Le leggi del decadimento radioattivo

Figura 1.7 la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N

Stabiltà e instabilità nucleareSe analizziamo attentamente la carta dei nuclidi, vediamo che in essa sono rappresentati, oltre ai nuclei stabili, anche vari nuclei instabili. Con il termine instabile si intende definire un nucleo che spontaneamente subisce una trasformazione per raggiungere uno stato stabile (o meno instabile). Così, nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tenderanno a “trasformare” un protone in un neutrone, e viceversa tenderanno a fare i nuclei con un eccesso di neutroni. Le trasformazioni spontanee più comuni sono:

• decadimento αil nucleo emette una particella α, cioè un nucleo di Elio4. L’Elio è infatti molto stabile, avendo un valore B/A=7.07 MeV, molto alto rispetto a tutti gli altri nuclei leggeri.

• decadimento β-: n → p + e- + ν

• decadimento β+: p → n + e+ + ν

• cattura elettronica ε: p + e- → n + ν

Le reazioni indicate sopra riguardano trasformazioni di singoli protoni e neutroni all’interno del nucleo.

Gli elettroni, negativo o positivo (positrone), emessi si chiamano particelle beta, ma a parte l’origine nucleare, sono del tutto identici all’elettrone o positrone atomico.

Nella cattura elettronica, un elettrone atomico (generalmente della shell K, più interna) avente una funzione d’onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo, viene catturato da un protone nucleare: le due particelle si “trasformano” in un neutrone nucleare.

La particella che si accompagna all’elettrone è il neutrino o l’anti-neutrino.

Vedremo nel seguito in dettaglio questi decadimenti: per ora vogliamo solo analizzarli dal punto di vista energetico, stabilire cioè mediante l’utilizzo delle tavole delle masse quali e quando sono possibili. Nei conti che seguono consideriamo nulla la massa del neutrino.

decadimento β-: n → p + e- +ν ZA X →

Z+1A Y + β− + ν

Nel bilancio energetico vanno considerate le masse nucleari. Affinché la reazione avvenga deve ovviamente essere: m(Z,A) ≥ m(Z+1,A)+me Tuttavia, nella maggior parte delle tabelle sono riportate le masse atomiche, non quelle nucleari. Risulta quindi utile ragionare in termini di masse atomiche. Se aggiungiamo Zme ad entrambi i membri: m(Z,A) + Zme ≥ m(Z+1,A) + (Z+1)me ossia: M(Z,A) ≥ M(Z+1,A) Introducendo le masse atomiche abbiamo considerato legato anche lo (Z+1)-esimo elettrone (pochi eV).

decadimento β+: p → n + e+ + ν ZA X →

Z−1A Y + β + + ν

Deve ovviamente essere: m(Z,A) ≥ m(Z-1,A)+me

Se aggiungiamo Zme ad entrambi i membri: m(Z,A) + Zme ≥ m(Z-1,A) + Zme + me = m(Z-1,A) + (Z-1)me +2me ossia: M(Z,A) ≥ M(Z-1,A) + 2me Qui abbiamo invece considerato libero un elettrone che in effetti è legato (pochi eV).

cattura elettronica ε: p + e- → n + ν ZA X + e− →

Z−1A Y + ν

Deve risultare: m(Z,A) + me ≥ m(Z-1,A)Se aggiungiamo (Z-1)me ad entrambi i membri:m(Z,A) + (Z-1)me + me = m(Z,A) + Zme ≥ m(Z-1,A) + (Z-1)me Ossia: M(Z,A) ≥ M(Z-1,A)

decadimento α ZA X →

Z−2A−4 Y +

24He

m(Z,A) ≥ m(Z-2,A-4) + m(4He)Se aggiungiamo Zme ad entrambi i membri:m(Z,A) + Zme ≥ m(Z-2,A-4) +(Z-2)me + m(4He) + 2me

ossia: M(Z,A) ≥ M(Z-2,A-4) + M(4He)trascurando la diversa energia di legame degli elettroni nei nuclei X,Y ed He

