Numeri complessi 2

Numeri complessi

Prof. Mario Angelo GIORDANO

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Quando servono i numeri immaginari?

Data l’equazione: 0522 =+− xx

16204)5)(1(422 −=−=−=∆

2162

2,1−

=mx

1411616 −=−=−

0<∆



Cosa fare?

1−



Numeri Immaginari

Si definisce unità immaginaria il numero non appartenente all’insieme dei numeri reali che elevato al quadrato dà come risultato -1

Essa si indica con il simbolo j

12 −=j 1−=j



Numeri Complessi

Un qualsiasi numero del tipo (a+jb)costituisce un numero complesso ed è formato da una parte reale a e da una parte immaginaria jb.

Il numero reale b è detto coefficiente della parte immaginaria.



Forma Algebrica e Trigonometrica

P(a+jb)

φ

ρb

a Re

Im

0

b

a

jbaZ +=_

modulo 22 ba +=ρ

abtg =ϕ

abarctg=ϕargomento

Forma Algebrica

Forma Trigonometrica

tangente

Forma cartesiana



Considerazioni trigonometriche

P

φρ

Re

Im

0

b

a

jbaZ +=_

ϕρ cos=a

)(coscos_

ϕϕρϕρϕρ jsensenjZ +=+=

ϕρsenb =



Forma polare

ϕρ __

=Z

)(cos_

ϕϕρ jsenZ +=

Forma trigonometrica

Forma polare



Forma Esponenziale

Esiste una formula matematica, detta formula di Eulero, che sancisce la seguente uguaglianza:

ϕϕϕ jejsen =+cos

ϕρ jeZ =_



Coniugato di un numero complesso

Il numero complesso (a-jb) è il coniugato di (a+jb). Due numeri si dicono quindi complessi coniugati quando hanno la stessa parte reale e coefficienti della parte immaginaria di segno opposto.

))(( jbajba −+ 222 bjjabjaba −+−=

22 ba +=

Per i numeri complessi coniugati vale la seguente regola del prodotto:

222 bja −=



Esempio

4311

jj

++

)43()11(

jj

++

=)43()43(

jj

−−

22 43)43)(11(

+−+

=jj

254343 2jjj −+−

=

2517 j−

=251

257 j−=



Le operazioni

Dati i seguenti numeri complessi:

2

22

1

11

abarctg

abarctg

=

=

ϕ

ϕ

22

222

21

211

)()(

)()(

baM

baM

+=

+=

222

111

jbaZ

jbaZ

+=

+=

)(cos

)(cos

2222

1111

ϕϕ

ϕϕ

jsenMZ

jsenMZ

+=

+=2

1

22

11

ϕ

ϕ

j

j

eMZ

eMZ

=

=



La somma

)(

)()(

2121

2211

21

bbjaa

jbajba

ZZZ

+++

=+++

=+=



Differenza

)(

)()(

2121

2211

21

bbjaa

jbajba

ZZZ

−+−

=+−+

=−=



Prodotto

12212121

2211

21

*

)(*)(

*

bjabjabbaa

jbajba

ZZZ

++−

=++

==

)(21

21 ϕϕ += JeMMZ



Quoziente

22

22

2112

22

22

2121

22

11

2

1

)()(

bababaj

babbaa

jbajba

ZZZ

+−

+++

=++

==

)(

2

1 21 ϕϕ −= JeMMZ



Osservazioni sulla parte realeA lato è illustrato come le funzioni circolarimettono in relazione parti reale e immaginaria (coordinate cartesiane) con modulo ed argomento (coordinate polari).

