LA SEZIONE AUREA La sezione aurea è la parte di segmento che è media proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente. Se consideriamo quindi un segmento e prendiamo due parti di questo,

la partizione sarà una partizione aurea quando 𝑥

1 =

1

𝑥−1.

Questa uguaglianza, ci porta alla seguente equazione di secondo grado: 𝑥2-x-1=0, che ha due soluzioni.

La soluzione che ci interessa è quella positiva, ovvero x= 𝑥+√5

2.

Questa è appunto la relazione che cerchiamo e che indichiamo con la lettera Φ.

Inizialmente, in realtà, per indicare il numero aureo si usava la lettera greca tau τ, ma all’inizio del ‘900 un matematico americano introdusse l’uso della lettera Φ in onore allo scultore e architetto Fidia, il quale avrebbe consciamente utilizzato tale particolare proporzione nelle sue opere.

PROPRIETA’ ELEMENTARI DEL NUMERO AUREO Il numero aureo possiede alcune proprietà particolari, eccone alcune:

. 𝛷2 = 𝛷 + 1, infatti Φ è soluzione dell’equazione 𝑥2-x-1=0, da cui 𝛷2 − 𝛷 − 1 =0 e da qui

𝛷2 = 𝛷 + 1.

. 1

𝛷 = Φ-1,

1

𝛷=Φ-1.

. Qualsiasi potenza di Φ è sempre uguale alla somma delle due potenze precedenti. A

partire, infatti, dall’equazione 𝛷2 = 𝛷 + 1, moltiplicando due membri per Φ si ottiene 𝛷3 =𝛷2 + 𝛷 , 𝛷4 = 𝛷3 + 𝛷2, etc… Inoltre, per ottenere per ottenere una qualsiasi potenza di basta moltiplicare lo stesso numero aureo per un numero che sia la somma dei coefficienti delle potenze precedenti e sommarvi un numero che è il coefficiente della potenza precedente. 𝛷3 = 𝛷2 + 𝛷 = Φ+1+Φ=2Φ+1

𝛷4 = 𝛷3 + 𝛷2= 2Φ+1+Φ+1=3Φ+2

𝛷5 = 𝛷4 + 𝛷3= 3Φ+2+2Φ+1=5Φ+3 … LA SEQUENZA DI FIBONACCI Leonardo Pisano, detto Fibonacci è noto soprattutto per la sequenza di numeri da lui individuata e conosciuta, detta sequenza di Fibonacci. Nella sequenza di Fibonacci, ciascun termine a partire dal numero 1, è uguale alla somma dei due numeri precedenti: quindi 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 e così via. Inoltre il rapporto tra un qualsiasi numero nella successione e il suo precedente tende a φ.

Operando con i numeri della successione di Fibonacci, si possono individuare alcune relazioni numeriche sorprendenti.

Per esempio, se scegliamo dieci termini consecutivi qualsiasi all’interno della successione e li sommiamo otteniamo sempre un multiplo di 11. Inoltre, questa somma è esattamente 11 volte il termine che occupa la settima posizione degli addendi. 1+1+2+3+5+8+11+13+21+34+55=143=11x13

Oppure, la somma di un qualsiasi numero n di termini della successione a partire dal primo, è uguale al termine che occupa la posizione n+2 dopo averne sottratto un’unità. Per esempio, se si considera la somma dei primi dieci numeri della sequenza, 1+1+2+3+5+8+11+13+21+34+55=143, 143 è uguale al termine situato al dodicesimo posto, 144, 𝑚𝑒𝑛𝑜 1.

