“”

“

”

Quando si parla di SEZIONE AUREA si parla di un NUMERO “molto speciale” anche se la sezione aurea non corrisponde al

numero aureo, tutt’altro: i due sono RECIPROCI.

Molte realtà che si trovano in natura, letteratura, matematica, musica, arte anche se così diverse tra loro condividono un

numero o una proporzione geometrica.

Il RAPPORTO AUREO è un insieme di significati QUANTITATIVI (rapporto tra cose secondo grandezza o

qualità) ed ESTETICI (rapporto tra cose armonioso).

Il fascino del RAPPORTO AUREO dipende dalla sua propensione a comparire dove meno lo si aspetta

E’ così che nel corso degli anni, diversi teorici hanno studiato il RAPPORTO AUREO scoprendo e creando dei principi

capaci di collegare esempi di fenomeni aurei.

Forse l'uomo, quasi senza rendersene conto, ha riconosciuto in natura questo principio e lo ha utilizzato come strumento per

giudicare e comprendere le opere d'arte.

Tuttavia questi teorici non sono riusciti a dimostrare che il RAPPORTO AUREO è una regola universale utilizzata da

pittori, artisti, architetti, musicisti etc.

Per studiare la sezione aurea in diversi ambiti, e il conseguente rapporto aureo interpretato nel corso

degli anni, bisogna prima di tutto capire la SEZIONE AUREA e il NUMERO AUREO nel campo matematico

reciproco

SEZIONE AUREA NUMERO AUREO

SEZIONE AUREA NUMERO AUREO

La sua particolarità è dovuta dal fatto che compare negli ambiti più inaspettati:

Matematica

Natura

Storia dell’arte

Architettura

Musica

“

• La sezione aurea

La sezione aurea in Matematica

- Procedimento con calcolo numerico

- Procedimento geometrico

• Il numero aureo - La sequenza di Fibonacci e lo

studio di Luca Pacioli

- Il triangolo aureo

- Il rettangolo aureo

- La spirale logaritmica

La sezione aurea viene indicata abitualmente con la LETTERA GRECA Φ (phi) e corrisponde ad un numero

irrazionale legato a numerose costruzioni geometriche. La più semplice, dalla quale viene poi ricavato il suo valore, è riferita

al segmento:

• dato un segmento AB;

A B

A B

C

A BC

sezione aurea di AB

• si prende un punto C compreso tra A e B;

• il segmento AC medio proporzionale tra il segmento AB e il segmento CB è detto SEZIONE AUREA del segmento AB

Il valore della sezione aurea Φ viene calcolato con il:PROCEDIMENTO CON CALCOLO NUMERICO

• se il segmento AB ha lunghezza = L;A B

L

A C B• la sezione aurea AC=x ha valore pari alla soluzione dell’equazione:

x

Lx2 + Lx – L2 = 0

x = (√5 - 1)L / 2

Φ ═ (√5 - 1) / 2 = 0,61803398874989484…

≈ 61,8 % di L

Graficamente, la sezione aurea può essere rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b, tali che il rapporto tra l'intero segmento a + b e la parte più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte più lunga

a e la parte più corta b

a b

a + b

Anche le due parti a e b così ottenute sono tra loro in RAPPORTO AUREO, così come la parte

più piccola con la differenza tra le due parti:a : b = b : (a – b)

(a + b) : a = a : b

(PROPORZIONE ESTREMA E MEDIA definita da EUCLIDE)

Costruzione della sezione aurea di un segmento:PROCEDIMENTO GEOMETRICO

consideriamo il segmento AB

facciamo centro con il compasso in B e riportiamo il punto D sul segmento AB ricavando il punto E

A B

tracciamo da uno dei suoi estremi (A) un segmento (AC) perpendicolare ad esso e lungo la metà di AB A B

C

uniamo gli estremi liberi (BC) ottenendo il triangolo ABC

A B

C

puntiamo il compasso in C con apertura CA e riportiamo la misura sull’ipotenusa del triangolo ottenendo il punto D

AE è la sezione aurea del segmento AB

2

1

1

Ponendo:• AB = 2

Si può ricavare:• AC=CD=1• BC=√5

Considerando la “proporzione estrema e media” di Euclide si può dimostrare che:

AB:AE=AE:EB AE=Φ=(√5-1)/2 AE = sezione aurea del segmento AB

Il NUMERO AUREO (o proporzione divina) deriva dalla suddivisione in “estrema e media ragione” definita da Euclide ed è pari a:

φ = f = (√5 + 1) / 2 = 1,61803398874989484…

Il NUMERO AUREO gode di molte proprietà inconsuete

1/f = f-1

f2 = f+1

f3 = 2f+1

f4 = 3f+1

Ogni potenza è la somma delle due precedenti, come accade per la successione di Fibonacci

Il numero aureo è il limite a cui tende il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi

La sequenza di FibonacciLeonardo Pisano, matematico medioevale, nel 1202 scrive il trattato “Liber Abbaci” in cui rivela una “magica” e antica sequenza che solo in tempi più

recenti prenderà il suo nome

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

La somma di due termini adiacenti è uguale al successivo

Il quoziente di due numeri adiacenti tende man mano che i numeri diventano grandi al valore 1.618

tre numeri consecutivi estrapolati in un punto qualsiasi della successione (fatta eccezione per i primissimi termini) sono, grazie ad una straordinaria approssimazione, eccellenti valori numerici per la realizzazione di segmenti in proporzione aurea.

