“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la sezione Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello”

Johannes Kepler [1571-1630]

Considerato, cioè, un segmento AB, il segmento AC sarà sua Sezione Aurea se

AB AC

AC BC

Il primo incontro con la sezione aurea in genere avviene in geometria. La sezione aurea di un segmento AB è quella parte di tale segmento che sia media proporzionale tra tutto il segmento e la parte restante.

Ciò avviene, quindi, quando il rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga è uguale al rapporto tra la parte più lunga e la parte più corta.

Cerchiamo il valore di questo rapporto. Posto AB= l e AC= x potremo riscrivere la precedente relazione come:

2 22 2 2 2 4 5 1 5

02 2 2

l x l l l l ll lx x x lx l x l

x l x

Consideriamo il valore positivo:

Quindi risulterà:

5 1

2x l

5 10,618033...

2

x

l

A questo punto il rapporto cercato sarà:

2 5 12 5 1 5 11,618033...

5 1 25 1 5 1

l

x

Il numero trovato è, oltre a π, uno dei numeri celebri della matematica; esso viene rappresentato con la lettera φ dell’alfabeto greco dall’

iniziale di Fidia (vedremo in seguito perché ) ,il grande scultore sotto la

cui direzione fu costruito il Partenone di Atene. Tale numero va anche sotto il nome di Costante di Fidia, numero aureo, proporzione

divina. Ma che cosa ha di così importante

questo numero per meritarsi l’aggettivo “AUREO” o

l’’ appellativo di “DIVINO”? Lo scopriremo attraverso

le sue proprietà.

φ

Restando nell’ambito geometrico si può ricavare immediatamente che “ ogni segmento è sezione

aurea della sua somma con la sua sezione aurea.”

E ancora “ tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è sezione aurea delle sezioni auree

del segmento”

E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione e per addizione..

l x l

l x

x l x

l x x l x

A partire da un segmento si può costruire la sua sezione aurea; ad esempio nel seguente modo: sia L la lunghezza del segmento AB. Si consideri il segmento OB perpendicolare adAB tale che OB=L/2. Con centro in O si descriva la circonferenza di raggio L/2.Tracciata la retta OA siano D ed E le interdizioni di tale retta con la circonferenza.Infine con centro in A si descriva la circonferenza di raggio AD e sia C la suainterdizione con il segmento AB. AC è sezione aurea di AB. Infatti, per il teorema della tangente e della secante risulta: AE : AB = AB : AD da cui, applicando la proprietà dello scomporre risulta: (AE-AB):AB=(AB-AD):AD ma poiché DE=AB risulta AE- A B= AD=AC ed inoltre AB-AD=AB-AC=BC. Quindi la precedente proporzione diventa AC:AB=BC:AC o anche, invertendo AB:AC=AC:BC che è proprio ciò che si voleva dimostrare.

Ma scopriamo insieme altre curiosità su questo numero “magico”.

Intanto φ è l’ unico numero positivo per cui risulti:

2

11

1

1

2Curioso, inoltre, è che, e mantengono le medesime

cifre decimali.

E ancora:

1 1 1 ...

può essere espresso come frazione continua:11

11

11

11...

Il rettangolo aureo

Si definisce rettangolo aureo un rettangolo i cui lati a e b siano in proporzione aurea. a

b

Se da questo rettangolo si elimina il quadrato di lato b, si ottiene un rettangolo che è ancora rettangolo aureo. Infatti b è sezione aurea di a cioè ma anche cioè

a b

b a b

a

b

b

a b

Iterando questa costruzione si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli e, tracciando un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si ottiene una linea che si avvolge su se stessa infinite volte che si chiama “Spirale Logaritmica”

Se si prendono tre rettangoli aurei uguali (giacenti su piani due a due ortogonali con i centri coincidenti) e si incastrano, unendo i vertici si otterrà un icosaedro (poliedro regolare con 20 facce triangolari) mentre i centri delle facce di un dodecaedro ( 12 facce pentagonali ) sono i vertici dei tre rettangoli aurei incentrati.

Già secondo molti artisti greci dell’antichità e, molto più tardi, artisti italiani del Rinascimento, il rettangolo aureo è quello che più appaga il nostro senso estetico.

Nella STELE del RE GET, reperto risalente a 5000 anni fa proveniente da ABIDO (antica capitale egizia del periodo predinastico) ed esposta oggi al Louvre, si osserva al centro un rettangolo nella cui parte più bassa il quadrato costruito sul lato più corto contiene la città, mentre nel rimanente rettangolo (ancora aureo) è riportato il serpente, simbolo del re.