O ancora, se si scelgono quattro numeri consecutivi della sequenza di Fibonacci, ad esempio 2,3,5,8 e con questi si formano tre numeri: 16 che è dato dal prodotto dei due estremi, 30 che equivale al doppio del prodotto dei due centrali e 34 che corrisponde alla somma dei quadrati dei due centrali, si può dimostrare che questi tre numeri formino una terna pitagorica. Infatti 162=256 302=900 342=1156 e 256+900=1156

Infine, se si somma un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, come i tre prodotti 1x1, 1x2, 2x3, si ottiene il quadrato dell’ultimo numero di Fibonacci dei prodotti in questione. Infatti 1+2+6=9 che è il quadrato dell’ultimo numero di Fibonacci che compare nei prodotti. Questa proprietà può essere rappresentata in modo geometrico: un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrato il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande. 1x1+1x2+2x3+3x5+5x8+8x13+13x21=441 441=21

IL RETTANGOLO AUREO

Un rettangolo si dice aureo quando la relazione tra i suoi lati è Φ. Per costruire un rettangolo aureo si parte considerando un quadrato ADEF. Si individua il punto medio A’ di uno dei suoi lati DF e, preso come centro A’ e come raggio la distanza A’E, si traccia un arco che intersechi il prolungamento di AB. Detto C il punto di intersezione, la lunghezza DC rappresenta la lunghezza del lato del rettangolo aureo che si stava cercando. Se si suppone infatti che AD=DF=1, AE=DA’+A’C=1/2+A’C, dove A’C=A’E, che essendo l’ipotenusa del triangolo rettangolo A’FE, per il teorema di Pitagora si ha che A’E=

√1/22 + 12 =√5

2. E per tanto, AE=

√5

2+

1

2=

1+√5

2=Φ.

I rettangoli aurei li troviamo ovunque, nel portafoglio ad esempio si accumulano carte di credito, tessere di vario tipo, abbonamenti, documenti di identificazione che, nella maggior parte dei casi, rispettano le proporzioni auree. Un trucco per verificare se due rettangoli sono aurei è quello di collocarli uno vicino all’altro, il primo in orizzontale e il secondo in verticale, con i rispettivi lati a contatto. Uniamo quindi i due vertici A ed F con una retta, se la linea passa esattamente per il vertice C, si tratta di due rettangoli aurei.

Se sottraiamo un quadrato da un rettangolo aureo, si ottiene un rettangolo che è a sua volta aureo. Se si tracciano le diagonali di questi due rettangoli, esse si intersecano sempre con un angolo retto. A questo punto, se si ricavano altri rettangoli aurei attraverso successive sottrazioni di quadrati, si può notare che tutte si situano sulle due diagonali precedentemente tracciate e quindi saranno sempre perpendicolari e il loro punto di intersezione sarà sempre lo stesso. Tale punto, per le qualità straordinarie di questi rettangoli, ha nome di “occhio di Dio”.

LE SPIRALI E IL NUMERO AUREO

Partendo da un rettangolo aureo e poi sottraendo dal rettangolo un quadrato, si ottiene un altro rettangolo aureo e se poi da questo rettangolo si sottrae un altro quadrato si ottiene ancora un rettangolo aureo e così via. Congiungendo con una linea curva i vertici dei vari quadrati, si ottiene una spirale aurea detta anche logaritmica. La proprietà principale di questa spirale è il fatto che si trovi solo in questa particolare curva e infatti crescendo non cambia mai forma. Questa curva, inoltre, si può osservare facilmente in natura, dalla forma dei bracci delle galassie e degli uragani a quella della conchiglia del nautilus.

IL NUMERO AUREO E IL PENTAGONO

La proporzione aurea è definita anche come il rapporto che lega la diagonale e il lato del pentagono regolare. Si considera dunque un pentagono regolare su cui sono state tracciate le diagonali e si considera il triangolo isoscele ABC. Tracciamo le bisettrici dell’angolo c^, e otteniamo così il triangolo EBC, simile al triangolo di partenza. Si può quindi scrivere che AB/BC=BC/EB. Posto BC=1, si ha che EC=BC=EA=1 e che quindi EB=AB-1. Sostituendo si ottiene quindi

che AB/1=1/AB-1, AB2-AB-1=0 e quindi AB= 1+√5

2=Φ.

