Sezione d’urto Rutherford – Esperimento di Geiger e Marsden

Il modello di atomo proposto da Thomson consisteva in una sfera di carica Ze positiva delle dimensioni atomiche (10-8 cm) entro la quale erano distribuiti Z elettroni, ciascuno di carica –e in modo da rendere l’atomo nel complesso neutro. Le oscillazioni degli elettroni rendevano conto della radiazione elettromagnetica emessa.L'esperimento di Rutherford (anche detto esperimento di Geiger e Marsden) fu un esperimento effettuato per sondare la struttura dell'atomo eseguito da Hans Geiger e Ernest Marsden nel 1909, sotto la direzione di Ernest Rutherford al laboratorio di fisica dell'Università di Manchester. Concepito per provare la validità del modello atomico di Thomson, detto modello a panettone (plum pudding model), diede dei risultati contrastanti rispetto a quel modello e portò alla concezione del modello atomico di Rutherford o modello planetario dell'atomo.Un fascio di particelle alfa generate dal decadimento radioattivo di radio furono dirette ortogonalmente ad un foglio sottile d'oro (fig. A.1). Il foglio d'oro era circondato da un foglio circolare ricoperto di solfuro di Zinco (ZnS) usato come rivelatore: il solfuro di Zinco emette scintille luminose quando viene colpito da particelle alfa.

fig. A.1 apparato sperimentale usato

Secondo il modello di Thomson, allora maggioritario, le particella alfa avrebbero dovuto attraversare il foglio d'oro venendo deflesse al più di pochi gradi, anche considerando la possibilità di diffusione multipla: misurando la deflessione delle particelle si potevano ricavare informazioni sulla distribuzione di carica elettrica all'interno dell'atomo. Tuttavia venne osservato che alcune particelle (1/8000) venivano deflesse ad angoli anche maggiori di 90°.

Questo era un evento completamente imprevisto, come risulta dalle parole di Rutherford:

« Fu l'evento più incredibile mai successomi in vita mia. Era quasi incredibile quanto lo sarebbe stato sparare un proiettile da 15 pollici contro un foglio di carta velina e vederlo tornare indietro e colpirti. Pensandoci, ho capito che questa diffusione all'indietro doveva essere il risultato di una sola collisione e quando feci il calcolo vidi che era impossibile ottenere qualcosa di quell'ordine di grandezza a meno di considerare un sistema nel quale la maggior parte della massa dell'atomo fosse concentrata in un nucleo molto piccolo. Fu allora che ebbi l'idea di un atomo con un piccolissimo centro massiccio e carico ».

Rutherford interpretò i risultati sperimentali in un lavoro del 1911 intitolato "The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom” (La diffusione di particelle α e β e la struttura dell'atomo). Rigettò definitivamente il "modello a panettone" di Thomson dato che secondo quel modello né le particelle con carica negativa (ossia gli elettroni), né la distribuzione di carica positiva che doveva contenerli sarebbero stati in grado di produrre deflessioni così marcate.

Rutherford quindi propose che la carica positiva dell'atomo fosse concentrata in uno spazio con un volume molto minore delle dimensioni atomiche, in questo modo era possibile spiegare le deflessioni osservate.

Questa concentrazione centrale di carica, successivamente denominata nucleo atomico, portava a concludere che la maggior parte del volume atomico fosse costituito da spazio vuoto. Infatti, dalla conservazione dell'energia cinetica, fu in grado di calcolare che il raggio della carica centrale negli atomi d'oro doveva essere più piccolo di 3.4 x 10−14 m, mentre l'atomo d'oro aveva un raggio noto di 1.5 x 10−10 m. Rutherford usò per i suoi calcoli le leggi della meccanica classica dato che a quell'epoca non era disponibile la teoria quantistica.

Quest'esperimento e la successiva incompatibilità del modello atomico di Rutherford con la teoria classica dell'elettromagnetismo portarono alla formulazione da parte di Bohr di un nuovo modello atomico che costituì la base delle prime teorie quantistiche. Rifacendo i calcoli usando la teoria quantistica si ottiene lo stesso risultato trovato da Rutherford.

Fig. A.2 differenza tra modello di Thomson e modello di Rutherford

In figura A.2 è schematizzata l’interazione di una particella α con l’atomo: nell’ipotesi del modello di Thomson (alto) nella zona occupata dall’atomo il campo elettrico è mediamente zero (legge di Gauss) e le particelle alfa subiscono lievi deflessioni. Nell’ipotesi del modello di Rutherford (basso), il campo elettrico dell’atomo è nullo a distanze maggiori delle orbite elettroniche (legge di Gauss), ma è intenso e repulsivo all’interno delle shell elettroniche.

