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La sezione aurea L'interesse per l'argomento nasce dalla sua applicazione e connessione con l'analisi di fenomeni del mondo reale circostante; il che implica l'interazione dello studio della matematica con altre discipline coinvolte: scienze, storia dell'arte, educazione fisica, musica etc. Tanto, in linea, anche,con le ultime indicazioni nazionali relative alla riforma concernenti il profilo generale e le competenze del liceo scientifico secondo le quali:” Lo studente dovrà acquisire una consapevolezza critica dei rapporti tra lo sviluppo del pensiero matematico e il contesto storico, filosofico, scientifico e tecnologico. “ Si ritiene che l'argomento sulla sezione aurea sia un ottimo strumento per l'interpretazione del reale e non costituisca un bagaglio astratto di nozioni. Si rende necessaria una modifica dell’approccio metodologico perchè l'argomente deve intersecare tutti gli assi culturali. Livello scolare: 1° biennio Livello scolare: 1° biennio Livello scolare: 1° biennio Livello scolare: 1° biennio L'unità didattica va inserita all'interno del percorso formativo progettato per una seconda classe del liceo scientifico all'interno del modulo relativo alla similitudine. La collocazione temporale deve tener conto dell'interazione di questo argomento con le altre discipline. abilità abilità abilità abilità competenze competenze competenze competenze Collegamenti esterni Collegamenti esterni Collegamenti esterni Collegamenti esterni Saper costruire la sezione aurea di un segmento Saper costruire rettangoli i cui lati hanno per rapporto il numero aureo Mettere in relazione le conoscenze che hanno origini in più discipline. Individuare e rappresentare, elaborando argomentazioni coerenti, collegamenti e relazioni tra fenomeni, eventi e concetti diversi, anche appartenenti a diversi ambiti disciplinari, e lontani nello spazio e nel tempo, cogliendone la natura sistemica, individuando analogie e differenze. Saper costruire figure rispettando regole assegnate. Saper rappresentare “regole” presenti in natura o in opere costruite dall’uomo Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura, Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura, Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura, Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura, scultura, architettura, musica, letteratura, botanica, scultura, architettura, musica, letteratura, botanica, scultura, architettura, musica, letteratura, botanica, scultura, architettura, musica, letteratura, botanica, corpo umano e intorno a noi corpo umano e intorno a noi corpo umano e intorno a noi corpo umano e intorno a noi Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica. forma grafica. forma grafica. forma grafica. Confrontare e analizzare figure geometriche, Confrontare e analizzare figure geometriche, Confrontare e analizzare figure geometriche, Confrontare e analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni. individuando invarianti e relazioni. individuando invarianti e relazioni. individuando invarianti e relazioni. Individuare le strategie appropriate per la soluzione Individuare le strategie appropriate per la soluzione Individuare le strategie appropriate per la soluzione Individuare le strategie appropriate per la soluzione dei problemi. dei problemi. dei problemi. dei problemi. Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico. applicazioni specifiche di tipo informatico. applicazioni specifiche di tipo informatico. applicazioni specifiche di tipo informatico. Scienze arte educazione fisica storia
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La sezione aurea
L'interesse per l'argomento nasce dalla sua applicazione e connessione con l'analisi di fenomeni del mondo reale circostante; il che implica l'interazione dello studio della matematica con altre
discipline coinvolte: scienze, storia dell'arte, educazione fisica, musica etc.
Tanto, in linea, anche,con le ultime indicazioni nazionali relative alla riforma concernenti il profilo generale e le competenze del liceo scientifico secondo le quali:” Lo studente dovrà acquisire una
consapevolezza critica dei rapporti tra lo sviluppo del pensiero matematico e il contesto storico, filosofico, scientifico e tecnologico. “
Si ritiene che l'argomento sulla sezione aurea sia un ottimo strumento per l'interpretazione del reale e non costituisca un bagaglio astratto di nozioni. Si rende necessaria una modifica dell’approccio
metodologico perchè l'argomente deve intersecare tutti gli assi culturali.
Livello scolare: 1° biennioLivello scolare: 1° biennioLivello scolare: 1° biennioLivello scolare: 1° biennio
L'unità didattica va inserita all'interno del percorso formativo progettato per una seconda classe del liceo scientifico all'interno del modulo relativo alla similitudine. La collocazione temporale deve
tener conto dell'interazione di questo argomento con le altre discipline.
abilitàabilitàabilitàabilità competenzecompetenzecompetenzecompetenze Collegamenti esterniCollegamenti esterniCollegamenti esterniCollegamenti esterni
Saper costruire la sezione aurea di un segmento
Saper costruire rettangoli i cui lati hanno per rapporto il numero aureo
Mettere in relazione le conoscenze che hanno origini in più discipline.
