali fra i vari tralicci semplici.

Il taglio che agisce su un traliccio semplice, Vtr, è pari a:

Vtr = V/n = Vs/ z(cotg + cotg )

e le due relazioni di equilibrio precedenti si trasformano nelle:

Fc = Vs/ [z(cotg + cotg )sin ]

Fs = Vs/ [z(cotg + cotg )sin ]

Per quanto riguarda i carichi applicati, nel III stadio (stato limite ultimo di resistenza)

occorre considerare i carichi di esercizio moltiplicati per i corrispondenti coefficienti

parziali di sicurezza e opportunamente combinati fra di loro.

Per quanto riguarda le tensioni nei materiali, nel III stadio occorre considerare le

tensioni di crisi: ai fini della progettazione strutturale si utilizzano le tensioni

caratteristiche divise per i coefficienti parziali di sicurezza.

La verifica al taglio nel III stadio consiste nel confrontare fra loro il taglio di calcolo

esterno VEd, dovuto ai carichi applicati “di calcolo”, comprensivi cioè dei coefficienti

parziali di sicurezza, ed il taglio di calcolo interno VRd, corrispondente alla più piccola

tra la capacità portante dell’acciaio teso e quella del calcestruzzo compresso delle

bielle.

La verifica consiste quindi nel controllare che sia:

182

VEd VRd

Per quanto detto i tagli di calcolo interni VRd sono dunque due:

a) quello dovuto alla resistenza dell’armatura trasversale tesa che ha raggiunto lo

snervamento, VRsd;

b) quello dovuto alle resistenza delle bielle compresse oblique di calcestruzzo,

considerata alla soglia dello stato limite ultimo, VRcd.

Il taglio di calcolo esterno VEd deve essere confrontato separatamente con ognuno

dei due tagli di calcolo interni VRsd e VRcd, rispettivamente corrispondenti all’armatura

trasversale ed al calcestruzzo delle bielle:

VEd VRsd (armatura trasversale)

VEd VRcd (calcestruzzo delle bielle)

Nel caso della verifica dell’armatura trasversale, Asw, evidentemente si ha:

Fs = fyd Asw

ed utilizzando la:

Fs = V s/ [z(cotg + cotg )sin ]

è possibile ricavare il taglio ultimo compatibile con la resistenza delle armature

trasversali:

0,9 cotg cotg sinswRsd yd

AV d f

s

Nel caso di staffe verticali: = 90° (cotg = 0, sin = 1.), ponendo (caso più

frequente) = 45° (cotg 45° = 1.) si ottiene:

0,9 swRsd yd

AV d f

s

Nel caso di barre piegate (45° è l’angolo di piegatura maggiormente ricorrente) si ha

che: = 45° (cotg = 1, sin = 2 2/ = 0.707), = 45° (cotg 45° = 1.), si ottiene:

183

20,9 1 1 0,9 2

2sw sw

Rsd yd yd

A AV d f d f

s s

Occorre però tener conto del fatto che numerosi meccanismi resistenti collaborano a

sopportare il taglio esterno di calcolo in aggiunta alla resistenza delle armature

trasversali:

a) le azioni tangenziali che si sviluppano nella zona di calcestruzzo compresso dei

correnti superiori;

b) l’incastro flessionale delle bielle di calcestruzzo inclinate dell’angolo nel

corrente superiore;

c) l’ingranamento degli inerti che attraversano le fessure oblique;

d) l’”effetto spinotto” che si instaura tra le barre del corrente inferiore ed il

calcestruzzo delle bielle inclinate dell’angolo .

Per questi motivi è ragionevole pensare che non tutto il taglio di calcolo debba

essere affidato alle armature metalliche, per lo meno se non sono presenti fenomeni

dinamici rilevanti, che possano diminuire il contributo di alcuni dei meccanismi

resistenti sopra detti.

Esamineremo questi aspetti con particolare riferimento alle indicazioni della

Normativa italiana.

Verifica delle armature a taglio

La Normativa italiana consente di tener conto in modo indiretto dei contributi di

resistenza a taglio ulteriori rispetto a quello dovuto alle armature metalliche variando

l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo, nei limiti:

1 2,5cotg

che corrisponde ad imporre i seguenti limiti su :

45 21,8

184

Queste limitazioni derivano dalla applicazione al taglio del cemento armato della

teoria della plasticità dovuta a B. Thürlimann.

