Le obbligazioni: misure di rendimento e...

Le obbligazioni:misure di rendimento e rischio

Economia degli Intermediari Finanziari4 maggio 2009A.A. 2008-2009

A.A. 2008-2009 Economia degli Intermediari Finanziari 2

1. Introduzione ai concetti di rendimento e rischio

2. Il rendimento delle obbligazioni

Profilo finanziario delle obbligazioniTREN (Tasso di rendimento nominale)TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza)

3. Il rischio delle obbligazioniRendimento ex postDurationEsempi

Agenda


Binomio rischio-rendimento

RENDIMENTO RISCHIO

Esprime il risultato economico dell’operazione redditività

(per convenzione si esprime in rapporto al capitale investito e alla durata dell’investimento, in genere su base annua)

È legato all’impossibilità di prevedere con certezza il risultato economico dell’operazione d’investimento

grado di incertezza della attività finanziaria

Le scelte di investimento non possono considerare uno solo di questi aspetti prescindendo dall’altro: analizziamo i principali indicatori di rischio e rendimento in assenza di rischio di credito (insolvenza della controparte) e di liquidità(difficoltà di smobilizzo)






Agenda


Il profilo finanziario delle obbligazioni (1)

In base alle modalità di remunerazione, èpossibile distinguere i titoli obbligazionari in :

TITOLI CON CEDOLA TITOLI ZERO COUPON

CEDOLA FISSA

Pagano periodicamente un interesse Il rendimento è dato dalla

differenza tra prezzo d’emissione e valore di rimborso

n.b. sempre emessi sotto la pari

CEDOLA VARIABILE

L’importo della cedola èpredeterminato

L’importo della cedola è legato a variabili reali o finanziarie


Le obbligazioni possono essere emesse:

SOTTO LA PARI Pr. di Emissione < Val. Nominale

ALLA PARI Pr. di Emissione = Val. Nominale

SOPRA LA PARI Pr. di Emissione > Val. Nominale


VN=100

PE=97.5

VN=100

PE=100

VN=100

PE=102

Lo scarto d’emissione è una componente positiva del rendimento

Il rendimento sarà dato solo dal pagamento periodico di interessi

Lo scarto d’emissione è una componente negativa del rendimento


Il rendimento può quindi essere distinto in 2 componenti:– reddito staccato, legato all’importo delle cedole e ai flussi

derivanti dal loro reinvestimento– reddito incorporato, rappresentato dalla differenza tra

valore di rimborso a scadenza (o prezzo di vendita, se l’holding period non coincide con la durata residua del titolo) e prezzo d’acquisto


guadagni e perdite in conto capitale in caso di smobilizzo anticipato

scarto d’emissione per obbligazioni non indicizzate detenute fino a scadenza

reinvestimento cedolecedole di obb. a tasso variabilecedole di obb. a tasso fissoCOMPONENTI ALEATORIECOMPONENTI CERTE


Le misure di rendimento: il TREN (tasso di rendimento nominale)

Fornisce esclusivamente un’informazione sul livello del tasso contrattualmente dovuto dall’emittente di un titolo a reddito fisso:

considera solo il reddito staccato (cedole)non tiene conto né del prezzo né del profilo finanziario del

titolo (es. scadenza e distribuzione temporale cedole)È il rapporto tra cedola annuale e valore nominale

TREN = Cedola / Valore Nominale

Nel caso di titolo con cedole semestrali il TREN ègeneralmente indicato su base annua: l’importo della cedola si calcola secondo il regime di capitalizzazione semplicees: i BTP a 5 anni con TREN del 4.25% pagano due cedole semestrali del 2.125%


Le misure di rendimento: il TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (1)

Una misura più completa del rendimento (ex ante) di un titolo obbligazionario è rappresentata dal TRES

Si considerano tutti i flussi finanziari, positivi (cedole e valore di rimborso) e negativi (prezzo pagato), nella loro esatta manifestazione temporale

Si calcola il tasso di rendimento che soddisfa l’uguaglianza tra il valore attuale dei flussi di cassa futuri e il prezzo pagato

prezzo

TRES?

t1 t2 t3


TRES (Tasso di rend.to effettivo a scadenza) (2)