A partire da questa successione, se formiamo una serie di tipo frazionario emergono i seguenti rapporti:

I valori approssimati sono:

1/1, 2/1,3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, …

1, 2, 1.5, 1.666, 1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617, 1.6181, 1.6180, …

Il numero d’oro della sezione aurea è l’unico numero esistente per cui valgono le seguenti condizioni:

aggiungendo il numero 1 al numero aureo 1,618 si ottiene il suo quadrato

0,618 = 1/1,618 = 1,618 – 1

sottraendo il numero 1 al numero aureo 1,618 si ottiene il suo valore per inverso e cioè il valore della sezione aurea

1,618 ² = 2,618 = 1,618 + 1

Luca Pacioli fu il primo ad esporre in modo chiaro e completo la “secretissima scientia” del numero d’oro in un trattato pubblicato nel 1509 dal titolo significativo “De Divina proporzione” in cui presentò

13 proprietà del rapporto aureo, allegate ai 5 disegni dei solidi platonici di Leonardo Da Vinci. Nell’opera confluiscono studi su Platone, Euclide, Fibonacci, il pensiero di Piero Della Francesca, il

sapere di Leon Battista Aberti, contatti con Albrecht Dürer: un concentrato di “divina sapienza”

“Divina proporzione; opera a tutti gli ingegni perspicaci e curiosi necessaria ove

ciascun studioso di prospettiva, pittura, architettura, musica e altre matematiche soavissima sottile e ammirabile dottrina

conseguirà e dilettarassi con varie questioni di segretissima scienza”

De divina proportione, Luca Pacioli

Precedentemente Vitruvio, celebre architetto dell'antica Roma, scrisse il "De Architectura", un'opera in dieci volumi, tra il 25 e il 23 a.C., quando Augusto - a cui è dedicata l'opera - intraprendeva un grandioso

programma di costruzioni pubbliche a Roma e nell‘Impero. Essa costituisce una fonte essenziale per la conoscenza delle tecniche edilizie e dei materiali da costruzione, degli edifici pubblici e privati,

dell'urbanistica e dell'agrimensura dei Romani. Vitruvio descrisse le proporzioni del corpo umano e Leonardo Da Vinci le immortalò nel “UOMO VITRUVIANO”.

I Pitagorici studiando il numero d’oro scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea

del raggio.

• disegniamo un decagono regolare e tracciamo le sue diagonali

• consideriamo un triangolo isoscele ABC: per le proprietà della geometria elementare l’angolo al vertice CÂB è pari a 36° mentre gli altri due, AĈB e CBA sono pari a 72°

• bisechiamo uno dei due angoli di 72° (AĈB) e otteniamo il triangolo CBD con gli stessi angoli di ABC

• con l’aiuto della geometria elementare e in accordo con la definizione di Euclide si può dimostrare che il punto D divide la linea AB secondo il rapporto aureo

Triangolo aureo

A

C B

D

36°

72°

A

C B

36°

72°72°

36°

In un decagono regolare (o pentagono regolare) il rapporto tra la diagonale e il

lato è pari a Φ

Il triangolo ABC è simile al triangolo DBC

r : l = l : (r-l) l è sezione aurea del raggio r

I Pitagorici costruendo il pentagono regolare intrecciato o stellato (ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no) si accorsero

che la diagonale e il lato del poligono hanno come rapporto phi.

Essi chiamarono il pentagono pentagramma, lo considerarono

simbolo di armonia e lo assunsero come loro segno di riconoscimento.

A

C B

Dr

l

l

r-l

disegnare un quadrato ABCD disegnare altri quadrati via via più piccoli

disposti a spirale Il lato di ogni quadrato fratto il lato del

quadrato che lo segue nella successione (AB/EF) è un rapporto aureo

Il rettangolo così costruito è detto RETTANGOLO AUREO

Rettangolo aureo

A

B

D

C

A

B

D

C E

F

Rettangolo aureo

Chiamiamo rettangolo aureo un rettangolo che abbia come altezza il segmento AB e per base un segmento AE = ad AB più la sua sezione aurea BE.

• Disegnamo un quadrato ABCD, tracciamo la sua mediana verticale PQ, dividendolo in due rettangoli uguali, dopodiché tracciamo la diagonale PC di uno dei rettangoli così ottenuti.

• Prolunghiamo i due lati orizzontali del quadrato e puntando il compasso in P proiettiamo la diagonale del rettangolo PBCQ sul prolungamento del lato di base, ottenendo il punto E.

• Alziamo dal punto E la verticale e otteniamo il rettangolo aureo AEFD, la cui sezione aurea è costituita dal rettangolo (a sua volta aureo) BEFCD.

Spirale logaritmica

La curva si aggira intorno al polo senza mai raggiungerlo

All'interno di ogni quadrato è riportata la misura del suo lato.

SPIRALE LOGARITMICA:

curva matematica il cui grado di perfezione

geometrico dipende esclusivamente dalle «proporzioni auree»

che regolano lo sviluppo delle sue

volute

La sezione aurea si insinua anche nei regni della Natura

La conchiglia del Nautilus pompilius segue una curva il cui

fattore di crescita costante è rigorosamente «aureo», la sua

forma è una spirale logaritmica

La spirale che si forma in tre dimensioni prende il nome di elica conica.

