SEZIONE AUREA

Che cos’è la sezione aurea?

E dove ha origine l’intuizione della sezione aurea?

Il padre della sezione aurea, che è l’armonia di tutte le forme presenti, è Euclide.

Ma Euclide trae la sua sezione armonica su base geometrico-numerologica. E il padre della numerologia è Pitagora.

Molti secoli dopo sarà Fiibonacci a trovare, per altra strada, il tracciato della sezione aurea attraverso una sequenza di numeri. Fibonacci prende dunque la numerologia di Pitagora e la geometria di Euclide.

Dunque:

Pitagora 570 – 495 a.C. fautore del Numero quale origine di tutto ciò che esiste.

Euclide 300 a.C. fautore dell’Armonia delle cose e delle forme.

Fibonacci - 1175 - 1235 fautore della spirale Armonica e della sequenza di numeri

La sezione aurea di Euclide

La sezione aurea rivela come tutto il creato abbia una matrice ordinata secondo un rapporto armonico geometrico

È come se fosse un flusso, dunque un movimento in itinere, che si sviluppa, che evolve, che si moltiplica seguendo una logica geometrico-matematica, dunque non casuale ma ordinata.

Tale ordine è armonico, esteticamente bello da vedersi, proporzionato.

Questo ordine è in un equilibrio statico-dinamico.

Esiste una sequenza numerologica di quest’ordine. Il numero per definizione è “ordine”.

Vediamo come si rivela il rapporto aureo. Questi è un numero, un coefficiente.

https://it.wikipedia.org/wiki/1175https://it.wikipedia.org/wiki/1235

Procedendo con la costruzione geometrica

Questo 𝜑𝜑 è definito numero d’oro ed è un numero irrazionale (cioè un numero decimale illimitato non finito)

Ma se volessimo esprimere (A+B) che è un numero lineare in numero che ne descrive la circonferenza di un cerchio, come fare?

Il segmento A misura 1,61803…

Il segmento B misura 1

Dunque A+B = 2,61803…

Dunque, la circonferenza del cerchio che verrò a tracciare deve misurare 2,61803…

La domanda è: quanto deve misurare il raggio di un cerchio la cui circonferenza misura 2,61803…?

Sappiamo che, sempre per una rivelazione geometrica, ogni cerchio, di qualsiasi dimensione e raggio ha un numero particolare che lo caratterizza, è un numero assoluto, una costante ed anch’esso irrazionale. Questo numero è il 𝜋𝜋.

Nella geometria piana π viene definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo

diametro. 𝜋𝜋 =3,14159 26535 897…..

Questo numero lo troviamo dunque nella geometria analitica per esprimere la circonferenza di un cerchio o nella sua area.

Ma anche ritorna per il calcolo delle superfici di ellissi, e di superfici e volumi della sfera, cilindro, cono e per angoli definiti “radianti”.

Attraverso questo rapporto tra lunghezza della circonferenza del cerchio e del suo diametro C= 2 𝜋𝜋 r, ed essendo nota la circonferenza, il raggio r = C/2 𝜋𝜋

Dunque r = 2,61803…/2*3,14…. = 0,416884…

Il cerchio disegnato ha dunque una circonferenza lunga che misura A+B = 2,61803… dove A è uguale alla lunghezza della base del rettangolo magenta e B è uguale all’altezza del rettangolo magenta ovvero raggio del cerchio blu.

https://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclideahttps://it.wikipedia.org/wiki/Rapportohttps://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenzahttps://it.wikipedia.org/wiki/Diametro

Abbiamo dunque stabilito una relazione tra rettangolo e cerchio.

Ovvero il rettangolo avente base lunga è A+B = 2,61803… è in relazione con il cerchio che ha una circonferenza A+B = 2,61803…

Qui però ci si svela anche un altro elemento di grande valore che è l’angolo. Viene definito angolo aureo.

La spirale dorata di Fibonacci

Ma che centra la costruzione della sezione aurea dell’armonia euclidea di matrice geometria sopra vista con la sequenza di Fibonacci?

Innanzitutto: chi è Fibonacci?

Il nome “Fibonacci” in realtà è un appellativo che deriva da “filius Bonacci” cioè figlio di Bonacci. Il suo vero nome era Leonardo Pisano (Pisa, settembre 1175 circa – Pisa, 1235) ed è stato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi perché contribuì alla rinascita delle scienze esatte.

Fibonacci ha questa intuizione osservando i numeri e nota che “ ogni numero è la somma dei due che lo precedono”.

La regola è semplice. Tutte le cose complesse derivano dalle cose semplici.

Cosa significa che “ ogni numero è la somma dei due che lo precedono”?

Significa questo: 0 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ……… 89

8 13 21

Questa sequenza di numeri si chiama “sequenza di Fibonacci”.