Il TRES è quindi il tasso interno di rendimento delle obbligazioni che, in regime di capitalizzazione composta, soddisfa l’uguaglianza tra il prezzo di acquisto e la sommatoria dei valori attuali dei flussi di cassa

Ipotesi implicite:detenzione del titolo fino a scadenza (rimborso al valore

nominale)reinvestimento dei flussi intermedi fino alla scadenza ad

un tasso pari al TRES e costante per tutto il periodo (curva dei rendimenti piatta e non soggetta a variazioni nel tempo)

∑ = +=

n

t tt

TRESFC

1 )1(Pr


Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (1)

Se conosco: l’ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il TRES posso calcolare il prezzo del titoloES: Si determini il prezzo di un’obbligazione con le seguenti caratteristiche:– vita residua: 4 anni– frequenza cedola: annuale– TRES 5%– valore di rimborso a scadenza 100 €Nelle 3 seguenti ipotesi:1. TREN 6%2. TREN 5%3. TREN 4%


Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (2)

Caso 1: importo cedola 6 €



( ) ( ) ( ) ( )circaP 55.103

05.1106

05.16

05.16

05.16

432 =+++=

( ) ( ) ( ) ( )100

05.1105

05.15

05.15

05.15

432 =+++=P

( ) ( ) ( ) ( )circaP 45.96

05.1104

05.14

05.14

05.14

432 =+++=


Rapporto tra TRES, TREN e prezzo del titolo

Se P = VN TRES = TREN

Se P < VN ho una componente aggiuntiva di rendimento rappresentata dallo scarto d’emissione, quindi TRES > TREN

Se P > VN ho una componente negativa di rendimento rappresentata dallo scarto d’emissione, quindi TRES < TREN


Esempi: calcolo del TRES di un titolo (1)

Se conosco: l’ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il prezzo del titolo posso calcolare il TRESNon esiste una formula chiusa in grado di esplicitare il TRES in funzione delle grandezze alle quali è legatoil suo calcolo avviene attraverso un procedimento iterativo di approssimazioneSotto alcune ipotesi è peraltro possibile ricavare il TRES in modo più semplice:

a) TRES di uno ZCBb) TRES di un titolo a tasso fisso che quota alla pari c) TRES di un titolo a “3 flussi”d) TRES di una rendita perpetua



a) TRES di uno ZCB è sufficiente considerare che

Es. ZCB a 2 anni P=97.90, VN=100

b) Il TRES di un titolo con cedola che quota alla pari èuguale al tasso cedolare (come abbiamo già visto)

( )1

1

1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=→

+=

t

tt

PVNTRES

TRESVNP

circaTRES %07.1190.97

100 21

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

A.A. 2008-2009 Economia degli Intermediari Finanziari 16a

acbbx2

42

2,1−±−

=

c) In caso di titoli con una struttura a “3 flussi finanziari”

VN =100

02 =++ cbxax

Pr=98

C=3 C=3

t1 t2

Ponendo (1+ Tres)= x:

( ) ( )( ) ( ) 010313198

1103

1398 2

2 =−+−+→+

++

= TresTresTresTres

0103398 2 =−− xx

Quindi un’equazione di secondo grado che ammette due soluzioni



Risolvendo l’equazione otteniamo due soluzioni per la variabile x, delle quali consideriamo solo quella positiva, altrimenti il risultato sarebbe impossibile

01.10406.1

19696.2003

9824037693

0103398

2

12,1

2

−==

=±

=⋅+±

=

=−−

xx

x

xx

%06.410406.1 =−=Tres0406.11 =+Tres

Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres = x



( ) 11 −+= kkA ii

Il tasso calcolato nell’esempio precedente è un tasso periodale: risulta espresso su base annua se i flussi sono annuali, su basesemestrale se i flussi sono semestrali, su base mensile se i flussi sono mensili, e così via

Per convertire il tasso periodale in un tasso annuale si usa la legge di capitalizzazione esponenziale:

iA = tasso annuo; ik = tasso periodale

k = n° di volte per cui il periodo si ripete in 1 anno

Es. Calcolare il TRES di un’obbligazione avente:- vita residua di un anno- prezzo d’acquisto di 99€- valore nominale di rimborso 100€- tasso cedolare (annuo)= 4%- frequenza della cedola semestrale