Le corna del Muflone sono quelle che meglio seguono una struttura ad elica

conica

Prendiamo una coppia di conigli e mettiamola in un recinto. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai. Come si vede dal grafico all’inizio dell’esperimento abbiamo 1 coppia di conigli giovani. Dopo un anno rimaniamo sempre con 1 coppia di conigli ma adulti. Dopo 2 anni la femmina ha generato un’altra coppia di conigli, quindi nel recinto abbiamo 2 coppie. Al terzo anno la prima coppia ne ha generata un’altra, mentre

la seconda non è stata in grado di procreare in quanto giovane, quindi nel recinto ci sono 3 coppie di conigli. Passato un altro anno le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza non procrea,

quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di anno in anno. (SERIE DI FIBONACCI) 

LA RIPRODUZIONE DEI CONIGLI

Ammirando un girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza l’insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità (SPIRALI

LOGARITMICHE). La spirale rossa è costituita da 55 semi, quella verde 89: due numeri consecutivi

della SERIE DI FIBONACCI, e più esattamente quelli che maggiormente si avvicinano alla sezione aurea il cui rapporto 89/55 dà 1,61818

cavolfiori con rami spiraliformi

In molte specie di vegetali in particolar modo le astaracee il numero dei petali

di ogni fiore è un NUMERO DI FIBONACCI come 5, 13, 21,55

Analizzando la fillotassi, cioè la distribuzione delle foglie sul fusto delle piante, costante in ogni specie, si ha un'ulteriore dimostrazione che sia la sezione aurea sia i NUMERI DI FIBONACCI sono presenti in natura.

Fu Keplero a rivelare che su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo

uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre

una foglia allineata con la prima e a seconda delle specie, questa sarà la

seconda, la terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima foglia.

L’aria umida in rotazione sale a SPIRALE e poi si allarga in quota

Uragano "Linda"  sorto durante un "el Nino" si sposta verso nord-est

nel settembre del 1997sforzando la costa occidentale del Messico. Con venti che soffiano a

oltre 300 Km orari,Linda è tra le tempeste più violente mai registrate nell'Oceano Pacifico.

Parte della struttura interna dell'orecchio (coclea), è

riconducibile ad una SPIRALE LOGARITMICA seguendo le leggi

della sezione aurea

Misurando le dita della nostra mano

notiamo che i rapporti tra le

lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei

(PROPORZIONE EUCLIDEA)

E’ aureo il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore

Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei:A/a= tra l'altezza e larghezza del viso.

B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte.C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi.

D/d= altezza e larghezza del naso.E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca.

F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza.H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.

 

L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze

tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla proporzione aurea.

“”

• Piramidi egizie

• Partenone

• L’Arco di Costantino

• Castel del Monte

• Notre Dame & Palazzo di Vetro dell’Onu

• Leon Battista Alberti

• Le Corbusier

Se dividiamo il perimetro della base quadrata dal numero π, si ottiene l’altezza della piramide (AO).

I 4 lati triangolari di questa piramide hanno una angolazione di 51,84° rispetto alla base.

Se si misura la distanza fra la punta della piramide e il centro di un lato della base

quadrata (AB), si nota che questa distanza è esattamente 1,618034 volte la distanza fra il

centro della piramide e il centro di un lato (OB). Spesso troviamo l’angolo di 51,84° associato alla sezione aurea, per questo

viene chiamato ANGOLO AUREO

PIRAMIDI EGIZIE

Costanti fisse nel  rapporto tra le varie misure della piramide di Cheope sono due numeri molto singolari :

π = 3,141592654 e Φ = 1,618033989

A

BO

La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari

alla radice di 5 volte la larghezza

Il RETTANGOLO AUREO è ripetuto più volte sia nella pianta che nella facciata.

PARTENONE ( 440 – 430 a. C. )

A B

CD

AB = √5*BC

L’Arco di Costantino, innalzato per celebrare la vittoria dell’imperatore, è il più

importante degli archi trionfali romani.

L’altezza dell’arco centrale divide l’altezza totale secondo la divina proporzione mentre gli altri due archi soddisfano lo stesso principio nella distanza

tra la base e il listello inferiore.

ARCO DI COSTANTINO ( 313 d. C. )

Castel del Monte, esempio di architettura gotica in Puglia, è noto per la sua inconfondibile forma ottagonale, per le

suggestioni simboliche e per essere il più misterioso tra gli edifici commissionati da Federico II di Svevia.

Il portale può essere visto come un PENTAGONO STELLATO che detta le proporzioni della costruzione, in esso si va a

sistemare una figura umana: l’uomo di Nettesheim (1486-1535)

Le due punte in basso della stella cadono a livello ed a metà delle basi delle lesene. Quest’ultime

salendo si arrestano esattamente in coincidenza del lato orizzontale del "pentacolo". La punta superiore della stella a sua volta va a coincidere con il vertice del timpano del portale, esso è un triangolo isoscele

in cui i lati sono sezione aurea della base.

CASTEL DEL MONTE ( 1240 circa )

Se uniamo i punti in cui il sole sorge e

tramonta agli equinozi, alla latitudine di Castel del Monte otterremo un rettangolo in

divina proporzione (la lunghezza del lato maggiore è ottenibile moltiplicando il lato minore per 1,618) e questo accade solo a questa latitudine. Castel del Monte si trova

al centro di questo rettangolo.

Le sale del castello hanno forma trapezoidale. Se moltiplichiamo il lato minore del trapezio per 1,618

otteniamo il lato maggiore. Se dividiamo il lato minore per la radice quadrata di 1,618 otteniamo la larghezza

della sala. La presenza del numero aureo si trova ripetuto più volte nelle proporzioni del castello.