Vediamo ora di trattare l’interazione in maniera più quantitativa. Consideriamo l’interazione tra una particella puntiforme di massa m e carica elettrica ze e un’altra particella puntiforme di massa M e carica elettrica Ze. Sia v la velocità relativa tra le due particelle. Facciamo l’ipotesi che v≪c, in modo da poter utilizzare le leggi della meccanica classica, e che sia m≪M, in modo da poter trascurare l’effetto del rinculo della particella M (nessuna di queste ipotesi è restrittiva e sono in ottima approssimazione valide nel caso specifico dell’esperimento di Rutherford). Trattiamo il problema in un sistema di riferimento che ha l’origine nella posizione della particella M , e definiamo il parametro d’urto, b, come la distanza tra la linea di volo della particella m e la posizione della particella M (Fig. A.3).

Fig. A.3 Diffusione di Rutherford

La forza che agisce tra le due particelle è

F =

zZe2

r2

r

Il campo elettrico è conservativo e la diffusione della particella m nel campo della particella M è elastica. Se p e p’ sono i momenti iniziale e finale, per m<<M si ha: |p| = |p’| ; ∆p = |p - p’| = 2p sin(θ/2)

dove θ è l’angolo di diffusione della particella m. Poiché l’energia totale è positiva, la traiettoria è aperta e la particella m descrive un’iperbole con asintoti definiti dalle direzioni di p e p’.

Il momento trasferito Δp è per simmetria dovuto alla componente trasversa FT della forza coulombiana lungo la traiettoria della particella m:

Δp = F

Tdt =

−∞

+∞

∫zZe2

r2cos ψ dt

−∞

+∞

∫

dove ψ è l’angolo tra l’asse di simmetria del moto e il raggio vettore r, e si ha:

ψ( t = +∞) = + π − θ

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ψ( t = −∞) = − π − θ

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Infatti l’angolo interno tra gli asintoti vale (π - θ) e quindi ψ, calcolato dall’asse di simmetria (bisettrice), vale la metà.

Con riferimento alla figura possiamo scrivere:

r = r̂r e quindi: dr = d r̂r( ) = r̂dr + rd̂r = r̂dr + rdψ̂n

(n è un versore ⊥ r nel piano dell’orbita)

Dividendo per dt, la velocità della particella risulta: v = dr

dt= dr

dtr̂ + r dψ

dtn̂

Il momento angolare: L = r ∧ p = m dr

dtr ∧ r̂ + mr dψ

dtr ∧ n̂ = mr2 dψ

dtr̂ ∧ n̂

risulta normale al piano della traiettoria e di modulo L = mr2 dψ

dt

Il momento angolare per le forze centrali è una costante del moto e pertanto:

L = mr2 dψ

dt= pb

dove p è il momento iniziale del proiettile e b è il parametro d’urto.

Pertanto si ha la relazione:

dtr2 = m

pbdψ

Sostituendo nell’espressione di Δp:

Δp =

zZe2

r2cos ψ dt =

zZe2mpb

cos ψ dψψ

−∞

ψ+∞

∫ =zZe2m

pb2cos θ / 2( )

−∞

+∞

∫

dove si sono usati gli estremi di integrazione in ψ ricavati sopra.

Pertanto:

Δp = zZe2m

p ⋅b2cos θ / 2( ) , ma si ha anche:

Δp = 2psin θ / 2( )

da cui si ricava la relazione tra l’angolo di diffusione ed il parametro d’urto:

tan θ / 2( ) = zZe2m

p2b=

zZe2

2E ⋅b

b =zZe2

2E ⋅tan θ / 2( )

fig. A.4 Relazione tra angolo θ e parametro d’urto b

L’elemento di superficie bersaglio che corrisponde ad un angolo di diffusione tra θ e θ+dθ è definito dalla corona circolare compresa tra i parametri d’urto b e b+db

dσ = 2πb ⋅db = 2π zZe2mp2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

21

tan θ / 2( )dθ / 2

sin2 θ / 2( )che si può riscrivere nel seguente modo:

dσ = zZe2mp2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 2πsin θ / 2( )cos θ / 2( )dθ / 2

sin4 θ / 2( )

