Sezione aurea - Wikipedia - WordPress.com · La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o...

Sezione aurea

Simbolo

Valore

1,6180339887...(sequenza A001622dell'OEIS)

Frazionecontinua

[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1, ...](sequenza A000012dell'OEIS)

Insieme numeri algebrici irrazionali

Costanticorrelate

Costante di Viswanath

Il rapporto tra i due segmenti è la sezioneaurea.

Sezione aurea

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La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia oproporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica ilrapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale trala minore e la somma delle due. Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minoree la loro differenza.

In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale larelazione:

(a+b) : a = a : b = b : (a-b)

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo dellaformula:

Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dallacostruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a: 0,5 + \sqrt{1,25}\=1.6180339887498948482045868343656...

Il valore così definito, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) ealgebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi). Esso può essere approssimato, con crescente precisione,dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.

Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentementenon collegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza earmonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne èforse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascinoesercitato.

Indice

1 Excursus storico-matematico1.1 Il periodo greco1.2 Da Fibonacci al Rinascimento1.3 Gli ultimi due secoli

2 Matematica2.1 Particolarità matematiche2.2 Rappresentazioni notevoli

2.2.1 Altre rappresentazioni2.3 Il numero "più irrazionale"2.4 Relazione con la serie di Fibonacci2.5 Potenze di Phi

2.6 Metodi di approssimazione e espansione decimale2.7 Geometria

2.7.1 Costruzione geometrica con riga e compasso3 Storia

3.1 Babilonia3.2 L'antico Egitto

3.2.1 La Grande piramide4 Estetica

4.1 In psicologia4.2 Nell'arte

4.2.1 Pittura4.2.2 Architettura (Modulor)4.2.3 Musica4.2.4 Letteratura

5 Botanica6 Note7 Voci correlate8 Bibliografia9 Altri progetti

Sezione aurea - Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

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Divisione di un segmento in "media e ultima ragione"

Immagine del pentagono con

evidenziato il "triangolo aureo".

10 Collegamenti esterni

Excursus storico-matematico

Vedi anche la sezione Storia.

A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo quali e se effettivamente siano esistiti prima dei greci, popoli che conoscesserola sezione aurea e che effettivamente la utilizzassero nelle loro opere.

Il periodo greco

« La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la divisione di unsegmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa

quantità d'oro, e definire il secondo una pietra preziosa. »(Keplero)

La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno al VI secolo a.C., ad opera della scuola

pitagorica (i discepoli e seguaci di Pitagora), nell'Italia meridionale, dove secondo Giamblico[1] fu

scoperto da Ippaso di Metaponto, che associò ad esso il concetto di incommensurabilità.[2]

La definizione di rapporto aureo viene ricondotta allo studio del pentagono regolare; il pentagono è unpoligono a 5 lati nel cui numero i pitagorici scorsero l'unione del principio maschile e femminile (rispettivamente nella somma del 2 col

3), tanto da considerarlo il numero dell'amore e del matrimonio.[3]

L'aura magica che i pitagorici associavano al numero 5, e a tutto ciò che vi fosse legato, può spiegare come il rapporto aureo potesseapparire ai loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificare in parte l'alone dimistero che lo ha avvolto sin dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.

La sezione aurea risulta connessa con la geometria del pentagono: in particolare il rapporto aureo è pari al rapporto fra il lato e lasua diagonale , ma anche fra e (o ) e fra e , e a sua volta e , e in un'infinità di relazioni simili,se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte (o pentagramma), la quale produrrà asua volta un nuovo pentagono centrale, in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via, seguendo uno schema ricorsivo.

Euclide, intorno al 300 a.C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi Elementi,[4] a proposito

della costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di divisione di un segmento in "media e ultima ragione"[5] (gr. ἄκρος καὶµέσος λόγος):

Tale divisione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale: un segmento è infatti diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento ha

con lo stesso rapporto che ha con esso, ovvero se:

La divisione di un segmento in media e ultima ragione può essere effettuata costruendo unpentagono regolare, del quale rappresenta una diagonale e disegnandovi all'interno un"triangolo aureo", ossia un triangolo isoscele la cui base corrisponde al lato del pentagono e i latiuguali alle diagonali congiungenti quest'ultimo al vertice opposto; (i triangoli adiacenti vengonodetti "gnomoni aurei").

L'ampiezza dell'angolo interno del pentagono regolare è di 108º[6], ciò significa che gli angoli allabase degli gnomoni aurei, anch'essi isosceli, misurano 36º, e, per differenza, quelli alla base deltriangolo aureo 72º. Se ne ricava che il triangolo aureo ha angoli di ampiezza 36º, 72º, 72º;tracciando la bisettrice di un angolo alla base, si ricava un altro triangolo , con l'angolo in Ddi 36º, ovvero 72º, come il precedente; il terzo angolo in C sarà a sua volta di 72º. è dunqueun altro triangolo aureo.

Per il primo criterio di similitudine sui triangoli, e sono triangolo simili; è quindi:

d'altra parte, anche il triangolo è isoscele, perché il suo angolo in D è di 36º come l'angolo in A, risulta quindi:


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ottenendo così:

Da Fibonacci al Rinascimento

Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti deimatematici, che ne rilevarono proprietà di natura algebrica, prima inconoscibili per via meramente geometrica.

Nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblica il suo Liber abaci, il libro col quale si diffonderanno in Europa le cifre indo-arabe,semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane.

Rinominando il segmento AC come a, e quello minore CB come b, possiamo reimpostare la proporzione di Euclide nei piùfamiliari termini algebrici, come segue:

ponendo , e sostituendo, si ha:

si arriva alla formulazione finale: ; un'equazione di secondo grado dotata di una sola soluzione positiva:

Nel medesimo libro, Fibonacci introdusse pure per la prima volta, involontariamente,[7] il concetto di successione ricorsiva, con lasuccessione:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, la successione di Fibonacci:

0 + 1 = 1;

1 + 1 = 2;

2 + 1 = 3;

3 + 2 = 5;

5 + 3 = 8;

... ;

che può essere riassunta come segue:

Fn-2 + Fn-1 = Fn

Ad insaputa dello scopritore, anche la successione che porta il suo nome è indissolubilmente legata alla sezione aurea; il rapporto tra idue argomenti fu tuttavia scoperto solo qualche secolo più tardi da un altro matematico durante il periodo rinascimentale.

Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De divina proportione di LucaPacioli (pubblicato a Venezia nel 1509 e corredato di disegni di solidi platonici di Leonardo da Vinci), nel quale si divulgava a una vastaplatea di intellettuali l'esistenza del numero e di alcune delle sue numerose proprietà, fino ad allora appannaggio soltanto di una piùristretta cerchia di specialisti. Il medesimo libro scalzava inoltre la definizione euclidea, unica dicitura col quale il numero venivachiamato, reinventandone una completamente nuova di proporzione divina, dove l'aggettivo "divina" è dovuto ad un accostamento trala proprietà di irrazionalità del numero (che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una ratio o frazione) e l'inconoscibilitàdel divino per mezzo della ragione umana:

« Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai pernumero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici

chiamata irrationale [8] »

La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel 1611 da Keplero, comerilevano i seguenti passi di una sua lettera:


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« ... questa proporzione [...] che gli odierni [...] chiamano divina [...] è congegnata in modo tale che i due termini minori di unaserie nascente presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due addizionati, il termine [a loro] successivo, e così via indefinitamente,dato che la stessa proporzione si conserva inalterata [...] più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto.Siano 1 e 1 i termini più piccoli [...] sommandoli, il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3;aggiungiamogli 2, e otteniamo 5; aggiungiamogli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così,

approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13 così, approssimativamente, 13 sta a 21.[9] »

Keplero aveva praticamente scoperto che il rapporto fra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssimava via via,sempre più precisamente, il numero aureo; difatti:

ma Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, quanto piuttosto a ricercarlanell'architettura dell'universo, che lui invece osserva, nelle sue proprietà "divine"; non a caso concettualizzò un modello eliocentrico incui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte in solidi platonici e di conseguenza legate alla divina proporzione. La dimostrazionefu fornita un secolo più tardi dal matematico Robert Simson e ulteriormente sancita dalla scoperta della formula generatrice della seriedi Fibonacci (detta appunto formula di Binet) ad opera di Jacques Binet (anche se probabilmente già nota a Eulero):

Questa formula mostra una successione di indice n di espressioni di numeri irrazionali che per ogni valore dell'indice fornisce un numerointero.

Gli ultimi due secoli

Se per molto tempo la sezione aurea venne conosciuta con la definizione euclidea di proporzione media ed estrema, per poi assumerel'aggettivo divina dopo l'uscita dell'opera di Pacioli, non è altrettanto certa l'origine della sua definizione come "aurea".

Nonostante la diffusa ed errata opinione che tale denominazione fosse in auge fin dall'antica Grecia, studiosi di storia della matematica

la collocano più verosimilmente attorno al XV - XVI secolo.[10]. La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra risalire solo al1835 nel libro Die Reine Elementar-Mathematik, in cui il matematico tedesco Martin Ohm scrive «è chiamata "sezione aurea"»,specificando così di non esserne l'ideatore ma di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuselargamente nei primi anni dell'Ottocento, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere scritte, prima in tedesco e poi in linguainglese, facilitando così l'internazionalizzazione della formula ed entrando a pieno titolo nell'ambito culturale accademico, ancheinizialmente solo come termine legato ancora alla sfera estetica, prima di essere acquisito a pieno titolo nell'ambito matematico ufficiale,come testimonia un articolo di E. Ackermann intitolato The Golden Section (La Sezione Aurea).

La sezione aurea si diffonde nell'Ottocento anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di molti artisti in cui contrariamente alpassato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dallaconvinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo, costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenzain natura, che studi recenti avevano certificato, e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tuttociò che la possedeva.

Non mancarono in tal senso neppure esperimenti psicologici volti proprio ad avvalorare tale tesi, anche se recentemente riprodotti conesiti marcatamente più ambigui ed incerti. L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, comequelle volte a rintracciarne connessione nei mercati azionari, con quella che divenne nota come la teoria delle onde di Ralph NelsonElliott, o a ritrovare utilizzi pratici surreali come il Modulor.

Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hannopermesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale che rappresenta il rapporto aureo, altrimenti incalcolabile con isoli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M. Berg con un IBM 1401, calcolandolo fino alla4599ª cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla decimilionesima.

Di seguito viene riportato il valore di � fino al 1000º decimale:


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Pavimento decorato a mosaico alla University of

Western Australia con un esempio di tassellatura di

Penrose, nello specifico a rombi "larghi" e "stretti".

Un'equazione scoperta nel 1994 e le prime 3000 cifre

significative di -�.

Dimostrazione

Per effettuare la dimostrazione, bastaprendere l'equazione originaria e modificarla:

1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204

1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383

2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034

0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478

0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531

7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829

7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339

2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094

7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619

4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788

9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362...

Nel 1974 il matematico Roger Penrose scoprì, utilizzando figure legate a �, la

possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla[11], attraverso l'uso di figurediverse, detta tassellatura di Penrose. Ciò che rende detta tassellatura legata allasezione aurea, non è solo la particolare simmetria legata al pentagono e altrimentiinarrivabile, ma perfino il fatto che le stesse figure sono unicamente basate sulrapporto aureo, e che su grandi superfici il numero stesso delle figure impiegatecome rapporto approssima sempre 1,618; per esempio, prendendo due delle possibilifigure di rombi larghi e stretti, il numero di rombi larghi Nl e quello degli stretti Nsdeve essere tale da Nl/Ns = �.

Nel 1976 il matematico Robert Hamman, che aveva già lavorato con Penrose per lesue precedenti scoperte, allargò l'indagine sulla tassellatura al campotridimensionale, scoprendo che era possibile esaurire similmente anche un volumericorrendo a dei romboedri, composti dalle stesse forme utilizzate per ricoprire lesuperfici. La particolarità di questo tassellamento tridimensionale era sempre quelladi avere una simmetria simile a quella dell'icosaedro (l'omologa della quintuplabidimensionale del pentagono) se eseguita seguendo determinate regole digiustapposizione. Tale scoperta, apparentemente solo teorica, non fu poi priva diconseguenze, una sua utilizzazione reale avvenne nel 1984, quando DanySchectman, studiando alcuni cristalli di un composto di alluminio e manganese, notòche possedevano una simmetria affine; la particolarità saliente era quella di avererispetto alle altre formazioni cristalline, completamente amorfe oppure regolari, unaquasiperiocità, da cui deriva la successiva riclassificazione degli stessi inquasicristalli.

Matematica

Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni

dell'equazione di secondo grado , le cui radici[12] sono:

Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso pure a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il numero irrazionale 1,618....

In matematica questo valore veniva indicato fino al XX secolo con la lettera greca τ (tau)[13], fu il matematico Mark Barr a introdurre

l'uso, oggi consolidato, della � (phi)[14], dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας), il quale avrebbe usato il rapportoaureo per creare le sculture del Partenone.

La radice negativa dell'equazione, presa in valore assoluto (cioè priva di segno) è uguale a 0,618...; questo valore viene contrassegnato

con la lettera greca Φ (Phi), in maiuscolo, ed è talvolta detto sezione argentea[15][16].

Particolarità matematiche

Il rapporto aureo è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato

mantengono inalterata la propria parte decimale.[18]


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così emerge che il reciproco è uguale allaradice stessa meno l'unità,[17] mentre per ilquadrato questa va aggiunta.

Questo vuol dire che sommando e sottraendoil valore 1 a �, si modifica solo la parteintera e non quella frazionaria, che rimaneinalterata.

Se invece prendessimo Φ avremmo similmente che:

ma Φ non conserva inalterata la propria parte decimale (diversamente da �):

da qui si nota che la parte decimale di Φ² più Φ fornisce come risultato , ovvero

1.[19] Quindi Φ presenta le seguenti proprietà:

Utilizzando la relazione che lega � a Φ si può riscrivere la seconda equazione come:

da cui:

generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:

L'ultima equazione racchiude le precedenti proprietà del numero, e si evince anche che � è una delle possibile radici di ogni equazionedel tipo .

Considerando le potenze di �n elevato numeri via via più grandi, si ottengono numeri "quasi interi", cioè molto prossimi ad un numeronaturale, a potenze pari per difetto a potenze dispari per eccesso, ad esempio:

Essendo quest'ultima una caratteristica fondamentale dei Numeri di Pisot, la sezione aurea ne rappresenta un caso particolare.

