Gli indicatori di rendimento dei titoli...

Gli indicatori di rendimento dei titoli

obbligazionari

Economia del Mercato Mobiliare

A.A. 2017-2018

A.A. 2017/2018 Economia del Mercato Mobiliare 2

Capitalizzazione e attualizzazione

CAPITALIZZAZIONE

portare avanti nel tempo il

valore di un capitale

aggiungendo degli interessi

Montante = Capitale * fattore

di capitalizzazione

ATTUALIZZAZIONE

portare indietro nel tempo il

valore di un capitale

disponibile ad una data futura

Valore Attuale = Valore a

Scadenza * fattore di sconto

1° legge della finanza:

un euro oggi vale più di

un euro domaniVALORE TEMPORALE DEL DENARO

??

C M VA VS

N.B. il fattore di capitalizzazione è il reciproco del fattore di sconto

10,000€ 10%11,000€

10%


OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE

L’interesse è funzione lineare di:

Capitale impiegato

Tasso d’interesse

Tempo

OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE

Il valore attuale si ottiene moltiplicando il Valore a Scadenza per il fattore di sconto

Legge di capitalizzazione semplice

I = C*i*t

M = C+I= C* (1+i*t)FATTORE di

CAPITALIZZAZIONE

VA = VS* 1/(1+i*t) FATTORE di SCONTO o

ATTUALIZZAZIONE

9,000

11,000

13,000

15,000

17,000

19,000

21,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Legge di capitalizzazione composta

OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE

L’interesse è funzione:

del tempo

degli interessi già maturati

M1= C(1+i); M2= M1*(1+i)= C(1+i)2

Mt = C* (1+i)t

Ipotesi implicita: gli interessi maturati in momenti precedenti vengono continuamente reinvestiti fino a scadenza

OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE

FATTORE di

CAPITALIZZAZIONE

VA = VS* 1/(1+i)t FATTORE di

SCONTO

9,000

11,000

13,000

15,000

17,000

19,000

21,000

23,000

25,000

27,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Capitalizzazione semplice vs composta

t cap. semplice cap. composta

0.25 1.025 1.0241

0.5 1.05 1.0488

0.75 1.075 1.0741

1 1.1 1.1000

1.25 1.125 1.1265

1.5 1.15 1.1537

1.75 1.175 1.1815

2 1.2 1.2100

2.25 1.225 1.2392

2.5 1.25 1.2691

2.75 1.275 1.2997

3 1.3 1.3310

3.25 1.325 1.3631

3.5 1.35 1.3960

3.75 1.375 1.4296

4 1.4 1.4641

4.25 1.425 1.4994

4.5 1.45 1.5356

4.75 1.475 1.5726

5 1.5 1.6105

Es. i=10%

capitalizzazione annua

• per t=1 i due fattori di

capitalizzazione coincidono

• per t<1 è maggiore il fattore

di capitalizzazione semplice

• per t>1 è maggiore il fattore

di capitalizzazione composta

Tassi equivalenti: regime semplice

1+iA=1+ik*k


iA tasso annuo

ik tasso periodale

k n°di volte in cui gli interessi

sono incassati nell’anno

iA= ik*k iK= iA/k

Es. investiamo 1,000 € in BTP a 5 anni al tasso nominale del

4.5%

La cedola è pagata semestralmente: ogni 6 mesi incasseremo

22.50 € (pari a 0.045/2=2.25% del nostro capitale)


Tassi equivalenti: regime composto

1+iA=(1+ik)k

iA tasso annuo

ik tasso periodale

k n°di volte in cui gli interessi

sono capitalizzati nell’anno

iA= (1+ik)k -1 iK= (1+iA)1/k -1

Es. E’ più conveniente l’investimento A al 2.5% semestrale o

l’investimento B al 10% biennale?

