Le obbligazioni: misure di rendimento e rischioTassi d’interesse, elementi di valutazione
delle attività finanziarie
Economia degli Intermediari Finanziari29 aprile 2009A.A. 2008-2009
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 2
1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione
2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti
3. Relazioni tra tassi e prezzi
4. La curva dei rendimenti per scadenza
5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei
rendimenti
6. Il calcolo dei tassi forward
Agenda
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 3
Capitalizzazione e attualizzazione
CAPITALIZZAZIONEportare avanti nel tempo il valore di un capitale aggiungendo degli interessiMontante = Capitale * fattore di capitalizzazione
ATTUALIZZAZIONEportare indietro nel tempo il valore di un capitale disponibile ad una data futuraValore Attuale = Valore a Scadenza * fattore di sconto
1° legge della finanza:un euro oggi vale più di un euro domani
VALORE TEMPORALE DEL DENARO
??
C M VA VS
N.B. il fattore di capitalizzazione è il reciproco del fattore di sconto
10.000€ 10% 11.000€10%
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OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE L’interesse è funzione lineare di:
Capitale impiegatoTasso d’interesseTempo
OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONEIl valore attuale si ottiene moltiplicando il Valore a Scadenza per il fattore di sconto
Legge di capitalizzazione semplice
I = C*i*t
M = C+I= C* (1+i*t) FATTORE di CAPITALIZZAZIONE
VA = VS* 1/(1+i*t) FATTORE di SCONTO o ATTUALIZZAZIONE
9,000
11,000
13,000
15,000
17,000
19,000
21,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Legge di capitalizzazione composta
OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONEL’interesse è funzione:
del tempodegli interessi già maturati
M1= C(1+i); M2= M1*(1+i)= C(1+i)2
Mt = C* (1+i)t
Ipotesi implicita: gli interessi maturati in momenti precedenti vengono continuamente reinvestiti fino a scadenza
OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE
FATTORE di CAPITALIZZAZIONE
VA = VS* 1/(1+i)t FATTORE di SCONTO
9,00011,00013,00015,00017,00019,00021,00023,00025,00027,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Capitalizzazione semplice vs composta
t cap. semplice cap. composta
0.25 1.025 1.02410.5 1.05 1.0488
0.75 1.075 1.07411 1.1 1.1000
1.25 1.125 1.12651.5 1.15 1.1537
1.75 1.175 1.18152 1.2 1.2100
2.25 1.225 1.23922.5 1.25 1.2691
2.75 1.275 1.29973 1.3 1.3310
3.25 1.325 1.36313.5 1.35 1.3960
3.75 1.375 1.42964 1.4 1.4641
4.25 1.425 1.49944.5 1.45 1.5356
4.75 1.475 1.57265 1.5 1.6105
Es. i=10%
capitalizzazione annua
• per t=1 i due fattori di capitalizzazione coincidono
• per t<1 è maggiore il fattore di capitalizzazione semplice
• per t>1 è maggiore il fattore di capitalizzazione composta
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1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione
2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti
3. Relazioni tra tassi e prezzi
4. La curva dei rendimenti per scadenza
5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei
rendimenti
6. Il calcolo dei tassi forward
Agenda
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Tassi equivalenti: regime semplice
1+iA=1+ik*k iA tasso annuoik tasso periodalek n°di volte in cui gli interessi sono incassati nell’anno
iA= ik*k iK= iA/k
Es. investiamo 1000 € in BTP a 5 anni al tasso nominale del 4.5%
La cedola è pagata semestralmente: ogni 6 mesi incasseremo 22.50 € (pari a 0.045/2=2.25% del nostro capitale)
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Tassi equivalenti: regime composto
1+iA=(1+ik)kiA tasso annuoik tasso periodalek n°di volte in cui gli interessi sono capitalizzati nell’anno
iA= (1+ik)k -1 iK= (1+iA)1/k -1
Es. E’ più conveniente l’investimento A al 2.5% semestrale o l’investimento B al 10% biennale?