Considerando di nuovo la formula generale per il calcolo del taglio portato dalle

armature metalliche

0,9 cotg cotg sinswRsd yd

AV d f

s

nel caso di presenza di sole staffe, ma con inclinazione variabile delle bielle di

calcestruzzo di ha:

0,9 cotgswRsd yd

AV d f

s

L’area di acciaio necessaria è quindi:

0,9 cotgRsd

swyd

VA s

d f

Si può vedere che l’area delle staffe diminuisce al diminuire di (che fa aumentare

cotg).

Simultaneamente si verifica un aumento delle forze nelle bielle compresse di

calcestruzzo, che però non costituisce di solito un problema, in quanto la resistenza

delle bielle compresse è esuberante ed un aumento delle forze nel corrente inferiore

teso.

Con riferimento al caso di presenza di sole staffe si può valutare la forza nelle barre

di acciaio inferiori, T, in prossimità degli appoggi con la sezione di Ritter “c-c”.

Imponendo l’equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene:

R x zcotg = Tz

185

La forza di trazione T nelle barre longitudinali inferiori vale:

T = R x cotg

Si osserva, quindi, che, a parità di reazione vincolare, la forza di trazione nelle barre

longitudinali aumenta al diminuire di .

Lo sforzo di trazione nelle staffe si può determinare imponendo l’equilibrio alla

traslazione verticale in corrispondenza della sezione c-c.

Si ottiene:

02s

PF R

Detto p il carico uniformemente ripartito sulla trave, il carico P vale:

cotg

2 2

P p z

Sostituendo si ottiene:

cotg0

2s

p zF R

cotg

2s

p zF R

Si osserva, quindi, che, a parità di reazione vincolare, la forza di trazione nelle staffe

diminuisce al diminuire di .

Verifica del calcestruzzo delle bielle compresse

Nel caso della verifica del calcestruzzo delle bielle compresse non ha interesse la

divisione del taglio esterno fra gli n tralicci semplici, perché, ai fini del calcolo della

tensione media di compressione, basta dividere la forza obliqua totale per l’area della

sezione normale della biella, pari al rettangolo avente area:

186

Abiella = bw z (cotg + cotg ) sin

in cui bw è la larghezza della sezione della trave o l’anima della sezione (se è a T).

La biella di calcestruzzo si rompe quando

Fc = c,u Abiella = c,u bw z (cotg + cotg )sin

Poiché abbiamo trovato che la forza nelle bielle è:

Fc = V/sin

si ottiene:

VRcd = c,u bw z (cotg + cotg ) sin2

La normativa scrive questa espressione nel modo equivalente:

VRcd = 0,9 d bw c f’cd (cotg + cotg)/(1+ cotg 2)

in cui f’cd = 0.5 fcd

ed c è un coefficiente maggiorativo che vale:

Il coefficiente riduttivo 0.5 applicato ad fcd tiene conto della riduzione di resistenza

delle bielle compresse dovuta alla presenza di fessure parallele alle bielle stesse.

Questa riduzione si trova anche nell’Eurocodice 2, dove è espressa, in modo più

articolato dalla formula:

187

0,6 1250

ckf

Considerando, a titolo di esempio, un calcestruzzo avente fck = 30 N/mm2, si ottiene:

300,6 1 0,6 1 0,12 0,528

250

valore assai vicino a quello previsto dalle Norme Italiane.

Nel caso di staffe verticali: = 90° (cotg = 0) si ottiene:

VRcd = 0,9 d bw c f’cd cotg sin2 = 0,9 d bw c f’cd sin cos

Nel caso, invece, di piegati: = 45° (cotg = 1) si ottiene:

VRcd = 0,9 d bw c f’cd (1 + cotg ) sin2

188

IL CASO DELLE TRAVI NON ARMATE A TAGLIO

La normativa italiana consente l’impiego di elementi sprovvisti di armature trasversali

resistenti a taglio per solette, piastre e membrature a comportamento analogo, a

condizione che detti elementi abbiano sufficiente capacità di ripartire i carichi

trasversalmente.

Il meccanismo resistente a taglio è in questo caso quello di un arco a spinta eliminata

(arco di calcestruzzo – tirante orizzontale inferiore di acciaio).