Riassumendo, e indicando al solito rispettivamente con M e m le masse atomiche e nucleari:

M(Z,A) – M(Z+1,A) > 0m(Z,A) – m(Z+1,A) > me

decadimento β- possibile

M(Z,A) – M(Z-1,A) > 0m(Z,A) + me ≥ m(Z-1,A)

cattura elettronica ε possibile

M(Z,A) – M(Z-1,A) > 2me

m(Z,A) – m(Z-1,A) > me

decadimento β+ e cattura elettronica possibili

M(Z,A) – M(Z-2,A-4) > M(4He)m(Z,A) – m(Z-2,A-4) > m(4He)

decadimento α possibile

ZZ-1Z-2 Z+1

Energia

ZA X →

Z+1A Y + β− + ν Z -> Z + 1

ZA X →

Z−1A Y + β + + ν e Z

A X + e− →Z−1

A Y + ν Z -> Z - 1

ZA X →

Z−2A−4 Y +

24He Z -> Z - 2

(Non tutti i livelli energeticamente possibili sono raggiunti: oltre all’energia deve infatti conservarsi il momento angolare)

ZZ-1Z-2 Z+1

Energia

β- M(Z,A) – M(Z+1,A) > 0

m(Z,A) – m(Z+1,A) > me

ZZ-1Z-2 Z+1

Energia

ε M(Z,A) – M(Z-1,A) > 0 m(Z,A) + me ≥ m(Z-1,A)

β+ M(Z,A) – M(Z-1,A) > 2me

m(Z,A) – m(Z-1,A) > me

ZZ-1Z-2 Z+1

Energia

α M(Z,A) – M(Z-2,A-4) > M(4He) m(Z,A) – m(Z-2,A-4) > m(4He)

Vediamo qualche esempio:

E

ν= m 22Na( ) − m* 22Ne( ) = m 22Na( ) − m 22Ne( ) +E

ecc( ) T

β+max = m 22Na( ) − m 22Ne( ) +E

ecc( ) − me

T

β1max = m 60 Co( ) − m 60Ni( ) + 1.33( ) ( 0.12 %)

T

β2max = m 60 Co( ) − m 60Ni( ) + 1.33+ 1.17( ) ( 99.88 %)

ΔE ⋅ Δτ ≈

una vita media di 1 ps corrisponde ad una larghezza ΔE:

ΔE =

Δτ= c

cΔτ= 197.4

3 ⋅1010 ⋅1013 ⋅10−12= 66 ⋅10−11 MeV = 0.66 neV

EserciziIl neutrone è instabile per decadimento beta?Dalle tavole ricaviamo che: mn > mp + me

e precisamente: mn = 939.5054 MeV, mp = 938.213 MeV, me = 0.511 MeVpertanto il decadimento beta del neutrone isolato è possibile. In effetti si osserva sperimentalmente: la massima energia dell’elettrone emesso (per una trattazione più estesa si rimanda al capitolo che descrive in maggior dettaglio il decadimento beta) è appunto pari a: Temax = mn - mp - me = 0.781 MeV. Il neutrone libero ha una vita media di circa 15 minuti (885 ± 0.8 s).

Prendiamo in esame il nucleo: 1123Na

12

Può avvenire qualche decadimento?

β- : 1123Na

12→

1223Mg

11+ e− + ν

β+ : 1123Na

12→

1023Ne

13+ e+ + ν

α : 1123Na

12→

919F

10+

24He

2

Le masse dei nuclidi eventualmente coinvolti sono:

M( 1123Na ) = 21413.53 MeV

M( 1223Mg ) = 21417.59 MeV

M( 1023Ne ) = 21417.91 MeV

M( 919F ) = 17695.82 MeV

M( 24He ) = 3728.17 MeV

M( 919F ) + M( 2

4He ) = 21423.99 MeV

Facendo i conti, si vede che nessuno dei decadimenti è energeticamente possibile.

Pertanto, come c’era da aspettarsi, il nucleo 1123Na è stabile.

