Le obbligazioni: misure di rendimento Tassi d’interesse...

Le obbligazioni: misure di rendimento e rischioTassi d’interesse, elementi di valutazione

delle attività finanziarie

Economia degli Intermediari Finanziari29 aprile 2009A.A. 2008-2009

A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 2

1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione

2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti

3. Relazioni tra tassi e prezzi

4. La curva dei rendimenti per scadenza

5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei

rendimenti

6. Il calcolo dei tassi forward

Agenda


Capitalizzazione e attualizzazione

CAPITALIZZAZIONEportare avanti nel tempo il valore di un capitale aggiungendo degli interessiMontante = Capitale * fattore di capitalizzazione

ATTUALIZZAZIONEportare indietro nel tempo il valore di un capitale disponibile ad una data futuraValore Attuale = Valore a Scadenza * fattore di sconto

1° legge della finanza:un euro oggi vale più di un euro domani

VALORE TEMPORALE DEL DENARO

??

C M VA VS

N.B. il fattore di capitalizzazione è il reciproco del fattore di sconto

10.000€ 10% 11.000€10%


OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE L’interesse è funzione lineare di:

Capitale impiegatoTasso d’interesseTempo

OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONEIl valore attuale si ottiene moltiplicando il Valore a Scadenza per il fattore di sconto

Legge di capitalizzazione semplice

I = C*i*t

M = C+I= C* (1+i*t) FATTORE di CAPITALIZZAZIONE

VA = VS* 1/(1+i*t) FATTORE di SCONTO o ATTUALIZZAZIONE

9,000

11,000

13,000

15,000

17,000

19,000

21,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Legge di capitalizzazione composta

OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONEL’interesse è funzione:

del tempodegli interessi già maturati

M1= C(1+i); M2= M1*(1+i)= C(1+i)2

Mt = C* (1+i)t

Ipotesi implicita: gli interessi maturati in momenti precedenti vengono continuamente reinvestiti fino a scadenza

OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE

FATTORE di CAPITALIZZAZIONE

VA = VS* 1/(1+i)t FATTORE di SCONTO

9,00011,00013,00015,00017,00019,00021,00023,00025,00027,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Capitalizzazione semplice vs composta

t cap. semplice cap. composta

0.25 1.025 1.02410.5 1.05 1.0488

0.75 1.075 1.07411 1.1 1.1000

1.25 1.125 1.12651.5 1.15 1.1537

1.75 1.175 1.18152 1.2 1.2100

2.25 1.225 1.23922.5 1.25 1.2691

2.75 1.275 1.29973 1.3 1.3310

3.25 1.325 1.36313.5 1.35 1.3960

3.75 1.375 1.42964 1.4 1.4641

4.25 1.425 1.49944.5 1.45 1.5356

4.75 1.475 1.57265 1.5 1.6105

Es. i=10%

capitalizzazione annua

• per t=1 i due fattori di capitalizzazione coincidono

• per t<1 è maggiore il fattore di capitalizzazione semplice

• per t>1 è maggiore il fattore di capitalizzazione composta







rendimenti


Agenda


Tassi equivalenti: regime semplice

1+iA=1+ik*k iA tasso annuoik tasso periodalek n°di volte in cui gli interessi sono incassati nell’anno

iA= ik*k iK= iA/k

Es. investiamo 1000 € in BTP a 5 anni al tasso nominale del 4.5%

La cedola è pagata semestralmente: ogni 6 mesi incasseremo 22.50 € (pari a 0.045/2=2.25% del nostro capitale)


Tassi equivalenti: regime composto

1+iA=(1+ik)kiA tasso annuoik tasso periodalek n°di volte in cui gli interessi sono capitalizzati nell’anno

iA= (1+ik)k -1 iK= (1+iA)1/k -1

Es. E’ più conveniente l’investimento A al 2.5% semestrale o l’investimento B al 10% biennale?

A) iA= (1+0.025)2 -1=5.1%

B) iA= (1+0.10)0.5 -1=4.9%







rendimenti


Agenda


Il prezzo di un titolo di debito è pari al valore attuale dei flussi di cassa futuri

Il tasso che uguaglia il prezzo del titolo alla somma dei valori attuali dei flussi di cassa futuri è detto rendimento effettivo a scadenza (Yield To Maturity – YTM)

Relazione tra prezzi e tassi (1)

∑ = +=

n

t tt

iFC

1 )1(Pr

Pr? t 2t nt


Relazione tra prezzi e tassi (2)

Tra oscillazione dei tassi e oscillazioni dei prezzi dei titoli esiste quindi una relazione inversa

tassi prezzi tassi prezzi

I tassi d’interesse sono molto importanti perché:– Influenzano le decisioni di risparmio e di

investimento delle famiglie– Influenzano l’accesso al credito– Influenzano la redditività delle istituzioni

finanziarie– …







rendimenti


Agenda


La curva dei rendimenti (yield curve) (1)