Individuare e rappresentare, elaborando argomentazioni coerenti, collegamenti e
relazioni tra fenomeni, eventi e concetti diversi, anche appartenenti a diversi ambiti
disciplinari, e lontani nello spazio e nel tempo, cogliendone la natura sistemica,
individuando analogie e differenze.
Saper costruire figure rispettando regole assegnate.
Saper rappresentare “regole” presenti in natura o in opere costruite dall’uomo
Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura,Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura,Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura,Ricercare il numero d’oro nella natura, in arte, pittura,
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ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio diragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio diragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio diragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di
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gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte dagli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte dagli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte dagli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da
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Scienze
arte
educazione fisica
storia
LA SEZIONE AUREASi dice sezione aurea di un segmento quella
parte del segmento che è media proporzionale
tra l'intero segmento e la parte rimanente.
Si chiama rapporto aureo o numero d'oro e lo si
indica con φ il rapporto tra un segmento e la
sua sezione aurea
Note storiche
Il grande scultore greco Fidia si servì spesso della sezione aurea nella realizzazione delle sue sculture: per questo il rapporto aureo è stato chiamato φ, dall'iniziale del suo nome.
I pitagorici scelsero come simbolo la stella a 5 punte perchè alcuni segmenti che in esso figurano sono la sezione aurea degli altri.
La presenza del numero d’oro φ=1,618…… è stata considerata fin dall’antichità come
caratteristica di armonia. Per questo il numero aureo è stato utilizzato nell’arte,
nell’architettura, nella musica ed è stato ricercato nei fenomeni naturali.
Vediamo come si costruisce la sezione aurea di un segmento
Sia a la misura di un segmento: la misura x della sua sezione aurea
si può ricavare dalla proporzione
a:x=x:(a-x) da cui
che risolta si ha x= , esclusa la soluzione negativa, si ha che la misura
della parte aurea di un segmento di misura a è :
Si chiama rapporto aureo, e lo si indica con φ, il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea.Per un segmento di misura a, si ottiene
Φ= = 1,61803.....a
5−1
2⋅a
x2a⋅x−a
2=0
−a±a⋅5
2
5−1
2⋅a
Ripetendo più volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati,
ognuno dei quali ha il lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo.
Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza si ottiene una curva
detta spirale logaritmica.
Tale curva si ritrova in natura,ad esempio nella conchiglia del Nautilus
Nella struttura della conchiglia del nautilus, un mollusco
che popola da miliardi di anni le profondità
degli oceani, si può riconoscere la presenza della sezione aurea.
RAPPORTO AUREO IN NATURA
Il rapporto aureo definisce anche la disposizione degli elementi di una pigna,l'infiorescenza delle piante,margherite,girasoli.
Esso interviene anche nella disposizione delle foglie sui rami e, secondo gli studi di Leonardo anche nel proporzionamento delle varie membra dell'uomo
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Nel PARTENONE DI ATENE (438 a.C. si può rintracciare il rettangolo aureo in diversi elementi architettonici
Dall'esame metrico-dimensionale si è scoperto che la larghezza della parte frontale è circa uguale a 1,618 volte l'altezza complessiva;
Anche in molti dipinti di Leonardo da Vinci (1452-1519), come il San Girolamo e la Vergine delle Rocce, sono rintracciabili elementi riconducibili al rettangolo aureo.
Il rapporto aureo nelle figure geometrichevi sono alcune figure geometriche in cui si incontrano segmenti il cui rapporto è il numero φ
● Triangolo aureo
È detto triangolo aureo ogni triangolo isoscele i cui angoli alla base hanno ampiezza doppia dell'angolo al vertice.Ciò avviene quando l'angolo al vertice è di 36° e gli angoli alla base di 72°.
Se tracciamo la bisettrice dell'angolo in A, che incontra il lato opposto in D, il triangolo ABC resta diviso in due triangoli, i cui angoli di vertice A hanno ampiezza 36°.
Dalla similitudine dei triangoli ACD e ABC si ha la proporzione BC:AC=AC:DC
Per la congruenza di AC, AD, e BD si conclude che in un triangolo aureo la base è sezione aurea del lato o anche il rapporto tra il lato e la base di un triangolo aureo è il rapporto aureo φ
Decagono regolareConsideriamo un decagono regolare e congiungiamo il centro della circonferenza a esso circoscritta con i suoi vertici. Il decagono viene così suddiviso in 10 triangoli isosceli tra loro congruenti, ciascuno dei quali ha il vertice in O. l'ampiezza di ciascuno di essi è 36°; pertanto l'ampiezza dei loro angoli alla base è 72° e perciò tali triangoli sono triangoli aurei. La base di ciascuno di essi che è un lato del decagono è dunque sezione aurea del lato, che è anche raggio della circonferenza circoscritta.
Possiamo concludere che il lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza a esso circoscritta o anche che il rapporto tra il raggio della circonferenza circoscritta a un decagono regolare e il suo lato è il rapporto aureo φ