Vediamo ora con un altro isotopo del sodio: 1122Na

Può avvenire qualche decadimento?β- : 11

22Na →1222Mg + e− + ν

β+ : 1122Na →

1022Ne + e+ + ν

α : 1122Na →

918Ne + α

Le masse dei nuclidi eventualmente coinvolti sono:

M( 1122Na ) = 20486.41 MeV M( 12

22Mg ) = 20492.49 MeV

M( 1022Ne ) = 20483.57 MeV M( 9

18F ) = 16766.73 MeV

M( 24He ) = 3728.17 MeV M( 9

18F ) + M( 24He ) = 20494.9 MeV

Facendo i conti, si vede che sono energeticamente possibili il decadimento β+ e di conseguenza la cattura elettronica ε.

Terzo esempio:

614 C

Dai conti sulle masse si ricava che il nucleo Carbonio 14 è instabile per decadimento β- :

614 C →

714N + e− + ν

La differenza delle masse vale:

M( 614 C ) - M( 7

14N ) = 13043.132 - 13042.976 = 0.156 MeV

Pertanto la massima energia cinetica dell’elettrone emesso potrà valere 156 keV (vedi nel seguito le teoria del decadimento beta).

Ultimo esempio.

1940K

β- : 1940K →

1840 Ca + e− + ν

β+ : 1940K →

1840Ar + e+ + ν

ε : 1940K + e− →

1840Ar + ν

I valori della masse atomiche sono i seguenti:M(40K) = 37223.95M(40Ca) = 37222.58 M(40A) = 37222.41

Dai valori riportati si verifica che sono possibili sia il decadimento β- che la cattura elettronica, che si osservano sperimentalmente. Per la verità è energeticamente possibile anche il decadimento β+, che però non si osserva (per maggiori dettagli vedi il capitolo 7 sul decadimento beta).

Le leggi del decadimento radioattivoGià nel 1900 era nota la radioattività naturale a Rutherford e Soddy che studiarono quantitativamente la variazione temporale di attività del Radon 222 riportato in figura. (La trasformazione è: 222Rn→ 218 Po + α )

Fig. 3.1 andamento temporale delle quantità Radon e Polonio in un campione radioattivo

Le curve riportate nelle figure rappresentano degli esponenziali del tipo:

AX( t) = A

0X ⋅ e−λt per il 222Rn

A( t) = A0(1 − e−λt ) per il 218Po

Queste osservazioni portarono a formulare una teoria sul decadimento radioattivo: la radioattività rappresenta un cambiamento dell’atomo individuale. Si tratta di un processo puramente statistico. nel senso che è impossibile prevedere in quale istante un certo nucleo si trasformerà, ma è possibile prevedere quanti nuclei saranno decaduti in media dopo un certo intervallo di tempo.Sia NP(t) il numero di atomi “parents” (genitori) radioattivi presente nel campione al tempo t. Poichè i singoli decadimenti sono indipendenti (nel senso che il decadimento di un nucleo non influenza i decadimenti degli altri nuclei della sorgente), il numero di nuclei che decadranno in un intervallo di tempo dt è dato da:

dN

p= −λN

p( t)dt

dove , caratteristica di ogni nuclide radioattivo, è detta costante di decadimento, ed il segno meno sta a indicare che NP(t) decresce con il tempo.

Separando le variabili:

dNp

Np

= −λ ⋅ dt

che integrata dà appunto: N

p( t) = N

0⋅ e−λt

NP(t) rappresenta il numero di nuclei radioattivi “parents” presenti al tempo t (non ancora decaduti), essendo NO il numero di nuclei presenti al tempo t=0.

AttivitàSi definisce attività di un campione il numero di decadimenti subiti nell’unità di tempo.

Essa risulta quindi: a( t) = dN( t)

dt , dove il valore assoluto è necessario perché

l’attività è definita positiva. Risulta pertanto:

a( t) = dN( t)

dt= N

0

ddt

e−λt( ) = λN0⋅e−λt = λN

p( t)

cioè l’attività è proporzionale al numero di nuclei radioattivi presenti nel campione ed alla probabilità di decadimento per unità di tempo λ.