Rappresentazioni notevoli

Il numero aureo è legato a due rappresentazioni, per così dire "notevoli", aventi diverse caratteristiche in comune:

entrambe sono ottenute per mezzo di operazioni ricorrentil'unico numero che compare nelle operazioni suddette è 1

Queste proprietà si dimostrano entrambe sfruttando lo stesso procedimento:

� può essere ottenuto mediante una successione infinita diradici quadrate sommando ogni volta 1 al risultato, e poiestraendo nuovamente la radice

poniamo

si nota subito che essendo un processo infinito, la parte sottoradice è ancora uguale a x², per cui:

e quindi:

� può essere il risultato di una frazione continua illimitata,avente tutti i termini uguali a 1 come denominatore

poniamo:

Trattandosi di una frazione infinita, si nota che il denominatore èuguale a x, per cui:

se si moltiplicano entrambi i membri per x, si ha:


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che è l'equazione generatrice di �. che è l'equazione generatrice di �.

Altre rappresentazioni

Il numero "più irrazionale"

Per approfondire, vedi le voci numero irrazionale e frazione continua.

L'irrazionalità di phi, cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione, è una tra le sue caratteristichetipiche e singolari, che viene direttamente dimostrata dalla sua formula generatrice:

La parte decimale infatti è interamente generata da (che è un numero irrazionale), che sommato con un numero razionale fornisceun numero irrazionale.

Inoltre questa proprietà del numero aureo può essere spiegata riprendendo la sua formulazione per mezzo di frazione continua.

Ogni numero, benché irrazionale, può infatti essere approssimato da una frazione continua:

scritta più brevemente come:

[a0; a1; a2;...].

La frazione può essere interrotta in qualsiasi punto:

[a0; ...; an]

rappresentando a0 la parte intera, l'approssimazione sarà determinata di volta in volta dai a1, ... an presenti di un ordine del 10-n

dell'n-esimo numeratore preso in considerazione[20].

Essendo i numeratori della frazione continua tutti 1, ne risulterà che, ogni frazione si scelga, questa presenterà la minore accuratezza diapprossimazione verso l'omologa persa al medesimo numerare di qualsiasi altro numero irrazionale; ovvero il numero aureo è il numeropiù difficile da approssimare con un rapporto fra due interi razionali, da qui l'affermazione di numero "più irrazionale" fra gli irrazionali.

Relazione con la serie di Fibonacci

È stato già detto che facendo il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci, questo approssima sempre meglio il numero aureo, manmano che si procede nella successione; provare questo equivale a provare che il limite della successione fra numeri di Fibonacciconsecutivi è �, ovvero:

La relazione può essere dimostrata per induzione: supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito 'x. La serie diFibonacci è una serie ricorsiva i cui termini sono uguali a:

possiamo quindi riscrivere il limite come:


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Approssimando φ, è

cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui

omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue. che risolvendo darà �.

La funzione generatrice della serie si basa proprio su �:

Essendo minore di 1 in valore assoluto, per n che diventa sempre più grande essa diventa una quantità così prossima a zeroda risultare ininfluente nella somma algebrica, tanto che per n grande i numeri della successione di Fibonacci possono essereapprossimati con:

analogamente a quanto visto precedentemente, soltanto che in questo caso i numeri quasi interi sono ottenuti dopo la divisione di unaltro numero irrazionale .

Inoltre abbiamo:

Potenze di Phi

Ecco qui alcuni rapporti notevoli interni a phi stesso con delle sue potenze

Elementi di regolarità nelle potenze di � si hanno anche con la serie di Fibonacci; per esempio, se invece del rapporto tra due elementi

successivi si prende un passo maggiore, il limite di questo convergerà sicuramente verso un �p, e precisamente:

si ha inoltre:

,

Per alti valori dell'esponente, le potenze di phi possono essere considerate con buona approssimazione numeri naturali.

La sezione aurea presenta proprietà particolari se utilizzata come base di un sistema di numerazione.

Metodi di approssimazione e espansione decimale

Nonostante la sezione aurea possa essere compiutamente riportata in termini numerici con la nota formula la presenza della radice di 5, ne decreta, attraverso l'irrazionalità, l'impossibilità di conoscerne tutta la

parte decimale, il che determina che essa può essere soltanto approssimata con maggior grado di precisione dafrazioni sempre più grandi oppure mediante algoritmi iterativi.

Il primo metodo più conosciuto è senz'altro quello di sfruttare il legame con i numeri di Fibonacci, attraverso

quest'altra ormai nota formula il cui grado di approssimazione sempre migliore misurabile con la

differenza dal limite effettivo calcolabile con questa formula . Rimane ovviamente sempre

l'inconveniente di dover preliminarmente calcolare valori sempre maggiori della successione.

Assai meno calcoli preliminari, richiede invece il calcolo mediante il metodo più classico della frazione


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possibile calcolarne un

numero arbitrario di

cifre decimali.

continua, come precedentemente visto, il cui grado di approssimazione può essere solo stimato, risalendo allafrazione corrispondente m/n, inferiore a ; se non fosse come già spiegato che si tratta della frazionecontinua più lenta in assoluto.

Geometria

La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a geometria pentagonale.Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per questo, come abbiamo già detto, venne scopertodai greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o, nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata;

ma la si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del raggio della circonferenza circoscritta e del lato, oancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel dodecaedro, un poligono a dodici pentagoni, e nell'icosaedro,entrambi solidi platonici.

Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei, poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto aureo; il caso più emblematico èsenz'altro il rettangolo aureo, seguito dal triangolo aureo :

Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la base e i lati uguali; inoltre inentrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di figure simili sempre più piccole con fattore � dirimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un

punto di fuga che non raggiungerà mai[21], denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio, probabilmente rifacendosialla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli.

Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, spesso confusacon la spirale aurea, anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresentasoltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel casorettangolo, dove in questo caso la spirale approssimante , si avvicina a quella aurea, a volte

tangendola e altre sovrapponendosi[22] ed entrambe tendendo verso un polo asintoticocoincidente con lo stesso «occhio di Dio».

Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruoloimportante anche nella composizione di alcuni frattali, oveadottandolo come coefficiente di omotetia sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione dellafigura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei frattali che riescono a simulare formenaturali, come un albero, per esempio, che rappresenta il grado di ottimalità massima per ottenere lamaggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a tal proposito prende proprio il nome di albero

aureo[23], una particolare forma di albero di Barnsley con valore pari a Φ[24].

Costruzione geometrica con riga e compasso

Per approfondire, vedi la voce Rettangolo aureo.

La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, su qualsiasisegmento AB, ed è possibile agire in due modi:

dividere il segmento date le proporzioni media ed estrema1.creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema2.

Nel primo caso una possibile divisione del segmento ci è indicata da Euclide alla Prop. 30,

libro VI dei suoi Elementi[25], tuttavia esiste un modo molto più semplice:

dato un segmento AB, si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2,si traccia poi l'ipotenusa AC del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si


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Dimostrazione

Per la dimostrazione si può procedere in due modi:

Primo metodo

Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è medio proporzionale rispetto a AE e AD:

AD : AB = AB : AE

Per le proprietà delle proporzioni:

(AD - AB) : AB = (AB - AE): AE

da cui si ha, ricordando che AE = AE':

AE' : AB = E'B : AE'AB : AE' = AE' : E'B

Secondo metodo

Definendo e si ha, per il teorema di Pitagora,

Quindi, risulta che equivale a . Ma, come visto, , e è proprio la misura del

segmento AB. Abbiamo perciò che . Per provare che questi tre segmenti soddisfano la proporzione aurea basta

vedere che , cioè che , il che prova l'asserto, ovvero che i segmenti AE', AB e soddisfano la

proporzione aurea. Ne viene che AE' è la sezione aurea di AB.

segna il punto E, ove passa la circonferenza di centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo ilsegmento AE' medio proporzionale rispetto ad AB e E'B.

Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo.

Dato un segmento AB si traccia la perpendicolare DB di lunghezza pari ad AB; da questopunto, quindi, si trova il punto medio C del segmento interessato e puntandovi, con aperturapari all'ipotenusa CD, si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così BD',per il quale AB rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma AD'.

Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento AB valore unitario, cioè1;

Mentre DC similmente, per il teorema di Pitagora, vale:

sommando i due si ricava:

che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.


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Pianta del

Osireion con la

geometria

pentagonale di

Lawlor

Spiegazione

Il rapporto fra altezza s della facciata e semilato a euguale a:

s/a = Φ

e questo perché l'area della triangolare T (s × a) dellafacciata e uguale al quadrato dell'altezza dellapiramide h².

Storia

A livello storico vi sono diverse questioni irrisolte: se e quali popoli, prima dei greci, conoscessero la sezione aurea e la utilizzasseroconsapevolmente nelle loro opere. I casi più importanti sono quelli legati ai babilonesi e agli egizi.

Babilonia

Alcune tavolette, riportanti calcoli computazionali, testimoniano nei Babilonesi conoscenze sia matematiche che geometriche tali dapoter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di pi greco. Mancano tuttavia prove schiaccianti circa la loro

effettiva conoscenza della sezione aurea; ciononostante eminenti studiosi, fra cui Michael Scheneider [26] e Helen Hedian [27],affermano la sua presenza su steli e bassorilievi: alcuni esempi sarebbero una stele babilonese e una raffigurazione di una divinità alata

del IX secolo a.C. (Metropolitan Museoum of Art), la "leonessa morente"[28] di Ninive (600 a.C.).

L'antico Egitto

Le affermazioni sulla conoscenza del rapporto aureo in epoca pre-ellenica coinvolgono anche gli antichi Egizi, sull'ondata di unafervente e misticheggiante letteratura ottocentesca, che fra l'altro asseriva la presenza di conoscenze matematiche ben più avanzate, lecui tracce sarebbero tutt'oggi visibili nei resti di numerosi monumenti. Per quanto riguarda il rapporto aureo, il dibattito verte su casimeno conosciuti come quelli dell'Osireion e la Tomba di Petosiri alla ben più famosa piramide di Cheope.

Nel primo caso si tratterebbe del monumento funerario del re Seti I (XIX dinastia), riportato alla luce nel 1901 daFlinders Petrie, al riguardo Robert Lawlor asserisce che l'architettura della stanza più interna sarebbe basata su unamistica geometria pentagonale contenente il rapporto aureo, ravvisabile in una serie di intrecci geometrici che sipossono estrapolare. Precisamente all'interno della stanza sarebbe possibile disegnare secondo Lawlor duepentagoni contrapposti fino all'esaurimento della lunghezza, mentre la larghezza conterrebbe le circonferenze adessi circoscrivibili; su tale disegno sarebbero poi ricavabili con altri intrecci da cui giustificare la presenza degli altri

elementi architettonici.[29] Si tratta comunque di una interpretazione senza seguito in ambito accademico.

La tomba di Petosiri, sommo sacerdote di Thot, è stata rinvenuta da Gustave Lefebvre nei primi anni venti, e risaleal III secolo a.C., quando era già attestata la conoscenza della sezione aurea da parte dei Greci. In questo caso il

rapporto aureo sarebbe riscontrato, sempre dallo stesso Lawlor [29], in un bassorilievo raffigurantel'imbalsamazione del sacerdote, anche qui in un intricato intreccio di segni geometrici che richiedono un elevato

grado di astrazione rispetto alla figura, per essere plausibilmente nelle reali intenzione dell'autore.[30]

La Grande piramide

Il caso largamente più dibattuto riguardante l'Egitto è però la presenza della sezione aurea, e non solo[31], nella Piramide di Cheopenella piana di Giza e unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta. Il mito esoterico-numerologico che circonda laGrande piramide nasce probabilmente in seguito all'opera di John Taylor, The great pyramid: why was it built and who built it? (La

grande piramide: perché fu costruita e chi la costruì), pubblicata nel 1859, e suffragata a ruota dallo studioso, astronomo e

piramidologo, Charles Piazzi Smyth[32].

Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'altezza dellafacciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a un'inclinazione teorica dellafacciata pari a 51° 49' ca. La piramide reale ha un'altezza totale di circa 147m e lati di 230m,con una inclinazione della pareti di 51° 50' 35", estremamente simile all'inclinazione teorica, e

di fatti, esplicitando i conti, tra il semilato e l'"altezza"[33] reali:

Si tratta anche questa volta di valore molto vicino a quello teorico; risulta comunque logico chiedersi se ciò può costituire una prova diuna reale conoscenza da parte degli egizi della sezione aurea o se tale risultato sia stato un'inconsapevole conseguenza del modo in cui èstata costruita, così come sarebbe presumibile dagli scritti di Erodoto (Storie Libro II).

L'astronomo Britannico John Herschel scriveva, citando Erodoto, che la«Piramide [di Cheope è] caratterizzata dalla proprietà di avere ciascuna dellefacce uguale al quadrato costruito dell'altezza», ora, stante le svariateperplessità circa la corretta interpretazione del passo incriminato, si tratterebbedi una spiegazione alternativa all'ipotesi che essa sia stata inseritavolontariamente e coscienziosamente nella piramide di Cheope.

Effettivamente le misure della piramide, 147² = 21609 e 115 × 186,64 =21463.6, sono straordinariamente simili, e parrebbero confermare la citazione,se non fosse che da nessuna parte pure questa trova definitiva conferma.


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s × a = h² → applicando il teorema di Pitagora

s × a = s² - a² - riordinando e dividendo per a²

(s/a)² - (s/a) - 1 = 0 ⇒ x² - x - 1 = 0

siccome questa è l'equazione della sezione aurea nediscende che essa è connaturata in una piramide chevenisse fatta secondo le caratteristiche indicate daErodoto.

Non si ritrova infatti nel passo di Erodoto che recita

« Per la costruzione della Piramide occorsero vent'anni. Essa èquadrata.. Presenta da tutti i lati una faccia di otto plettri, un'altezzauguale. È di pietre levigate e perfettamente connesse, di cui nessuna

misura meno di trenta piedi. »( Erodoto, Storie, II, 124:5 [34])

Non risulta di fatto alcun riferimento al "quadrato dell'altezza", ma soltanto

misurazioni come risultante che da studi condotti da Richard Gillings[35],

Roger Fischler e George Markowsky[36], ciononostante la sostanzialeequivalenza come rilevata nell'erronea interpretazione del passaggio erodoteo esiste nelle dimensioni della piramide, come sopraevidenziato, ma probabilmente pure in questo caso è da ascrivere cause non legate alla volontà del progettista e forse perfino ignare aquest'ultimo.