A) iA= (1+0.025)2 -1=5.1%
B) iA= (1+0.10)0.5 -1=4.9%
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1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione
2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti
3. Relazioni tra tassi e prezzi
4. La curva dei rendimenti per scadenza
5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei
rendimenti
6. Il calcolo dei tassi forward
Agenda
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Il prezzo di un titolo di debito è pari al valore attuale dei flussi di cassa futuri
Il tasso che uguaglia il prezzo del titolo alla somma dei valori attuali dei flussi di cassa futuri è detto rendimento effettivo a scadenza (Yield To Maturity – YTM)
Relazione tra prezzi e tassi (1)
∑ = +=
n
t tt
iFC
1 )1(Pr
Pr? t 2t nt
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Relazione tra prezzi e tassi (2)
Tra oscillazione dei tassi e oscillazioni dei prezzi dei titoli esiste quindi una relazione inversa
tassi prezzi tassi prezzi
I tassi d’interesse sono molto importanti perché:– Influenzano le decisioni di risparmio e di
investimento delle famiglie– Influenzano l’accesso al credito– Influenzano la redditività delle istituzioni
finanziarie– …
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1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione
2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti
3. Relazioni tra tassi e prezzi
4. La curva dei rendimenti per scadenza
5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei
rendimenti
6. Il calcolo dei tassi forward
Agenda
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La curva dei rendimenti (yield curve) (1)
Il rendimento di un titolo obbligazionario dipende da diversi fattori: il rischio di credito legato all’emittente, la liquidità e la durata dell’investimento
La curva dei rendimenti per scadenza (yield curve)rappresenta il rendimento dei titoli in funzione della loro vitaresidua
Per isolare la relazione scadenza-rendimento, la curva viene spesso costruita in riferimento ai titoli di Stato, caratterizzati da un rischio di insolvenza molto ridotto e da elevata liquidità
Alternativamente, possono essere utilizzati i tassi del mercato interbancario per scadenze fino ad un anno e i tassi su operazioni di interest rate swap per le scadenze più lunghe
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2,00%
2,50%
3,00%
3,50%
4,00%
4,50%
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Maturity (anni)
Tres
Si riporta un esempio, piuttosto frequente sul mercato, di yield curve con inclinazione positiva (relazione diretta tra scadenza e rendimento) e concava (il rendimento cresce sempre meno all’aumentare della scadenza)
La curva dei rendimenti (yield curve) (2)
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1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione
2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti
3. Relazioni tra tassi e prezzi
4. La curva dei rendimenti per scadenza
5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei
rendimenti
6. Il calcolo dei tassi forward
Agenda
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Le teorie sulla curva dei rendimentiLa curva dei rendimenti può assumere tre “configurazioni tipo”rispetto alla scadenza:
Crescente Piatta Decrescente
4,75%
4,80%
4,85%
4,90%
4,95%
5,00%
5,05%
5,10%
1 2 3 4 5 6
Maturity
Ren
dim
ento
4,50%
4,55%
4,60%
4,65%
4,70%
4,75%
4,80%
4,85%
1 2 3 4 5 6
Maturity
Ren
dim
ento
4,60%
4,65%
4,70%
4,75%
4,80%
4,85%
4,90%
1 2 3 4 5 6
Maturity
Ren
dim
ento
Le tre principali teorie che spiegano l’andamento della curva dei rendimenti sono:
la teoria delle aspettative purela teoria del premio per la liquiditàla teoria della segmentazione dei mercati
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La teoria delle aspettative pure (1)
Secondo la teoria delle aspettative pure il tasso di un’obbligazione a lungo termine è pari alla media dei tassi a breve attesi durante la vita residua del titolo
Ipotesi fondamentali: gli investitori non hanno preferenze per determinati
orizzonti temporali; le obbligazioni con scadenze diverse sono sostituti perfetti
i tassi d’interesse su obbligazioni con scadenze diverse, quindi, variano perché si attendono variazioni nei tassi a breve futuri
la forma della curva dei rendimenti (crescente, decrescente o piatta) è funzione solo delle aspettative degli investitori circa l’andamento futuro dei tassi d’interesse
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La teoria delle aspettative pure (2)
Per la teoria delle aspettative, il rendimento delle due seguenti strategie di investimento deve risultare uguale:• acquistare uno ZCB con scadenza pari a 2 anni• acquistare uno ZCB ad 1 anno e impiegare alla scadenza il montante per l’acquisto di un nuovo ZCB ad 1 anno (roll-over)
dove:-i0,2 è il rendimento su base annua di uno ZCB con partenza immediata e durata due anni-i0,1 è il rendimento su base annua di uno ZCB con partenza immediata e durata un anno-f1,2 è il rendimento atteso su base annua di uno ZCB con partenza tra un anno e durata un anno
( ) ( ) ( )2,11,02
2,0 111 fii +⋅+=+
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La teoria delle aspettative pure (3)
E’ possibile vedere come il tasso a lunga scadenza sia approssimabile dalla media dei tassi a breve attesi per il futuro
( ) ( ) ( )( )
2
121111
2,11,02,0
2,11,02,11,02
2,02,0
2,11,02
2,0
fii
fifiiifii
+≅
⋅+++=++
+⋅+=+
componenti trascurabili
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La teoria delle aspettative pure (4)
Generalizzando….