Verifica delle armature longitudinali

La resistenza a taglio vale:

1 3

10,18 100 0,15Rd ck c cp wV k f b d

con la limitazione: min 0,15Rd cp wV v b d ,

che equivale a dire che deve essere:

1 3

1 min0,18 100 ck c wk f b d v

Il significato dei simboli è il seguente:

1 21 200 / 2k d

3 2 1 2min 0,035 ckv k f

in cui: d è l’altezza utile espressa in mm;

1 sl wA b d è il rapporto geometrico di armatura longitudinale ( 0,02);

cp Ed cN A è la tensione media di compressione nella sezione ( 0,2 fcd);

bw è la larghezza minima della sezione espressa in mm.

189

LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEL MOMENTO

FLETTENTE

Dal punto di vista operativo, la verifica di sicurezza di una trave di cemento armato si

svolge in due fasi (progetto condizionato):

1) determinazione delle armature longitudinali, eseguita utilizzando la teoria della

flessione semplice;

2) determinazione dell’armatura trasversale (staffe e ferri piegati), svolta

utilizzando il modello del traliccio di Mörsch.

Vengono impiegati, quindi due modelli diversi: il primo è quello della trave a parete

piena (si studiano solo sezioni piane), il secondo è quello della trave reticolare.

Vediamo, innanzitutto qual è l’andamento delle forze nei ferri inferiori nei due casi.

Con riferimento ad un traliccio avente le bielle compresse inclinate a 45° e le aste

tese trasversali inclinate a 90° (ma non è una restrizione significativa), si vede che

l’andamento delle forze di trazione nel corrente inferiore varia a gradini,

mantenendosi costante tra un nodo e l’altro.

Viceversa nella trave a parete piena tale andamento è parabolico e tocca il

diagramma a gradini in corrispondenza dei nodi della trave reticolare, mantenendosi

altrove sempre al suo interno.

190

Se ne deduce che la verifica delle armature longitudinali con la procedura della trave

a parete piena è, quasi sempre, a sfavore di sicurezza.

Volendo continuare ad utilizzare i due modelli sopra detti in modo indipendente,

occorre armonizzarli fra di loro.

Ciò si può fare traslando verso gli appoggi il diagramma del momento flettente,

affinché si abbia che le forze di trazione corrispondenti sono sempre maggiori o

uguali a quelle del traliccio. Si effettua, cioè la traslazione di z del diagramma del

momento.

Poiché il traliccio è normalmente multiplo si può fare una traslazione pari a z/n, in cui

n è il numero dei tralicci. Nella pratica si adotta n=2 e quindi si trasla di z/2.

Vediamo ora lo stesso problema in forma analitica.

Consideriamo la figura seguente, relativa ad una trave realizzata con sole staffe e

proponiamoci di determinare la forza di trazione T nell’acciaio teso inferiore.

Con riferimento alla sezione di Ritter “a”, scriviamo la condizione di equilibrio alla

rotazione rispetto al polo A.

Si ottiene:

3 cotg 2 cotg cotg 02

PT z R z z P z

3 cotg 2 cotg cotg2

PT z R z z P z

Osserviamo che il valore del taglio V nella sezione “a-a” è:

2

PV R P

191

Sostituendo nell’equazione di equilibrio alla rotazione l’espressione del taglio V si ottiene:

cotg 2 cotg cotg2

PT z V z R z z

Si nota che il momento flettente nel punto B si può scrivere come:

2 cotg cotg2B

PM R z z

Considerato che il taglio nella sezione “a-a” è e uguale a quello nel punto B, a destra del nodo, si ha allora:

, cotgB B dxT z M V z

,

1cotgB B dxT M V z

z

La seconda relazione individua il valore dello sforzo di trazione T.

La prima indica che il valore del momento da utilizzare per determinare T si ottiene

aggiungendo al valore del momento flettente determinato sulla trave a parete piena,

il termine aggiuntivo:

, cotgB B dxM V z

Questa relazione esprime la regola della traslazione del momento flettente, che va

traslato di cotgL z . Nel caso il cui sia = 45°, si ha: L z .

In presenza di n tralicci multipli si può scrivere:

, cotgB B dx

zT z M V

n .

Nel caso ricorrente in cui i tralicci siano almeno due, si può porre: n = 2 e si ottiene,

per = 45°, che la traslazione va effettuata di 2

z.