Spiegazioni tecniche sono state trovate legate alle modalità di costruzione: una proposta da Gillings[35], sulla base dei problemi 56 e 60contenuti nel famoso Papiro Rhind incentrati sui seked - una unità di misura egiziana dell'inclinazione delle superfici laterali - sostieneche il rapporto aureo deriverebbe dalla necessità tecnica di tenere una certa inclinazione costante della parete durante tutta la

costruzione della piramide; l'altra, considerata anche la più attendibile[37], fornita invece da Kurt Mendelssohn[38] secondo cui gli egiziutilizzavano due diverse unità di misura: una per grandezze verticali, il cubito, e una per quelle orizzontali, un rullo dal diametro di

cubito la cui circonferenza è uguale a Π cubiti, dalla combinazione dei due emergerebbe naturalmente il numero aureo.[39]

Sia, quindi, che la presenza della sezione aurea derivi dal tentativo di costruire una piramide con le peculiarità attribuitele da alcuni dagliscritti di Erodoto, sia che derivi da mere contingenze costruttive, appare improbabile che derivi da una precisa e voluta scelta deiprogettisti; in sostanza nemmeno la più importante della presunte testimonianze della sua conoscenza da parte degli indizi, trovaspiegazioni alternative in grado di spiegarne la sua presenza in via del tutto fortuita e inconscia.

Estetica

In psicologia

Per approfondire, vedi la voce Rettangolo aureo#Il rettangolo più bello?.

Nell'Ottocento iniziarono i primi studi psicologici volti ad attestare su base scientifica la pretesa superiorità estetica della sezione aurea,in particolar modo i test si concentrarono sulla preferenza estetica per il rettangolo aureo, che fra tutti i derivati geometrici della divinaproporzione sembra essere quello ad aver ereditato maggiormente il suo alone di "fascino".

Tutto sembra aver avuto inizio con i contestati studi di Gustav Fechner, fondatore della psicologia sperimentale. Nel suo Manuale di

estetica (Vorschule der Aesthetik), edito nel 1879, Fechner pubblicò i risultati dei suoi esperimenti condotti sia sulle persone, testando leloro preferenze estetiche, che sul campo, misurando migliaia di oggetti d'uso quotidiano per far emergere la testimonianza di unatendenza inconscia verso la proporzione aurea; ma benché soltanto una delle tre modalità di ricerca confermasse la sua tesi, Fechnernon esitò dall'asserire che vi era una dimostrata preferenza per il rettangolo aureo, e quindi per la sezione aurea.

Subito vennero mosse una serie di critiche alla correttezza e ai metodi usati da Fechner nel condurre i suoi esperimenti, non ultimoquello di aver influenzato egli stesso, in buona o in mala fede, gli stessi soggetti; inoltre non mancarono sospetti, che nel caso fosseconfermata la genuinità degli esperimenti, il risultato positivo dell'esperimento non fosse da attribuire ad altre cause, non prese da lui inconsiderazione, e impossibili da confutare vista la poca chiarezza riguardante le modalità dell'esperimento.

Comunque nel corso del XX secolo, l'ipotesi Fechneriana è stata ripetutamente oggetto di verifica, a volte trovando risultati cheparzialmente sembravano convalidarla, altre volte confutarla nel tutto; risulta interessante però come avvicinandosi ai nostri tempi lacasistica favorevole si sia pian piano diradata, man mano che venivano analizzate e prese tutte le ipotesi e quelle accortezzesperimentali, per filtrare i risultati da contaminazioni di eventuali concause accidentali. Tuttavia esistono anche recenti studi condottisulla sezione aurea nel 1997 la Empirical studies of the art è uscita con un fascicolo speciale raccogliendo ben 7 studi condotti con

metodi differenti di cui nessuno, però, fa emergere una ben che minima preferenza per la sezione aurea [40], mentre addirittura Holger

Höge con il suo lavoro intitolato The golden section hypothesis – its last funeral[41] sembra voler mettere definitivamente fine a tutte le

speculazioni.

Nell'arte

Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della proporzione aurea, in particolar modo sottoforma di rettangolo aureo, e molto spesso a sproposito; anche diversi siti internet, nonché libri, caldeggiano ferventemente questaipotesi, a volte azzardata, col rischio di consolidare l'esistenza di un falso mito: ovvero, la presunta superiorità estetica della sezioneaurea. Occorre invece muoversi con cautela, pure in questo ambito perché la presunta presenza della sezione può in molte opere esserefrutto di plurimi fattori, che possono trarre in inganno e indurre a facili considerazioni affrettate; tre paiono essere i più importanti:


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La parata del circo (1888) di

Georges Seurat

Tralasciando le ovvie possibilità di imprecisioni nelle misurazioni, a volte viene affermata la presenza del rapporto aureo purtrovandosi di fronte a numeri quali 1.5, 1.6, 1.66 e 1.75 frettolosamente assimilati a sue "buone" approssimazioni. Nonostantel'evidente difficoltà di approssimazione di un numero irrazionale con la dovuta precisione, bisogna almeno considerarel'eventualità che l'artista abbia voluto sì usare misure non arbitrarie, ma, forse, semplicemente rifacendosi a rapporti fra numeriinteri; così com'è possibile d'altronde che abbia volutamente usato numeri vicini al rapporto aureo proprio per tentare diapprossimarlo.

1.

Le misurazioni spesso sono state effettuate prendendo a riferimento punti arbitrari o sulla cui oggettività è tuttora aperto undibattito; inoltre non è da escludere, la non poi tanto remota possibilità che in un sistema complesso, formato da diversi elementi,rapporti prossimi al valore aureo possano formarsi per fattori ascrivibili al caso, pure in mancanza di un'effettiva volontàdell'artista.

2.

Il convincimento della sua superiorità estetica e la riproposizione di modelli familiari, se non canonici, possono aver indottol'artista a copiare o a ispirarsi da forme e proporzioni di opere di altri artisti dove la sezione aurea era effettivamente oapprossimativamente presente, e quindi averla involontariamente riprodotta nella propria opera.

3.

A fronte di queste considerazioni, si può capire come sia pienamente lecito affermare la presenza della sezione aurea, in un'opera onell'estetica di un artista, soltanto in presenza di forti indizi che indicano che l'artista ha volutamente e consciamente utilizzato talesezione nelle sue opere, o per sua ammissione diretta.

Pittura

Ne La geometria segreta dei pittori[42], Charles Bouleau sostenne la tesi di una diffusissima presenza della sezione aurea nei pittori

prerinascimentali, quali Giotto, Duccio e Cimabue, in un'epoca ben precedente la pubblicazione del De divina proporzione, e questo persostenere, come egli afferma, la tesi del rapporto aureo quale canone estetico riconosciuto a priori, anche se non vi sono evidenze, intale direzione, da parte di nessuno dei maggiori esperti dei tre pittori.

Un altro pittore, che le dicerie vogliono maniacalmente affascinato dalla sezione aurea, sarebbe stato Leonardoda Vinci, e le prove sarebbero all'interno di alcuni dei suoi dipinti più famosi: quali il San Gerolamo, La Vergine

delle Rocce, la Testa di vecchio e la celebre Monna Lisa. Sebbene, in questo caso, la presenza della sezioneaurea sia più plausibile, se non altro la sua collaborazione con Luca Pacioli nella stesura del De Divina

Proportione, alcuni dei dipinti citati risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due umanisti,iniziato nel 1496 a Milano presso Ludovico il Moro; fa eccezione per la Gioconda, sulla quale il dibattitoaccademico però risulta ancora aperto e abbastanza controverso, inoltre il rapporto aureo sarebbe da rintracciareall'interno di un rettangolo aureo i cui riferimenti non sarebbero ben definiti.