di conseguenza:– la curva dei rendimenti è crescente quando vi sono
attese di incremento dei tassi a breve termine futuri– la curva dei redimenti è piatta quando non ci sono
attese di variazione dei tassi a breve termine futuri– la curva dei rendimenti è decrescente quando vi
sono attese di diminuzione dei tassi a breve termine futuri
Hfffi
i HHH
,13,22,11,0,0
−++++≅
K
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Aspettative di aumento dei tassi
se gli operatori si attendono un incremento dei tassi …
… la curva dei rendimenti saràinclinata verso l’alto
i(0,1) 4.00% i(0,1) 4.00%f(1,2) 4.50% i(0,2) 4.25%f(2,3) 5.00% i(0,3) 4.50%f(3,4) 5.50% i(0,4) 4.75%f(4,5) 6.00% i(0,5) 5.00%
3.00%
3.50%
4.00%
4.50%
5.00%
5.50%
i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)
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Aspettative di diminuzione dei tassi
se gli operatori si attendono una diminuzione dei tassi …
… la curva dei rendimenti saràinclinata verso il basso
i(0,1) 5.00% i(0,1) 5.00%f(1,2) 4.50% i(0,2) 4.75%f(2,3) 4.00% i(0,3) 4.50%f(3,4) 3.50% i(0,4) 4.25%f(4,5) 3.00% i(0,5) 4.00%
3.00%
3.50%
4.00%
4.50%
5.00%
5.50%
i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)
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La teoria della segmentazione dei mercati
La teoria della segmentazione dei mercati ipotizza l’esistenza di diversi comparti, ove operano soggetti che esprimono una preferenza per un determinato orizzonte temporale di investimento
In ciascun comparto i rendimenti si determinano in modo indipendente, nascendo dall’incontro tra domanda e offerta di fondi relativi ad una certa scadenza
Le obbligazioni con scadenze diverse, quindi, non sono sostituti. La teoria spiega la tipica inclinazione positiva della curva dei rendimenti attraverso l’elevata propensione alla liquidità e la bassa propensione al rischio degli investitori (per cui la domanda di titoli a breve è tipicamente più elevata di quelli a lunga). Ma non riesce a spiegare perché i tassi su obbligazioni con scadenze diverse si muovano insieme …
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Secondo la teoria del premio per la liquidità il tasso di un’obbligazione a lungo termine è pari alla media dei tassi a breve attesi durante la vita residua del titolo, più un premio che dipende dalle condizioni della domanda e dell’offerta dei titoli
Ipotesi fondamentali:gli investitori avvertono come rischiosi i titoli a lunga scadenza,
quindi tendono a preferire le obbligazioni a brevele obbligazioni con scadenze diverse non sono sostituti perfetti la forma della curva dei rendimenti, quindi, è funzione sia delle
aspettative sui tassi futuri che del premio domandato dagli investitori per le obbligazioni con le scadenze più lunghe (il premio per la liquidità si suppone sempre positivo e funzione crescente della durata dell’investimento)
La teoria del premio per la liquidità (1)
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Per la teoria del premio per la liquidità queste due operazioni non sono finanziariamente equivalenti: la prima alternativa, comportando l’investimento in un titolo a più lunga scadenza, presenta un maggior rischio e dovrebbe garantire un maggior rendimento (maggior montante) al termine dei due anni.