Il rendimento di un titolo obbligazionario dipende da diversi fattori: il rischio di credito legato all’emittente, la liquidità e la durata dell’investimento

La curva dei rendimenti per scadenza (yield curve)rappresenta il rendimento dei titoli in funzione della loro vitaresidua

Per isolare la relazione scadenza-rendimento, la curva viene spesso costruita in riferimento ai titoli di Stato, caratterizzati da un rischio di insolvenza molto ridotto e da elevata liquidità

Alternativamente, possono essere utilizzati i tassi del mercato interbancario per scadenze fino ad un anno e i tassi su operazioni di interest rate swap per le scadenze più lunghe


2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

5,00%

5,50%

6,00%

6,50%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maturity (anni)

Tres

Si riporta un esempio, piuttosto frequente sul mercato, di yield curve con inclinazione positiva (relazione diretta tra scadenza e rendimento) e concava (il rendimento cresce sempre meno all’aumentare della scadenza)

La curva dei rendimenti (yield curve) (2)







rendimenti


Agenda


Le teorie sulla curva dei rendimentiLa curva dei rendimenti può assumere tre “configurazioni tipo”rispetto alla scadenza:

Crescente Piatta Decrescente

4,75%

4,80%

4,85%

4,90%

4,95%

5,00%

5,05%

5,10%

1 2 3 4 5 6

Maturity

Ren

dim

ento

4,50%

4,55%

4,60%

4,65%

4,70%

4,75%

4,80%

4,85%

1 2 3 4 5 6

Maturity

Ren

dim

ento

4,60%

4,65%

4,70%

4,75%

4,80%

4,85%

4,90%

1 2 3 4 5 6

Maturity

Ren

dim

ento

Le tre principali teorie che spiegano l’andamento della curva dei rendimenti sono:

la teoria delle aspettative purela teoria del premio per la liquiditàla teoria della segmentazione dei mercati


La teoria delle aspettative pure (1)

Secondo la teoria delle aspettative pure il tasso di un’obbligazione a lungo termine è pari alla media dei tassi a breve attesi durante la vita residua del titolo

Ipotesi fondamentali: gli investitori non hanno preferenze per determinati

orizzonti temporali; le obbligazioni con scadenze diverse sono sostituti perfetti

i tassi d’interesse su obbligazioni con scadenze diverse, quindi, variano perché si attendono variazioni nei tassi a breve futuri

la forma della curva dei rendimenti (crescente, decrescente o piatta) è funzione solo delle aspettative degli investitori circa l’andamento futuro dei tassi d’interesse



Per la teoria delle aspettative, il rendimento delle due seguenti strategie di investimento deve risultare uguale:• acquistare uno ZCB con scadenza pari a 2 anni• acquistare uno ZCB ad 1 anno e impiegare alla scadenza il montante per l’acquisto di un nuovo ZCB ad 1 anno (roll-over)

dove:-i0,2 è il rendimento su base annua di uno ZCB con partenza immediata e durata due anni-i0,1 è il rendimento su base annua di uno ZCB con partenza immediata e durata un anno-f1,2 è il rendimento atteso su base annua di uno ZCB con partenza tra un anno e durata un anno

( ) ( ) ( )2,11,02

2,0 111 fii +⋅+=+



E’ possibile vedere come il tasso a lunga scadenza sia approssimabile dalla media dei tassi a breve attesi per il futuro

( ) ( ) ( )( )

2

121111

2,11,02,0

2,11,02,11,02

2,02,0

2,11,02

2,0

fii

fifiiifii

+≅

⋅+++=++

+⋅+=+

componenti trascurabili



Generalizzando….

di conseguenza:– la curva dei rendimenti è crescente quando vi sono

attese di incremento dei tassi a breve termine futuri– la curva dei redimenti è piatta quando non ci sono

attese di variazione dei tassi a breve termine futuri– la curva dei rendimenti è decrescente quando vi

sono attese di diminuzione dei tassi a breve termine futuri

Hfffi

i HHH

,13,22,11,0,0

−++++≅

K


Aspettative di aumento dei tassi

se gli operatori si attendono un incremento dei tassi …

… la curva dei rendimenti saràinclinata verso l’alto

i(0,1) 4.00% i(0,1) 4.00%f(1,2) 4.50% i(0,2) 4.25%f(2,3) 5.00% i(0,3) 4.50%f(3,4) 5.50% i(0,4) 4.75%f(4,5) 6.00% i(0,5) 5.00%

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)


Aspettative di diminuzione dei tassi

se gli operatori si attendono una diminuzione dei tassi …

… la curva dei rendimenti saràinclinata verso il basso

i(0,1) 5.00% i(0,1) 5.00%f(1,2) 4.50% i(0,2) 4.75%f(2,3) 4.00% i(0,3) 4.50%f(3,4) 3.50% i(0,4) 4.25%f(4,5) 3.00% i(0,5) 4.00%