A) iA= (1+0.025)2 -1=5.1%

B) iA= (1+0.10)0.5 -1=4.9%


Binomio rischio-rendimento

RENDIMENTO RISCHIO

Esprime il risultato economico

dell’operazione redditività

(per convenzione si esprime in

rapporto al capitale investito e

alla durata dell’investimento,

in genere su base annua)

È legato all’impossibilità di

prevedere con certezza il

risultato economico

dell’operazione d’investimento

grado di incertezza della

attività finanziaria

Le scelte di investimento non possono considerare uno solo

di questi aspetti prescindendo dall’altro: analizziamo i

principali indicatori di rendimento in assenza di rischio di

credito (insolvenza della controparte) e di liquidità (difficoltà

di smobilizzo)


Il profilo finanziario delle obbligazioni (1/4)

In base alle modalità di remunerazione, è

possibile distinguere i titoli obbligazionari in :

TITOLI CON CEDOLA TITOLI ZERO COUPON

CEDOLA

FISSA

Pagano periodicamente

un interesseIl rendimento è dato dalla

differenza tra prezzo

d’emissione e valore di

rimborso

n.b. sempre emessi sotto

la pari

CEDOLA

VARIABILE

L’importo della

cedola è

predeterminato

L’importo della

cedola è legato a

variabili reali o

finanziarie


Le obbligazioni possono essere emesse:

SOTTO LA PARI Pr. di Emissione < Val. Nominale

ALLA PARI Pr. di Emissione = Val. Nominale

SOPRA LA PARI Pr. di Emissione > Val. Nominale


VN=100

PE=97.5

VN=100

PE=100

VN=100

PE=102

Lo scarto d’emissione è una

componente positiva del rendimento

Il rendimento sarà dato solo dal

pagamento periodico di interessi

Lo scarto d’emissione è una

componente negativa del rendimento


Il rendimento può quindi essere distinto in 2 componenti:

– reddito staccato, legato all’importo delle cedole e ai flussi

derivanti dal loro reinvestimento

– reddito incorporato, rappresentato dalla differenza tra

valore di rimborso a scadenza (o prezzo di vendita, se

l’holding period non coincide con la durata residua del

titolo) e valore d’emissione/prezzo d’acquisto


COMPONENTI CERTE COMPONENTI ALEATORIE

cedole di obb. a tasso fisso cedole di obb. indicizzate

scarto d’emissione per obbligazioni

non indicizzate detenute fino a

scadenza

reinvestimento cedole

guadagni e perdite in conto

capitale in caso di smobilizzo

anticipato/obb. indicizzate


Per i titoli che pagano flussi intermedi ha più senso calcolare il rendimento con il regime dell’interesse composto, mentre per i titoli ZC ha più senso il regime dell’interesse semplice

In generale valgono le seguenti convenzioni:

– Per i titoli a breve termine (con scadenza inferiore ad 1 anno) si utilizza il regime di capitalizzazione semplice

– Per i titoli a medio-lungo termine (con scadenza superiore ad 1 anno) si utilizza il regime di capitalizzazione composta

Occorre tuttavia anche considerare la necessità di operare confronti tra titoli con diversa durata, a parità di proprio orizzonte temporale di investimento (così che può avere senso, ad esempio, il rendimento composto su base annua per ZCB con durata trimestrale)


Il rendimento dei titoli senza cedola: i BOT (1/3)

Si ricorda che il prezzo d’acquisto è pari al prezzo medio ponderato d’asta, a cui si aggiunge la tassazione anticipata sullo scarto d’emissione e le commissioni praticate dall’intermediario

Per prassi, viene comunicato il rendimento sia netto che lordo, calcolato sia con il regime di capitalizzazione semplice che con quello di capitalizzazione composta. Si considerano i giorni effettivi di durata del titolo rispetto ad un anno commerciale di 360 giorni (per i CTZ, invece, si usa la convenzione giorni effettivi su anno civile di 365 giorni)




