Fibonacci - La Seccion Aurea

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06/12/22 06/12/22 SEZIONE AUREA SEZIONE AUREA 1 LA SEZIONE AUREA LA SEZIONE AUREA Un numero molto…. Un numero molto…. ma molto… ma molto… SPECIALE SPECIALE

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 11

LA SEZIONE AUREALA SEZIONE AUREAUn numero molto….Un numero molto….

ma molto…ma molto…

SPECIALESPECIALE

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ФФ = 1,6180339887… = 1,6180339887…1/1/ФФ = 0,6180339887… = 0,6180339887…

Qual è la probabilità che Qual è la probabilità che l’ago (di lunghezza l’ago (di lunghezza esattamente uguale alla esattamente uguale alla distanza delle righe) distanza delle righe) gettato a caso sul foglio, gettato a caso sul foglio, si fermi in modo tale da si fermi in modo tale da intersecare una delle intersecare una delle righe?. righe?.

È 2 / È 2 / pp = 0,636… = 0,636… Abbastanza…. vicino… Abbastanza…. vicino…

a 1/a 1/ФФ..

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ФФ = 1,6180… = 1,6180… 1/1/ФФ = 0,6180… = 0,6180…

Meno noto di Pi Meno noto di Pi greco è greco è ФФ, un , un numero misterioso.numero misterioso.

La mirabile La mirabile disposizione dei disposizione dei petali di una rosa.petali di una rosa.

L’armoniosa spirale L’armoniosa spirale di alcune conchiglie.di alcune conchiglie.

La distribuzione delle La distribuzione delle galassie. galassie.

Hanno in comune Hanno in comune qualche cosa….qualche cosa….

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EUCLIDEEUCLIDE

Si può dire che una linea Si può dire che una linea retta sia stata divisa retta sia stata divisa secondo la proporzione secondo la proporzione estrema e media quando estrema e media quando l’intera linea AB sta alla l’intera linea AB sta alla parte maggiore AC così parte maggiore AC così come la maggiore AC sta come la maggiore AC sta alla minore CB. Ossia:alla minore CB. Ossia:

La parte maggiore AC è La parte maggiore AC è media proporzionale tra il media proporzionale tra il tutto AB e la parte minore tutto AB e la parte minore CB.CB.

A C BA C B

AB : AC = AC : CBAB : AC = AC : CB

Ossia:Ossia:AB / AC = AC / CB = AB / AC = AC / CB = ФФ = =

1,618…1,618…1 / 1 / ФФ = 0,618… = 0,618…

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LA MELALA MELA Se si taglia il frutto a metà, i Se si taglia il frutto a metà, i

semi sono disposti in modo semi sono disposti in modo da formare una stella a 5 da formare una stella a 5 punte o pentagono stellato punte o pentagono stellato o o pentagrammapentagramma..

In ognuno dei 5 triangoli In ognuno dei 5 triangoli isosceli che formano le isosceli che formano le punte del pentagramma il punte del pentagramma il rapporto della lunghezza di rapporto della lunghezza di uno dei lati con la base uno dei lati con la base (implicita) è uguale alla (implicita) è uguale alla sezione aurea: 1,618… sezione aurea: 1,618…

I petali di una rosa sono I petali di una rosa sono disposti secondo una disposti secondo una regola precisa; una regola precisa; una regola basata sul regola basata sul rapporto aureo.rapporto aureo.

Il tronco della passiflora Il tronco della passiflora è rotondo: i rami sono a è rotondo: i rami sono a pentagono.pentagono.

I fiori presentano un I fiori presentano un pistillo a 3 diramazioni.pistillo a 3 diramazioni.

I petali sono 5, stami 5, I petali sono 5, stami 5, blattee 3.blattee 3.

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IL PENTAGONOIL PENTAGONO In ogni figura piana regolare In ogni figura piana regolare

(angoli e lati uguali) la (angoli e lati uguali) la somma in gradi di tutti gli somma in gradi di tutti gli angoli interni è uguale a:angoli interni è uguale a:

180° * (n – 2), dove n è il 180° * (n – 2), dove n è il numero di lati.numero di lati.

