LA TEORIA CINETICADEI GAS

Studia le grandezze macroscopiche di un

gas in relazione a quelle microscopiche

da cui deriva il comportamento dello

stesso gas

studia il comportamento di un gas descrivendolo attraverso grandezze quali la velocità e l’energia cinetica delle sue molecole;

collega inoltre tali grandezze, che sono dette microscopiche, alle grandezze macroscopiche quali volume, temperatura e pressione;

si occupa quindi di analizzare il comportamento del gas in relazione a ciò che avviene a livello molecolare;

descrive un gas dal punto di vista statistico, cioè analizza il comportamento dell’insieme di molecole e non quello delle singole.

La teoria cinetica dei gas:

Si deve immaginare un gas come un sistema formato da un numero enorme di particelleche si muovono caoticamente urtandosi l'una con l'altra e ognuna contro le pareti delcontenitore; a causa degli urti esse cambiano continuamente direzione e velocità.Per questo motivo, nello studio della teoria cinetica il gas considerato dal punto di vistadella realtà risulta troppo complesso; si fa in modo di «semplificare» tale studio prendendocome modello quello del gas perfetto.Si tratta di un gas molto rarefatto e con temperatura lontana da quella di liquefazione, chepresenta varie caratteristiche: le sue molecole sono considerate punti materiali privi di una struttura interna, tutte di

massa uguale e volume trascurabile rispetto a quello del contenitore, e sono presenti nelgas in numero grandissimo;

i moti delle molecole sono del tutto casuali, continui e disordinati (moti di agitazionetermica);

le forze di interazione tra le molecole sono trascurabili (ciò non avviene nella realtà) gli urti delle molecole contro le pareti del contenitore sono perfettamente elastici*.

*Urto elastico: urto durante il quale si conservano l’energia cinetica e la quantità di moto.

Il gas come modello meccanico

Gli urti tra le molecole e il contenitore sono responsabili della pressione all’interno del volume del gas, ed è dovuta al vettore forza della molecola perpendicolare alla superficie del contenitore.Infatti la pressione è descritta come:

𝑃 =𝐹

𝑆Per il principio di azione e reazione, e poiché l’urto è elastico, la forza esercitata dallaparete sarà esattamente uguale e contraria a quella esercitata dalla molecola- allo stessomodo l’energia e la quantità di moto si conserveranno durante l’urto.

Per ricavare la pressione negli urti tra molecole e contenitore, si può partire dalla relazione che lega la velocità alla superficie percorsa nell’unità di tempo- in questo caso la velocità delle molecole con cui urtano la superficie del contenitore nell’intervallo dato:

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡

La pressione e la velocità negli urti molecola-contenitore

Da qui si può ricavare appunto l’intervallo di tempo, che vale: ∆𝑡 = ∆𝑠

∆𝑣Se si considera come contenitore un cubo di lato L, dopo l’urto, ognimolecola avrà un verso opposto a quello iniziale e andrà a urtareinevitabilmente la parere opposta del contenitore, perciò lo spaziopercorso durante un urto sarà il doppio di quello percorso per urtare laparete.Perciò il tempo può essere espresso come: ∆𝑡 = 2𝐿

∆𝑣

Sapendo che la forza esercitata da ogni molecola, per il secondoprincipio della dinamica vale 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎, la si può scrivere in funzionedel tempo, cioè:

𝐹 =𝑚𝑣

𝑡=∆𝑝

∆𝑡

Sostituendo i dati ricavati otteniamo che:

𝐹 =𝑚𝑣𝑠𝑣

=𝑚𝑣2

𝐿

Dove Δp è la quantità di moto definita come il prodotto tra la massa e la velocità

Conoscendo la forza è possibile quindi esprimere in modo diverso la pressione:

Da 𝑃 =𝐹

𝑆diventa: 𝑃 =

𝑚𝑣2

𝐿

𝐿2=

𝑚𝑣2

𝑉

Estendendo questa relazione a tutte le molecole del volume di gas, bisogna introdurre un parametro che consiste nel numero di particelle N.La pressione così espressa diventa:

𝑃 = 𝑁 ∙𝑚𝑣2

𝑉

Dove 𝑚𝑣2 è il doppio dell’energia cinetica e V il volume del gas

Considerando la velocità dal punto di vista vettoriale, composta da trevettori uguali tra loro, otteniamo tre valori 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 e 𝑣𝑧 di cuiconsideriamo solo il vettore 𝑣𝑥 ad esempio, perché il moto delleparticelle avviene, nel gas perfetto in un’unica direzione.Tale valore sarà 1

3del vettore risultante v.