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)


La teoria della segmentazione dei mercati

La teoria della segmentazione dei mercati ipotizza l’esistenza di diversi comparti, ove operano soggetti che esprimono una preferenza per un determinato orizzonte temporale di investimento

In ciascun comparto i rendimenti si determinano in modo indipendente, nascendo dall’incontro tra domanda e offerta di fondi relativi ad una certa scadenza

Le obbligazioni con scadenze diverse, quindi, non sono sostituti. La teoria spiega la tipica inclinazione positiva della curva dei rendimenti attraverso l’elevata propensione alla liquidità e la bassa propensione al rischio degli investitori (per cui la domanda di titoli a breve è tipicamente più elevata di quelli a lunga). Ma non riesce a spiegare perché i tassi su obbligazioni con scadenze diverse si muovano insieme …


Secondo la teoria del premio per la liquidità il tasso di un’obbligazione a lungo termine è pari alla media dei tassi a breve attesi durante la vita residua del titolo, più un premio che dipende dalle condizioni della domanda e dell’offerta dei titoli

Ipotesi fondamentali:gli investitori avvertono come rischiosi i titoli a lunga scadenza,

quindi tendono a preferire le obbligazioni a brevele obbligazioni con scadenze diverse non sono sostituti perfetti la forma della curva dei rendimenti, quindi, è funzione sia delle

aspettative sui tassi futuri che del premio domandato dagli investitori per le obbligazioni con le scadenze più lunghe (il premio per la liquidità si suppone sempre positivo e funzione crescente della durata dell’investimento)

La teoria del premio per la liquidità (1)


Per la teoria del premio per la liquidità queste due operazioni non sono finanziariamente equivalenti: la prima alternativa, comportando l’investimento in un titolo a più lunga scadenza, presenta un maggior rischio e dovrebbe garantire un maggior rendimento (maggior montante) al termine dei due anni.

La teoria del premio per la liquidità (2)

Generalizzando …

premio al tempo 0 per l’obbligazione con durata H

( ) ( ) ( )2,11,02

2,0 111 fii +⋅+>+

HHH

H lH

fffii ,0

,13,22,11,0,0 +

++++≅ −K


Aspettative di aumento dei tassi

a parità di aspettative…

…la curva è piùinclinata verso l’alto perchéincorpora il premio per la liquidità

i(0,1) 4.00% l(0,1) 0.00% i(0,1) 4.00%f(1,2) 4.50% l(0,2) 0.10% i(0,2) 4.35%f(2,3) 5.00% l(0,3) 0.20% i(0,3) 4.70%f(3,4) 5.50% l(0,4) 0.30% i(0,4) 5.05%f(4,5) 6.00% l(0,5) 0.40% i(0,5) 5.40%

3.00%3.50%4.00%4.50%5.00%5.50%6.00%

i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)

con premio per la liquidità aspettative pure


Aspettative di diminuzione dei tassi

a parità di aspettative….

…la curva èmeno inclinata verso il basso perchéincorpora il premio per la liquidità

i(0,1) 5.00% l(0,1) 0.00% i(0,1) 5.00%f(1,2) 4.50% l(0,2) 0.10% i(0,2) 4.85%f(2,3) 4.00% l(0,3) 0.20% i(0,3) 4.70%f(3,4) 3.50% l(0,4) 0.30% i(0,4) 4.55%f(4,5) 3.00% l(0,5) 0.40% i(0,5) 4.40%

3.00%3.50%4.00%4.50%5.00%5.50%

i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)

con premio per la liquidità aspettative pure







rendimenti


Agenda


Il calcolo dei tassi forward (1)

Torniamo al nostro primo esempio per cui:

i tassi i0,2 e i0,1 sono osservabili sul mercato (tassi spot) mentre i1,2 è un tasso atteso (tasso forward)

La curva dei rendimenti, quindi, può essere utile per ricavare le aspettative implicite sui tassi d’interesse futuri

P?