Imposta: 12.5% su scarto d’emissione

100 − 99.02 ∗ 0.125 = 0.1225

Rendimento semplice lordo

100 = 99.02 ∗ 1 + 𝑟𝑠𝑒𝑚 ∗92

360, 𝑟𝑠𝑒𝑚 =

100−99.02

99.02∗92

360

= 3.873% circa


Rendimento semplice netto

Rendimento composto lordo

Rendimento composto netto


Scarto d’emissione maturato

Ad eccezione del caso dei BOT, le imposte sullo scarto d’emissione vengono corrisposte in via posticipata

In virtù delle convenzioni di mercato, lo scarto d’emissione matura in modo proporzionale alla durata originaria del titolo

Chi detiene il titolo alla scadenza, pagherà le imposte sull’intero scarto d’emissione

In caso di compravendite tra emissione originaria e scadenza, l’acquirente vedrà scontarsi la ritenuta d’acconto sullo scarto d’emissione maturato alla data di scambio


Il rendimento dei titoli con cedola: corso

secco e corso tel quel (1/2)

Quando un titolo viene negoziato in una data diversa da quella di emissione o di stacco cedola, occorre considerare che gli interessi maturati saranno incassati dal compratore, ma spettano al venditore

Si distinguono, quindi, due quotazioni:

– Corso secco che non considera gli interessi in corso di maturazione

– Corso tel quel che considera gli interessi in corso di maturazione

Corso tel quel = corso secco + rateo interessi


Corso secco: 104.46

Cedola semestrale: 4.5% pagata 1 ottobre e 1 aprile di ogni anno

Negoziazione: giovedì 9 gennaio

Regolamento: martedì 14 gennaio

Durata semestre in giorni effettivi: 182

Giorni di rateo (dal 2 ottobre al 14 gennaio): 105

Rateo: 4.5*105/182 = 2.596

Corso tel quel lordo imposte = 104.46+2.596 = 107.056

Corso tel quel netto imposte = 104.46+2.2715 = 106.7315


Il rendimento dei titoli con cedola: corso

secco e corso tel quel (2/2)

Il rendimento dei titoli con cedola a tasso fisso

Consideriamo i seguenti indicatori:

– Tasso di Rendimento Nominale (TRN)

– Tasso di Rendimento Immediato (TRI)

– Tasso di Rendimento Effettivo a Scadenza

(TRES)



TRN (tasso di rendimento nominale)

Fornisce esclusivamente un’informazione sul livello del tasso contrattualmente dovuto dall’emittente di un titolo a reddito fisso:

considera solo il reddito staccato (cedole)

non tiene conto né del prezzo né del profilo finanziario del titolo (es. scadenza e distribuzione temporale cedole)

È il rapporto tra cedola annuale e valore nominale

TRN = Cedola / Valore Nominale

Nel caso di titolo con cedole semestrali il TRN è generalmente indicato su base annua: l’importo della cedola si calcola secondo il regime di capitalizzazione semplice

es: i BTP a 5 anni con TRN del 4.25% pagano due cedole semestrali del 2.125%

TRI (tasso di rendimento immediato)

TRI = Cedola / Corso secco

E’ il rapporto tra cedola e corso secco del titolo (prezzo di mercato non tenendo conto degli interessi in corso di maturazione)

Nel caso di cedole con frequenza inferiore all’anno, si considerano i tassi equivalenti in regime di capitalizzazione composta, per considerare i frutti da reinvestimento cedole TRIann= (1+TRIsem)2-1

Rispetto al TRN, considera il prezzo di mercato piuttosto che il valore nominale e i frutti da reinvestimento cedole, ma non considera il possibile capital gain e il completo profilo finanziario dell’investimento



TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (1/2)

Una misura più completa del rendimento (ex ante) di un titolo obbligazionario è rappresentata dal TRES

Si considerano tutti i flussi finanziari, positivi (cedole e valore di rimborso) e negativi (prezzo pagato), nella loro esatta manifestazione temporale

Si calcola il tasso di rendimento che soddisfa l’uguaglianza tra il valore attuale dei flussi di cassa futuri e il prezzo pagato

prezzo

TRES?