Sapendo inoltre che il fattore 𝑚𝑣2 altro non è che il doppiodell’energia cinetica, possiamo quindi esprimere diversamente larelazione che lega pressione, volume, numero di molecole ed energiacinetica.

𝑃 =2

3∙𝑁

𝑉∙1

2𝑚𝑣2

E’ stata ricavata la relazione che lega pressione e volume,che sono grandezze macroscopiche, con il numero dimolecole e l’energia cinetica delle stesse, grandezze invecemicroscopiche.E’ possibile esprimere tale relazione come:𝑃𝑉 =

2

3𝑁𝐸𝑐

in modo da metterla in relazione con l’equazione di statodel gas perfetto𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇

Dove T è la temperatura del gas e k è la costante di Boltzmann relativa a ogni particella di gas (𝑘 = 𝑅

𝑁𝐴𝑉)

Mettendo a confronto le due relazioni, otteniamo che:𝑁𝑘𝑇 =

2

3𝑁𝐸𝑐

E, risolvendola, otteniamo esattamente la definizionedi energia cinetica secondo una relazione che la legaalla temperatura del gas e quindi, alle grandezzemacroscopiche.

𝐸𝑐 =3

2𝑘𝑇

L’energia cinetica nella teoria microscopica della materia

Nella realtà, in un gas le particelle non hanno tutte la stessavelocità: nel modello del gas ideale si tiene conto di una velocitàmedia che è approssimativamente uguale per tutte le molecole.Tale valore è la velocità quadratica media, strettamente legataall’energia cinetica, ed è intesa come la velocità media dellemolecole di un gas in stato di equilibrio* a una certatemperatura.

E’ espressa come: 𝑣𝑚 =3𝑘𝑇

𝑚

*Stato di equilibrio: un sistema raggiunge lo stato di equilibrio quando tutte le grandezze macroscopiche che lo descrivono (le variabili di stato) si mantengono costanti nel tempo.

La velocità quadratica media

In una data quantità di gas, la velocità più probabile che si puòtrovare tra le particelle è un valore abbastanza vicino alla velocitàquadratica media, ma non coincide con essa. Questa relazione puòessere infatti espressa graficamente ed è rappresentata da unacurva asimmetrica, in cui la zona della velocità quadratica mediasarà molto vicina a quella della velocità più probabile, ma non lastessa. In generale, la velocità più probabile tra le molecole èaddirittura inferiore alla velocità quadratica media.

Essa vale infatti: 𝑣𝑚 =2𝑘𝑇

𝑚

La distribuzione maxwelliana delle probabilità

Il punto più alto della curva è la velocità più probabile: in quel punto ci sono moltissime molecole che hanno una velocità simile a quella media e quadratica media.

La velocità quadratica media èlegata anche alla variazione ditemperatura.All’aumentare della temperatura,la curva si abbassa ma si fa semprepiù estesa perché aumenta ilnumero di particelle che hannovelocità simile a quella quadraticamedia.L’altezza della curva diminuisceperché c’è sempre meno differenzatra le velocità delle molecole, chequindi sono tutte più probabili.

La distribuzione maxwelliana delle probabilità

Il moto browniano

In un gas all’equilibrio le sue grandezze

macroscopiche- pressione, volume e temperatura si

mantengono costanti nel tempo.

Dal punto di vista microscopico, invece, a parità di

temperatura e di volume, si nota che la pressione a

piccolissimi intervalli di tempo subisce delle

variazioni, o fluttuazioni, che non rendono possibile

considerarla costante come può essere fatto a livello

microscopico.

Questo perché essendo i moti

delle molecole del tutto casuali,

casuale sarà l’intensità degli urti

che esse compiono e casuale

sarà il loro effetto, cioè la

pressione

La teoria del moto browniano

studia le traiettorie e i moti

casuali delle molecole

L’effetto delle fluttuazioni è

tanto più piccolo quanto più

grande è N, ossia il numero

di molecole contenute,

perché più esso è grande,

meno differenze ci sono tra

le intensità degli urti e più la

pressione di ogni urto sarà

simile al valore medio di

pressione all’interno del gas.

Riguarda corpuscoli

molto piccoli in

sospensione in un

fluido

Le molecole hanno moti

totalmente imprevedibili:

due molecole vicine possono

avere moti del tutto diversi

Il moto browniano dipende

da:

La particella: le particelle più piccole si muovono conmoto più deciso e intenso; esso non dipende dallanatura della particella né dalla sua massa.

Il fluido e la sua viscosità: più esso è viscoso più lento èil movimento delle molecole.

La temperatura: la velocità delle particelle aumentacon la temperatura e i moti si fanno più intensi.