All’interno del pentagono regolare possiamo trovare però numerosi altri rapporti aurei. Se si considerano il pentagono e i triangoli che si creano tracciando le diagonali, si può notare che ci sono solo tre diversi angoli: 36,72 e 108 gradi. Inoltre, sebbene appaiano molti triangoli isosceli, sono tutti di tre diverse tipologie: i triangoli ABE, AGE, GCE. A questo punto, applichiamo a ciascuno di questi tre triangoli il teorema del seno, che afferma che in un triangolo il quoziente fra la lunghezza di un lato e del seno del suo angolo opposto è costante.

1 nel triangolo ABE, ponendo quindi AB=a

e AE=BE=b, si ottiene 𝑎

𝑠𝑖𝑚 108=

𝑏

𝑠𝑖𝑚 36,

ovvero 𝑎

𝑏=

𝑠𝑖𝑚 108

𝑠𝑖𝑚 36≃ 𝛷

2 nel triangolo AGE, ponendo AE=b e

AG=GE=c, si ottiene 𝑏

𝑠𝑖𝑚 108=

𝑐

𝑠𝑖𝑚 36,

ovvero 𝑏

𝑐=

𝑠𝑖𝑚 108

𝑠𝑖𝑚 36≃ 𝛷

3 nel triangolo GEC, infine, ponendo GC=d

e GE=CE=c, si ottiene 𝑐

𝑠𝑖𝑚 72 =

𝑑

𝑠𝑖𝑚 36,

ovvero 𝑐

𝑑=

𝑠𝑖𝑚 72

𝑠𝑖𝑚 36=

𝑠𝑖𝑚 108

𝑠𝑖𝑚 36≃ 𝛷

Collegando le diagonali otteniamo infine una stella che ha al suo interno un pentagono con le stesse caratteristiche del primo, quindi un altro pentagono aureo regolare. Questo procedimento prosegue all’infinito.

LA SEZIONE AUREA IN NATURA

Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono a occupare posizioni che rendono massima l’esposizione al sole, all’aria e alla pioggia. Perciò un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari. La successione delle foglie e dei rami ha una componente rotatoria, che a mano a mano che procede verso l’alto traccia intorno al fusto un’elica immaginaria. Schemi simili sono formati anche dalle squame delle pigne e dai semi di girasole. Questo fenomeno ha il nome scientifico di fillotassi, dal greco disposizione delle foglie.

L’ananas è un magnifico esempio di fillotassi basata sui numeri di Fibonacci. Ognuna delle squame esagonali che rivestono il frutto appartiene a tre diverse spirali. La maggior parte degli ananas presentano sulla superficie 5, 8, 13 o 21 spirali via via sempre più ripide di squame. E tuti questi numeri di spirali sono numeri di Fibonacci.

Anche in un girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza, l’insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano. Il numero di spirali dipende dalle dimensioni del girasole. Nel caso più comune ci sono 34 spirali avvolte in un senso e 55 avvolte nel senso opposto. Sono stati anche però osservati girasoli con 89 spirali in un senso e 55 nell’altro e addirittura di 144 e 89 e 233 e 144.

La comparsa di numeri di Fibonacci consecutivi è stata notata poi nelle disposizioni a spirale delle squame delle pigne d’abete o nel cavolo romano. Anche la corolla della rosa è collegata al rapporto aureo e la maggior parte delle margherite di campo hanno 13, 21 o 34 petali, che riflettono il numero di spirali in ogni famiglia.

In natura il rapporto aureo è inoltre riscontrabile in molte dimensioni del corpo umano, o di altri animali. Per esempio, il koala, il delfino o il pinguino.