In epoca più recente altro caso dubbio, cui viene ascritta una passione per lasezione aurea, sarebbe il pittore francese Georges Seurat, nel cui caso, forse, ladiceria è stata alimentata da una naturale propensione per un pittura spaziale dove il rilievo geometrico,si carica, nelle prospettive dell'artista, di una valenza emozionale che egli intende trasmettere facendo unparticolare uso di tratti verticali, orizzontali e angoli retti; ma manca a sostegno della tesi l'ammissionedell'artista di avere fatto esplicito uso della proporzione aurea, anche se a sostegno vengono spesso citatidiversi studi sulle proporzioni di dipinti come il La parade de cirque. In quest'ultimo caso un massiccio

aiuto alla diffusione del "mito" sarebbero stati alcuni scritti di Matila Ghyka[43]. Stesse cose avrebbe

affermato il matematico inglese David Bergamini nel suo libro Mathematics[44], curato nel 1963 dai

redattori di Life Magazine.

Esistono però anche diversi artisti che fecero effettivo uso della sezione aurea nelle loro opere: uno dei primi fu senz'altro Paul Sérusier(1864 - 1927) per sua stessa ammissione. È probabile che Sérusier abbia appreso della sezione aurea da un altro pittore amico suo,l'olandese Jan Werkade, durante una visita avvenuta nel 1896, quando andò a trovarlo presso un monastero di Benedettini a Beuron,nella Germania meridionale; nell'occasione un gruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su una

Padre Didier Lenzdi riguardanti particolari «misure sacre»[45] tra cui vi era ovviamente la sezione aurea.[46]

Dopo Sérusier la conoscenza della sezione aurea si diffuse a molti artisti, e non poté mancare di trovare degna posizione ancheall'interno del cubismo, come dimostra il nome di una mostra: la "Section d'Or", tenuta a Parigi nel 1912 da alcuni dei primi esponentidel movimento pittorico, benché nessuna delle opere presentate al suo interno contenesse alcun legame con �. Tuttavia non mancaronopittori cubisti che ne fecero realmente uso, come lo spagnolo Juan Gris e lo scultore lituano Jacques Lipchitz; i due fra l'altro lavoraronoassieme alla creazione della scultura Arlequin basata su un particolare triangolo aureo ideato da Keplero. Spostandoci in Italia troviamoinvece Gino Severini che lo utilizzo nei primi anni venti e più tardi Mario Merz, il quel però fece in realtà più uso dei numeri diFibonacci piuttosto che della sezione aurea.

Oltre oceano, negli Stati Uniti troviamo Jay Hambidge che, all'inizio del Novecento teorizzò due tipi di arte moderna: una a "simmetriastatica", basata su forme geometriche, e una invece "dinamica" basata sulla sezione aurea e la spirale logaritmica. Oltre Manica inveceabbiamo, sempre agli inizi del secolo, Anthony Hill (1930) che si ispirò al numero aureo in una serie di opere denominate sotto relief

construction; un altro artista, l'israeliano Yigal Tumarkin, addirittura inserì in una sua opera direttamente la formula (1 + √5)/2.

Tra i falsi miti legati alla pittura contemporanea resta da sfatare quello dell'utilizzo della sezione aurea da parte dell'olandese PietMondrian, su cui furono fatte a più riprese diverse illazioni del tutto infondate. Mondrian fece prettamente uso di forme rettangolari elinee verticali e orizzontali per comporre le sue opere, e questa estrema geometrizzazione alimentò negli anni diverse speculazioni sul


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fatto che questi dipinti celassero più o meno velati riferimenti o proporzioni auree; ciononostante non si hanno riscontri diretti da parte

dell'artista, né dei suoi principali esperti, ad esempio il critico Yve-Alain Bois ha escluso categoricamente tali ipotesi.[47]

Architettura (Modulor)

Per approfondire, vedi la voce Modulor.

Nell'architettura del XX secolo, una delle più interessanti applicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla nascita delModulor, letteralmente "modulo d'oro" derivato dal nome francese.

L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistemasu cui basare le proporzioni di tutti gli spazi dedicati alla vita dell'uomo con l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempoarmonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano; l'idea sottostante era che poiché era possibile riscontrare la sezione aureanelle proporzioni del corpo umano, nonché in altri svariati esempi naturali, questa potesse essere la base ottimale su cui strutturare tuttol'ambiente circostante, in modo che risultasse armonico e armonizzato ad esso secondo una presupposta regola naturale, identificataappunto nella proporzione aurea. L'idea di armonia implicita cela ancora un volta la concezione di un'estetica superiore legata allasezione aurea.

Lo stesso Le Corbusier utilizzò gli schemi del Modulor in diversi suoi progetti, come nella costruzione di alcune strutture governativenella città di Chandigarh in India. Nel suo complesso, però, il Modulor non trovò grande seguito presso altri architetti, anzi fu moltospesso oggetto di critiche circa l'inconsistenza delle sue basi teoriche, che ne decretarono man mano l'insuccesso.

In Italia Giuseppe Terragni l'ha usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti.

Musica

Per approfondire, vedi la voce Retorica musicale.

La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che in essa sia centrale il ruolo della sezione aurea. A sostegno ditale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il piano.

Nel caso del violino alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalle sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassaarmonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura

proprio in posizione aurea rispetto alla lunghezza complessiva dello strumento,[48] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo checercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione; non vi sono però conferme sul fatto che tali accorgimenticonferiscano effettivamente un suono "migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali oalla scelta degli stessi.

Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modocon parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti inotto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più chenel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a unaspecifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamentedall'evoluzione strutturale dello strumento.

In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili afrazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do 5/3, una sesta minore

di Do e Mi 8/5).

Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in

rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio.[49] Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sonoparticolarmente consonanti, sono spiegati (almeno in parte) dall'acustica, non hanno praticamente alcuna connessione con la serie diFibonacci.

Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misuraconcernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, ecc. non sono comunque rari anche in questocaso facili entusiasmi dovuti a fraintendimenti numerici. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di aver riscontrato nei Kyriecontenuti nel Liber Usualis, il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una documentazione che neattesta la volontà di inserimento rimane tutto a livello puramente congetturale; medesime illazioni sono sempre state fatte per le opere diMozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma College, subitamente convinto di tale teoria specialmente per quantoriguarda le sonate per pianoforte, dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.

Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica perArchi, Percussioni e Celesta) e Claude Debussy (1862-1918), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui comele divine nombre nella raccolta Estampes (1903) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e CathédraleEngloutie.


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Quest'ultimo, in particolare, è un preludio per pianoforte di 89 battute, di cui le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21: inaltre parole, alla battuta 68 il brano rallenta il tempo a metà. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa primasezione a 34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89. Questo è uno deitanti esempi che si possono citare per descrivere l'applicazione del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali diDebussy. Il pianista Roy Howat ha analizzato altri brani di Debussy come Reflets dans l'eau, L'isle joyeuse (oltre al già citato La mer)riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate.