CASTEL DEL MONTE ( 1240 circa )

Progettati seguendo le proporzioni del RETTANGOLO AUREO

NOTRE DAME (Parigi 1163 – 1345)

PALAZZO DI VETRO dell’ONU (New York 1949 – 1950)

Leon Battista Alberti non parla mai nei suoi trattati delle proporzioni utilizzate nelle sue opere, come se volesse tenere segreto il metodo con cui riusciva ad ottenere quell’aspetto di armonioso equilibrio. Ciò nonostante vennero fatte indagini con diagrammi e rigorose riproduzioni che hanno

messo in evidenza che la DIVINA PROPORZIONE sia la regola che domina la connessione di tutte le parti di molte sue costruzioni.

“Il tempio Malatestiano” a Rimini (1447-1468), progettato secondo rigorosi moduli matematici e

proporzionali basati sul quadrato.

LEON BATTISTA ALBERTI (1404-1472)

LEON BATTISTA ALBERTI (1404-1472)

Come spiega lo stesso Alberti nei suoi scritti, l’armonia di un edificio (sinonimo di bellezza) è data dal rapporto delle parti fra loro con il tutto.

Santa Maria Novella a Firenze (1456 - 1470 ca)

L’insieme della facciata risulterebbe frammentario se non fosse governato da un disegno fortemente

unitario, geometrico e razionale.

In Santa Maria Novella tale sistema di relazioni geometriche e proporzionali è

regolato sulla base di un unico modulo, il QUADRATO.

L’intera facciata è inscrivibile in un quadrato, che a sua volta è suddivisibile in vari

quadrati, in un rapporto costante di 1:2 che lega il lato del quadrato più piccolo con il lato

di quello più grande di appartenenza.

La viva curiosità di Le Corbusier per il rapporto aureo rimanda ad almeno due suoi interessanti precedenti:1 - per le strutture sottostanti agli oggetti naturali;2 - la coscienza dell’importanza cruciale dei rapporti numerici per almeno una forma di armonia: quella acustica (poiché proveniva da una famiglia che incoraggiava lo studio e la pratica per la musica).

LE CORBUSIER (1887 - 1965)

“Il suo valore risiede in questo: il corpo umano è scelto come base dei numeri… ecco la proporzione! La proporzione che

ordina i nostri rapporti con ciò che ci circonda.”

“In questi trent’anni e più, la linfa della matematica è fluita nelle vene del mio lavoro, sia di architetto che di pittore; perché la musica è sempre stata presente dentro di me”.

La ricerca di Le Corbusier di una proporzione standardizzata culminò nell’introduzione di un nuovo sistema proporzionale, una GRIGLIA DI MISURE ARMONICHE per stabilire una serie di grandezze articolate tra loro dalla “sezione aurea” o “numero aureo”.

Egli attento al rapporto con la società, non aveva costruito una griglia astratta su base puramente matematica (come le serie di numeri armonici stilata da Fibonacci), bensì aveva ripreso i principi su cui aveva lavorato Matila Ghyka intorno al 1930, e aveva definito la griglia relativamente alle DIMENSIONI PRINCIPALI DEL CORPO UMANO.

LE CORBUSIER ( 1887 - 1965 )

Nel 1947, durante una conferenza, Le Corbusier battezza il suo sistema MODULORMODULOR, e pubblica il libro nel quale illustra il frutto e la metodologia della

sua ricerca

“Il Modulor. Saggio su una misura armonica alla scala umana universalmente applicata all’architettura e alla meccanica” - 1950

“Modulor 2 (la parola degli utenti)” - 1955

Nel secondo volume presenta un vero e proprio bilancio del metodo. Il disegno della figura umana su cui è costruita la griglia assurgerà a celebrità

universale. Dopo aver messo a punto il sistema, Le Corbusier regolerà su di esso le misure di tutti gli

elementi costitutivi dei suoi progetti.

• Un uomo alto circa 1,83 m e con un braccio alzato (2,26 m) è inserito in un quadrato.

LE CORBUSIER ( 1887 - 1965 )

Nella versione finale del Modulor furono introdotte due scale dimensionali basate sulla SUCCESSIONE DI FIBONACCI (le “serie rossa e blu”). Queste misure devono essere usate da

tutti gli architetti per costruire non solo spazi ma anche ripiani, appoggi, accessi che siano

perfettamente in accordo con le misure standard del corpo umano.

• I due rapporti (1,13/0,70 e 1,40/0,86) sono ulteriolmente suddivisi in dimensioni minori secondo la serie di Fibonacci (essendo ciascun numero uguale alla somma dei due precedenti).

IL MODULOR

• Il rapporto tra la statura dell’uomo (1,829 m) e la distanza dall’ombelico al suolo (1,13 m) è esattamente pari a Φ .

• L’altezza totale (dai piedi all’estremità del braccio alzato) è diviso secondo il rapporto aureo (1,40 e 0,86 m) a livello del polso dell’altro braccio, che pende liberamente verso il basso.

LE CORBUSIER ( Villa De Monzie-Stein a Garches, 1927 )

Nella facciata della Villa De Monzie-Stein a Garches (nei

pressi di Parigi) vi sono rapporti proporzionali regolati dalla

sezione aurea.