Allo stesso modo per quanto riguarda la formazione del nuovo elemento “daughter” (figlio), la variazione nel tempo dNd/dt è la stessa ma di segno opposto:

dN

d= +λ ⋅N

p( t) ⋅ dt (infatti deve ovviamente essere: dNp+dNd=0)

Allora:

dNd

dt= +λ ⋅N

p( t) = λ ⋅N

0e−λt

che risolta con la condizione che per t=0 era Nd=0, dà:

Nd( t) = N

0(1 − e−λt )

Ovviamente ad ogni istante risulta: Np + Nd = N0.

• λ è detta costante di decadimento ed ha le dimensioni dell’inverso di un tempo: rappresenta la probabilità di decadimento per unità di tempo di ogni singolo atomo del campione;

• τ = 1/λ è la vita media, il cui significato fisico è il seguente:

per t=τ risulta N( τ) = N0e−1 , e quindi in un intervallo di tempo τ, il numero di atomi

radioattivi, e quindi l’attività del campione si riduce di un fattore e, circa 3.

τ è detta vita media: infatti, per trovare la media dei tempi di vita di tutti gli atomi, si deve calcolare:

< t > =t ⋅dN

0

∞

∫dN

0

∞

∫=

t ⋅ λ ⋅N t( )dt0

∞

∫dN

0

∞

∫=λN

0

N0

t ⋅e−λt dt0

∞

∫ = 1λ

x ⋅e−x dx0

∞

∫ = 1λ= τ

Si definisce tempo di dimezzamento T1/2 il tempo nel quale il numero di atomi radioattivi, e quindi l’attività si dimezza.

N( T

1/ 2) = N

0e−λT1/2 =

N0

2

e−λT1/2 = 2−1 , e quindi:

T

1/ 2=

ln2λ

=0.693λ

= 0.693 ⋅ τ

Decadimenti successivi. Famiglie radioattiveSupponiamo che anche i nuclei formati siano radioattivi, e quindi essi stessi decadano. Si potrà avere un decadimento a cascata del tipo:X1 → X2 → X3 → ……→ XN

Vediamo il caso più semplice: X1 → X2 → X3 , con X3 stabile.Le equazioni differenziali da risolvere sono ora tre:

dN1( t)

dt= −λ

1N

1( t)

dN2( t)

dt= λ

1N

1( t) − λ

2N

2( t)

dN3( t)

dt= λ

2N

2( t)

Svolgendo i calcoli:

N1( t) = N

10⋅ e−λ1t

dN2( t)

dt= λ

1N

10e−λ1t − λ

2N

2( t)

dN2( t)

dt+ λ

2N

2( t) = λ

1N

10e−λ1t

moltiplicando per eλ2t

: eλ2t dN

2( t)

dt+ λ

2eλ2tN

2( t) = λ

1N

10e −λ1 +λ2( )t

che si può riscrivere come:

ddt

N2

t( )eλ2t( ) = λ1N

10e −λ1 +λ2( )t

Integrando:

N

2t( )eλ2t =

λ1

λ2− λ

1

N10

e −λ1 +λ2( )t + C ossia: N

2t( ) = λ

1

λ2− λ

1

N10

e−λ1t + C ⋅e−λ2t

Il valore della costante C si ricava sapendo che per t=0, N2 = N20:

C = −

λ1

λ2− λ

1

N10+ N

20

N

2t( ) = N

20e−λ2t +

λ1

λ2− λ

1

N10

e−λ1t − e−λ2t( )

ricaviamo ora N3(t):

dN

3( t) = λ

2N

2( t)dt = λ

2N

20e−λ2tdt +

λ1λ

2

λ2− λ

1

N10

e−λ1t − e−λ2t( )dt

N

3( t) = N

30+ −N

20e−λ2t⎡

⎣⎢⎤⎦⎥0

t

+ −λ

2

λ2− λ

1

N10

e−λ1t⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

0

t

+λ

1

λ2− λ

1

N10

e−λ2t⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

0

t

N

3( t) = N

30+ N

201 − e−λ2t( ) + N

101 +

λ1

λ2− λ

1

e−λ2t −λ

2

λ2− λ

1

e−λ1t⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Nel caso particolare che per t=0 sia N20 = N30 = 0:

N1( t) = N

10⋅ e−λ1t

N

2t( ) = λ

1

λ2− λ

1

N10

e−λ1t − e−λ2t( )

N

3( t) = N

101 +

λ1

λ2− λ

1

e−λ2t −λ

2

λ2− λ

1

e−λ1t⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ . (N3(0) = 0 per qualsiasi valore di N10)

⎯ N1 ⎯ N2 ⎯ N3 τ1 << τ2

⎯ N1 ⎯ N2 ⎯ N3 τ1 >> τ2

Vediamo ora il caso: X1 → X2 → X3 ....... XN-1 → XN , con XN stabile.In generale, per una catena di decadimenti, si scrivono le seguenti equazioni differenziali:

dN1( t)

dt= −λ

1N

1( t)

dN2( t)

dt= λ

1N

1( t) − λ

2N

2( t)

dN3( t)

dt= λ

2N

2( t) − λ

3N

3( t)

..................

dNN( t)

dt= λ

N−1N

N−1( t)

Se per t=0 si ha: N20 = N30 = ….. = NN0 = 0, si può scrivere:

Ni( t) = C

1i e−λ1t + C

2i e−λ2t + .... + C

iie−λit

dove:

C1i =

λ1λ

2...λ

i−1

λ2− λ

1( ) ⋅ λ3− λ

1( ).... λi− λ

1( )

C2i =

λ1λ

2...λ

i−1

λ1− λ

2( ) ⋅ λ3− λ

2( ) .... λi− λ

2( ).............

Cii =

λ1λ

2...λ

i−1

λ1− λ

i( ) ⋅ λ2− λ

i( ) .... λi−1

− λi( )

ovviamente essendo λN = 0 (nucleo stabile).

Equilibrio secolare.

Consideriamo per semplicità di nuovo il caso: : X1 → X2 → X3 , con X3 stabile.

e supponiamo che sia: λ1<< λ

2 (ossia τ1>> τ

2 ). Allora:

N

2t( ) = λ

1

λ2− λ

1

N10

e−λ1t − e−λ2t( ) ≈ λ1

λ2

N10

e−λ1t =λ

1

λ2

N1

t( )

Ossia:

λ

1N

1t( ) = λ

2N

2t( )

e quindi:

a

1t( ) = a

2t( )

⎯ N1 ⎯ N2 ⎯ N3 τ1 >> τ2

a

1t( ) = a

2t( )

Se in generale se in una catena radioattiva X1 → X2 → X3 ....... XN-1 → XN risulta:

λi << λi+1 , λi+2 , …λN-1

per tutti i nuclei che seguono l’i-esimo decadimento vale la relazione:

ai(t) = ai+1(t ) = ….. = aN-1(t )

e si dice che i nuclidi si trovano in condizioni di “equilibrio secolare”.

Naturalmente, se la condizione è vera a partire dal capostipite, cioè se: λ1 << λi, per ogni “i”, tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare.

Per gli elementi naturali (vedi Uranio, Torio, Radio, ..) è vera quest’ultima condizione perché gli eventuali capostipiti a vita media breve, dal momento della loro formazione sarebbero ormai decaduti.

L’unità di misura dell’attività è il Bequerel (Bq), pari a un decadimento al secondo. Molto usata tutt’oggi è la vecchia unità, il Curie (Ci)1 Ci = 3.7 1010 disintegrazioni al secondo. L’origine storica di questo valore è dovuta al fatto che il Curie è l’attività di un grammo di 226Ra

1 Bq = 2,7 10-11 Ci 1 Ci = 3.7 1010 Bq

Abbiamo visto che l’attività è data da:

a t( ) = dN t( )dt

= λN t( )Il numero di atomi N in un campione di massa M e peso atomico A, si ricava dalla

relazione: N t( ) = N

Av

M t( )A , dove NAv è il numero di Avogadro.

a t( ) = λN t( ) = λN

Av

M t( )A

=M t( )NAv

τA=

ln2 ⋅M t( )NAv

T1/ 2

A

⇒ M(t) rappresenta la massa dell’elemento radioattivo, NON quella del campione..

