La Sezione Aurea -...

01/06/2015 Il fascino di 1

La Sezione Aurea

Tesina di Chiara Maggioni

Anno scolastico 2004-2005


Prima parte

Cenni alle ipotesi che la sezione aurea fosse nota e applicata nelle società babilonese e egizia

Scoperta, teorizzazione e applicazione della sezione aurea nella società greca, “Elementi” di Euclide:

• Definizione

• Proprietà

Studi di Leonardo Fibonacci: successione di Fibonacci

• Scoperta del rapporto tra successione di Fibonacci e sezione aurea (Keplero)

Studi di Bernoulli: la spirale logaritmica

Studi di Luca Pacioli: il perché del nome “divina proporzione”

Indice


Indice

Seconda parte

Applicazioni del rapporto aureo :

Applicazione diretta della sezione aurea ARTE

Modulor di Le Corbusier

Applicazione della successione di Fibonacci BOTANICA

Quoziente di fillotassi

Spirali di divergenza

Applicazione della spirale logaritmica ZOOLOGIA

Nautilo

Falcone

Montone


L’interesse per Φ nasce dallo studio del pentagramma (la stella a cinque punte inscritta in un pentagono regolare).

Le più vecchie tracce di queste figure sono state rinvenute in Mesopotamia e risalgono al IV millennio a.C.

Per quanto siano stati compiuti molti studi e formulate varie ipotesi, e anche se da tavolette del II millennio risulta che i Babilonesi conoscessero un modo per calcolare approssimativamente l‘area del pentagono, si è giunti alla conclusione che Φ e le sue proprietà non fossero ancora note.

In Mesopotamia si conosceva Φ ?


E in Egitto ?

Riguardo alla piramide di Cheope, costruita nel 2480 a.C. Erodoto scrive che fu costruita in modo che l’area di ciascuna faccia fosse uguale all’area di un quadrato il cui lato fosse pari all’altezza della piramide. Questa testimonianza potrebbe essere una prova dell’esistenza di Φ nel progetto, ma molto più probabilmente è frutto di un’interpretazione arbitraria.

Forse è possibile che Φ sia presente nell’ Osereion, ritenuto cenotafio di Seti I (1312-1298 a.C.), ma in realtà risalente al 300 a.C., periodo in cui il rapporto aureo era già noto.


La storia di Φ in Grecia

In Grecia, in quattro secoli, a partire da Talete, le scoperte matematiche sono state grandissime.

Lo studio di Φ è cominciato, probabilmente in ambienti pitagorici, per i tentativi di costruire figure piane e solide.

Si sono cercate applicazioni del rapporto aureo tra le varie dimensioni del Partenone (V a.C.). Alcuni sostengono che la sua larghezza e la sua altezza siano in rapporto aureo tra loro, ma è più facile pensare che gli architetti abbiano basato il progetto su principi estetici diffusi ai tempi.


I cinque solidi platonici sono gli unici le cui facce sono tutte equilatere e uguali tra loro, e inscritti in una sfera.

TETRAEDRO ESAEDRO

OTTAEDRO DODECAEDRO

ICOSAEDRO

Il rapporto aureo occupa una posizione importante nelle dimensioni e nelle simmetrie di questi poliedri. Per esempio:

- nel dodecaedro con lato unitario

S = 15Φ3-Φ

V= Φ3/(6-2Φ)

- nell’icosaedro di lato unitario

V= 5Φ5/6

Platone conosceva ?


A B C

Si può dire che un segmento sia stato diviso secondo la proporzione estrema media quando l’intero segmento sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore

AB : AC = AC : BC

Euclide -“ Elementi “ Alessandria d’Egitto , inizio III a.C.

Costruzione geometrica


A B

Q

R

C


A B C

x 1

(1 + x) : x = x : 1

(1+ x) / x = x

x2 = x +1

x2 –x –1= 0

= x1 = 1+5

2 2 x2=

1-5

Euclide -“ Elementi “

Alessandria d’Egitto , inizio III a.C.


1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576

2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374

8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766

7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788

0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963

1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364

8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221

2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788

3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053

1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710

1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834

7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764

8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115

8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131

7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596

1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175

3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093

9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264

7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149

9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

1076738937 6455606060 5921...

=


Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a sé stesso più uno e un reciproco uguale a sé stesso meno uno.

Φ = 1.6180339887…

Φ2 = 2.6180339887…

1/ Φ= 0.6180339887…

Proprietà del Rapporto Aureo -1



1 1 1 1 1 1 1 1...............

1 1 1 1 ...x =

1 1 1 1 ...x2 =

x2 = 1 + x Φ

=


11

11

11

11

1 ...

11

xx =

x2 = x + 1 Φ

=

11

11

11

11

1 ...

x =



Il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore di questo rettangolo è pari a Φ.