" (…) Il principio fondamentale di questo edificio è di essere costruito su pilotis. Si entra a livello del suolo nel centro

stesso dell'edificio, dove si trova la sala principale. La SPIRALE quadrata, che dI là inizia, permette

un'interruzione nei percorsi, estremamente favorevole all'attenzione che si esige dal visitatore. Il mezzo d’orientarsi

nel museo è dato dai locali a mezza altezza che formano una svastica. L’elemento modulare, largo 7 m circa e alto

circa 4,5 m, permette di assicurare un’illuminazione regolare sulle pareti della spirale quadrata. Le aperture nelle pareti mettono in comunicazione i locali,aprono la prospettiva, permettono una quantità di sistemazioni diverse (…)“

Le Corbusier

LE CORBUSIER ( Museo a crescita illimitata– 1939, Progetto)

Schizzo di conchiglia. “Il museo può essere iniziato senza denaro;

infatti la prima sala può venir costruita con alcune centinaia di franchi. Lo si può continuare con una,

due, quattro sale nuove, il mese dopo o due o quattro anni dopo, a

volontà…” Le Corbusier

LE CORBUSIER ( Unità di abitazione, Marsiglia - 1946)

L’Unité d'Habitation di Marseille rappresenta una delle realizzazioni pratiche, purtroppo rare, delle teorie di Le Corbusier sul nuovo modo di costruire la città ed è uno dei punti fondamentali di arrivo del Movimento Moderno

nel concepire l‘architettura e l'urbanistica.

Ogni appartamento ha un doppio ingresso, distribuito su due piani: i due livelli comunicano tramite una scala interna. La cellula è larga 3,66 metri e alta 2,26, che diventano 4,84

metri nella porzione a doppia altezza del soggiorno.

È disposta lungo l’asse nord-sud e si compone di 330 appartamenti di 23 tipologie diverse. Eccetto quelli a sud, godono di un doppio orientamento. Diciasette coppie di

pilotis formano altrettanti portici che sostengono un volume tecnico al di sopra del quale si erge la struttura in cemento armato. All’interno dei pilotis trovano posto gli

impianti idraulici e il sistema di scarico dei rifiuti.

Tutte le dimensioni dell’Unità ( struttura su un modulo quadrato di 4,19 metri di lato) sono impostate sul

MODULOR.MODULOR.

• Policleto

• Individuare una sezione aurea in un dipinto

• Leonardo da Vinci

• Sandro Botticelli

• Piet Mondrian & Salvator Dalì

POLICLETO (Doriforo – copia della fine del II secolo a. C. da un originale in bronzo del 440 a.C.)

Per rilevare l’utilizzo della sezione aurea nella rappresentazione del corpo umano possiamo applicare il PROCEDIMENTO

GEOMETRICO: ricavando il punto di sezione aurea sull’asse longitudinale del

“Doriforo”, notiamo che esso coincide esattamente con l’ombelico.

Policleto utilizza un preciso ordine formale. Solitamente gli

artisti per creare un insieme proporzionato utilizzano

un’unità di misura (modulo proporzionale), così

definiscono la grandezza delle singole parti in rapporto a essa: le dimensioni di ogni elemento saranno ottenute

moltiplicando o dividendo tale modulo di base. Nella

rappresentazione della figura umana, il modulo

proporzionale è spesso dato dalla lunghezza della testa, calcolata dal mento all’apice

del cranio: se si misura l’altezza complessiva del

“Doriforo” si scopre che essa equivale a sette volte tale

modulo.

Per verificare che una composizione sia strutturata sulla base della sezione aurea si procede così:• identificare su ogni lato dell’opera il punto di sezione aurea con il PROCEDIMENTO GEOMETRICO;• tracciare, a partire dai punti individuati, le parallele ai lati del dipinto;• verificare se tali linee intercettano elementi importanti, quali, per esempio, l’orizzonte, il profilo di un edificio o un personaggio rilevante.

INDIVIDUARE LA SEZIONE AUREA IN UN DIPINTO

Applichiamo questo procedimento all’analisi di un dipinto di Georges Seurat (Une

baignade (Asnières), 1883-1884), il pittore neoimpressionista di fine Ottocento. Notiamo che le linee di struttura ottenute concorrono a

determinare, la posizione dei personaggi principali nella scena.

LEONARDO DA VINCI (La Gioconda)

Anche se di notevole rilevanza, non analizziamo questo dipinto poiché esso è l’argomento di un tale numero di

scritti, sia specialistici che divulgativi, da rendere pressoché impossibile giungere a conclusioni non

ambigue.

LEONARDO DA VINCI (Annunciazione, 1472-1475 ca; Donna scapigliata, 1490 ca; L’ultima cena, 1494-1498)

Nell’ “Annunciazione” la figura e la postura dell’angelo sono in

PROPORZIONE AUREA rispetto alla sua distanza dalla Vergine.

Ne “L’ultima cena” Gesù, il personaggio divino, racchiuso in un

RETTANGOLO AUREO è dipinto con le proporzioni divine.

Nella “Donna scapigliata” la testa  è racchiusa in un RETTANGOLO AUREO, il volto è in proporzione

aurea rispetto ai fascia dei capelli, l’inclinazione del capo segue la

diagonale del quadrato.

L’”Uomo Vitruviano” illustra il canone di proporzioni umane che Vitruvio, l’architetto romano del I secolo a.C., aveva postulato a premessa della sua teoria architettonica. La teoria vuole dimostrare che le proporzioni

umane sono perfettamente inscrivibili in due figure geometriche perfette:

il CERCHIO e il QUADRATO.