Per esempio in un Per esempio in un pentagono n=5, la somma è pentagono n=5, la somma è 540°. Il triangolo interno è 540°. Il triangolo interno è pure aureo, perché il lato pure aureo, perché il lato diviso base dà diviso base dà ФФ..

Bisecando l’angolo in D si Bisecando l’angolo in D si ottiene ancora un triangolo ottiene ancora un triangolo aureo e il lato opposto è pure aureo e il lato opposto è pure aureo: si può continuare….aureo: si può continuare….

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IL RAPPORTO IL RAPPORTO La media aurea non è affatto banale

Tutt’altra cosa che un comune irrazionaleTutt’altra cosa che un comune irrazionale

Capovolta, pensate un po’,Capovolta, pensate un po’,

Resta se stessa meno l’unità.Resta se stessa meno l’unità.

Se poi di uno la aumentateSe poi di uno la aumentate

Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.

x 1x 1

x / 1 = (x + 1) / xx / 1 = (x + 1) / x

x x ²² = x + 1 = x + 1

x x ² ² – x -1 = 0– x -1 = 0

X1 = (1 + X1 = (1 + 5 ) / 2 = 1,618.. 5 ) / 2 = 1,618..

X2 = (1 - X2 = (1 - 5 ) / 2 = - 0,618. 5 ) / 2 = - 0,618.

1/1/ФФ = = ФФ - 1 - 1

ФФ²² = = ФФ + 1 + 1

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RETTANGOLO AUREORETTANGOLO AUREO Il lato maggiore e il lato minore Il lato maggiore e il lato minore

stanno tra loro in un rapporto pari a stanno tra loro in un rapporto pari a ФФ = 1,618... Immaginiamo di = 1,618... Immaginiamo di sottrarre da questo rettangolo un sottrarre da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al minore.quadrato di lato uguale al minore.

Il risultato sarà un rettangolo minore, Il risultato sarà un rettangolo minore, a sua volta aureo, si può ripetere...a sua volta aureo, si può ripetere...

Le dimensioni sono pari ad un fattore Le dimensioni sono pari ad un fattore = = ФФ..

Tracciando due diagonali che si Tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di intersecano in ciascuna coppia di rettangoli, genitore e figlio, si trova rettangoli, genitore e figlio, si trova che tutte le diagonali passano per un che tutte le diagonali passano per un punto: una serie geometrica di punto: una serie geometrica di rettangoli che converge intorno a rettangoli che converge intorno a quel punto, senza mai raggiungerlo. quel punto, senza mai raggiungerlo.

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FIBONACCIFIBONACCI Scrivete due numeri qualunque, Scrivete due numeri qualunque,

a piacere e scriveteli uno dopo a piacere e scriveteli uno dopo l’altro.l’altro.

Ricavate un terzo numero Ricavate un terzo numero semplicemente sommando i semplicemente sommando i primi due; poi un quarto primi due; poi un quarto numero, sommando il secondo numero, sommando il secondo e il terzo.e il terzo.

Un quinto numero, sommando il Un quinto numero, sommando il terzo e il quarto e così via…fino terzo e il quarto e così via…fino ad ottenere una serie di 20 ad ottenere una serie di 20 numeri.numeri.

Ora con una calcolatrice Ora con una calcolatrice dividete il 20° numero per il 19°.dividete il 20° numero per il 19°.

Il risultato è famigliare? È Il risultato è famigliare? È ancora ancora ФФ..

Serie di FibonacciSerie di Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21, 34, 55, 89,144,21, 34, 55, 89,144,

233, 377, 610,233, 377, 610,

987,… 987,…

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I CONIGLII CONIGLI Un uomo mette una coppia Un uomo mette una coppia

di conigli in un recinto.di conigli in un recinto. Quante coppie di conigli Quante coppie di conigli

possono essere prodotte possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni anno supponendo che ogni mese ogni coppia produca mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal di riprodursi a sua volta dal secondo mese?secondo mese?