Sottraendo a questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore, si otterrà un rettangolo uguale al precedente, e così via. Le dimensioni del rettangolo figlio sono minori di quelle del rettangolo genitore di un fattore pari a Φ.

Ottenere un rettangolo simile al primo, sottraendo dalla sua area un quadrato, è possibile solo con un rettangolo aureo.

Tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli, si trova che tutte passano per un punto, chiamato “occhio di Dio”.



TRIANGOLO AUREO

AB/BC=Φ

AD/DC=Φ

GNOMONE AUREO

BD/BE=1/Φ

PENTAGONO

d/l=Φ

Qual è il nesso tra ed il Pentagramma?


Leonardo Fibonacci


Ogni mese una coppia di conigli produce una nuova coppia di conigli in grado di riprodursi a sua volta nel mese successivo.

Fibonacci osservò che in ogni mese a partire dal terzo il numero di coppie adulte è uguale alla somma del numero di coppie adulte nei due mesi precedenti. Le coppie giovani hanno invece la stessa successione con un mese di ritardo.

La successione 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…in cui ciascun

termine (a partire dal terzo) è uguale alla somma dei due

termini precedenti è chiamata Successione di Fibonacci

Fn+2 = Fn + Fn+1

Osservazioni di Fibonacci


Procedendo lungo la successione di Fibonacci, il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla attorno a un numero al quale si avvicina sempre più: il rapporto aureo.

Con l’aumentare di n Fn+1/Fn = Φ

Questa proprietà è stata scoperta nel 1611 da Keplero.

Questo rapporto si spiega tornando alla frazione continua. Le successive approssimazioni del rapporto aureo con la suddetta frazione continua sono identiche a numeri di Fibonacci sempre più grandi, divisi per il predecessore.

Proprietà dei numeri di Fibonacci - 1


Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, si ottiene il quadrato dell’ultimo numero dei prodotti in questione.

es. (1x1)+(1x2)+(2x3)= 9 32 = 9

Questa proprietà può essere rappresentata in modo geometrico (quadratura dei rettangoli)

1x1 1x2

2x3 3x5

5x8

Proprietà dei numeri di Fibonacci - 2


La somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a undici volte il settimo numero del gruppo

La cifra dell’unità di ripete con periodicità sessagesimale.

Le ultime due cifre si ripetono con una periodicità pari a 300.

Le ultime tre con una periodicità di 1500.

Per qualunque numero di cifre da tre in poi la periodicità è uguale a 15 moltiplicato per 10 elevato a una potenza pari al numero di cifre meno1.

I matematici hanno trovato una formula per calcolare l’ennesimo numero di Fibonacci.

Fn = (Φn + (1/Φ)n ) 1

5

Altre proprietà dei numeri di Fibonacci


Bernoulli (1654-1705) dedicò un trattato, intitolato “Spira Mirabilis” alla spirale logaritmica, che è la sola ad avere un’importante proprietà: crescendo non cambia forma.

Crescendo per “accumulazione interna”, la spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta sempre più allontanandosi dal polo. In particolare, avanzando secondo angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante.

Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo è assai stretto.

La spirale si sviluppa all’interno di un rettangolo aureo (o anche di un triangolo), attorno al polo che coincide con il cosiddetto Occhio di Dio.

Studi di Bernoulli


Luca Pacioli pubblicò nel 1509 il trattato in tre volumi “De Divina Proportione”, in cui esponeva in modo dettagliato le caratteristiche e le proprietà del rapporto aureo e una disquisizione sui solidi platonici e altri poliedri; e manifestava il desiderio di rivelare il rapporto aureo come segreto dell’armonia delle forme visibili.

Nel quinto capitolo del primo volume l’autore elenca alcune ragioni per cui “Divina Proportione” è il nome più adatto a definire il rapporto aureo:

• “Che tale proporzione sia una sola e non più.” L’unicità è l’epiteto supremo di Dio.

• Il rapporto aureo chiama in causa tre lunghezze, così come Dio è uno e trino.

• L’irrazionalità di Φ e l’impossibilità per l’intelletto umano di comprendere la divinità sono equivalenti.

• L’autosimilitudine del rapporto aureo rinvia all’onnipresenza e invariabilità di Dio.

Studi di Pacioli


Applicazioni del Rapporto Aureo

Applicazioni attraverso

Sezione

Aurea

Successione

di Fibonacci

Spirale

logaritmica

Modulor LeCorbusier

Quoziente di fillotassi

Zoologia


LE CORBUSIER, MODULOR

La ricerca di Le Corbusier di una proporzione standardizzata culminò nell’ introduzione del Modulor, che si presumeva fornisse alla scala umana una misura di armonia, universalmente applicabile all’architettura e alla meccanica.