Corpo dell'uomo ideale: • il viso → misurato dal mento alla sommità della fronte e alla radice dei capelli corrisponde a 1/10 dell'altezza del corpo (così come nella mano aperta se viene misurata dalla sua articolazione fino alla punta del dito medio); • l'altezza del viso si divide in tre parti uguali → 1- dal mento alla base delle narici, 2- dal naso fino al punto d'incontro con le sopracciglia e 3- dalle sopracciglia alla radice dei capelli. • il piede è la sesta parte dell'altezza del corpo e così via.

Rispettando tali proporzioni i pittori e gli scultori dell'antichità ottennero grandi elogi.   Quadrato: l’altezza dell’uomo è uguale alla lunghezza delle braccia distese.

                                                                    

“Il centro del corpo umano è inoltre per natura l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico,

si toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l’estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi”

( De Architectura, Vitruvio )

LEONARDO DA VINCI (Uomo Vitruviano, 1490)(1452 1519)

BOTTICELLI (1445-1510; La nascita di Venere, 1483-1485 ca)

Se misuriamo l’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva della Venere il loro rapporto sarà 0,618.

Il rapporto della distanza tra il collo del femore e il ginocchio, e la lunghezza dell’intera gamba è in sezione aurea; così come il rapporto tra la distanza del

gomito e la punta del dito medio, e la lunghezza del braccio.

Il pittore olandese Mondrian è noto soprattutto per il suo stile geometrico, da lui chiamato “neoplasticismo”. In particolare, molta della sua arte è caratterizzata da composizioni che contengono solo linee verticali e

orizzontali e impiegano unicamente i colori primari (e talvolta il nero e alcune sfumature di grigio) contro uno sfondo bianco, come in “Broadway Boogie-

Woogie”. Le linee curve, l’illusione della tridimensionalità e le rappresentazioni realistiche sono totalmente escluse da questa parte della

sua produzione.Fondamentale è l’accostamento di quadrati e RETTANGOLI AUREI.

PIET MONDRIAN (1872-1944)

Broadway Boogie-Woogie 1942-1943

Le dimensioni del quadro “Il sacramento dell’ultima cena” del 1955 sono in rapporto molto vicino a quello aureo.

Rilevante è l’enorme dodecaedro (un solido a dodici facce ognuna delle quali è un PENTAGONO

REGOLARE) che flutta sopra la tavola e la circonda.

SALVATOR DALI’ (1904-1989)

“”

• Nozioni base

• Guillame Dufay

• Béla Bartók

• Claude Debussy

• Violino e Pianoforte

• Musica rock - Genesis

I primi studi sull’applicazione della sezione aurea alle strutture formali della musica risalgono alla metà del XX secolo.

Il musicologo ungherese Ernö LENDVAI fu il primo vero specialista in materia.

Fece degli studi sulla sezione aurea nelle strutture musicali bartòkiane che, grazie alle numerose

pubblicazioni e traduzioni (dal 1955 in poi), hanno ampliato la diffusione della conoscenza di una

disciplina che fino ai primi anni settanta era appannaggio di pochi iniziati.

Il musicologo Roy HOWAT, tra il 1977 e il 1986, esaminò più approfonditamente la materia fermandosi in particolar modo sull’opera compositiva di Debussy

(1862-1918) e cercò di revisionare le analisi lendvaiane.

Tappe fondamentali della ricerca musicologica sulla sezione aurea

Nel 1950 venne pubblicato un articolo di J. H. Douglas Webster (in Music&Letters) in cui vennero citati

numerose partiture nelle quali riscontrarono “proporzioni auree”.

Un criterio a cui la sezione aurea fu particolarmente legata è quello di suddividere la composizione in sezioni

proporzionali tra di loro, ripetendo due volte la stessa musica con precisi rapporti di durata tra i due ritornelli.

All’interno delle strutture della musica composta nel secolo appena conclusosi la sezione aurea trovò terreno fertilissimo e

si propagò a dismisura

Stravinsky

Xenakis

Debussy, Stravinsky, Bartòk, Xenakis, Stockhausen, Nono, Ligeti, Gubajdulina…

Una melodia proposta in ritmo di 2/4, ad esempio, veniva ripetuta in 4/4 con le durate delle note raddoppiate.

Tinctoris con il trattato Proporzionale musices (1473-74) e Gaffurio (pratica musicae, 1496) giunsero alle più elevate

teorizzazioni circa questi metodi.

Dai primi rapporti della serie di Fibonacci possiamo scoprire interessanti relazioni tra la sezione aurea e l'armonia.

Il rapporto 1/1 ci da' la corda intera, l‘UNISONO (Es. Do1)

Il rapporto 2/1 ci da' la sua OTTAVA (Do2 un ottava superiore)

Il rapporto 3/2 di da la QUINTA GIUSTA (nella musica greca la diapente) (Do, sol)

Il rapporto 5/3 e' il valore della SESTA MAGGIORE (Do La)

L’intervallo di si sesta minore ( Mi e Do2), complementare all'intervallo di terza maggiore (Do1 e Mi), ha per misura 5/8

Chanson-mottetto suddiviso in due sezioni corrispondenti alle due ripetizioni del tenore, in cui il ritmo passa (in notazione moderna) da 3/4 a 4/4.

Nel quattrocento un compositore fiammingo, Guillame Dufay, dà l’avvio per un utilizzo in larga scala della sezione aurea

nelle composizioni musicali.

“Lamentazio Sanctae Matris Ecclesiae Constantinopolitanae”

GUILLAME DUFAY (1400 - 1474 )

1- la prima sezione è sezione aurea dell’intero brano;2- la seconda è sezione aurea della prima.