GG = coppia = coppia GGrande, rande, pp = = coppia coppia ppiccolaiccola

MeseMese SituazioneSituazione TotaleTotale

StartStart GG 11

1°1° GpGp 22

2°2° GpGGpG 33

3°3° GpGGpGpGGp 55

4°4° GpGGpGpGGpGGpGpG 88

5°5° GpGGpGpGGpGGpGpGGpGpGGpGGp 1313

12°12° È facile convincersi È facile convincersi del risultato…..del risultato….. 377377

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IL FALCO PELLEGRINOIL FALCO PELLEGRINO Si cala sulla preda con una Si cala sulla preda con una

discesa a 300 km/h con discesa a 300 km/h con traiettoria a spirale traiettoria a spirale logaritmica.logaritmica.

Potrebbe scendere diritto Potrebbe scendere diritto con velocità maggiore, ma con velocità maggiore, ma per vedere la preda, deve per vedere la preda, deve girare la testa di 40°, ciò girare la testa di 40°, ciò peggiorerebbe peggiorerebbe l’aerodinamica.l’aerodinamica.

Lui scende massimizzando Lui scende massimizzando la velocità.la velocità.

Ogni punto sulla spirale Ogni punto sulla spirale gode della proprietà di avere gode della proprietà di avere lo stesso angolo, rispetto al lo stesso angolo, rispetto al polo.polo.

È una spirale che gode della È una spirale che gode della proprietà d’essere proprietà d’essere equiangolaequiangola

Il falco scende con lo stesso Il falco scende con lo stesso angolo (costante) sulla angolo (costante) sulla preda.preda.

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TERNE PITAGORICHETERNE PITAGORICHE Una terna pitagorica Una terna pitagorica

sono tre numeri in cui la sono tre numeri in cui la somma dei quadrati dei somma dei quadrati dei primi due è pari al terzo primi due è pari al terzo (pure al quadrato)(pure al quadrato)

Quella famosa è relativa Quella famosa è relativa al Teorema di Fermat: al Teorema di Fermat:

33²² + 4 + 4²² = 5 = 5²² ossia: ossia: 9 + 16 = 259 + 16 = 25

Se ne possono trovare Se ne possono trovare altre ponendo ad es.:altre ponendo ad es.:

nuovi numeri: 5, 6, 7nuovi numeri: 5, 6, 7 p > q p > q » p = 6, q = 5» p = 6, q = 5 p² - q² = 36 – 25 = p² - q² = 36 – 25 = 1111 2pq = 2*6*5 = 2pq = 2*6*5 = 6060 p² + q² = 121 + 3600 = p² + q² = 121 + 3600 =

37213721 1111² + ² + 6060² = ² = 6161²² 121 + 3600 = 3721121 + 3600 = 3721

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1313

LA ROSALA ROSA Togliendo uno ad uno i petali Togliendo uno ad uno i petali

si può notare che gli angoli si può notare che gli angoli che definiscono le posizioni che definiscono le posizioni dei petali (in frazione dei petali (in frazione dell’angolo giro) sono la dell’angolo giro) sono la parte decimale di semplici parte decimale di semplici multipli di multipli di ФФ..

Il petalo 1° è a un Il petalo 1° è a un 0,618esimo (1*0,618esimo (1*ФФ) di giro dal ) di giro dal petalo 0.petalo 0.

Il petalo 2° è a un Il petalo 2° è a un 0,236esimo (2*0,236esimo (2*ФФ) di giro dal ) di giro dal petalo 1 e così via.petalo 1 e così via.

Perché la successione circolare Perché la successione circolare delle foglie si basa sull’angolo aureo delle foglie si basa sull’angolo aureo di 137,5°?di 137,5°?

Una scuola si concentra sulle Una scuola si concentra sulle proprietà delle disposizioni: i proprietà delle disposizioni: i germogli posti su una spirale germogli posti su una spirale generatrice risultano più fitti e usano generatrice risultano più fitti e usano lo spazio con più efficienza se lo spazio con più efficienza se separati da angoli aurei. Se l’angolo separati da angoli aurei. Se l’angolo fosse 120° le foglie si allineerebbero.fosse 120° le foglie si allineerebbero.