Bartòk e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di sezione aurea, ma se ne potrebberomenzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del XIX secolo e il XX secolo. In epoche più recenti, musicisti quali Stockhausen, PierreBarbaud, Iannis Xenakis, facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturatodella matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare hafondato a tale fine, a Parigi nel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivol'applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramitesintetizzatori.

Sofija Gubajdulina ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad esempio nella Sinfonia "Stimmen...

Verstummen...", in Perception, nel pezzo per percussioni All'inizio era il ritmo, nel coro Omaggio a Marina Cvetaeva, nel trio Quasi

hoquetus, nella sonata Et exspecto e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di Fibonacci quale regola perorganizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella strutturaintervallare e in quella ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura intervallare con le cifreoccorre prendere il semitono come unità di misura. [...] Certamente i numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano,sono disposti in una sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni dubbi, perché gliintervalli in questione sono considerati all'interno del sistema temperato, [...] un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applicainvece al sistema del mondo, in una parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di

Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla naturalità del nostro respiro."[50]

Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezioneaurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L'esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente laserie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sonoassoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, ecc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure piùsporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell'albumOctavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risaleinvece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo "Lateralus" costruito fedelmente sulla seriedi Fibonacci.

Letteratura

Per quanto possa sembrare stravagante c'è chi ha rintracciato il rapporto aureo pure in letteratura, più specificatamente in poesia. Cisarebbero due modi per poterlo rintracciare: come idea ispiratrice dell'opera, oppure come principio organizzatore della struttura ritmicache dona al componimento le sue decantate doti di armonia. Unica opera, tra l'altro a sfondo umoristico, realmente appartenente alprimo caso è una poesia del matematico Paul Bruckman intitolata Media costante, pubblicata nel 1977 sulla rivista matematicaFibonacci quarterly, dove in versi vengono decantate le principali proprietà algebriche del numero, il cui nome viene tradotto perl'occasione in "media aurea".

Riguardo alla seconda possibilità circa la presenza della sezione aurea in poesia, sono state fatte alcune elucubrazioni sulla Eneide di

Virgilio; un docente dell'università di Princeton, George Duckworth, affermò in un suo saggio[51], edito nel 1962, che il poeta latinoavrebbe strutturato il testo sezionandolo in parti "minori" e "maggiori" che avrebbero rispettato il rapporto aureo. Ora, Duckworthindividua queste parti in modo apparentemente oggettivo, ovvero in base al carattere prevalente del loro contenuto sia questo di dialogoo di narrazione o descrizione; concludendo poi che il numero dei versi è tale da approssimare il rapporto aureo. Nel 1981 tali dativennero rianalizzati da Leonard Curchin e dal matematico Roger Fishler, i quali dimostrarono che l'analisi era innanzitutto viziata da unfatto: che prendendo due numeri disuguali M (Maggiore) e m (minore), il rapporto (M + m)/M è più vicino a � di quanto non lo siaM/m; e Duckworth prese a sostegno della propria ipotesi soltanto la prima frazione, escludendo la seconda che avrebbe confutato la suaipotesi. Inoltre notarono come i dati mostravano dei rapporti in realtà del tutto casuali e soltanto per circostanza vicino al numero aureoo alla serie di Fibonacci.

Botanica

Per approfondire, vedi la voce Fillotassi.

In natura uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea è rappresentato dagli studi sulladisposizione geometrica delle foglie e delle infiorescenze di alcune piante (Fillotassi).


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Le foglie, numerate da 1 a 10

in base all'ordine di

formazione, si dispongono a

formare una spirale.

Nel XIX secolo i fratelli Louis ed Auguste Bravais, botanico il primo e cristallografo il secondo,osservarono che in alcune piante le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cuil'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137.5º. Tale angolo, corrispondente

all'angolo aureo, garantisce un utilizzo ottimale della luce solare [52].

Note

^ Livio, op. cit., p. 151.^ Giamblico, Silloge delle dottrine pitagoriche ca. 300 d.C.:

«Dicono che il primo che divulgò la natura della

commensurabilità e dell'incommensurabilità a chi non era

degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo

che non solo lo si bandi dalla vita in comune e dalle

associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua

tomba...»

2.

^ Capparelli Vincenzo. La sapienza di Pitagora Roma, EdizioniMediterranee, 1988, (passim)

3.

^ Indice analitico (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/subjindex.html#extreme) su Euclid's Elements

4.

^ Libro VI, Def. 3 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/defVI3.html)

5.

^ Poiché la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è ingradi sessagesimali (n-2) x 180, tale somma per un pentagono è540°, che diviso per 5 fa 108°

6.

^ In realtà Fibonacci pone un problema per la cui soluzioneoccorre calcolare i primi 12 termini della successione che oggiporta il suo nome e non fa alcuna considerazione sullasuccessione infinita.

7.

^ Erman di Rienzo. la divina proporzione(http://www.matematicamente.it/storia/divina_proporzione.zip)(DOC) p. 17

8.

^ Livio, op. cit., p. 2269.^ François Lasserre. The birth of mathematics in the age of

Platone. Londra, Hutchinson, 1964 Carl B. Boyer. Storia della

Matematica Milano, Mondadori, 1990 ISBN 88-04-33431-2

10.

^ Tassellature diverse sono facilmente componibili con triangoliequilateri, quadrati e esagoni, si tratta di tassellazioni regolari eperiodiche, con simmetrie rispettivamente triple, quadruple esestuple, possibili principalmente perché detti poligoni regolarihanno angoli che sono multipli perfetti dell'angolo giro; motivoche fino ad ora aveva impedito di ottenere una tassellazione ageometria quintupla prerogativa del pentagono, che invece fupossibile grazie a Penrose

11.

^ La "radice" di cui si parla qui e nel seguito non è sinonimo di"radice quadrata", bensì ha il significato di "soluzionedell'equazione".

12.

^ dal greco tomé, "taglio" o "sezione"13.^ La lettera greca usata per indicare il numero aureo nella forma1,618 è � minuscola, la maiuscola Φ viene usata per indicarne ilsuo reciproco, ovvero 0,618.

14.

^ Golden Ratio Conjugate (http://mathworld.wolfram.com

/GoldenRatioConjugate.html) , MathWorld15.

^ La sezione argentea non è quindi una soluzione dell'equazioneper cui invece � è soluzione; piuttosto è il valore assoluto di unasoluzione dell'equazione, oltre che il reciproco della sezioneaurea �:

16.

^ cioè è il "complemento ad uno della radice dell'equazione17.^ Esistono altri numeri i cui reciproci mantengono la stessa partedecimale (vedi Reciproco#Reciproci_particolari), ma nessun altrolo fa anche elevato al quadrato.

18.

^ La barretta sopra il "9" indica che si tratta di un numerodecimale periodico.

19.

^ Ecco perché ϕ è il più irrazionale! in La favola della sezioneaurea (http://www.unich.it/progettistisidiventa/archivio_lavori_studenti/Bastioni_Aurea.pdf) . p. 54

20.

^ Una immagine (http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/pz_file/occhiodidio.htm) più chiara sull'Occhio di Dio

21.

^ Una immagine (http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/pz_file/spiralog3.htm) della Spirale aurea e della spirale di

Fibonacci

22.