La massa del campione diminuirà in relazione al difetto di massa della trasformazione nucleare, svariati ordini di grandezza più piccolo del peso atomico (qualche MeV contro decine o centinaia di GeV)

Vediamo ora alcuni esempi.Calcolare la massa di 214Pb corrispondente all’attività di 1 Ci.Il 214Pb decade β- con un tempo di dimezzamento T1/2 = 26.8 min (τ =38.7 min = 2.32 103 sec; λ=4.32 10-4 sec-1 )

M =

aAλN

Av

=3.7 ⋅1010 ⋅214

6.023 ⋅1023 ⋅ 4.3 ⋅10−4= 3.051 ⋅10−8 g = 30 ng

Vediamo ora nel caso di 1 Ci di 238U:l’ U-238 decade α con un tempo di dimezzamento T1/2= 4.51 105 anni, pertanto risulta λ=4.9 10-14 sec-1.

M =

aAλN

Av

=3.7 ⋅1010 ⋅238

6.023 ⋅1023 ⋅ 4.9 ⋅10−14= 3 ⋅102g

Vediamo a che massa corrisponde 1 Ci di 24NaT1/2= 14.8 h, λ=1.3 10-5 sec-1 → M = 1.1 10-7 g =0.1 µg

e a che massa corrisponde 1 Ci di 32P:T1/2= 14.5 d, λ =5.5 10-7 sec-1 → M = 3.6 10-6 g

Naturalmente, per 1 Ci di 226Ra otteniamo:Il 226Ra decade α con un tempo di dimezzamento T1/2= 1620 anni, pertanto risulta

λ=1.36 10-11 sec-1. M =

aAλN

Av

=3.7 ⋅1010 ⋅226

6.023 ⋅1023 ⋅1.36 ⋅10−11= 1.00 g

Determinare la massa in grammi di una sorgente di 60Co da 5000 Ci, supponendo che sia costituita esclusivamente di atomi radioattivi.Il 60Co decade β- con T1/2= 5.26 y (pertanto risulta: λ =4.2 10-9 sec-1 )

M =

aAλN

Av

=5 ⋅103 ⋅3.7 ⋅1010 ⋅60

6.023 ⋅1023 ⋅ 4.2 ⋅10−9= 4.4 g

Trovare la variazione oraria di massa di una sorgente di 1 Ci di 210Po

Il 210Po decade α in 206Pb con T1/2= 138.4 d (pertanto risulta λ =5.79 10-8 sec-1). Il 206Pb è stabile.

Dobbiamo calcolare quanti atomi di 210Po decadono in un’ora.

Poichè l’intervallo di un’ora è molto breve rispetto a T1/2, possiamo con ottima approssimazione considerare costante l’attività della sorgente durante l’intervallo di un’ora e scrivere:

a =

dNdt

=ΔNΔt ΔN = aΔt = 3.7⋅1010⋅3600 = 1.33⋅1014

Ad ogni decadimento un nucleo di 210Po si trasforma in un nucleo di 206Pb più una particella α. La variazione di massa è pari a:

m = Mfin-Miniz = M(α)+M(206Pb)-M(210Po) = 4.00+206.04-210.05 = -0.01 amu =-1.67 10-26 gcioè circa 1/100 della massa di un protone ! (1 amu = 1.67 10-24 g)la variazione totale di massa sarà allora:ΔM = mΔN= 1,67⋅10-26⋅1,33⋅1014 = 2.22⋅10-12g =2.2 pgNotiamo che una sorgente da 1Ci di 210Po ha una massa pari a:

M =

aAλN

Av

=3.7 ⋅1010 ⋅210

6.023 ⋅1023 ⋅5.79 ⋅10−8= 2.2 ⋅10−4 g

la variazione di massa oraria è quindi di una parte su 100 milioni.

