La nanza quantitativa e i sistemi complessi

Fulvio Baldovin
Padova, 26 Gennaio 2010
Attilio Stella, Enzo Orlandini, Francesco Camana Dip. Fisica, Sezione INFN e CNISM, Università di Padova
Massimiliano Caporin Dip. Economia, Università di Padova
“Anomalous Scaling in Physics and Finance”
Dow Jones Industrial (DJI)
0
5000
10000
3
4
5
6
7
8
9
dB(t) = r B(t) dt
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
0
1
A. Einstein
“Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von
in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen”
(moto Browniano - 1905)
dB(t) = r B(t) dt
Assets con rischio S: azioni, partecipazioni, . . . :
La loro evoluzione e’ caratterizzata dalla presenza di una componente casuale
Assets derivati Opzioni (calls, puts), future contracts, forward, . . .
Derivano il loro valore dal prezzo di un asset primario di riferimento.
Call C(S(t),K, t, tE): Opzione call europea
S: asset soggiacente K: prezzo di strike dell’opzione t: tempo presente tE : tempo di maturita’ dell’opzione
Proprietario dell’opzione: ha il diritto, ma non l’obbligo, di comprare l’asset S al prezzo K nel giorno tE
paga il prezzo C
Sottoscrittore dell’opzione: ha l’obbligo (se richiesto) di vendere l’asset S al prezzo K nel giorno tE
riceve il prezzo C Padova, 26 Gennaio 2010
40 45 50 55 60 K
0
5
10
C(K)
0
5
10
C(K)
Per risolvere il problema di Bachelier:
1. Determinare le proprieta’ empiriche delle serie di dati 2. Definire un modello stocastico che riproduca queste
proprieta’ e che permetta delle predizioni probabilistiche
3. Usare questo modello stocastico per prezzare le opzioni
-2
-1
0
1
-6 -4 -2 0 2 4 W(t)
Processo di Wiener (moto Browniano)
DJI dal 1900 al 2009
-0.2 -0.1
0 0.1 0.2 0.3 r(t,1) ≡ ln S(t) - ln S(t-1) [detrended]
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 t [days]
-0.2 -0.1
Processo di Wiener (moto Browniano)
1929 2000 t [years]
1987 2008
Correlazione lineare
Clin(τ, T ) ≡ r(t, T )r(t + τ, T )t − r(t, T )t r(t + τ, T )t
r(t, T )2t − r(t, T )2t
r(t, T )t ≡
tf − T
Correlazione non-lineare
Cα,β(τ, T ) ≡
|r(t, T )|α |r(t + τ, T )|βt − |r(t, T )|αt |r(t + τ, T )|βt
|r(t, T )|α+βt − |r(t, T )|αt |r(t, T )|βt
C1,1: correlazione di volatilita’
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.001
0.01
0.1
1
= T
Istogramma di r(t, T ), al variare di t: pT (r)
Scaling pT (r) =
10-1
100
101
10-1
100
101
102 T1/2 pT (T1/2r)
T=1 DJI T=5 DJI T=30 DJI g Gaussian
Modelli proposti: Mandelbrot: distribuzioni stabili di Lévy (con scaling anomalo ma senza correlazione) Mandelbrot: moto Browniano frazionario (con correlazione ma con scaling Gaussiano) Mandelbrot: processi multifrattali a cascata (idee sulla turbolenza di Kolmogorov) Engle: ARCH, GARCH, . . . (metodi autoregressivi: includono la correlazione ma non lo scaling anomalo) Bouchaud, Stanley , . . .
H H’
(in finanza):
Z = ∑
Formazione di blocchi: M1 = ∑N1
i=1 si, . . . Riscalamento, rinormalizzazione H ′, Z ′, p′, . . . . . . Punto fisso H∗, Z∗, p∗
Scaling anomalo
Coarse graining
Z = ∑
Formazione di blocchi: M1 = ∑N1
i=1 si, . . . Riscalamento, rinormalizzazione H ′, Z ′, p′, . . . . . . Punto fisso H∗, Z∗, p∗
Scaling anomalo
“Partendo dalla distribuzione g(r) e da un esponente di scaling D si puo’ ricostruire un processo stocastico compatibile con lo scaling anomalo e con le correlazioni rilevate nelle serie di dati finanziari”.
Risultati analitici Simulazioni numeriche
10-1
100
101
102 T1/2 pT (T1/2r)
T=1 DJI T=5 DJI T=30 DJI g Gaussian T=1 Sim. T=5 Sim. T=30 Sim.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
[equivalentemente: d ln S = µ′ dt + σ dW (t)]
C(S(t),K, t, tE)
dt
⇓
∂S
Il modello di evoluzione non-Gaussiano non-Markoviano per r(t, T ) permette di fare un calcolo analogo?
Ci sono differenze significative con il modello di Black-Scholes per il prezzaggio delle opzioni?
0
5
10
C(K)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-50
-40
-30
-20
-10
Non-Gaussian
Conclusioni La soluzione del problema centrale della finanza, il prezzaggio delle opzioni, richiede: 1. Analisi delle proprieta’ statistiche delle serie di dati 2. Formulazione di modelli non-Markoviani 3. Estensione del calcolo differenziale stocastico
Le metodologie della fisica dei sistemi complessi permettono il raggiungimento di questi obiettivi.
Conclusioni L’economia classica e’ a tutt’oggi largamente basata su posizione dogmatiche. Molti pero’ rivendicano anche in questo settore l’applicazione di test oggettivi e di standard simili a quelli delle scienze naturali, anche nei curriculum formativi. E’ prevedibile che i fisici possano giocare un ruolo molto importante nello sviluppo futuro di questo settore.
PNAS 104, 19741 (2007)
A.L. Stella, F.B. Pramana - Journal of Physics 71, 341 (2008)
J. Stat. Mech., in press (2010)
F.B., D. Bovina, A.L. Stella arXiv:0909.3244 (2009)
Dow Jones Industrial (DJI)
Assets senza rischio
Assets con rischio

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