Mentre da ρ e θ a x e y si passa con la diretta applicazione di due formule, e lo stesso accade per il passaggio da x e y a ρ, per determinare θ occorre tener conto che la direzione con pendenza y/x fornita da arctan(così, o atan o atn, è indicata la funzione inversa della funzione tangente, tan, che nelle calcolatrici in genere corrisponde a ) potrebbe differire di 180° dal valore corretto: il valore fornito è sempre compreso tra -π/2 e π/2, per cui se x<0 occorre aggiungere π



osservazione• nel caso di 2+5i (figura A), ρ = √(4+25) = √29 = 5.3851…, θ = atan(5/2) = atan(2.5) = 1.1902… = 68.198…°• nel caso di -3+2i (figura B), ρ = √(9+4) = √13 = 5.3851…, θ0 = atan(-2/3) = -0.588002… = -33.690…°, che non è l'argomento di -3+2i, in quanto dovrebbe essere una direzione del 2° quadrante: dobbiamo aggiungere π: θ = -0.588002…+π = (-33.690…+180)° = 146.310°

Se x = 0, non si può calcolare arctan(y/x). Ovviamente si ha: θ = π/2 quando y > 0, θ = 3π/2 (o -π/2) quando y < 0.



Esercizio 1)43)(21( jjZ +−−=

ojjjZ 435,63551058643 ∠=+=+++−=

oj 435,635)21( −∠=−oj 87,1265)43( ∠=+−

ooZ 87,1265*435,635 ∠−∠=

oo 87,126435,635*5 +−∠= o435,6355 ∠=

Trasformando in polare



Esercizio 22143

jjZ

−+−

=

)21)(21()21)(43(

jjjjZ

+−++−

=5

21141

8463 jjj −−=

+−+−−

=

oj 70,16954,02,2 −∠=−−=

oj 87,1265)43( ∠=+−oj 43,635)21( −∠=−

)43,63(87,1265

5 ooZ −−∠= oo 70,169530,1905 −∠=∠=

Forma polare



Esercizio 3)76(

305324321

jjj

jjZ

o

−−∠

++−−

=

oo

ooo

ojjj

polareformain

70,795

5213,535

9057,1165290213,535

57,116524321

__0

−∠=∠

+−∠=∠

∠−∠

=+−−

ooo

ooo

jj60,70

8515

40,4985*901305*03

)76(3053 −∠=

−∠∠−∠∠

=−−∠

ooZ 60,7085

1570,795

2−∠+−∠=

)535,154,0()88,016,0( jj −+−=oj 835,73514,2415,270,0 −∠=−=



Determinare modulo e argomento

0

0

ZZZZK

L

LL +

−=

Ω==+−

=31

15050

5010050100

LK

Ω=

Ω=

50

;100

0Z

ZL

o0∠



Esercizio (coniugato)

=++−+

=50)7050(50)7050(

JJKL

Ω=+= 57,047,0329,0 22LK

00 12518055329,0

47,0=+−=

−= oarctgϕ

;)7050( Ω+= JZL

=+ 7010070

JJ =

−−

+ 7010070100

7010070

JJ

JJ

=+

−22 70100

70004900 J 47,0329,014900

70004900 JJ−=

−



Esercizio (elettronico)

Ω==+

=+

=++−+

= 57,006,122

7070100

7070100

7050)7050(50)7050(

22

2

JJ

JJKL

onum arctg 90

070

==ϕ

oden arctg 35

10070

==ϕ

0553590 =−=−= dennum ϕϕϕ



Esercizio elettronico 2

LjRZ ω+=HzfmHL

R

80065,0

55

==

Ω=

Ω=== − 26,310*65,0*800*28,6**2 3LfL πω

Ω+= )26,355( jZ

Ω=+= 10,5526,355 22Z

oarctg 39,35526,3

==ϕ



Costruire la Sinusoide



Il Seno

E' facile vedere che:sen 0° = 0sen 90° = 1sen 180° = 0sen 270° = -1



Fase della Sinusoide

φ è lospostamentodi fase della genericasinusoide rispetto a quella disegnata in rosso che, invece, è la sinusoide con fase 0



Sinusoide con fase a 45°

y = sen(x + π/4)




y = sen(x + π/2)




y = sen(x + π)




y = sen(x + 3π/2)



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