Infatti applicando la definizione si ottiene:

1+2= 3; 3+2=5; 3+5=8: 5+8=13; 8+13=21; 13+21= 34; 21+34=55 ecc….

https://it.wikipedia.org/wiki/Pisahttps://it.wikipedia.org/wiki/Settembrehttps://it.wikipedia.org/wiki/1175https://it.wikipedia.org/wiki/Pisahttps://it.wikipedia.org/wiki/1235https://it.wikipedia.org/wiki/Scienza_esatta

Ma la stessa regola vale invertendo la regola ovvero: “ ogni numero è la differenza dei due che lo seguono ovvero sottraendo il numero seguente minore al numero seguente maggiore”

2 3 5 = (5-3) è 2

5 8 13 (13-8) è 5

13 21 34 (34-21) è 13

21 34 55 (55-34) è 21

e così via…..

Da questi numeri si genera una spirale aurea che è logaritmica.

La terna può essere presa in qualsiasi posizione. Ad esempio se prendiamo la terna 8 13 21 otteniamo

8 13 21 (21-13) è 8

34 55 89 (89-55) è 34 ecc

Unica eccezione è la prima terna: 0 1 2 (2-1) = 1 e non 0

0 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ………

Vediamo Fibonacci come genera la sua spirale armonica con questi numeri:

Intanto decide di disegnare tanti quadrati di lato 1; 2; 3; 5; 8; ecc

Poi li riordina in modo tale che …..

Ora traccia per ogni quadrato un quarto di cerchio avente raggio pari alla lunghezza del lato del quadrato:

Questa viene anche chiamata “spirale dorata”

Fiibonacci ha dunque trovato, per altra via, il tracciato della sezione aurea attraverso una sequenza di numeri. Prendendo l’apporto numerologico di Pitagora e la geometria armonica di Euclide.

Il rettangolo di Filobacci è identico alla sezione aurea di Euclide.

Ma ciò che viene notato è che tale forma è presente anche in natura e non solo in architettura. È ritrovata nel corpo umano come nel fiore, nelle conchiglie, negli alberi.

Se l’analogia del rettangolo euclideo e quello di Filobacci coincidono, allora questa “verità” deve valere anche per il numero 𝜑𝜑 cioè per il numero d’oro.

Ricordiamo che questo numero che è il rapporto A/B = (A+B)/A = 𝜑𝜑 = 1,61803….

E infatti se rapportiamo i numeri di Filobacci tra loro vicini, il risultato è proprio 𝜑𝜑 :

5/3 = 1,66667 8/5 = 1,6 13/8 = 1,625 21/13 = 1,61538

Ma notiamo che via via che si procede facendo una media dei risultati ci si avvicina al numero d’oro.

ecc. ecc.

Vediamo portando qualche esempio, per giungere infine all’applicazione nel Tai e quindi nella nostra consapevolezza.

Tutto il cosmo è riconducibile all’armonia di questi numeri che ne hanno forma armonica.

I frattali sono matematica di cui la natura si evolve si evolve, si restringe, prende appunto forma.

I frattali e la progettazione

In ogni cosa che osserviamo questa si può ricondurre in un disegno geometrico di forma regolare. Non parlo solo di architetture, oggetti e altro creato da mano umana ma dalla natura stessa.

Questo dice che ogni cosa non è casuale ma frutto di un progetto, di un pensiero, di una logica, di una intelligenza. Progetto è “pensare prima di gettare in opera”.

Chi progetta le cose della natura?

Quando noi nel Tai evochiamo quella forma chiamata “mani come nuvole” utilizziamo le mani che sono del corpo umana e le nuvole che sono dell’ambiente che ci circonda. Sappiamo che le Nuvole sono minuscole particelle di vapore acqueo. Sappiamo anche che quando vi è u abbassamento della temperatura prossima allo zero, questo vapore si cristallizza divenendo ghiaccio. Queste micro particelle noi le conosciamo come “fiocchi di neve”.

Il fiocco di neve è un esempio di “frattale” vediamo perché.

Via via che questi cristalli crescono, emergono geometrie delicate, fragilissime, esili, che a contato con il calore della mano si sciolgono…. Se osserviamo un singolo fiocco notiamo che da ogni ramo del cristallo partono altri rami che si ramificano a loro volta creando ramificazioni sempre più minute.

I matematici che studiano questo sistema di autosomiglianza usano il termine frattale per descrivere una forma geometrica che si ripete invariata nella sua struttura ma su scale diverse.

In natura possiamo osservare innumerevoli frattali: gli alberi che presentano un certo grado di autosomiglianza (il tronco si divide in rami, questi in ramoscelli e così via….;

Osserviamo le felci, o la conchiglia chiamata nautilus perligeo.

