Le interazioni tra momenti e campi magnetici

Nell’ambito della fisica classica, una piccola spira percorsa da corrente elettrica è dotata di un momento di dipolo magnetico µµµµ = i S uN.

Anche se consideriamo l’ orbita di un elettrone attorno ad un nucleo, possiamo immaginare che il sistema acquisti un momento di dipolo magnetico. Impostando il calcolo nell’ipotesi di un’orbita circolare, i = - e v / (2πr) ed S = π r2 . Ricordando che L = m r v, il momento di dipolo magnetico associato diventa µµµµ = - (e/2m) L. La quantità g = -e/2m è detta rapporto giromagnetico.

L’effetto Zeeman (1896)

Nel caso sia immerso in un campo magnetico B, il dipolo acquista un’energia potenziale legata all’orientazione del dipolo rispetto al campo, Um = - µµµµ · B = (e/2m) L · B = (e/2m) Lz · B

La trattazione dell’atomo di idrogeno con l’equazione di Schrödinger porta a valori della proiezione del momento della quantità di moto lungo un generico asse di riferimento quantizzati secondo la relazione: Lz = ml ħ dove il numero quantico magnetico ml può assumere valori interi compresi tra 0 e ± l , numero quantico orbitale.

L’energia potenziale associata al dipolo si può esprimere dunque come Um = ml (e ħ /2m) · Be risulta anch’essa assumere valori discreti. La quantità e ħ /2m è detta magnetone di Bohr ed il suo valore è: µΒ ==== e ħ /2m = 9.274 ·10-24 J/T = 5.788 ·10-5 eV/T.La separazione delle righe spettrali osservate nell’ effetto Zeeman è proprio dovuto alla separazione dei livelli energetici della struttura atomica in campo magnetico, come mostrato in figura.

Le frequenze caratteristiche delle righe dello spettro assumeranno in questo caso tre valori,

ν1 = νo - (e /4π m)·B , ν2 = νo , ν1 = νo + (e /4π m)·Bdove νo rappresenta la frequenza caratteristica in assenza di campo magnetico.

Lo spin e il momento magnetico intrinseco

Molte delle righe dello spettro di emissione di diversi elementi, tra i quali anche l’idrogeno, mostrano una struttura fine, sono cioè costituite da due righe la cui differenza di lunghezza d’onda è una frazione di nm. Ad esempio la prima riga della serie di Balmer dell’idrogeno, la riga Lα con λ = 656.3nm, è costituita in realtà da due righe la cui differenza di lunghezza d’onda è ∆λ = 0.14 nm. L’ipotesi dello spin, introdotta da Goudsmit e Uhlenbeck nel 1925, è in grado di spiegare questo fenomeno.Ogni elettrone è dotato di uno spin, un momento della quantità di moto intrinseco, S = [s (s+1)]1/2 ħ dove s = 1/2 la cui proiezione su di un generico asse, in analogia con il momento della quantità di moto orbitale, si esprime come Sz= ms ħ . I valori possibili di ms sono ms = ±1/2. Associato allo spin l’elettrone mostra un momento di dipolo magnetico intrinseco che si esprime come:

µµµµs = - (e/m) S = - g · (e/2m) S

e la sua componente z è µs,z = - (e/m) Sz = ± (e ħ /2m) = ± µΒ . Si noti che il rapporto giromagnetico nel caso del moto orbilale è -e/2m, nel caso dello spin è -e/m, cioè esattamente il doppio, proprietà riassunta dalla costante g=2 . Un elettrone in una struttura atomica mostra dunque un momento di dipolo magnetico pari a:

µµµµ = - (e/2m) · (L + 2 S )

L’interazione spin-orbita

Il moto di un’elettrone in un orbita attorno al nucleo atomico, è origine di un campo magnetico, così come avviene in una piccola spira. Il suo valore al centro dell’orbita, si può esprimere come B = µoe/2rnT dove T rappresenta il periodo caratteristico di rivoluzione dell’orbita e può essere espresso come 2π rn/ vn , da cui B = µoe vn /4π rn2 = (µo/4π) (e/m) L/ rn3.Lo stesso elettrone, dotato di momento di dipolo magnetico, interagisce con il campo magnetico prodotto, modificando il suo stato energetico.

Um = - µµµµs · B = (e/m) Sz · B

Il valore del campo magnetico locale può raggiungere anche valori elevati, vicini ad 0.1-1 T, modificando i livelli energetici a tal punto da giustificare la separazione osservata delle righe spettrali.

Il momento della quantità di moto (o angolare) totale

Ad ogni elettrone in una struttura atomica è associato un momento angolare L ed uno spin S che contribuiscono entrambi al momento angolare totale dell’atomo. In particolare gli elementi del primo gruppo della tabella periodica possiedono un solo elettrone esterno che determina il momento angolare totale J = L+S del sistema. Anche J è quantizzato allo stesso modo e quindi si esprime in funzione di un numero quantico j come | J | = [j (j+1) ]1/2 ħ che assume i valori j = l+s, l+s-1, ..., |l-s| . La sua componente Jz lungo un’asse di quantizzazione si esprime con Jz = mj ħdove mj assume i valori mj = ±j, ±(j-1), ±(j-2), .....

L’interazione tra il momento magnetico collegato a J ed un campo magnetico esterno è responsabile dell’effetto Zeeman anomalo che mostra la separazione di una riga spettrale in un numero pari di righe, come ad esempio avviene nel caso delle righe D del sodio a 588.9950 e 589.5924 nm. L’interazione tra il campo magnetico ed il momento di dipolo magnetico diventa in questo caso

Um = - µµµµ · B = - (e/2m) (L + 2 S ) · B = gL µΒ mj B

Dove gL è detto fattore g di Landé.