Inoltre tutti gli altri eventi salienti (cadenze ed entrate delle voci) avvengono secondo precise collocazioni venendo a definire sezioni auree sempre più piccole, a formare una struttura ad incastro.

Guillame Dufay scrisse il mottetto NUPER ROSARUM FLORES in occasione della consacrazione di SANTA MARIA DEL FIORE a Firenze il 4 marzo 1436.

Questo fa si che le durate siano diverse per ciascuna sezione pur restando identico il numero di battute (56

battute, di cui le prime 28 sono intonate solamente da motetus e triplum e nelle restanti si uniscono i

due tenores con la melodia dell’introito).

La struttura (in quattro sezioni) delle parti vocali del tenor e del contratenor (le voci principali) fu costruita da Dufay secondo un preciso piano aritmetico correlato alle proporzioni dimensionali dell’architettura della chiesa dedicataria e della cupola del

Brunelleschi in particolare.

E’ un mottetto celebrativo destinato alla celebrazione sonora solenne di grandi avvenimenti pubblici, ripartito in

quattro voci (tenor, contratenor, motetus e triplum).

L’ossatura formale è costituita da un cantus firmus che i due tenores eseguono a note lunghe e ritmicamente

sfalsata a distanza di una quinta sul motivo “Terribilis est locus iste”.

Il brano si divide in quattro parti ciascuna delle quali comprende un’esposizione del cantus firmus con

indicazioni metriche sempre differenti (in notazione moderna si passa dal ritmo 6/4 a 2/2, 2/4 e 6/8). Se uguale è il numero di battute è però differente

il tactus (corrispondente all’unità di misura della pulsazione, in questo caso del valore di 2/4), per ciascuna sezione si ottengono i seguenti valori:

168, 112, 56 e 84, che divisi per 28 danno i rapporti 6:4:2:3.

ascolta il midi

Se si osserva la struttura della cattedrale fiorentina si riscontrano facilmente le ricorrenze di questi numeri

La partitura musicale riesce a descrivere sulla carta i suoni

proprio come un progetto architettonico è in grado di

schematizzare attraverso piante e sezioni una complessa opera

tridimensionale.

• la modularità è data da un blocco della misura di 28 braccia;• la navata è composta da 6 moduli;• i transetti da 2 moduli ciascuno per un totale di 4;• la zona absidale da 2 moduli;• 3 moduli separano il soffitto della cupola dalla quota di pavimento.

Ritorna quindi lo schema 6:4:2:3 già visto all’interno del mottetto. In più i rapporti tra i due involucri della cupola ricalcano esattamente le proporzioni tra le altezze delle note dei due tenori.

L’ungherese Béla Bartók è un celebre compositore che ha fatto largo uso del rapporto

aureo. Virtuoso del pianoforte ed esploratore della musicologia etnica, Bartók ha fuso

l’eredità dei maestri classici a lui più vicini (Strauss, Liszt e Debussy). Oltre alle melodie,

la forza ritmica della sua musica e un uso sagace delle simmetrie formali contribuiscono a fare di questo musicista uno dei compositori più

originali del XX secolo.Analizziamo il primo movimento (una “fuga”) della Musica per archi,

percussioni e celesta.

BÉLA BARTÓK (1881-1945)

Il movimento di 89 battute è diviso in 2 parti: una da 55 battute e una da 34, dal punto di

massima intensità sonora. Ulteriori suddivisioni corrispondono all’aggiunta e rimozione delle

sordine (dispositivi applicati agli strumenti per smorzare il suono) e ad altri cambiamenti

timbrici.

Tutti i numeri delle battute sono numeri di Fibonacci, coi rapporti tra le parti

principali (per esempio 55/34) che si approssimano al rapporto aureo.

CLAUDE DEBUSSY (1862-1918)

Il compositore francese Claude Debussy, le cui innovazioni armoniche hanno profondamente influenzato generazioni di compositori, si è servito

del rapporto aureo in numerose occasioni.

Reflets dans l’eau (pezzo per pianoforte solo contenuto nella serie Images,1912). La prima ripresa del rondò giunge dopo 34 battute, che

segnano il punto di sezione aurea tra l’inizio del brano e la sua parte culminante a partire dalla

cinquantacinquesima battuta.

34 e 55 sono due numeri di Fibonacci e 34/21 è una buona approssimazione a Φ.

Nella seconda parte la struttura è divisa secondo il rapporto 24/15 (8/5 altri due numeri di Fibonacci).

Analoghe suddivisioni sono state rivelate sono state rivelate nei tre schizzi sinfonici intitolati La mer (Durand 1905), nella composizione per pianoforte solo Jardins

sous la pluie e in altre opere. Quando si ascolta La mer si ha l’impressione di ascoltare non solo il ritratto

musicale del mare e della sua potenza (ispirato all’opera del pittore inglese Turner), ma anche la rievocazione di

un periodo tumultuoso della vita dell’autore.

La Cathédrale Engloutie è un preludio per pianoforte di 89 battute, con le prime 68 battute che hanno un tempo doppio delle

restanti 21, in sostanza alla battuta 68 rallenta alla metà del tempo, quindi delle

prime 68 battute è come se in realtà ce ne fossero la metà, cioè 34. Tutto ciò

comporta che il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute,

vale a dire la sezione aurea di 89.