Mammano che cresce il nautilus perligeo aggiunge camere nuove più grandi alla sua conchiglia e chiude quelle più vecchie.ne risulta una spirale che è un frattale. Mentre la conchiglia si accresce, la sua forma rimane simile.

In natura questo tipo di spirale ricorre spesso, ad esempio nelle nuvole di un uragano, nelle conchiglie, nella disposizione delle stelle di una galassia, come nei semi del girasole.

La domanda che ci si pone: a che cosa è dovuta questa forma a spirale?

Nel caso del girasole dipende dall’angolo della nuova crescita dal resto della pianta. Questo angolo che abbiamo visto chiamarsi “angolo d’oro e che misure 137,5° ha trovato nel suo evolversi e ripetersi un modo per distribuire i semi in maniera compatta, non dissipativa. Ogni spazio è sfruttato al meglio, senza spreco e ogni formarsi di spirale oraria e antioraria, in un senso e nell’altro.

Se il girasole non seguisse l’angolo aureo ma un angolo diverso, ad esempio 140°, i semi risulterebbero disposti a raggiera e la loro disposizione non sarebbe ottimale. Questa è la successione di Fibonacci.

Il girasole ad esempio ha 34 spirali in un senso ( destroso ) e 55 nell’altro senso (sinistroso).

L’ananas ha 8 spirali in una direzione e 18 nella direzione contraria

La separazione delle squame da sinistra verso destra sono 8 mentre da destra verso sinistra sono 13

Oppure 13 e 21…..

Spire del broccolo, foglie dell’aloe

Nei fiori con crescita a spirale (rosa in primis) il numero di petali è un numero di Fibonacci.

La cresta del tunnel di un’onda perfetta

Cos’hanno di speciale questi numeri? Più aumenta il rapporto tra due coppie di numeri di Fibonacci e più si avvicina al numero esatto dell’angolo aureo.

5/3 = 1,66667 8/5 = 1,6 13/8 = 1,625 21/13 = 1,61538

Da tutto questo si evince che tutto è progettazione.

Avviciniamoci ora a conoscere l’articolazione delle nostre mani:

Metacarpo,falange, falangina, falangetta: rispettivamente 8-5-3-2 è sequenza di Fibonacci

Anche il nostro pugno è spirale armonica…..

Torino città magica, ricorda Fibonacci nella Mole….

Fibonacci e la musica Quando mi accinsi a studiare Fibonacci fui entusiasmato dalla facilità comprensiva con cui applicando la sua sequenza riuscivo a semplificare intuitivamente le dimostrazioni altrettanto semplici ma maggiormente laboriose di altri matematici quali Pitagora Euclide ecc,

prendiamo la musica ad esempio.

La chiave di Fa è spirale aurea

Pitagora nasce a Samo nelle isole greche del mar Egeo orientale, ma poi si trasferisce a Crotone in Calabria dove fonda una scuola di pensiero.

Si racconta che mentre passeggiava fu incuriosito dal suono emesso dal martello nel battere l’incudine. Entrò nella bottega del fabbro-ferraio e notò che alcuni suoni erano piacevoli mentre altri stridenti.

Come mai? Come mai certi suoni erano consonanti e altri dissonanti all’orecchio?

Chiese al fabbro se poteva fare alcuni esperimenti utilizzandone gli strumenti.

Prese allora due martelli di egual peso, li battè sull’incudine e notò che emettevano egual suono. Poi ne prese un altro di peso doppio del primo, e si accorse che la nota emessa era la medesima ma per così dire ad altezza diversa. Questa altezza diversa segna come una distanza. Tale distanza i musicisti la chiamano “ottava”, cioè due “Do” consecutivi ma su scale diverse.

Sarà perché da ragazzino ho studiato pianoforte e sarà perché mi innamorai del preludio di J.S. Bach conosciuto come “chiaro di Luna” che lo ripetei così tanto da impararlo a memoria, che oggi, a distanza di 40 anni lo ritrovo e lo risuono con ulteriore conoscenza e riconoscenza.

Ma Pitagora continuò a sperimentare e prese allora un martello che pesava una volta e mezza il primo (dunque il rapporto dei pesi erano 3 a 2) e udì che il suono emesso era diverso ma che l’intervallo era ancora riconoscibile come intervallo che i musicisti definiscono di quinta ( intervallo da “Do” a “Sol” è l’intervallo di quinta perché è sequenza di note consecutive).

Poi ancora prese due martelli i cui pesi erano in rapporto di 4 a 3 e che le note emesse erano ancora diverse e questo intervallo, che i musicisti definiscono di quarta, ( intervallo da “Do” a “Fa” è l’intervallo di quarta perché è sequenza di note consecutive).

Notiamo che finora abbiamo usato i numeri 1-2-3-4 dove:

- i primi due martelli avevano il rapporto di 2 a 1 (uno il doppio dell’altro o l’uno la metà dell’altro); - i secondi avevano un rapporto di 3 a 2 (uno era una volta e mezza dell’altro); - i terzi avevano un rapporto di 4 a 3 (uno era 1,33333…. una volta e qualcosina in più dell’altro).