Misura di vita media (o di costante di decadimento).

Per vite medie brevi è apprezzabile la variazione di attività della sorgente nel tempo. Si effettuano quindi più (almeno due) misure di attività della sorgente, distanziate tra loro di un certo intervallo di tempo. Indicando con Δt la durata delle singole misure e con C1 e C2 i conteggi totali registrati in esse:

C

1= a( t) dt

t1

t1 +Δt

∫ = λ ⋅N( t) dtt1

t1 +Δt

∫ = N0e−λt1 1 − e−λΔt( )

C

2= a( t) dt

t2

t2 +Δt

∫ = λ ⋅N( t) dtt2

t2 +Δt

∫ = N0e−λt2 1 − e−λΔt( )

dove t1 e t2 (ignoti) rappresentano il tempo trascorso tra un istante di riferimento e l’inizio delle due misure.

Facendo il rapporto:

C1

C2

=e−λt1

e−λt2

= eλ t2 −t1( ) Ossia:

λ = 1

t2− t

1

lnC

1

C2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= 1Δt

lnC

1

C2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

t2 -t1 = Δt rappresenta l’intervallo di tempo intercorso tra le due misure. S noti che, ai fini della determinazione della vita media, è sufficiente conoscere l’intervallo t2 -t1 e non i tempi assoluti.

Esempio. Una sorgente radioattiva viene misurata due volte per un tempo di misura Δt=30 minuti a distanza di t2 -t1=24 ore. Si sono ricavati i seguenti valori:C1 = 9800 e C2 = 7380. Calcolare il tempo di dimezzamento della sorgente.

λ =

1t

2− t

1

lnC

1

C2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

186400

ln 98007380

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 3.28 ⋅10−6s

Pertanto: τ = 3.05⋅105 s , e T1/2 = 2.11⋅105 = 2.44 d.

Per vite medie lunghe, spesso non è apprezzabile la variazione di attività nel tempo. Allora la misura della vita media, o della costante di decadimento, viene effettuata usando la relazione:

a =

dNdt

= λN λ =

aN

λ si determina allora da un’unica misura di attività e dalla conoscenza di N.

Esempio: per trovare la vita media del 147Sm si è usata una sorgente da 1.000±0.001 grammi e sono stati misurati a=680±4 decadimenti al secondo. Determinare la vita media del Samario con il suo errore

τ =

Na

=N

AvM

a ⋅A=

6.023 ⋅1023 ⋅1680 ⋅147

= 6.02 ⋅1018s = 1.91 ⋅1011 y

L’indeterminazione relativa su τ è:

Δττ

=Δaa

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ΔMM

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 6 ⋅10−3

Quanto tempo è durata la misura?

Supponendo nullo l’errore sul tempo di misura, l’errore relativo sull’intensità di conteggi è dato proprio da ΔC/C = Δa/a = 4/680 = 5.6⋅10-3.

E poiché l’errore assoluto di un conteggio è dato dal valore della radice quadrata del conteggio stesso (statistica di Poisson), avremo:

ΔCC

=C

C=

1

C= 5.6 ⋅10−3

ossia: C = 2.89⋅104. E poiché C=aΔt, il tempo di misura risulta essere stato: Δt = C/a = 42.5 s.

Avendo a disposizione 1 Ci di 226Ra (T1/2 = 1620 y), determinare quanto 222Rn (T1/2 = 8.32 d ) volatile si è formato in 5 anni. Valutare la quantità di Rn sia in grammi che in cm3 (in condizioni STP).

226Ra α

T1/2 =1620 y⎯ →⎯⎯⎯⎯ 222Rn α

T1/2 =8.32 d⎯ →⎯⎯⎯⎯ 218 Po..........

