L’hamiltoniana dell’elio

21

2

2121 )()(),(rr

erHrHrrH oo

repos

osss HEEE )(

2)(

12,1

Esempio: 1 elettrone nello stato 1s, l’altro nello stato 2s

eV4.542)(1 ZEE R

os

eV6.1322

2)(

2 Z

EE Ros

)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1 122112

2

1221 rsrsrsrsr

ersrsrsrsH

trep

tripletto

)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1 122112

2

1221 rsrsrsrsr

ersrsrsrsH

srep

singoletto

termine coulombiano e termine di scambio

termine coulombiano

termine di scambio

contributo positivo

contributo negativo

23

12

22

2132

12112

2

21 )(2)(1)(2)(1)(2)(1 rdr

ersrdrsrsrs

r

ersrsC

23

13

12

2

22*

11*

1212

2

21 )(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)(1 rdrdr

ersrsrsrsrsrs

r

ersrsK

KCEEE os

os

triplettoE ss

)(2

)(12,1

KCEEE os

os

singolettoE ss

)(2

)(12,1

contributi positivi

atomo di elio l=0

Potenziale e livelli energetici

-100.0

-90.0

-80.0

-70.0

-60.0

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

potenziale non schermato:Ep= -Ze2/r

potenziale schermato:Ep,sch= -Ze2/r+Vrep(r)

Funzioni d'onda n=2, l=0 con e senza schermo

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

senza schermo

u20 senza schermo

u20 con schermo

u10

integrale di |u10|2

con schermoE1

E2

E1sch

E2 sch 2

2

n

ZEE Rn

senza schermo

2

2

,

),(

n

lnZEE

effRln

con lo schermo

schermo: S(n,l)= Z - Zeff(n,l)

atomo di elio l=1Funzioni d'onda n=2; l = 1 con e senza schermo

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

Potenziale e livelli energetici

-100.0

-90.0

-80.0

-70.0

-60.0

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

u21 senza schermou21 con schermo

u10integrale di |u10|2

senza schermo

Eeff= Ep+EL l=0 senza schermo

l=1

l=0 con schermo

l=1 con schermo

potenziale non schermato:Ep= -Ze2/r

potenziale “effettivo” non schermato:Eeff=Ep+EL

potenziale schermato:Ep,sch= -Z e2/r+Vrep(r)

potenziale “effettivo” schermato:

Eeff,sch=Ep,sch+EL

atomo di elio l=0,1

Funzioni d'onda n=2; l = 0,1 con schermo

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

u20 con schermo

u21 con schermo

u10 integrale di |u10|2

-30.0

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

E2 senza schermo

-8.0

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV)

E2,0 con schermo

E2,1 con schermo

E2,0 tripletto

E2,1 tripletto

E2,1 singoletto E2,0 singoletto

energie (eV)

atomo di elio

2

2

33

1

4

3

444

3

44

2

33

2

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

tripletto4s - 1,04p - 0,9 4d - 0,85 3s - 2,03p - 1,7 3d - 1,55 2s - 4,82p - 3,7

singoletto4s - 0,94p - 0,85 4d - 0,85 3s - 1,7 3p - 1,55 3d - 1,5 2s - 4,02p - 3,5 1s - 24,6

idrogeno n=2

idrogeno n=3

idrogeno n=4

atomo di elio

2

2

33

1

4

3

444

3

44

2

33

2

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

tripletto4s - 1,04p - 0,9 4d - 0,85 3s - 2,03p - 1,7 3d - 1,55 2s - 4,82p - 3,7

energie (eV) singoletto

4s - 0,94p - 0,85 4d - 0,85 3s - 1,7 3p - 1,55 3d - 1,5 2s - 4,02p - 3,5 1s - 24,6

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

21S0

21P1

31S0

31P1

11S0

31D2

41S041P1 41D2

23P2

23P1

23P0

43P2

43P1

43P0

33P2

33P1

33P0

23S1

43S1

43S1

33D3

33D2

33D1

33D3

33D2

33D1

atomo di elio

molteplicità di spin=2S+1

per S=0

J=L+S = Lper S=1

J=L+1 , L , L-1

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

21S0

21P1

31S0

31P1

11S0

31D2

41S041P1 41D2

23P2

23P1

23P0

43P2

43P1

43P0

33P2

33P1

33P0

23S1

43S1

43S1

33D3

33D2

33D1

33D3

33D2

33D1

atomo di elio - transizioni in j

idrogeno - litio - sodio

2

3s

3

3p

4

3d

4d

4p

4s

3s

4d4p

2p

3d3p

2s

H LiE (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

Na

4s

Tabella periodica

Z simbolo configurazione energia distato fondamentale ionizzazione (eV)