Nella mente di Pitagora si delineò allora un pensiero. Se da un lato vi erano le “cose pratiche” ovvero il mondo dei martelli, dei pesi, delle incudini e più in generale delle cosiddette “arti minori o applicate”, dall’altro c’è il mondo delle “arti maggiori “. Musiké per i greci era tutto ciò che le Muse proteggevano e dunque la musica è regina, maestra delle arti maggiori perché tutte le racchiude.

Musica è musa madre di tutte le muse. Ma Musica non solo madre genitrice delle arti maggiori (cioè creative, soggettive, artistiche) ma anche genitrice delle arti minori (cioè pratiche, oggettive, artigianali).

Musica è sintesi, è convivenza, compresenza del maggiore e del minore, del soggettivo e dell’oggettivo. E la matematica, il numero era il ponte –dialogo, il ponte-comunicazione di questi mondi.

Ricordiamo che musica è numero. Dunque Numero ancor più in alto della musica, perché le note sono numero. La musica però si esprime col suono che è armonia di intervalli, di accordi, di unioni cioè ha voce mentre il numero, che ne è padre, no.

L'etimologia del termine musica si riconduce al greco antico: deriva, infatti, da μουσική (musikè) cui è sottinteso il termine tèchné. Musica significa, quindi, "arte delle muse" ed è rilevante l'importanza che gli antichi greci diedero a tale arte, arte delle arti, che dona all'uomo la possibilità di trasformare la semplice aria in qualcosa che trasporta gli animi ben oltre i sensi, capace di incantare innumerevoli generazioni fin dalla sua origine.

Pianoforte

I tasti del pianoforte sono 88, 52 di colore bianco e 36 di colore nero.

I tasti bianchi rappresentano le note: do, re, mi, fa, sol, la, si. I tasti neri, invece, individuano le alterazioni (note bemolli o diesis)

Osservando l’intervallo “Do-Do” della tastiera del pianoforte notiamo:

5 tasti neri e 8 tasti bianchi

La domanda è: ma perché proprio questa composizione? Perché l’alternarsi di neri e bianchi in modo apparentemente non regolare?

https://it.wikipedia.org/wiki/Nota_(musica)https://it.wikipedia.org/wiki/Bemollihttps://it.wikipedia.org/wiki/Diesis

Osserviamo anche la forma del martelletto, del tasto. Quelli neri sono uguali di forma rettangolare.

Quelli bianchi invece hanno 3 tipologie:

- bianco con risega a destra: - bianco con risega a sinistra; - bianco con doppia risega.

Da notare che la tastiera sfrutta tutto lo spazio, vi è una disposizione ad incastro, a maschio-femmina che nulla spreca. Notiamo i rapporti di incastro-segmento dei tasti bianchi sui neri. L’imporsi della forma intera dei neri sui bianchi che si adattano.

Soffermiamoci a fare alcune brevi considerazioni sulle misure dei tasti:

- tasto nero lungo 9 cm; - tasto bianco lungo 15 cm. - entrambi divisibili per 3 dunque il nero è 3/5 e il bianco è 5/5. - Anche gli scarti dei segmenti sono tra essi proporzioni riconducibili a 3 infatti abbiamo

rispettivamente partendo dal DO: a) Do: risega bianca 2/3: b) Re: risega bianca vicina al Do 1/3 e risega bianca vicina al Mi 1/3; c) Mi: risega bianca vicina a Re 2/3 e nessuna risega vicina al Fa; d) Fa: nessuna risega vicino al Mi e risega di 2/3 vicino a Sol; e) E cosi via …..

Ricordiamo la sequenza Fibonacci:

Potremo dire che c’è proporzione dimensionale tra bianco e nero, che vi è rapporto, relazione. Osserviamo ad esempio le altezze: la parte nera misura 2/3 mentre la parte inferiore bianca misura 1/3 e dunque sembrerebbe che l’unità fosse ripartita in terzi. Queste sono considerazioni visive.

Torniamo ai numeri e cominciamo a contare: tasti bianchi 8 e tasti neri 5

Dunque 8 bianchi + 5 neri = 13 tasti in totale

Ma che succede se li contiamo in sequenza? Cioè scalando in su e scendendo in giù e riposandoci in piano. Sono sempre 13 in totale ma sono stati battezzati con altro nome, come se uno stesso tasto avesse un nome e un cognome. Infatti il primo tasto nero si chiama 1-2 ….. il terzo 3-7

Adesso riassumiamo senza perdere nulla del precedente:

Ora 8: 13

Abbiamo creato delle coppie

Passiamo invece al suono emesso schiacciando i testi, martellando appunto.