Il Modulor è una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti antropometrici e principi matematici.

Un uomo con il braccio alzato fornisce quelli che Le Corbusier considera punti decisivi di riferimento: la pianta del piede, il plesso solare, la sommità del capo, l’estremità delle dita della mano protesa verso l’alto. Questi punti danno luogo a tre intervalli decrescenti che sono

in rapporto aureo tra loro.


Mediante ulteriori suddivisioni armoniche delle tre misure base, Le Corbusier è giunto poi a definire due serie di gamme dimensionali interagenti tra loro: la serie rossa e la serie blu.

La dimensione chiave della serie rossa è data dall’altezza ideale dell’uomo (stimata da Le Corbusier in 1,829 m).

La dimensione chiave della serie blu corrisponde invece all’altezza dell’uomo con il braccio alzato, 2,260 m.

Il MODULOR

In tutte e due le serie, ogni numero è uguale alla somma dei due precedenti. Ciò significa che entrambe sono riconducibili alla serie di Fibonacci


Con il Modulor viene ufficialmente codificato il principio unificatore universale che regola la vita ideale dell'uomo ideale, dall'architettura alla meccanica, dalla forchetta alla città.

Le misure in altezza ricavate dal Modulor sono finalizzate alla progettazione degli spazi residenziali e degli oggetti di uso comune, ad esempio:

• cm 27 e 43 per due tipi di sedile

• cm 70 per il bracciolo

• cm 86, 113 e 140 per tre tipi di appoggio

• cm 183 per l'uomo in piedi

• cm 226 per l'uomo a braccio alzato

Il MODULOR e gli spazi vitali


Nel regno vegetale le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che rendono massima l’esposizione al sole, alla pioggia e all’aria. Perciò un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari, nella maggior parte dei casi con una componente rotatoria.

Il fenomeno ha nome scientifico di FILLOTASSI: il quoziente di fillotassi indica la porzione di angolo giro tra una foglia e la successiva, e assume valori come: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8…

Il Quoziente di Fillotassi


Malgrado questi schemi fossero già stati scoperti e studiati da tempo, Keplero fu il primo a intuire il rapporto tra il quoziente di fillotassi e i numeri di Fibonacci.

Questo, infatti, si può esprimere come rapporto fra numeri alternati di Fibonacci.

Tali schemi di allineamento spiraliforme si osservano anche in altre strutture, come le squame delle pigne dell’abete o dell’ananas, o come i semi dei girasoli.

Il Quoziente di Fillotassi


Perché una disposizione secondo tali numeri?

Le foglie si dispongono lungo una stretta spirale, chiamata “spirale vegetativa”. Nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando un angolo pressappoco costante, “angolo di divergenza”, prossimo a 137.5°. Quest’angolo è a volte chiamato angolo aureo, in quanto esplementare di quello ottenuto dividendo 360° per Φ (225.5°).

Un angolo di divergenza come quello aureo, irrazionale, assicura che le foglie non si allineino, riducendo lo spreco di spazio e sfruttando al massimo acqua, aria e luce.

Le disposizioni della fillotassi rappresentano le condizioni di energia minima per gemme che si respingono reciprocamente.

Le esigenze di omogeneità (che la struttura sia ovunque la stessa) e di autosimiglianza ( che la struttura ingrandita o rimpicciolita conservi lo stesso aspetto), limitano il numero di strutture possibili e sono soddisfatte dalla struttura descritta.


La spirale logaritmica si può ritrovare in arte, nei capelli raccolti della Leda di Leonardo, in natura nelle forme delle galassie o degli uragani, ma in particolare nelle strutture di alcuni animali.

Il fatto che questa spirale crescendo non cambia forma ha fatto sì che fosse adottata dal nautilus nella sua conchiglia. Questo crescendo si costruisce camere sempre più spaziose, sigillando quelle inutilizzate. Così la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, ma la forma del guscio resta immutata.

Lo stesso principio vale per l’accrescimento delle corna del muflone e delle zanne degli elefanti.

La spirale logaritmica in natura


Conclusione

Il rapporto aureo è un prodotto della geometria, un’invenzione umana.

Ma gli uomini non immaginavano in quale magico regno di fate ed elfi quel prodotto li avrebbe

portati.

Se la geometria non fosse stata inventata, mai avremmo immaginato l’esistenza del rapporto aureo.

Ma forse, alla fine, esso ci avrebbe ugualmente fatto visita, magari travestito da breve programma

per computer.

Livio Mario


BIBLIOGRAFIA:

• Livio Mario, La Sezione Aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni. – Rizzoli

• www.sectioauera.com

• www.liceoberchet.it

• www.math.it

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