K1 H 1s 13,6

K2 He (1s)2 24,6 (1s)2 = [He]

s p

LK

3 Li [He] 2s 5,4

LK

4 Be [He] (2s)2 9,3

5 B [He] (2s)2 2p 8,3

6 C [He] (2s)2 (2p)2 11,3

7 N [He] (2s)2 (2p)3 14,5

8 O [He] (2s)2 (2p)4 13,6

9 F [He] (2s)2 (2p)5 17,4

10 Ne [He] (2s)2 (2p)6 21,6

LK

LK

LK

LK

LK

LK

[He] (2s)2 (2p)6 = [Ne]

•principio di esclusione

•stato con n minore•a parità di n, stato con l minore

•regola di Hund•“gas nobile” al riempimento della shell

Regole per il riempimento degli stati nei primi due periodi:

Tabella periodica

Z simbolo configurazione energia distato fondamentale ionizzazione (eV) s p d

M11 Na [Ne] 3s 5,1

M12 Mg [Ne] (3s)2 7,6

13 Al [Ne] (3s)2 3p 6,0

14 Si [Ne] (3s)2 (3p)2 8,1

15 P [Ne] (3s)2 (3p)3 10,5

16 S [Ne] (3s)2 (3p)4 10,4

17 Cl [Ne] (3s)2 (3p)5 13,0

18 Ar [He] (3s)2 (3p)6 15,8

M

M

[Ne] (3s)2 (3p)6 = [Ar]

KL

M

KL

KL

KL

M

KL

KL

M

KL

M

KL

M

KL

N19 K [Ar] 4s 4,3

Regole per il riempimento degli stati:

•principio di esclusione

•stato con n+l minore

•a parità di n+ l, stato con n minore

•regola di Hund• il “gas nobile” al riempimento dell’orbitale p

Tabella periodica

Z simbolo configurazione energia distato fondamentale ionizzazione (eV) s p d

N19 K [Ar] 4s 4,3

20 Ca [Ar] (4s)2 6,1

21 Sc [Ar] (4s)2 3d 6,5

22 Ti [Ar] (4s)2 (3d)2 6,8

23 V [Ar] (4s)2 (3d)3 6,7

M

NM

NM

NM

NM

24 Cr [Ar] 4s (3d)5 6,8 NM

25 Mn [Ar] (4s)2 (3d)5 7,4 NM

26 Fe [Ar] (4s)2 (3d)6 7,9 NM

27 Co [Ar] (4s)2 (3d)7 7,9 NM

28 Ni [Ar] (4s)2 (3d)8 7,6 NM

29 Cu [Ar] 4s (3d)10 7,7 NM

30 Zn [Ar] (4s)2 (3d)10 9,4 NM

31 Ga [Ar] (4s)2 (3d)10 4p 6,0 NM

Regole per il riempimento degli stati:

•principio di esclusione

•stato con n+l minore

•a parità di n+ l, stato con n minore

•regola di Hund

•il “gas nobile” al riempimento dell’orbitale p

http://www.itchiavari.org/chimica/elementi/

E (eV)

0

-2

-4

-6

-8

-10

- 12

5S2

3PJ

1S0

1D2

carbonio

[He](2s)2 (2p)2

[He] 2s (2p)3

ms1=+1/2 ms2=+1/2 ms3=+1/2 ms4=+1/2

mS=+2 ; S=2

2S+1=5

l1=0 , ml1= 0 l2=1 , ml2= -1 l3=1 , ml3= 0 l4=1 , ml4=+1

mL=0 ; L =

3210

-7,1 eV

-8,7 eV

-11,3 eV

-10,1 eVelettroni

equivalenti

Raggi X: spettri di emissione

di un atomo con

Z 30

E (keV)

0

2

4

6

8

10

12

n

1 - K

2 - L

3 - M4 - N

K

K

K

K e

dge

L L

L e

dge

M M e

dge

Legge di Moseley:

f = A(Z-c)

Raggi X: struttura fine degli spettri di

emissione di un atomo con Z 30

1 - K

2 - L

3 - M

2p3/2

2p1/2 2s1/2

K K

L

2d5/2

2d3/2

2p3/2

2p1/2 2s1/2

III

II

I

V

IV

III

II

I

4 - N

K

L

Raggi X: spettri di

assorbimento di un atomo con Z 30

1 - K

2 - L

3 - M

2p3/2

2p1/2 2s1/2

K

L

2d5/2

2d3/2

2p3/2

2p1/2 2s1/2

III

II

I

V

IV

III

II

I

4 - N

M

Modello a shell nei nuclei

1s 1/2 2

Zj

Energia

1p3/2

1/2

6

8

Nucleo “magico”

O8

1d

5/2

3/2

14

20

1/2 161s

Ca20