Si riduce al minimo lo spreco.Si riduce al minimo lo spreco. ФФ è il più irrazionale degli irrazionali è il più irrazionale degli irrazionali

e converge più lentamente.e converge più lentamente. L’altra scuola considera i fenomeni L’altra scuola considera i fenomeni

geometrici come altrettante geometrici come altrettante manifestazioni di cause sottostanti di manifestazioni di cause sottostanti di natura non geometrica.natura non geometrica.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1414

LA PASSIFLORALA PASSIFLORA

Le foglie Le foglie seguono la seguono la regola di regola di Fibonacci: ha Fibonacci: ha 5 foglie. 5 foglie.

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LA PASSIFLORALA PASSIFLORA

Sx: Vista anteriore, corolla formata da 10 petali (360° / 10 = Sx: Vista anteriore, corolla formata da 10 petali (360° / 10 = 36°)…è un numero già visto! Ha 3 stimi, 5 stami.36°)…è un numero già visto! Ha 3 stimi, 5 stami.

Dx: Vista posteriore, la corolla dei 10 petali è composta da 5 Dx: Vista posteriore, la corolla dei 10 petali è composta da 5 petali bianchi e 5 ricoperti verdi, vicino al gambo altri 3 petali, petali bianchi e 5 ricoperti verdi, vicino al gambo altri 3 petali, su uno strato interno, più piccoli. Quindi 3…5… 10 anteriori su uno strato interno, più piccoli. Quindi 3…5… 10 anteriori che diventano 2 gruppi da 5…….36°…coincidenza…?che diventano 2 gruppi da 5…….36°…coincidenza…?

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LA PASSIFLORALA PASSIFLORA

Particolare del fiore Particolare del fiore ingranditoingrandito

33 55

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1717

SEMPRE 5SEMPRE 5

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1818

SEMPRE 5SEMPRE 5

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 1919

OLEANDRO, …………..OLEANDRO, …………..

Hanno fiori a 5 petali, come altre piante anche se ciò non Hanno fiori a 5 petali, come altre piante anche se ciò non sempre è una regola spesso diventa una ricorrenza.sempre è una regola spesso diventa una ricorrenza.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2020

FILOTASSIFILOTASSI Le foglie sui rami e i rami lungo il tronco, Le foglie sui rami e i rami lungo il tronco,

nel regno vegetale, tendono ad occupare nel regno vegetale, tendono ad occupare posizioni che rendono massima posizioni che rendono massima l’esposizione al sole, alla pioggia e l’esposizione al sole, alla pioggia e all’aria.all’aria.

Un fusto verticale produce foglie e rami Un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari.secondo schemi regolari.

È raro che queste formazioni seguano È raro che queste formazioni seguano schemi rettilinei, perché in tal modo si schemi rettilinei, perché in tal modo si priverebbero a vicenda della pioggia e priverebbero a vicenda della pioggia e della luce.della luce.

La successione delle foglie e dei rami ha La successione delle foglie e dei rami ha invece una componente rotatoria, che invece una componente rotatoria, che con l’avanzamento verso l’alto traccia con l’avanzamento verso l’alto traccia intorno al fusto un’elica immaginaria.intorno al fusto un’elica immaginaria.

Le squame delle pigne d’abete e Le squame delle pigne d’abete e dell’ananas, sono disposte a spirale.dell’ananas, sono disposte a spirale.

I tigli hanno le foglie in genere su 2 I tigli hanno le foglie in genere su 2 parti opposte, corrispondenti a ½ parti opposte, corrispondenti a ½ giro intorno al fusto Q = ½giro intorno al fusto Q = ½

Il nocciolo, rovo, faggio Q =Il nocciolo, rovo, faggio Q =⅓⅓ Il melo, alcune quercie e l’albicocco Il melo, alcune quercie e l’albicocco

hanno foglie ogni 2/5 di giro Q = 2/5hanno foglie ogni 2/5 di giro Q = 2/5 Il pero e salice piangente Q = 3/8Il pero e salice piangente Q = 3/8 Su altre piante occorre fare 3 giri Su altre piante occorre fare 3 giri

per passare a 8 rami Q = 3/8per passare a 8 rami Q = 3/8 Queste frazioni sono rapporti di Queste frazioni sono rapporti di

termini alternati di: Fibonacci…termini alternati di: Fibonacci… Non bisogna dimenticare, tuttavia, Non bisogna dimenticare, tuttavia,

che la crescita delle piante è legata che la crescita delle piante è legata anche a fattori diversi dall’uso anche a fattori diversi dall’uso ottimale dello spazio: queste regole ottimale dello spazio: queste regole non valgono in ogni caso e non valgono in ogni caso e circostanza, ma c’è: circostanza, ma c’è:

“ “un’affascinante e prevalente un’affascinante e prevalente tendenza”.tendenza”.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2121

360° / 360° / ФФ = 222,5° = 222,5°360° - 222,5° = 137,5° 360° - 222,5° = 137,5°

L’angolo maggiore risultante dalla divisione dell’angolo L’angolo maggiore risultante dalla divisione dell’angolo giro secondo il rapporto aureo è 222,5°.giro secondo il rapporto aureo è 222,5°.

L’angolo minore diventa 360° - 222,5° = 137,5°: è un L’angolo minore diventa 360° - 222,5° = 137,5°: è un angolo aureo.angolo aureo.

Collocando una fitta serie di punti separati da 137,5° Collocando una fitta serie di punti separati da 137,5° lungo una spirale avvitata strettamente, l’occhio riceve lungo una spirale avvitata strettamente, l’occhio riceve l’impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l’impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l’una in senso orario e l’altra in senso antiorario.l’una in senso orario e l’altra in senso antiorario.

Simili spirali ci sono nel girasole.Simili spirali ci sono nel girasole.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2222

LA SPIRALE LOGARITMICALA SPIRALE LOGARITMICA La spirale meravigliosa: una particolare curva La spirale meravigliosa: una particolare curva

avvolta su se stessaavvolta su se stessa Ogni punto della spirale, rispetto al polo, ha la Ogni punto della spirale, rispetto al polo, ha la

caratteristica di crescere, come distanza dal caratteristica di crescere, come distanza dal polo, deviando con angolo costante.polo, deviando con angolo costante.

Il falco scende da un grande Il falco scende da un grande “cerchio” “cerchio” che si che si arrotola su se stesso con angolo costante e arrotola su se stesso con angolo costante e quindi sempre più vicino al punto della “preda”.quindi sempre più vicino al punto della “preda”.

La conchiglia (certe, non tutte..!), le galassie….La conchiglia (certe, non tutte..!), le galassie…. Perché …c’è un perché …..??Perché …c’è un perché …..??

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2323

Il motto: crescendo non Il motto: crescendo non cambia forma…cambia forma…

Il motto descrive una fondamentale proprietà della Il motto descrive una fondamentale proprietà della spirale logaritmica, che si ritrova solo in questa spirale logaritmica, che si ritrova solo in questa particolare curva: particolare curva: crescendo, non cambia forma. crescendo, non cambia forma.

Questa proprietà è nota come: Questa proprietà è nota come: auto-somiglianza.auto-somiglianza. È una proprietà richiesta da molti fenomeni di È una proprietà richiesta da molti fenomeni di

accrescimento naturale: accrescimento naturale: il nautiloil nautilo crescendo si crescendo si costruisce camere sempre più spaziose, abbondando costruisce camere sempre più spaziose, abbondando e sigillando quelle inutilizzabili perché troppo piccole. e sigillando quelle inutilizzabili perché troppo piccole. Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, cosicché la forma del guscio resta proporzione, cosicché la forma del guscio resta immutata.immutata.

Le zanne degli elefanti, le corna dei montoni….sono Le zanne degli elefanti, le corna dei montoni….sono spirali logaritmiche.spirali logaritmiche.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2424

CRESCENDO…CRESCENDO… Crescendo, per accumulazione interna, la Crescendo, per accumulazione interna, la

spirale logaritmica diviene sempre più ampia e spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta la distanza tra un giro e i successivi aumenta man mano che ci si allontana dall’origine, detta man mano che ci si allontana dall’origine, detta “polo”.“polo”.