^ Laura Lotti. L'albero aureo (http://www.frattali.it

/alberoaureo.htm) 3 maggio 2004 - immagini23.

^ L'omotetia, in questo caso, deve essere una contrazione, inmodo da accorciare le distanze. Il rapporto di omotetia deveessere dunque strettamente minore di 1, ovvero 0,618..., cioè ilreciproco di 1,618.

24.

^ libro VI, Prop. 30 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI30.html) in Euclid's elements

25.

^ Michael Scheneider, A Baginner's guide to Constructing the

Universe, New York, Harper Perennial, 1995. ISBN0-06-092671-6

26.

^ Helen Hedian, The golden section and the artist su "TheFibonacci Quarterly" 14:406-18, 1976

27.

^ Dying lioness (http://whs.eanes.k12.tx.us/art/Smaller%20Site/images/Art%20History/Chap%202/) (Leonessa morente)bassorilievo custodito al British Museum di Londra

28.

^ a b Robert Lawlor, Sacred Geometri philosophy and practice

London, Thames and Hudson, 1982 ISBN 0-500-81030-329.

^ Livio, op. cit., p. 8030.^ Ci sono al riguardo diversi studiosi che affermano che nellemisure della Grande piramide sarebbero riscontrabili diversecostanti cosmologiche e matematiche, fra cui il π, anche senessuna di queste tesi è accettata nell'ambito accademico.

31.

^ Piazzi Smyth, The Great Pyramid, New York, Gramercy book,1978

32.

^ L'altezza della parete può essere desunta dai dati precedentiapplicando il teorema di Pitagora

33.

^ Erodoto Storie (http://www.filosofico.net/erodotostorie2.htm)traduzione da filosofico.net; Qui (http://thepiraz.interfree.it/favola/erodoto.htm) (GR) il frammento originale

34.

^ a b Richard Gillings Mathematics in the Time of the Pharaohs.Cambridge, Dover Publications, 1982 ISBN 0-486-24315-X

35.

^ Markowsky, op. cit., Misconceptions:The Great Piramid was

designed to comform to ϕ, p. 636.

^ Livio, op. cit., p. 9437.^ Kurt Mendelssohn. L'enigma delle piramidi. Milano,Mondadori, 1990. ISBN 88-04-43384-1

38.

^ Una esauriente spiegazione matematica la puoi trovare inBastioni, op. cit., Le piramidi contengono Π e Φ per puro caso.

39.

^ Zocchi, op. cit.40.^ Höge, Holger, The Golden Section hypothesis - Its Last funeral

in Empirical Studies of the Arts, 1997 15:2, 233-255.41.

^ Charles Bouleau la geometria segreta dei pittori, MilanoMondadori 1999. ISBN 88-435-2643-X

42.

^ Esthétique des proportrions dans la nature et dans les arts,1927 e Le nombre d'or: rites et rytmes pytagoriciens dans le

développemont de la civilisation occidentale, 1931.

43.

^ David Bergamini, Mathematics, New York, Time Incorporated,1963.

44.

^ Padre Didier Lenzdi riteneva che grandi opere dell'antichità,nonché capolavori (fra cui, a suo dire, rientrava anche l'arca diNoè), erano composti su figure geometriche semplici come cerchi,triangoli equilateri ed esagoni (Alessandra Candela, Forme

dell’arte e forme della matematica, una ricerca

(http://www.dm.unito.it/modelli/forme/arte.pdf) (PDF), 24 maggio

2006).

45.

^ La notizia è confermata da alcune note biografiche di MauriceDenis, biografo di Sérusier, oltreché pittore egli stesso.

46.

^ Livio, op. cit., p. 26147.^ Livio, op. cit., p. 27148.


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^ Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi,basato sul temperamento equabile, prevede che i rapporti tra duesemitoni successivi della scala cromatica sia pari alla quantità12√2, un numero irrazionale, il che fa sì che gli unici rapportiinteri fra le note corrispondano agli intervalli di ottava (il cui

49. rapporto è pari a due).^ Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da EnzoRestagno", contenuto in AA.VV. "Gudajdulina", ed. EDT

50.

^ George Duckworth. structural patterns and proportions in

Vergil's Aeneid, Ann arbor, university of Michigan press, 196251.

^ Livio, op. cit., p. 16852.

Voci correlate

Successione di FibonacciRettangolo aureoAngolo aureoRetorica musicale

Bibliografia

Mario Livio, La sezione aurea, Milano, Rizzoli 2003, ISBN 88-17-87201-6Rocco Panzarino, Dio Sezione Aurea Bellezza, Collana di Filosofia Sapientia 10, Fasano, Schena editore 2005Cornelis Jacobus Snijders, La sezione aurea: arte, natura, matematica, architettura e musica, 2ª ed. Padova, Muzzio 1985. ISBN88-7021-668-3Claudio Lanzi, Ritmi e riti: orientamenti e percorsi di derivazione pitagorica, Simmetria, 2003. ISBN 88-87615-26-8Ugo Adriano Graziotti, Hermetica Geometria Roma, Simmetria 2005Osvaldo Rea, Nautilus, l'enigma dell'impero, Pompei, Palestra Grande. ISBN 88-901473-9-3Aldo Scimone, "La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica", Palermo, Sigma Edizioni, 1997.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Sezione aurea (http://search.dmoz.org/cgi-bin/search?search=Sezione+aurea&all=yes&cs=UTF-8&cat=World%2FItaliano) suOpen Directory Project (Segnala (http://www.dmoz.org/cgi-bin/add.cgi?where=) su DMoz un collegamento pertinente all'argomento "Sezione aurea")

Scoperto Rapporto aureo nella bellezza femminile (http://www.physorg.com/news180195066.html)La divina proportione (http://www.matematicamente.it/cultura/storia_della_matematica/la_divina_proportione_200708291175/)in matematicamente.it

La favola della sezione aurea (http://thepiraz.interfree.it/sez_aurea.htm) . Sito di approfondimento sulla sezione aurea con unocchio critico rispetto al comune pensiero

Alessandro Zocchi. La Sezione aurea: Gli esperimenti psicologici per verificare la bellezza del rapporto aureo

(http://www.cicap.org/enciclop/at101948.htm) . Cicap, 11 marzo 2005Manuel Basioni. La favola della sezione aurea (http://www.unich.it/progettistisidiventa/archivio_lavori_studenti

/Bastioni_Aurea.pdf) (PDF), 7 settembre 2001

Guido Carolla. Il numero aureo ed i suoi sviluppi (http://www.matematicamente.it/didattica/percorsi_didattici

/il_numero_aureo_e_i_suoi_sviluppi_200708211039/) (PDF) 3 aprile 2004Carmelo Arena. Cinematica e sezione aurea (http://math.unipa.it/~grim/convreg1_arena_PA.pdf) (PDF) 17 settembre 2004Nadia Ricchetti La sezione aurea (http://www.ilparadosso.it/downloads/anno_4_numero_1/articoli/sezione_aurea.pdf) (PDF) Ilparadosso. 11 ottobre 2006

George Markowsky, Misconceptions about the Golden (http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf) , in The College

Mathematicals Journal, 1992, 23-1.

(EN) Golden Ratio (http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html) su MathWorld

(EN) The Golden section ratio: Phi (http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html)Le prime 10000 (http://fabulousfibonacci.com/portal/index.php?option=com_content&view=article&id=7&Itemid=17) cifredecimali del numero

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