Pr=99

C=2 C=2VN=100

t1 t2

( ) ( ) ( ) ( ) 0102121991

1021

299 22 =−+−+→

++

+= ss

ss

TresTresTresTres

0102299 2 =−− xxPonendo (1+ Tress)= x

005.10252.1

198988.2002

9924039242

2

12,1 −=

==

±=

⋅+±

=xx

x



Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres = x

%52.210252.1 =−=sTres0252.11 =+ sTres

( ) ( ) %103.510252.111 22 =−=−+= sa TresTres

( ) ( ) ( ) ( ) 0102121991

1021

299 5.0115.0 =−+−+→

++

+= aa

aa

TresTresTresTres

K0102299 2 =−− xxPonendo (1+ Tresa)0.5= x

( ) 0252.11 5.0 =+ aTres %103.510252.1 2 =−=aTres

Per ottenere direttamente il tasso annuo



Esempi : calcolo del TRES di un titolo (8)

d) Rendita perpetua o consol: per un’obbligazione senza data di scadenza e senza rimborso del capitale, con cedola fissa pari a C, si ha

Tale formula fornisce un’approssimazione utile per il calcolo del rendimento di obbligazioni dalla scadenza molto lunga (es. 20 anni)

cc

cc P

CiiCP =→=


TRES di un titolo a cedola variabile

La determinazione del TRES diviene più problematica, poichénon si conoscono i flussi di cassa futuriPuò essere calcolato un tasso di rendimento effettivo tendenziale (TRET), dato da

dove, nel caso di un semplice floater

( )∑ = ++

+=

n

t ttt

TRETVN

TRETFCE

1 )1()1(Pr

( ) spreadiEFCE trift += )( ,

valore atteso del parametro finanziario di riferimento al tempo t






Agenda


Tipologie di rischio sui titoli obbligazionari

Ipotizzando assenza di rischio di credito e di liquidità, èpossibile distinguere:

– Rischio di volatilità o di prezzo fluttuazione del valore di mercato in base all’andamento dei tassi

– Rischio di reinvestimento legato all’impossibilità di impiegare i flussi di cassa ricevuti al tasso previsto ex ante

La rilevanza delle due componenti dipende dall’orizzonte temporale di investimento rispetto alla durata residua del titolo. Concentriamoci sul rischio di volatilità o di prezzo

RISCHIO variabilità del rendimento ex post


La variabilità del rendimento ex post (1)

Il TRES è una misura di rendimento ex ante che si basa sull’ipotesi di detenzione del titolo fino a scadenzaSe l’investitore decide di smobilizzare il titolo prima della scadenza (holding period<maturity), non riceverà il valore nominale di rimborso, ma il prezzo di mercato del titolo in quel momentoIn base alla variabilità dei tassi d’interesse l’investitore potrà avere una perdita o un guadagno in conto capitale



Il rendimento di un titolo per il periodo di detenzione che va da t a t+1 è dato da

t

tt

tt

tt

PPP

PCR

PPPCR −

+=→−+

= ++ 11

Rendimento corrente: rapporto tra ammontare della cedola e prezzo d’acquisto

Capital gain/loss: variazione del prezzo dell’obbligazione rispetto al prezzo d’acquisto iniziale


Tale formula è valida per investimenti di durata annuale. Per generalizzare, è possibile calcolare il rendimento utilizzando la formula del TRES, in cui al valore nominale di rimborso si sostituisce il prezzo del titolo al momento dello smobilizzoSappiamo che il prezzo del titolo varia in modo inversamente proporzionale ai tassi d’interesse sul mercato. Come possiamo quantificare l’impatto della variazione di tasso sul prezzo di un titolo?La sensibilità del prezzo di un’obbligazione alle variazioni dei tassi d’interesse si misura tramite un indicatore detto


DURATION


La Duration (1)

È la media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa associati ad un titolo obbligazionario, in cui ogni scadenza è ponderata con il rapporto esistente tra valore attuale del flusso maturato a quella scadenza e prezzo del titolo

∑=

+⋅=n

t

tt

PTresFC

tDUR1

)1(

È un indicatore di rischio completo perché considera congiuntamente:

la vita residua del titolol’entità e la frequenza delle cedole

NB! Per uno ZCB la duration è pari alla vita residua del titolo

dove t sono le scadenze espresse coerentemente al tres!