Veri cultori della sezione aurea furono gli antichi greci ai quali si deve la denominazione di “aurea”.Nel Partenone di Atene tutto è progettato attorno al rettangolo aureo.

Ma un vero trionfo della sezione aurea si ebbe nel RINASCIMENTO, quando rappresentò per tutti gli artisti un canone di bellezza cui ispirare ogni composizione artistica dall’’architettura, alla scultura e alla pittura, e guida per riprodurre il corpo umano (proporzione ideale tra le parti del corpo).

Contribuì a tale concezione l’opera del matematico LUCA PACIOLI (1445-1514) dal titolo “DE DIVINA PROPORTIONE” , incentrata sulla proporzione come chiave universale per penetrare i segreti della bellezza, ma anche della natura al cui centro è collocato l’uomo, misura di ogni cosa,

Luca Pacioli

sospeso tra un quadrato ed un cerchio nell’“UOMO VITRUVIANO”, celebre disegno di LEONARDO, amico di PACIOLI e autore dei disegni che illustrano il suo libro.La sezione aurea continua ad essere utilizzata ; architetti come LE CORBUSIER ed in Italia TERRAGNI, l’’ hanno usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti. Altre applicazioni si ritrovano nel design e studi recenti mostrano che continua a giocare un ruolo importante nella nostra percezione di bellezza. Così, inevitabilmente, anche la chirurgia estetica si è fatta affascinare da φ : quanto più il rapporto tra le distanze.

del centro della bocca dalla punta del mento e dalle narici si avvicina ad essere 1,618 tanto più il viso sarà bello. Ma provate a misurare la vostra altezza e l ’altezza del vostro ombelico:quanto più il rapporto tra queste due misure è prossimo a φ tanto più le proporzioni del vostro corpo corrispondono ai canoni classici della bellezza greca.

Difficile e rischioso accettare che la bellezza si possa misurare e sono molti oggi a non essere d’accordo,tanto più ricordando che tale teoria fu ripresa e manipolata per valutare il grado di perfezione della razza ariana rispetto alle altre in uno dei periodi più bui che il genere umano abbia mai vissuto. Ma il matematico o , più in generale lo scienziato, non può, almeno in questo caso, farsi garante del fatto che le sue scoperte non vengano messe al servizio di cause abominevoli e tale teoria riesce a conservare il suo fascino a patto che si accetti che altri numeri ed altri rapporti possano avere in natura la stessa importanza e condurre incontestabilmente a espressioni artistiche altrettanto gradevoli.

Il pentagono stellato Figura cara ai pitagorici che l’avevano

assunta a simbolo della loro scuola è il cosiddetto pentagono stellato o pentagramma. Il pentagramma è la figura formata dalle diagonali del pentagono regolare. Esse, intersecandosi, determinano un nuovo pentagono

regolare, più piccolo, le cui diagonali formano a loro volta un nuovo pentagramma, e così via all’infinito. In tale successione il lato di ogni pentagono regolare è uguale alla sezione aurea della diagonale, ossia del lato del pentagramma.

Il matematico pisano Leonardo Fibonacci

in un suo libro intitolato “Liber abaci” (prima

edizione 1202) pone il seguente problema:

Supponiamo che una coppia di conigli

impieghi un

Numeri di Fibonacci

mese per diventare adulta ed un secondo mese per procreare un’altra coppia. Se all’inizio della generazione abbiamo una sola coppia, quante coppie avremo dopo un anno?

MESI NUMERO COPPIE NUMERO COPPIE CHE TOTALE ADULTI NON PROCREANO COPPIEGENNAIO 1 0 1FEBBRAIO 1 1 2MARZO 2 1 3APRILE 3 2 5MAGGIO 5 3 8GIUGNO 8 5 13LUGLIO 13 8 21 AGOSTO 21 13 34SETTEMBRE 34 21 55OTTOBRE 55 34 89NOVEMBRE 89 55 144DICEMBRE 144 89 233

Cerchiamo di risolvere il problema attraverso una tabella.

