Sezione aurea

DOL - Classe F4 – Maurizio Di Gangi

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S.A. è ripartizione di un segmento in 2 parti che stanno tra loro come la maggiore sta al segmento intero

Euclide, Elementi, libro II

Sezione aurea: definizioni

l : a = a : b

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Ponendo l = 1, a = x

Sezione aurea: definizioni

1 : x = x : (1 – x)

x2 + x – 1 = 0

x = (5 – 1) / 2

x = 0,6180339… (numero d’oro, coeff. aureo)

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Sezione aurea

Costruzione geometrica

dato un segmento

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In un R.A., un lato è la S.A. dell’altro lato

Dividendo un R.A. in 2 parti, di cui una sia un quadrato, l’altra sarà un nuovo R.A.

Rettangolo aureo

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Atene, Partenone

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Mondrian, Sezione aurea

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Esempi di rettangolo aureo

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Si parte da un R.A. Si originano nuovi R.A. inscritti Si inscrive arco di circonferenza nei quadrati

La curva si avvolge intorno al polo senza mai raggiungerlo

Spirale logaritmica

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Esempi di spirale logaritmica

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Esempi di spirale logaritmica

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Un pentagono regolare genera iterativamente una stella a 5 punte, simbolo per eccellenza della proporzione aurea

Numerosi rapporti aurei

Pentagono regolare

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Generazione iterativa

Stella a 5 punte (pentagramma)

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Pentagrammi iterativi

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Pentagrammi iterativi

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L’esempio dello Stradivari

Un violino Stradivari è contenibile entro 4 pentagoni regolari i cui lati fungono da tangenti, determinando una linea estremamente armoniosa

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Serie di Fibonacci

1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144.233.377…

Leonardo Fibonacci, Liber Abbaci (1202)

Proprietà interessanti: Ogni numero è la somma dei 2 numeri precedenti

Tre numeri consecutivi a caso sono “approssimativamente” ottimi valori per realizzare segmenti in proporzione aurea

Es.: 144 : 89 = 89 : 55 con approssimazione sempre <= 1