La teoria del premio per la liquidità (2)
Generalizzando …
premio al tempo 0 per l’obbligazione con durata H
( ) ( ) ( )2,11,02
2,0 111 fii +⋅+>+
HHH
H lH
fffii ,0
,13,22,11,0,0 +
++++≅ −K
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Aspettative di aumento dei tassi
a parità di aspettative…
…la curva è piùinclinata verso l’alto perchéincorpora il premio per la liquidità
i(0,1) 4.00% l(0,1) 0.00% i(0,1) 4.00%f(1,2) 4.50% l(0,2) 0.10% i(0,2) 4.35%f(2,3) 5.00% l(0,3) 0.20% i(0,3) 4.70%f(3,4) 5.50% l(0,4) 0.30% i(0,4) 5.05%f(4,5) 6.00% l(0,5) 0.40% i(0,5) 5.40%
3.00%3.50%4.00%4.50%5.00%5.50%6.00%
i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)
con premio per la liquidità aspettative pure
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Aspettative di diminuzione dei tassi
a parità di aspettative….
…la curva èmeno inclinata verso il basso perchéincorpora il premio per la liquidità
i(0,1) 5.00% l(0,1) 0.00% i(0,1) 5.00%f(1,2) 4.50% l(0,2) 0.10% i(0,2) 4.85%f(2,3) 4.00% l(0,3) 0.20% i(0,3) 4.70%f(3,4) 3.50% l(0,4) 0.30% i(0,4) 4.55%f(4,5) 3.00% l(0,5) 0.40% i(0,5) 4.40%
3.00%3.50%4.00%4.50%5.00%5.50%
i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5)
con premio per la liquidità aspettative pure
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1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione
2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti
3. Relazioni tra tassi e prezzi
4. La curva dei rendimenti per scadenza
5. Le teorie che spiegano l’andamento della curva dei
rendimenti
6. Il calcolo dei tassi forward
Agenda
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Il calcolo dei tassi forward (1)
Torniamo al nostro primo esempio per cui:
i tassi i0,2 e i0,1 sono osservabili sul mercato (tassi spot) mentre i1,2 è un tasso atteso (tasso forward)
La curva dei rendimenti, quindi, può essere utile per ricavare le aspettative implicite sui tassi d’interesse futuri
P?
100
N.B. Il tasso forward non è il tasso spot futuro, coincidono solo se la term structure rimane invariata e l’investitore è indifferente alla durata dell’investimento.
t t+1 t+2
( ) ( ) ( )2,11,02
2,0 111 fii +⋅+=+
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Il calcolo dei tassi forward (2)
Per la teoria delle aspettative pure, queste due operazioni sono finanziariamente equivalenti (stesso montante a scadenza)
Risolvendo per il tasso atteso, abbiamo:
Generalizzando:
( ) ( ) ( )2,11,02
2,0 111 fii +⋅+=+
( )( ) 111
1,0
22,0
2,1 −++
=ii
f
( )( ) 111
,0
,0, −
++
= −KH KK
HH
HK ii
f( ) ( ) ( ) KHHK
KK
HH fii −+⋅+=+ ,,0,0 111
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 32
Qualche esempio…
( )( )
( ) circaii
f %50.4104.1
0425.1111 2
1,0
22,0
2,1 =−=−++
=
( )( )
( ) circaii
f %0.510425.1045.11
11
2
3
22,0
33,0
3,2 =−=−++
=
( )( )
( ) circaii
f %75.4104.1045.11
11 3
1,0
33,0
3,1 =−=−++
=
i(0,1) 4.00%i(0,2) 4.25%i(0,3) 4.50%
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 33
Tassi spot e tassi forward (1)
una curva dei rendimenti crescente…
…incorporaattese di aumento dei tassi
i(0,1) 3.50% i(0,1) 3.50%i(0,2) 4.00% f(1,2) 4.50%i(0,3) 4.25% f(2,3) 4.75%i(0,4) 4.50% f(3,4) 5.25%i(0,5) 4.75% f(4,5) 5.76%
2.00%
3.00%
4.00%
5.00%
6.00%
1 2 3 4 5rendimenti per scadenza tassi forward
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 34
Tassi spot e tassi forward (2)