1 2 3, , ... ...nf f f f

1 1n n nf f f con 0

1

1

1

f

f

prolungandole all’ infinito potremo scrivere :

Fissiamo l’attenzione sulla successione di numeri della prima colonna:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

detti anche numeri di Fibonacci. Osserviamo subito che ogni termine, dal terzo in poi, si ottiene sommando i due

precedenti; cioè se indichiamo la successione con:

Cioè si considerino i rapporti tra ciascun termine e il precedente: essi al crescere di n tendono ad assumere

un valore prossimo a . Per avere un’idea:

Ma cosa hanno a che fare i conigli di Fibonacci con la divina proporzione? Ebbene si può dimostrare che costruite con i numeri di Fibonacci la successione:

1nn

n

fa

f risulta

che:

lim nn

a

11

1

22

1

31,5

2

51,6

3

81,6

5

131,625

8

211,615384...

13

341,619047...

21 55

1,617470...34

891,618181...

55 144

1,617977...89

233

1,618055...144

I numeri di Fibonacci, la musica e la natura

Anche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo. Fortemente sperimentali o meno che siano è bene sottolineare che i primi studi sull’ applicazione della sezione aurea alle strutture formali della musica , risalgono alla metà del XX secolo e infatti proprio del 1950 un articolo di J.H. Douglas Webster che, citando un gran numero di partiture nelle quali possono essere riscontrate proporzioni auree, apre ufficialmente la strada a questo affascinante settore dell’analisi della musicologia. La successione individuata da Fibonacci può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica: durata temporale, numero di note, numero di battute…

A ciò si sono ispirati compositori come Bartòk e Debussy, ed anche la musica rock, in special modo il rock progressivo si è confrontato con la relazione esistente tra la musica e la matematica soprattutto per ciò che riguarda gli aspetti mistico esoterici della sezione aurea.

Bartòk Debussy

L’esempio più emblematico riguarda la musica dei GENESIS (gruppo rock inglese) i quali hanno usato assiduamente la serie fibonacciana. In particolare nel loro album: “Selling England by the pound”(1973) strutture matematiche

riscontrabili in alcuni brani fanno capo ad architetture auree progettate fin nei minimi particolari. Nel brano “Firth of fifth” l’analisi della struttura formale evidenzia alcuni aspetti assai originali: il numero delle battute è riconducibile (con qualche approssimazione) alla serie di Fibonacci, come le durate temporali o il numero delle note che in qualche assolo è 144.

Ma la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci riservano altre sorprese: essi si insinuano persino nei regni della natura! Come il numero l e π, φ è uno di quei misteriosi numeri che sembrano essere alla base della struttura del cosmo.

Uno dei classici esempi è il nautilus, un mollusco dei mari tropicali considerato un fossile vivente essendo la sua specie antichissima; la sua conchiglia sezionata è un’aspirale aurea.

Se si guarda con attenzione il capolino di un girasole o di una margherita, si nota che i semi sono disoposti secondo spirali logaritmiche che partono dal centro in due direzioni opposte e se si contano le spirali in senso orario e quelle in senso antiorario si trovano numeri della serie di Fibonacci (55 e 34 spirali e 34 e 21 o ancora 21 e 13).

Ma la presenza di tali numeri si può ritrovare anche nelle spirali di pigne, ananas, carciofi e moltissimi altri vegetali.

Se si osserva la disposizione delle foglie lungo un ramo, a partire da quella più bassa, si può tracciare una linea elicoidale che passi per i punti di intersezionedelle foglie; il numero delle foglie ed il numero delle spire appartengono ad una successionedi Fibonacci.

Ma anche molte galassie hanno la forma di spirali logaritmiche.

Perché accade questo? A quali misteriose leggi obbedisce la natura? Aldilà di ogni possibile interpretazione mistico esoterica della sezione aurea, aldilà di ogni concezione basata esclusivamente su tale rapporto, compito dello scienziato è quello di porsi domande come queste e cercare di dare loro una risposta. Per tutto il resto ci sono i Dan Brown.

Hanno partecipato:

4°E 2006-2007:

Aristeo MonicaD’Amario AlessandroDi Genova LorenzaDi Paolantonio SaraGaliffa GiampaoloMarcacci GiannaMucciconi DuilioOrsini GiorgiaScopolino Pierluigi

3°E 2006-2007:

Ambrosj Alessio

Carletti Giulia

Corinti DavideD’ Amario FrancescoDavide RenatoDella Loggia BenedettaDi Benedetto AmedeaDi Emidio IlariaDi Giacinto AttilioDi Giuseppe GiuliaDi Marcello GiuseppinaDi Pasquale LorenzoForlini MartaNapolitano AlessiaPecorale Sara Pedalino GioelePreziuso RaffaellaSbraccia Francesco