t1 t2 t3


TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (2/2)

Il TRES è quindi il tasso interno di rendimento delle

obbligazioni che, in regime di capitalizzazione composta,

soddisfa l’uguaglianza tra il prezzo di acquisto effettivo

(prezzo tel quel) e la sommatoria dei valori attuali dei flussi

di cassa

Ipotesi implicite:

detenzione del titolo fino a scadenza (rimborso al valore

nominale)

reinvestimento dei flussi intermedi fino alla scadenza ad

un tasso pari al TRES e costante per tutto il periodo (curva

dei rendimenti piatta e non soggetta a variazioni nel tempo)

𝑃𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒𝑙 =

𝑘=1

𝑛𝐹𝐶𝑘

(1 + 𝑇𝑅𝐸𝑆)𝑡𝑘


Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (1)

Se conosco: l’ammontare dei flussi di cassa futuri (cedole e VN) ed il TRES posso calcolare il prezzo del titolo

ES: Si determini il prezzo di un’obbligazione con le seguenti caratteristiche:

– vita residua: 4 anni

– frequenza cedola: annuale

– TRES 5%

– valore di rimborso a scadenza 100 €

Nelle 3 seguenti ipotesi:

1. TRN 6%

2. TRN 5%

3. TRN 4%


Esempi: calcolo del prezzo di un titolo (2)

Caso 1: importo cedola 6 €



circaP 55.103

05.1

106

05.1

6

05.1

6

05.1

6432

100

05.1

105

05.1

5

05.1

5

05.1

5432P

circaP 45.96

05.1

104

05.1

4

05.1

4

05.1

4432


Rapporto tra TRES, TREN e prezzo del titolo

Se P = VN TRES = TRN

Se P < VN ho una componente aggiuntiva di

rendimento rappresentata dallo scarto

d’emissione, quindi TRES > TRN

Se P > VN ho una componente negativa di

rendimento rappresentata dallo scarto

d’emissione, quindi TRES < TRN


Esempi: calcolo del TRES di un titolo (1/8)

Se conosco: l’ammontare dei flussi di cassa futuri

(cedole e VN) ed il prezzo del titolo posso calcolare il

TRES

Non esiste una formula chiusa in grado di esplicitare il

TRES in funzione delle grandezze alle quali è legato

il suo calcolo avviene attraverso un procedimento

iterativo di approssimazione

Sotto alcune ipotesi è peraltro possibile ricavare il

TRES in modo più semplice:

a) TRES di uno ZCB

b) TRES di un titolo a tasso fisso che quota alla pari

c) TRES di un titolo a “3 flussi”

d) TRES di una rendita perpetua



a) TRES di uno ZCB è sufficiente considerare che

Es. ZCB a 2 anni P=97.90, VN=100

b) Il TRES di un titolo con cedola che quota alla pari è

uguale al tasso cedolare (come abbiamo già visto)

1

1

1

t

t

t

P

VNTRES

TRES

VNP

circaTRES %07.1190.97

100 2

1


a

acbbx

2

42

2,1

c) In caso di titoli con una struttura a “3 flussi finanziari”

VN =100

02 cbxax

Pr=98

C=3 C=3

t1 t2

Ponendo (1+ Tres)= x:

010313198

1

103

1

398 2

2

TresTres

TresTres

0103398 2 xx

Quindi un’equazione di secondo grado che ammette due soluzioni



Risolvendo l’equazione otteniamo due soluzioni per

la variabile x, delle quali consideriamo solo quella

positiva, altrimenti il risultato sarebbe impossibile

01.1

0406.1

196

96.2003

982

4037693

0103398

2

1

2,1

2

x

xx

xx

%06.410406.1 Tres0406.11 Tres

Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres = x



11 k

kA ii

Il tasso calcolato nell’esempio precedente è un tasso periodale:

risulta espresso su base annua se i flussi sono annuali, su base

semestrale se i flussi sono semestrali, su base mensile se i flussi

sono mensili, e così via

Per convertire il tasso periodale in un tasso annuale si usa la

legge di capitalizzazione composta:

iA = tasso annuo; ik = tasso periodale

k = n° di volte per cui il periodo si ripete in 1 anno

Es. Calcolare il TRES di un’obbligazione avente:

- vita residua di un anno

- prezzo d’acquisto di 99€

- valore nominale di rimborso 100€

- tasso cedolare (annuo)= 4%

- frequenza della cedola semestrale



Pr=99

C=2 C=2VN=100

t1 t2

010212199

1

102

1

299 2

2

ss

ss

TresTresTresTres

0102299 2 xxPonendo (1+ Tress)= x

005.1

0252.1

198

988.2002

992

4039242

2

1

2,1

x

xx



Quindi, ricordando che abbiamo posto 1+Tres = x

%52.210252.1 sTres0252.11 sTres

%103.510252.111 22 sa TresTres

010212199

1

102

1

299 5.01

15.0

aa

aa

TresTresTresTres

0102299 2 xxPonendo (1+ Tresa)0.5= x

0252.11 5.0 aTres %103.510252.1 2 aTres

Per ottenere direttamente il tasso annuo



Esempi : calcolo del TRES di un titolo (8/8)

d) Rendita perpetua o consol: per un’obbligazione senza

data di scadenza e senza rimborso del capitale, con

cedola fissa pari a C, si ha

Tale formula fornisce un’approssimazione utile per il

calcolo del rendimento di obbligazioni dalla scadenza

molto lunga (es. 20 anni)

c

c

c

cP

Ci

i

CP

TRES con cedola in corso di maturazione (1/2)

Finora abbiamo supposto che il titolo venga negoziato in data di emissione o di stacco cedola, così che il prezzo tel quel sia uguale a quello di aggiudicazione in asta o al corso secco sul secondario (e le cedole future maturano per anni o semestri interi)

Rimuoviamo questa ipotesi semplificatrice e immaginiamo un titolo negoziato con cedola in corso di maturazione

Chiamando x il numero di giorni trascorsi dall’ultimo stacco cedola ed n il numero di cedole residue, il TRES deve essere così determinato:


𝑃𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒𝑙 = σ𝑘=1𝑛 𝐹𝐶𝑘

(1+𝑇𝑅𝐸𝑆)𝑡𝑘−

𝑥365

TRES con cedola in corso di maturazione (2/2)

Esempio:

– Corso secco 105

– Cedola annua 5%

– Vita residua 3 anni e 8 mesi

– Data di negoziazione 1/09/2012

– Data di scadenza 1/05/2016

– Giorni rateo: 123

Con la funzione Excel TIR.X o con il risolutore è possibilevedere come il TRES sia uguale a circa 3.5132%


106.685=5

(1+𝑇𝑅𝐸𝑆)(1−

123365)

+5

(1+𝑇𝑅𝐸𝑆)(2−

123365)

+5

(1+𝑇𝑅𝐸𝑆)(3−

123365)

+105

(1+𝑇𝑅𝐸𝑆)(4−

123365)

Il rendimento dei titoli con cedola variabile (1/3)

Nel caso dei titoli con cedola variabile, il calcolo del TRES è complicato dalla natura aleatoria dei flussi periodici

Consideriamo un titolo con rimborso alla pari, prima cedola nota c e cedole successive pari ad un parametro di riferimento irif più uno spread s

L’indicatore utilizzato è definito Tasso di Rendimento Tendenziale (TRET) e risulta così definito

𝑃𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒𝑙 =𝑐

1 + 𝑇𝑅𝐸𝑇 𝑡1+

𝑘=2

𝑛𝑖𝑟𝑖𝑓 + 𝑠 ∗ 100

1 + 𝑇𝑅𝐸𝑇 𝑡𝑘+

100

1 + 𝑇𝑅𝐸𝑇 𝑡𝑛



Per procedere al calcolo del TRET occorre dare un valore al parametro di riferimento irif