una curva dei rendimenti decrescente…
…incorporaattese di diminuzione dei tassi
i(0,1) 6.00% i(0,1) 6.00%i(0,2) 5.50% f(1,2) 5.00%i(0,3) 5.25% f(2,3) 4.75%i(0,4) 5.00% f(3,4) 4.25%i(0,5) 4.75% f(4,5) 3.76%
2.00%3.00%4.00%5.00%6.00%7.00%
1 2 3 4 5rendimenti per scadenza tassi forward
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 35
L’andamento della curva dei tassi forward rispetto alla curva dei rendimenti può essere così rappresentato:
Term structure 1
Term structure 2
Term structure 3
Forward rate 1
Forward rate 2
Forward rate 3
0,00%
1,00%
2,00%
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
7,00%
8,00%
1 2 3 4 5 6 7
Maturity
Ren
dim
ento
Tassi spot e tassi forward (3)
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 36
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (1)
In teoria dovremmo tener conto anche del premio per la liquidità
Il calcolo dei tassi forward diverrebbe:
Determiniamo i tassi forward “depurando” la curva dei rendimenti dal premio per la liquidità
( )( ) 111
,0,0
,0,0, −
−+−+
= −KH KKK
HHH
HK lili
f
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 37
Qualche esempio…
( )( )
( ) circaili
f %30.41035.1039.11
11 2
1,0
22,02,0
2,1 =−=−+−+
=
( )( )
( ) circalili
f %35.41039.10405.11
11
2
3
22,02,0
33,03,0
3,2 =−=−−+−+
=
i(0,1) 3.50% lt 0.00%i(0,2) 4.00% l2t 0.10%i(0,3) 4.25% l3t 0.20%
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 38
In realtà non risulta possibile conoscere l’entitàprecisa di tale premio in corrispondenza delle diverse scadenze
Di conseguenza, nella pratica dei mercati, i tassi forward vengono calcolati sulla base della teoria delle aspettative pure
Tuttavia, non conoscere l’entità del premio per la liquidità, rende meno agevole l’interpretazione delle aspettative così rilevate…
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (2)
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 39
In caso di curva dei rendimenti piatta o decrescente è certo che, tenendo conto del premio per la liquidità, i tassi forwardimpliciti siano decrescenti. Si può affermare, quindi, che gli operatori attendano un ribasso dei tassi d’interesse
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0,40%
1 2 3 4 5 6
Prem
io p
er la
liqu
idità
3,40%
3,60%
3,80%
4,00%
4,20%
4,40%
4,60%
4,80%
1 2 3 4 5 6
Maturity
Tass
i for
war
d
4,35%
4,40%
4,45%
4,50%
4,55%
4,60%
4,65%
4,70%
4,75%
4,80%
4,85%
1 2 3 4 5 6
Maturity
Ren
dim
ento
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (3)
A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 40
Tale relazione non è altrettanto chiara nel caso di una curva crescente: se la curva è inclinata positivamente, ma con scarsa pendenza, e il premio per la liquidità cresce sensibilmente all’aumentare della scadenza, potremmo ottenere anche dei tassi forward decrescenti
4,65%4,70%
4,75%4,80%4,85%
4,90%4,95%5,00%
5,05%5,10%
1 2 3 4 5 6
Maturity
Ren
dim
ento
0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0,40%
1 2 3 4 5 6
Prem
io p
er la
liqu
idità
Curva dei rendimenti
4,45%4,50%4,55%4,60%4,65%4,70%4,75%4,80%4,85%4,90%
1 2 3 4 5 6
Tass
i for
war
d0,00%
0,05%
0,10%
0,15%
0,20%
0,25%
0,30%
0,35%
0,40%
1 2 3 4 5 6
Prem
io p
er la
liqu
idità
4,65%4,70%4,75%4,80%4,85%4,90%4,95%5,00%5,05%5,10%
1 2 3 4 5 6
Tass
i for
war
d
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (4)
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