Alcuni dei violini più celebri furono costruiti da Antonio Stradivari (1644-1737), massimo

esponente della celebre scuola cremonese. Disegni originali mostrano che Stradivari usava

particolare cura nel collocare gli “occhi” dei fori a “effe” (le due aperture della cassa armonica la cui forma ricorda questa lettera) in posizioni

determinate geometricamente dal RAPPORTO AUREO. Esso inoltre è contenibile entro quattro

pentagoni regolari.

In pochi credono che l’uso del rapporto aureo sia il motivo dell’inimitabile timbro

dei violini Stradivari. Più spesso la verniciatura, il trattamento dei legni e la perizia complessiva dell’artigianato sono

considerati i possibili ingredienti del “segreto” di un ottimo violino.

VIOLINO

PIANOFORTE

Nella tastiera del pianoforte l’ottava corrisponde a 13 tasti, otto bianchi e cinque neri.

A loro volta i tasti neri sono riuniti in un gruppo di due o tre tasti.

I numeri citati (2, 3, 5, 8 e 13) formano una

sequenza di 5 numeri di Fibonacci consecutivi.

• La sesta maggiore e la sesta minore sono tra i più piacevoli intervalli musicali e sono legati dal rapporto aureo. • Il tono standard usato per accordare gli strumenti è LA (frequenza di 440 cicli al secondo). • Un accordo di sesta maggiore si ottiene combinando con il LA il DO (frequenza di 264 cicli al secondo). • Il rapporto delle frequenze corrisponde alla frazione 5/3, cioè il rapporto di due numeri di Fibonacci successivi. • Un accordo di sesta minore si ottiene da un DO alto (528 cicli al secondo) e da un MI (330 cicli al secondo). • Il rapporto può essere semplificato in 8/5, anch’esso un quoziente di due numeri di Fibonacci, e molto vicino al rapporto aureo.

MUSICA ROCK (ANNI 70)

Anche la musica Rock in special modo il così detto rock progressive, si è confrontata con la relazione esistente fra musica e matematica in special modo è stata attratta dagli

aspetti mistico-esoterici della sezione aurea e più precisamente dalla serie di Fibonacci.

Oltre ai Genesis, i quali più di qualsiasi altro gruppo si sono ispirati alla sezione aurea, ce ne

sono altri che hanno usato nelle loro composizioni i numeri aurei, anche se in poche occasioni, come ad esempio i Deep Purple nel

loro brano Child in Time.

L’esempio più emblematico per quanto riguarda questo genere musicale, è la musica dei GENESIS (gruppo progressive rock

sviluppatasi in Inghilterra durante la prima metà degli anni settanta), i quali usano assiduamente la serie fibonacciana per costruire

l’architettura armonica-temporale dei loro brani, uno di essi, più significativo in questo senso, è Firth of Fifth tutto basato su numeri

aurei.

 

n.sezione tonalità battute segnatura mm.ss.

1) Pf. (preludio) Si bem. magg. 34 (54+1) var. (su 390/16) 0:00

2) Voce (I parte) Si magg. 31½ 4/4 1:07

3) ponte mod. - 7 4/4 3:05

4) Fl. (tema) Mi min. 13¼ 4/4 3:30

5) Pf. (svil. tema) Do min. 8½ 4/4 4:10

6) Synth (solo) Si bem. magg. 34 (54+1) var. (su 390/16) 4:34

7) Chit. el. (solo) Mi min./magg. 55 4/4 5:46

8) ponte mod. - 2 4/4 8:27

9) Voce (II p. ripr.) Si magg. 11 4/4 8:34

10) Pf. (coda in dissol.) Mi magg. (8) 13/16 9:15

- - - - - 9:33

 

Il numero delle battute è riconducibile ai valori della serie di Fibonacci (...8.13.21.34.55.etc.); fondamentale è la struttura fortemente asimmetrica dei due assolo tastieristici, organizzati su segnature di tempo del tutto inusitate per un brano rock, la cui metrica, in continua variazione fra binario e ternario, conferisce ai due episodi una tensione dinamico-propulsiva di grande

efficacia. Questa complessa struttura dà così origine ad una sorta di nucleo generativo sfociante: il primo (pf), nell'attacco della prima sezione vocale, ed il secondo (synth), nel vasto assolo di chitarra elettrica, entrambi, non a caso, su segnatura 4/4, giusta e distesa risoluzione

del primigenio turbine ritmico precedente.

Firth of Fifth del 1973 (album SEBTP, Genesis)GENESISascolta la canzone

Questi due episodi strumentali, dal punto di vista strutturale e metrico-ritmico, sono assolutamente identici: si tratta di una

struttura formale AABCDAA che si sviluppa su 390 semicrome che corrispondono anche alle 390 semicrome della linea

melodica conduttrice.

Studiando approfonditamente la partitura ed evidenziando segnature di tempo, numero delle

battute, scomposizione ritmica e sottoscomposizione metrica non appare troppo

arduo risalire (calcolando il numero di semicrome per sezione) ad una serie matematica ricorrente di derivazione

fibonacciana, i cui valori corrispondono appunto, al numero totale delle semicrome contenute

nelle varie sezioni del solo, mentre le sommatorie parziali, per aggregazione strutturale

delle medesime, porta, sempre tramite i valori della serie che qui andiamo ad indicare, al totale

di 390/16:

30.30.60.90.150.240.390

si tratta dei primi 7 valori della serie di Fibonacci (1.1.2.3.5.8.13), ma ciascuno moltiplicato per 30

GENESIS