In particolare, avanzando secondo angoli della In particolare, avanzando secondo angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante: aumenta con una proporzione costante: aumenta il raggio con deviazione equiangola.aumenta il raggio con deviazione equiangola.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2525

PIANTE GRASSEPIANTE GRASSE

Ci sono ..13 Ci sono ..13 spicchi…spicchi…

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2626

LA NATURA …AMA…LA NATURA …AMA… Le spirali logaritmiche: i girasoli, le conchiglie, i Le spirali logaritmiche: i girasoli, le conchiglie, i

vortici, gli uragani, le spirali galattiche…vortici, gli uragani, le spirali galattiche… Questa armoniosa figura è stata scelta come Questa armoniosa figura è stata scelta come

ornamento favorito.ornamento favorito. Pura coincidenza fortuita ?Pura coincidenza fortuita ? Minuscoli fossili od organismi unicellulari noti Minuscoli fossili od organismi unicellulari noti

come “foraminiferi” rispettano la spirale come “foraminiferi” rispettano la spirale logaritmica. logaritmica.

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2727

Il RAPPORTO AUREOIl RAPPORTO AUREO Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo

è assai stretto.è assai stretto. I rettangoli annidati che si ottengono sottraendo un I rettangoli annidati che si ottengono sottraendo un

quadrato ad un rettangolo aureo.quadrato ad un rettangolo aureo. Se si congiungono i punti in cui questo vortice di Se si congiungono i punti in cui questo vortice di

quadrati divide i lati secondo il rapporto aureo, si quadrati divide i lati secondo il rapporto aureo, si ottiene una spirale logaritmica che si sviluppa intorno ottiene una spirale logaritmica che si sviluppa intorno al polo.al polo.

Anche da un triangolo aureo bisecando un angolo alla Anche da un triangolo aureo bisecando un angolo alla base si ottiene un triangolo pure aureo più piccolo.base si ottiene un triangolo pure aureo più piccolo.

Continuando si ottiene un vortice…Continuando si ottiene un vortice…

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2828

SIAMO FORTUNATI…!SIAMO FORTUNATI…! La forza di gravità …è inversamente proporzionale La forza di gravità …è inversamente proporzionale

alla distanza in modo quadratico, tante formule alla distanza in modo quadratico, tante formule dipendono dal quadrato…dipendono dal quadrato…

Se dipendesse dal cubo, l’orbita terrestre sarebbe non Se dipendesse dal cubo, l’orbita terrestre sarebbe non un’elisse…ma una spirale logaritmicaun’elisse…ma una spirale logaritmica

Finiremo sul caldo Sole…o verso il gelido infinito….Finiremo sul caldo Sole…o verso il gelido infinito…. Non voglio convincerVi….ma vale la pena pensarci, Non voglio convincerVi….ma vale la pena pensarci,

guardando diversamente la natura intorno a noi..guardando diversamente la natura intorno a noi.. ..

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 2929

SPIRALE LOGARITMICASPIRALE LOGARITMICA

Togliendo da un Togliendo da un rettangolo aureo un rettangolo aureo un quadrato si ottiene quadrato si ottiene ancora un rettangolo ancora un rettangolo aureo e così viaaureo e così via

Unendo i punti si Unendo i punti si ottiene una spirale ottiene una spirale logaritmicalogaritmica

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3030

SPIRALE LOGARITMICASPIRALE LOGARITMICA Un pentagono Un pentagono

contiene un triangolo contiene un triangolo aureoaureo

Bisecando si ottiene Bisecando si ottiene un triangolo aureo… un triangolo aureo… e il lato opposto è e il lato opposto è diviso in modo aureodiviso in modo aureo

Unendo i punti di Unendo i punti di intersezione si intersezione si ottiene una spirale ottiene una spirale logaritmicalogaritmica

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3131

NOTA………IL PENTAGONO..!NOTA………IL PENTAGONO..!

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3232

CRESCENDO….ln(CRESCENDO….ln()=a*r)=a*r

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

2

1.5

1

0.5

0

LOGARITMICA

2

0

r( )

r

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3333

DomaDomandende

I fiori dei zucchini, quante punte hanno? 5I fiori dei zucchini, quante punte hanno? 5

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04/12/2304/12/23 SEZIONE AUREASEZIONE AUREA 3434

FINEFINE

Ci sarebbe dell’altro…..Ci sarebbe dell’altro…..

ma per concludere…..ma per concludere…..

è meglio finire…..è meglio finire…..

Claudio CicheriClaudio Cicheri