LA SEZIONE AUREA IN ARTE

Rapporti aurei si possono rintracciare già in diversi monumenti antichi, dalle piramidi egizie, ai tempi greci, agli archi di trionfo romani; ma anche in costruzioni relativamente più recenti, come le cattedrali gotiche del Medioevo. Non esistono, però, documentazioni attendibili in merito ai criteri adottati dagli autori di tali opere antiche. Si suppone quindi che il ricorso alla costante aurea sia dovuto ad un richiamo istintivo e non ad una scelta voluta. Inoltre gli psicologi hanno dimostrato che la percezione umana mostra una spontanea preferenza verso le figure geometriche le cui proporzioni sono in rapporto aureo.

Luca Pacioli, vissuto in Italia tra il XV e il XVI secolo, fu, insieme a Leonardo, il maggior responsabile dell’ingresso del numero aureo nell’arte. La sua opera più celebre, il De divina proportione, in cui sono raccolti i famosi disegni di sessanta poliedri realizzati da Leonardo, fissò infatti le proporzioni che bisogna seguire per raggiungere la bellezza perfetta, esposte in forma di riflessioni sulla geometria.

Lo stesso Leonardo, poi, applicò le conoscenze scientifiche sulle proporzioni umane agli studi di Pacioli e Vitruvio riguardo alla bellezza. Nell’uomo Vitruviano, ad esempio, la ragione tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio è aurea. Anche l’Ultima cena si basa su varie figure auree, in particolare il rettangolo, che definisce le dimensioni del tavolo o la disposizione nello spazio di Cristo e dei discepoli. La Gioconda, allo stesso modo, si articola in una successione di rettangoli aurei.

Altre opere rinascimentali in cui si incontrano rapporti aurei sono ad esempio il Tondo Doni, la Flagellazione o La nascita di Venere e varie opere architettoniche, quali San Miniato al Monte.

Esempi di opere d’arte pittoriche o architettoniche più recenti sono invece…

Casa del fascio, Terragni Piet Mondrian

ANTONIO SANT'ELIA

La sezione aurea non solo infine, è presente in arte, ma anche nel design: lo testimoniano rubinetti, caffettiere, bottiglie, o ancora automobili e loghi.

LA SEZIONE AUREA E I MONDIALI DI CALCIO 2018

Nel De Divina Proportione Pacioli tratta dei poliedri regolari e di altri poliedri che da essi possono essere derivati. La storia della conoscenza dei poliedri era iniziata molto prima: infatti già nel Timeo Platone li descrive come i più begli oggetti dell’universo, simboli stessi della bellezza.

I poliedri regolari, ovvero i poligoni in cui tutte le facce sono poligoni regolari uguali e in cui su ogni vertice insiste sempre lo stesso numero di spigoli, sono cinque: il cubo, il tetraedro, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro, detti poliedri platonici.

Tra questi, quelli che si avvicinano di più al numero aureo, sono il dodecaedro e il suo duale, l’icosaedro. In questi poliedri, Φ compare sia nell’espressione dell’area, sia del volume.

Esistono poi altri tredici poliedri in cui le facce sono ancora poligoni regolari, ma non tutti uguali tra loro: i cosiddetti poliedri archimedei.

Uno di essi è l’icosaedro troncato, che Leonardo chiamò Ycocedron Abscicus.

L’icosaedro ha venti facce triangolari ed Euclide sapeva già costruirlo, ma Pacioli ne mostra una costruzione particolarmente semplice, come intersezione di tre rettangoli aurei perpendicolari fra loro. Collegando poi i vertici si ottiene un icosaedro. A questo punto, se si troncano opportunatamente i vertici dell’icosaedro, tagliando via le piramidi a base pentagonale da ognuno dei vertici, si ha un icosaedro troncato, che è esattamente la figura di un pallone da calcio.

La struttura dell’icosaedro troncato la troviamo poi anche in chimica: nella molecola di carbonio C60, infatti, gli atomi si dispongono in corrispondenza dei vertici di un icosaedro tronato, esattamente come nella struttura del pallone da calcio.

modo geometrico: un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrato il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande. 1x1+1x2+2x3+3x5+5x8+8x13+13x21=441