T1/2=1620 y λ1= 1.36⋅10-11 sT1/2=8.32 d λ2= 9.64⋅10-7 s

N

2t( ) = λ

1

λ2− λ

1

N10

e−λ1t − e−λ2t( )Ed essendo λ1 >> λ2:

N

2t( ) = λ

1N

1t( )

λ2

=a

1( t)

λ2

Ma è anche:

N

2t( ) = N

Avo

AM

2t( )

Uguagliando:

M

2=

A2a

1( t)

λ2N

Avo

= 222 ⋅3.7 ⋅1010

6 ⋅1023 ⋅9.64 ⋅10−7= 1.42 ⋅10−5 g

In condizioni STP il volume occupato è dato da:

V0 : A = V : M

V = V

0

MA

= 22.4 ⋅1.42 ⋅10−5

222= 1.43 ⋅10−6 = 1.43 mm3

Una sorgente pesa 20 g ed ha una attività di 4.72 106 dis/minuto. Si ha il dubbio che tale sorgente sia:a) 230Th T1/2 = 8 104 y λ = 2.75 10-13 s-1

b) 232Th T1/2 = 1.39 1010 y λ = 1.58 10-18 s-1

c) 228Th T1/2 = 1.91 y λ = 1.15 10-8 s-1

ricavare il tipo di sorgente dai dati a disposizione.

Dalla solita relazione:

a =

dNdt

= λN λ =

aN

è possibile ricavare la costante di decadimento e confrontarla con i valori tabulati:a = 4.72⋅106 dis/min = 7.87⋅104 dis/s Se consideriamo che il peso atomico della sorgente sia sempre A=230 nei tre casi, commettiamo in ogni caso un errore inferiore all’1%

N =

NAv

M

A=

6 ⋅1023 ⋅20230

= 5.2 ⋅1012atomi

λ =

aN

=7.87 ⋅104

5.2 ⋅1022= 1.5 ⋅10−18s−1 → La sorgente è quindi 232Th

Se un certo materiale contiene 1 g di 40K (T1/2 = 1.3⋅109 y) e si sa che è vecchio di 2.6 milioni di anni, quale è il massimo numero di millilitri di Argon ( 40K → β- + 40A ) che può essersi accumulato nel materiale (in condizioni STP) ?

Il numero di decadimenti avvenuti nel campione in un tempo Δt = 2.6 milioni di anni è dato da:

n Δt( ) = a t( )dt =

Δt∫ N t( ) ⋅ λ dt = N

0λ

Δt∫ e−λt dt =

Δt∫ N

01 − e−λΔt( ) = N

Av

MA

1 − e−λΔt( )ma poichè Δt << T1/2 e quindi λ Δt << 1 si può approssimare:

N

Av

MA

1 − e−λΔt( ) NAv

MA

λΔt = NAv

ln2 ⋅M ⋅ ΔtA ⋅T

1/ 2

pertanto:

n Δt( ) = N

Av

ln2 ⋅M ⋅ ΔtA ⋅T

1/ 2

= 2.08 ⋅1019decadimenti

Solo una frazione f=0.1072 di decadimenti porta alla formazione di Ar

n

ArΔt( ) = f ⋅n Δt( ) = 2.2 ⋅1018

atomi di Ar

che in condizioni STP occupano un volume dato dalla relazione:

V = 22.414

nN

Av

= 8.2⋅10-5 = 82 mm3

Una sorgente radioattiva è una mistura 64Cu (T1/2 = 12.8 h) e rame stabile (circa 69% di 63Cu e 31% di 65Cu). La massa della sorgente e la sua attività sono rispettivamente 100 mg e 28 mCi. Ricavare il rapporto in peso tra gli atomi radioattivi e gli atomi stabili presenti nella sorgente.

a = 28 ⋅10−3 ⋅3.7 ⋅1010 = 1.04 ⋅109 Bq

λ =

ln212.8 ⋅3600

= 1.51 ⋅10−5s−1

N =

aλ= 6.9 ⋅1013

atomi di 64Cu

M =

NN

Av

A =6.9 ⋅1013

6 ⋅102364 = 7.34 ⋅10−9

grammi di 64Cu

Mrad

Mstab

=7.34 ⋅10−9

0.1= 7.34 ⋅10−8 , pari a 0.07 ppm (parti per milione).