L’elemento infinitesimo di angolo solido in coordinate polari è dato da: dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ . Poiché il problema presenta simmetria cilindrica, non essendovi dipendenza da ϕ, si può integrare sull’angolo azimutale e si ottiene: dΩ = 2π ⋅sin θ ⋅ dθNotando che:

2πsin θ / 2( )cos θ / 2( )dθ / 2 = π

2sin θ ⋅dθ = 2πsin θ ⋅dθ

4= dΩ

4possiamo riscrivere nel seguente modo:

dσdΩ

=zZe2

4E

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

21

sin4 θ / 2( )

dσdΩ è la sezione d’urto Rutherford differenziale, legata alla probabilità che una

particella di energia cinetica E e carica z venga deflessa, interagendo con una carica Z di massa M>>m ad un angolo θ rispetto alla direzione iniziale.

La sezione d’urto differenziale diverge per θ → 0, quindi non è definita su tutto l’angolo solido. Questo è dovuto al fatto che il potenziale coulombiano ha raggio d’azione infinito. Nella realtà non esistono cariche elettriche isolate: qualunque carica è in qualche modo schermata da cariche di segno opposto. Se consideriamo, ad esempio, un sistema atomico in cui il raggio medio degli orbitali elettronici vale < r >, per parametri d’urto superiori ad < r > il campo coulombiano è nullo (legge di Gauss) e il valore minimo dell’angolo di diffusione di una particella di energia cinetica E vale:

tan θ

min/ 2( ) = zZe2

2E⋅ < r >Il valore di < r > può essere dedotto dal modello atomico di Bohr:

< r >= n2 a

0

Z= n2 c

meZ ⋅α

= n2c( )2

meZ ⋅e2

dove a0 è il raggio di Bohr e n è il numero quantico principale (che varia con Z)

Z Z⩽2 3⩽Z⩽8 9⩽Z⩽18 19⩽Z⩽32 33⩽Z⩽50 51⩽Z⩽72 Z⩾73

n 1 2 3 4 5 6 7

La distanza minima di avvicinamento del proiettile al bersaglio si ha quando il vettore r è perpendicolare al vettore p. Dalla conservazione del momento angolare e dell’energia:

L = r ∧ p = r

minp = b ⋅ p

0 E =

p02

2m=

p2

2m+ zZe2

rmin

(1)

dove p0 è la quantità di moto iniziale, b il parametro d’urto e l’angolo di diffusione è:

tan θ / 2( ) = zZe2m

p02b

⇒ zZe2m = p02b ⋅tan θ / 2( ) (2)

Dalle relazioni (1) si ottiene:

p =

b ⋅p0

rmin

⇒p

02

2m=

b2p02

2mrmin2

+ zZe2

rmin

moltiplicando per 2mrmin2 :

rmin2 p

02 = b2p

02 +2mzZe2r

min

utilizzando la (2):

r

min2 − 2b ⋅tan θ / 2( ) ⋅ rmin

− b2 = 0

che ha come soluzione >0 :

rmin

= b ⋅tan θ / 2( ) + b 1 + tan2 θ / 2( )( )1/ 2= b

1 + sin θ / 2( )cos θ / 2( )

Essendo:

b =zZe2

2E ⋅tan θ / 2( ) , si può riscrivere:

rmin

=zZe2

2E⋅1 + sin θ / 2( )

sin θ / 2( ) per θ = π: r

min= zZe2

2E

Tale relazione permette di ricavare, da una misura dell’angolo di deflessione, il valore di rmin e quindi una stima delle dimensioni del bersaglio.

Rutherford, Geiger e Marsden misurarono deflessioni fino ad angoli di 150° e ricavarono quindi un valore di rmin = 4⋅10-12 cm, quattro ordini di grandezza inferiore al raggio atomico!

La scoperta del neutrone

Dopo la scoperta di Rutherford e di Frederick Soddy della trasformazione artificiale dei nuclei esposti a particelle α, seguirono numerosi esperimenti per studiare questo fenomeno. Nel 1928 Bothe e Becker osservarono che nella reazione di particelle α, emesse dal Polonio con energia di ≈ 5.4 MeV , con nuclei di Berillio venivano prodotti Carbonio e una radiazione non ionizzante, cioè neutra, molto penetrante:

α + Be → C + radiazione neutra penetranteIn realtà la reazione che avveniva era la seguente: 2

4He + 49Be→ 6

12C + n

Nel 1930 Irene Curie e Frederic Joliot osservarono che questa radiazione neutra, attraversando un assorbitore di materiale idrogenato produceva emissione di protoni con energia cinetica fino a circa 5.3 MeV e interpretarono la radiazione neutra come fotoni che in grado di produrre effetto Compton su protoni e cedere a questi perte della loro energia:

24He + 4

9Be→ 613C + γ seguita da: γ + p→γ + p

Dalla conservazione dell’energia, trascurando l’energia di rinculo del 13C, risulta: Eγ =Tα +mα +m 9Be( )−m 13C( ) = 16 MeV

Nel 1931 Chadwick studiò l’effetto della radiazione neutra su Idrogeno e altri nuclei (Elio, Azoto, Ossigeno, ...) determinando la velocità di rinculo dei nuclei da misure di percorso (range) in una camera a ionizzazione. Chadwick osservò che per emettere un protone con energia cinetica fino a Tp = 5.3 MeV per effetto Compton, i fotoni emessi nella reazione devono avere energia fino a Eγ = 50 MeVInfatti il massimo trasferimento di energia nell’effetto Compton avviene quando il fotone è retrodiffuso. Per la conservazione di energia e momento:

Eγ+m

p= E'

γ+m

p+T

p

pγ= p

p− p'

γ

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⇒

Eγ−E'

γ= T

p

Eγ+E'

γ= p

p

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Sommando: 2E

γ= T

p+ p

p

E

γ=

Tp+ p

p

2=

Tp+ T

pT

p+2m

p( )2

= 52 MeV

Questo valore di energia è troppo elevato e non è compatibile con la conservazione dell’energia nella reazione:

Eγ =Tα +mα +m 9Be( )−m 13C( ) = 16 MeV

La conservazione dell’energia e del momento è invece assicurata se nella reazione viene prodotta una particella neutra con massa approssimativamente uguale alla massa del protone

24He + 4

9Be→ 612C + n

Chadwick determinò la massa del neutrone con una precisione del 10%. Egli sperimentò che questa radiazione era in grado di far rinculare a grande velocità non solo protoni, ma anche He, Li, Be, B, C, O e Ar. L’ipotesi di effetto Compton nucleare divenne estremamente improbabile.

Supponendo urti elastici di queste particelle con i nuclei bersaglio, il massimo trasferimento di quantità di moto dal proiettile (sconosciuto) al bersaglio (noto) si ha per urto centrale con retrodiffusione del proiettile a 180o.

Chiamiamo p ed m rispettivamente la quantità di moto e la massa del proiettile (incognite) , P la la quantità di moto del bersaglio dopo l’urto (misurata) ed M la sua massa (nota).

Applicando la conservazione di energia e momento per un urto elastico centrale si avrà:

p = P − p' p + p' = Pp2

2m= p'2

2m+ P2

2Mp + p'( ) p − p'( ) = P2 m

M

p + p' = P

p − p' = P mM

Eliminando p’, si ricava:

2p = P M + m

M

Chadwick ripetè la misura usando bersagli di idrogeno e di azoto:

2p = P

H

MH+ m

MH

2p = P

N

MN+ m

MN

2p = v

HM

H+ m( )

2p = vN

MN+ m( )

Chadwick dedusse la velocità (massima, urto centrale) dei nuclei idrogeno ed azoto da una misura del loro percorso (vedi dopo, interazione particelle cariche - materia):

vH

vN

=M

N+ m

MH+ m

=14 + m1 + m

=3.3 ⋅109cm / s

0.47 ⋅109cm / s= 7

e ricavò per la massa incognita il valore m ≈ 1 amu.

Misure più precise vennero fatte studiando altri processi di produzione di neutroni in reazione di particelle α con nuclei.

Il nucleo di deuterio, l’isotopo 12H dell’Idrogeno, è stato scoperto da Urey pochi mesi

dopo la scoperta del neutrone ed è stato interpretato come uno stato legato protone-neutrone. Nel 1934 Chadwick e Goldhaber osservarono che la fotodisintegrazione del deutone:

γ + d → p + n

non avviene con fotoni di energia Eγ = 1.8 MeV , ma è prodotta da fotoni con Eγ = 2.6 MeV e determinarono con maggior precisione la massa del neutrone:939.1 MeV /c2 ≤ mn ≤ 939.9 MeV /c2

I valori attuali delle masse del protone, neutrone, deutone e dell’energia di legame Bd del deutone sono:

mp = 938.27231 ± 0.00028 MeV /c2 mn = 939.56563 ± 0.00028 MeV /c2 md = 1875.61339 ± 0.00057 MeV /c2 Bd = 2.224589 ± 0.00002 MeV