E’ possibile procedere in due modi:

– Stimare il parametro con un modello matematico di riferimento o utilizzare i tassi impliciti nella curva dei rendimenti per scadenza

– Applicare per tutte le scadenze successive il valore dell’ultimo stacco cedola o l’ultimo valore noto alla data di valutazione

La differenza tra TRET e parametro di riferimento è detta margine finanziario e può essere così interpretata:

– Se il margine finanziario è maggiore dello spread significa che il mercato richiede un premio al rischio maggiore di quello fissato dall’emittente (e viceversa)

– Tale interpretazione si base comunque sull’ipotesi di costanza del parametro di riferimento, tutt’altro che verosimile


Il rendimento dei titoli indicizzati (1/4)

Così come per i titoli a cedola variabile, anche per i titoli indicizzati ci sono difficoltà nel calcolo del TRES

Consideriamo un titolo che paga cedole date dal prodotto di un tasso reale rc per il capitale rivalutato alla data di stacco cedola (Criv,k), pari al capitale nominale (Cvn) per un coefficiente di indicizzazione (CIpc, k) riferito alla variazione dei prezzi al consumo tra la data di emissione e quella di stacco del flusso. Il valore di rimborso (Cind) è dato dal prodotto tra il capitale nominale (Cvn) e un coefficiente di indicizzazione (CIpc, n) riferito alla variazione dei prezzi al consumo tra la data di emissione e quella di scadenza del titolo



Un primo indicatore utilizzabile è il Tasso di Rendimento Indicizzato (TRIN):

Rispetto al TRET, il calcolo è reso ancora più difficile dal fatto che nessuna componente risulta certa, neppure la prima cedola, in quanto il parametro di indicizzazione è noto solo alla fine del periodo di maturazione degli interessi. Pur essendo possibile procedere alla sua stima, il TRIN risulta soggetto ad ampi margini di errore e risulta di scarso utilizzo operativo


𝑃𝑟 =

𝑘=1

𝑛𝑟𝑐 ∗ 𝐶𝑟𝑖𝑣,𝑘1 + 𝑇𝑅𝐼𝑁 𝑡𝑘

+𝐶𝑖𝑛𝑑

1 + 𝑇𝑅𝐼𝑁 𝑡𝑛


Un’alternativa è il Tasso di Rendimento Reale (TRR), calcolato ipotizzando tutte le cedole future pari a rc, il rimborso al valore nominale e il prezzo pagato al netto del coefficiente di indicizzazione

Il rendimento ottenuto è un rendimento reale; per essere confrontato con quello offerto da altri investimenti dovrebbe essere maggiorato di un tasso di inflazione medio previsto per l’holding period di riferimento, il che richiede una stima come nel caso del TRIN (seppure meno puntuale, essendo necessaria una media e non una previsione puntuale su ogni scadenza)


Il rendimento dei titoli con rimborso per

ammortamento (1/2)

Il rimborso progressivo può avvenire con due diverse modalità, che sono equivalenti per l’emittente, ma non per il sottoscrittore:

– L’emittente rimborsa ogni anno integralmente una certa quota di titoli, selezionati per estrazione. In questo caso, è necessario prevedere tutti i possibili scenari con le relative probabilità di accadimento e calcolare il tasso di rendimento a scadenza come valore atteso

– L’emittente rimborsa ogni anno una certa quota del prestito a tutti i sottoscrittori


Il rendimento dei titoli con rimborso per

ammortamento (2/2)

Nel secondo caso, si procede al calcolo del

Tasso di Rendimento Effettivo Medio (TREM)

dove ck è la cedola fissa periodica e Ck la quota

capitale rimborsata ogni anno


𝑃𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒𝑙 =

𝑘=1

𝑛𝑐𝑘 + 𝐶𝑘

1 + 𝑇𝑅𝐸𝑀 𝑡𝑘

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