100

N.B. Il tasso forward non è il tasso spot futuro, coincidono solo se la term structure rimane invariata e l’investitore è indifferente alla durata dell’investimento.

t t+1 t+2

( ) ( ) ( )2,11,02

2,0 111 fii +⋅+=+


Il calcolo dei tassi forward (2)

Per la teoria delle aspettative pure, queste due operazioni sono finanziariamente equivalenti (stesso montante a scadenza)

Risolvendo per il tasso atteso, abbiamo:

Generalizzando:

( ) ( ) ( )2,11,02

2,0 111 fii +⋅+=+

( )( ) 111

1,0

22,0

2,1 −++

=ii

f

( )( ) 111

,0

,0, −

++

= −KH KK

HH

HK ii

f( ) ( ) ( ) KHHK

KK

HH fii −+⋅+=+ ,,0,0 111


Qualche esempio…

( )( )

( ) circaii

f %50.4104.1

0425.1111 2

1,0

22,0

2,1 =−=−++

=

( )( )

( ) circaii

f %0.510425.1045.11

11

2

3

22,0

33,0

3,2 =−=−++

=

( )( )

( ) circaii

f %75.4104.1045.11

11 3

1,0

33,0

3,1 =−=−++

=

i(0,1) 4.00%i(0,2) 4.25%i(0,3) 4.50%


Tassi spot e tassi forward (1)

una curva dei rendimenti crescente…

…incorporaattese di aumento dei tassi

i(0,1) 3.50% i(0,1) 3.50%i(0,2) 4.00% f(1,2) 4.50%i(0,3) 4.25% f(2,3) 4.75%i(0,4) 4.50% f(3,4) 5.25%i(0,5) 4.75% f(4,5) 5.76%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

1 2 3 4 5rendimenti per scadenza tassi forward



una curva dei rendimenti decrescente…

…incorporaattese di diminuzione dei tassi

i(0,1) 6.00% i(0,1) 6.00%i(0,2) 5.50% f(1,2) 5.00%i(0,3) 5.25% f(2,3) 4.75%i(0,4) 5.00% f(3,4) 4.25%i(0,5) 4.75% f(4,5) 3.76%

2.00%3.00%4.00%5.00%6.00%7.00%

1 2 3 4 5rendimenti per scadenza tassi forward


L’andamento della curva dei tassi forward rispetto alla curva dei rendimenti può essere così rappresentato:

Term structure 1

Term structure 2

Term structure 3

Forward rate 1

Forward rate 2

Forward rate 3

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

7,00%

8,00%

1 2 3 4 5 6 7

Maturity

Ren

dim

ento



Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (1)

In teoria dovremmo tener conto anche del premio per la liquidità

Il calcolo dei tassi forward diverrebbe:

Determiniamo i tassi forward “depurando” la curva dei rendimenti dal premio per la liquidità

( )( ) 111

,0,0

,0,0, −

−+−+

= −KH KKK

HHH

HK lili

f


Qualche esempio…

( )( )

( ) circaili

f %30.41035.1039.11

11 2

1,0

22,02,0

2,1 =−=−+−+

=

( )( )

( ) circalili

f %35.41039.10405.11

11

2

3

22,02,0

33,03,0

3,2 =−=−−+−+

=

i(0,1) 3.50% lt 0.00%i(0,2) 4.00% l2t 0.10%i(0,3) 4.25% l3t 0.20%


In realtà non risulta possibile conoscere l’entitàprecisa di tale premio in corrispondenza delle diverse scadenze

Di conseguenza, nella pratica dei mercati, i tassi forward vengono calcolati sulla base della teoria delle aspettative pure

Tuttavia, non conoscere l’entità del premio per la liquidità, rende meno agevole l’interpretazione delle aspettative così rilevate…



In caso di curva dei rendimenti piatta o decrescente è certo che, tenendo conto del premio per la liquidità, i tassi forwardimpliciti siano decrescenti. Si può affermare, quindi, che gli operatori attendano un ribasso dei tassi d’interesse

0,00%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

0,35%

0,40%

1 2 3 4 5 6

Prem

io p

er la

liqu

idità

3,40%

3,60%

3,80%

4,00%

4,20%

4,40%

4,60%

4,80%

1 2 3 4 5 6

Maturity

Tass

i for

war

d

4,35%

4,40%

4,45%

4,50%

4,55%

4,60%

4,65%

4,70%

4,75%

4,80%

4,85%

1 2 3 4 5 6

Maturity

Ren

dim

ento



Tale relazione non è altrettanto chiara nel caso di una curva crescente: se la curva è inclinata positivamente, ma con scarsa pendenza, e il premio per la liquidità cresce sensibilmente all’aumentare della scadenza, potremmo ottenere anche dei tassi forward decrescenti

4,65%4,70%

4,75%4,80%4,85%

4,90%4,95%5,00%

5,05%5,10%

1 2 3 4 5 6

Maturity

Ren

dim

ento

0,00%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

0,35%

0,40%

1 2 3 4 5 6

Prem

io p

er la

liqu

idità

Curva dei rendimenti

4,45%4,50%4,55%4,60%4,65%4,70%4,75%4,80%4,85%4,90%

1 2 3 4 5 6

Tass

i for

war

d0,00%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

0,35%

0,40%

1 2 3 4 5 6

Prem

io p

er la

liqu

idità

4,65%4,70%4,75%4,80%4,85%4,90%4,95%5,00%5,05%5,10%

1 2 3 4 5 6

Tass

i for

war

d


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