La Duration (2)

A parità di altre condizioni:– al crescere della durata residua del titolo aumenta la

duration (i titoli a più lunga scadenza sono piùsoggetti al rischio di tasso)

– al crescere dei tassi d’interesse diminuisce la duration(i flussi più lontani, scontati a tassi maggiori, pesano meno)

– al crescere dell’entità della cedola, diminuisce la duration (la cedola “anticipa” parte del rendimento rispetto alla scadenza)

Nel caso di titoli a cedola variabile l’impatto del rischio di prezzo è inferiore, poiché i flussi periodici si adeguano alle condizioni di mercato. Fanno eccezione le variazioni di tasso intervenute tra la data di fixing e quella di stacco cedola. I titoli presentano quindi la duration di uno ZCB con vita residua pari al tempo mancante allo stacco della cedola in corso di maturazione


La Duration (3)

Es. Titolo a 3 anni TREN= 4% su base annuaPr = 97.28V.N.= 100Tres= 5%

N.B. È una grandezza temporale in questo caso è espressa in anni poiché i flussi e il tres sono su base annua (se fossero su base semestrale, sarebbe espressa in semestri, e così via)

3a

100

97.28

4 4

1a 2a

4

( ) ( )aDUR 884.2

28.9705.1

104305.142

05.141 32

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅+⋅

=


Duration e rischio di tasso (1)

E’ possibile dimostrare che

Appare chiaro che:– tra variazione dei tassi e dei prezzi esiste una relazione

inversa– all’aumentare della duration aumenta il rischio di tasso

La relazione appena vista è un’approssimazione lineare, basata sul calcolo della derivata prima del prezzo rispetto al tresIn realtà, la funzione del prezzo rispetto al tasso è convessa

TresTresDUR

PP

Δ⋅+−

≅Δ

1Duration modificata


Esempio di aumento dei tassi (1)

Si consideri un’obbligazione a 5 anni con:Frequenza cedola annualeTREN 5.5%Valore nominale 100TRES 6%

CALCOLARE: a) Il prezzo del titolo P=?b) La duration DUR=?c) la variazione del prezzo a fronte di un aumento dei tassi dell’1% (100 b.p.)

a) Il prezzo si calcola attualizzando al tempo 0 e al tasso TRES tutti i flussi finanziari

100

P =?

5.5

1a 2a 3a

5.5 5.5 5.55.5

4a 5a

8938.97)06.1(5.105

)06.1(5.5

)06.1(5.5

)06.1(5.5

)06.1(5.5

5432 =++++=P


Esempio di aumento dei tassi (2)

b) Una volta calcolato il prezzo si può calcolare la durationdel titolo

c) Per calcolare l’impatto dell’aumento dei tassi sul prezzo:

aP

D 50.4)06.1(5.1055

)06.1(5.54

)06.1(5.53

)06.1(5.52

)06.1(5.51 5432

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=

7379.931559.48938.97ʹ

1559.48938.97%245.4

%245.404245.001.006.150.4

1

=−=

−=⋅−=Δ

−=−=⋅−

=Δ⋅+−

=Δ

P

P

TresTresDUR

PP


Esempio di diminuzione dei tassi (1)

Si consideri un’obbligazione a 3 anni, avente le seguenti caratteristiche:

– TREN 6%– Valore nominale 100€– TRES (su base annua) 7%– Frequenza della cedola semestrale

Determinare:a) il prezzo del titolob) la duration del titoloc) la variazione di prezzo in ipotesi di diminuzione dei tassi dell’1%

100

P =?

3

0.5a 1a 1.5a 2a 2.5a 3a

3 3 3 3 3


65.9707.1

10307.13

07.13

07.13

07.13

07.13

35.225.115.0 =+++++=P

aDUR 79.265.97

07.11033

07.135.2

07.132

07.135.1

07.131

07.135.0 35.225.115.0

=+++++

=

Esempio di diminuzione dei tassi (2)

( )

90.9925.265.97ʹ

25.265.97%61.2

%61.20261.001.007.179.2

1

=+=

=⋅=Δ

==−⋅−

=Δ⋅+

−=

Δ

P

P

TresTresDUR

PP

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