1. Numeri complessi. 2. Limiti di funzioni.bramanti/corsi/temidesame_analisi1/primo... · Primo...

Primo appello di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano

A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiTema n◦1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

7

Tot.

Cognome e nome (in stampatello)_______________________________

codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________

1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo com-plesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamentequante sono:

2z4 = iz2 |z| .

2. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggiin modo chiaro e giustificandoli brevemente:

limx→+∞

(4√x4 + 3x− 5− x

ex2+3

x2−1 − e

).

3. Derivata di funzione inversa. Sia

f (x) = x log(log2

(1 + 3x2

))a. Calcolare f ′ (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su

(1,+∞) e quindi invertibile in tale intervallo.b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e

g′ (log 2).

4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insiemedi definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.

f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .

1

5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.

∞∑n=1

n

(e−

1n2 − cos2 1

n

)

6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 3

0

e−x |x− 2| dx.

7. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos3 x

(sinx+ 2)2 dx.

2



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.



1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo comp-lesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendoesplicitamente quante sono:

3z4 + 8

4√3 + iz4

= −2i.

2. Stima all’infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica dif (x) per x → ±∞; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in casoaffermativo determinandolo.

f (x) = x log

(3x+ 5

2x− 1

).

3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi inmodo chiaro e giustificandoli brevemente:

limx→+∞

arctan(x3)− π

21x − arctan

1x

.


f (x) = ex log2|x|.

3


∞∑n=1

3n + n10√n!


√2

√x2 − 2x

dx.

7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale gener-alizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.

a.

∫ 1

0

f (x) dx; b.

∫ +∞

1

f (x) dx, dove (in entrambi i casi)

f (x) =log (1 + x)

x5/2sinx.

4


A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

7

Tot.


2z4 = iz2 |z| .Poniamo z = ρeiϑ e riscriviamo l’equazione nella forma

2ρ4ei4ϑ = eiπ2 ρ2e−2iϑρ

2ρ4ei4ϑ = ρ3ei(π2−2ϑ)

da cui {2ρ4 = ρ3

4ϑ = π2 − 2ϑ+ 2kπ{

ρ = 0, ρ = 12

ϑ = π12 +

kπ3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Perciò le soluzioni sono 7 in tutto:

zk =1

2ei(

π12+

kπ3 ), con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

z6 = 0.

2. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggiin modo chiaro e giustificandoli brevemente:

limx→+∞

(4√x4 + 3x− 5− x

ex2+3

x2−1 − e

).

4√x4 + 3x− 5− x = x

(4

√1 +

3

x3− 5

x4− 1)

poiché per x→ +∞(3x3 −

5x4

)→ 0,

∼ x(1

4

(3

x3− 5

x4

))∼ x1

4

3

x3=

3

4x2.

ex2+3

x2−1 − e = e

(ex2+3

x2−1−1 − 1)

5

poiché per x→ +∞(x2+3x2−1 − 1

)→ 0,

∼ e(x2 + 3

x2 − 1 − 1)= e

(4

x2 − 1

)∼ 4e

x2,

quindi

f (x) ∼34x2

4ex2

=3

16e,

e questo è il limite cercato.


f (x) = x log(log2

(1 + 3x2



g′ (log 2).

f ′ (x) = log(log2

(1 + 3x2

))+

x

log2 (1 + 3x2)

6x

log 2 (1 + 3x2)

= log(log2

(1 + 3x2

))+

6x2

(log 2) (1 + 3x2) log2 (1 + 3x2)> 0

per ogni x > 1 perché:

log(log2

(1 + 3x2

))> 0 perché

log2(1 + 3x2

)> 1 perché

1 + 3x2 > 2 perché

3x2 > 3

inoltre 6x2 > 0, (log 2)(1 + 3x2

)> 0 e log2

(1 + 3x2

)> 0 perché è > 1.

f (1) = log (log2 (4)) = log (2) ,

quindi

g (log 2) = 1

g′ (log 2) =1

f ′ (1)=

1

log (log2 (4)) +6

(log 2)(4) log2(4)

=1

log 2 + 34 log 2

=4 log 2

4 (log 2)2+ 3

.

4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insieme

6

di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.

f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .

Definita per x 6= −1.Per x→ −1±,

f (x) ∼ e 1x+1 →

{+∞0+

x = −1 asintoto verticale da destra, punto d’arresto a tangente orizzontale(perché f si annulla con velocità esponenziale) da sinistra.Per x→ ±∞,

f (x) ∼ 5 |x| → +∞con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui.

f (x)− 5 |x| = (5 |x| − 4) e 1x+1 − 5 |x| = 5 |x|

(e

1x+1 − 1

)− 4e 1

x+1 .

−4e 1x+1 → −4 per x→ ±∞

5 |x|(e

1x+1 − 1

)∼ 5 |x| 1

x+ 1∼ 5 |x| 1

x= ±5 per x→ ±∞

Quindi per x→ ±∞

f (x)− 5 |x| → ±5− 4 ={

1−9

e la funzione ha gli asintoti obliqui:

y = 5x+ 1 per x→ +∞y = −5x− 9 per x→ −∞.

Calcoliamo, per x 6= 0,

f ′ (x) = e1x+1

(− 1

(x+ 1)2 (5 |x| − 4) + 5 sgn (x)

)=

e1x+1

(x+ 1)2

(− (5 |x| − 4) + 5 (x+ 1)2 sgn (x)

)

=

e

1x+1

(x+1)2

(−5x+ 4 + 5 (x+ 1)2

)per x > 0

e1x+1

(x+1)2

(5x+ 4− 5 (x+ 1)2

)per x < 0

=

e

1x+1

(x+1)2

(5x2 + 5x+ 9

)per x > 0

e1x+1

(x+1)2

(−5x2 − 5x− 1

)per x < 0

Per x > 0f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 9 ≥ 0 sempre.

7

La funzione è sempre crescente per x > 0.Per x < 0

f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 1 ≤ 0−5−

√5

10< x <

−5 +√5

10

quindi x = −5−√5

10 è punto di minimo relativo, x = −5+√5

10 è punto di massimorelativo.

f ′ (0+) = 9e;f ′ (0−) = −e, quindi x = 0 è punto angoloso, e punto di minimo relativo.f (x) = 0 per |x| = 4

5 , x = ±45 . Grafico qualitativo:


∞∑n=1

n

(e−

1n2 − cos2 1

n

)

e−1n2 = 1− 1

n2+1

2

1

n4+ o

(1

n4

)(cos

1

n

)2=

(1− 1

2n2+

1

4!n4+ o

(1

n4

))2= 1− 1

n2+

1

4n4+

2

4!n4+ o

(1

n4

)n

(e−

1n2 − cos2 1

n

)= n

(1− 1

n2+1

2

1

n4+ o

(1

n4

)−(1− 1

n2+

1

4n4+

2

4!n4+ o

(1

n4

)))= n · 1

n4

(1

2− 14− 1

12+ o (1)

)∼ 1

6n3

8

quindi la serie è a termini almeno definitivamente positivi, e per confronto as-intotico con la serie armonica generalizzata convergente

∑16n3 , converge.


0

e−x |x− 2| dx.

∫ 3

0

e−x |x− 2| dx =∫ 2

0

e−x (2− x) dx+∫ 3

2

e−x (x− 2) dx.∫e−xg′(x− 2)

f

dx = −e−x (x− 2) +∫e−xdx = −e−x (x− 2)− e−x + c

= e−x (1− x) + c∫ 3

0

e−x |x− 2| dx =[e−x (x− 1)

]20+[e−x (1− x)

]32

= e−2 + 1− 2e−3 + e−2

= 1 + 2e−2 − 2e−3.


(sinx+ 2)2 dx

∫cos3 x

(sinx+ 2)2 dx =

∫1− sin2 x(sinx+ 2)

2 cosxdx =

[sinx = t; cosxdx = dt]

=

∫1− t2

(t+ 2)2 dt =

∫ (−1 + 4t+ 5

t2 + 4t+ 4

)dt

= −t+ 2∫

2t+ 4

t2 + 4t+ 4dt− 3

∫1

(t+ 2)2 dt

= −t+ 2 log (t+ 2)2 + 3

t+ 2+ c

= −t+ 4 log |t+ 2|+ 3

t+ 2+ c

= − (sinx+ 2) + 4 log (sinx+ 2) + 3

sinx+ 2+ c.

9



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo comp-lesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendoesplicitamente quante sono:

3z4 + 8

4√3 + iz4

= −2i.

Risolviamo prima in z4:

3z4 + 8 = −2i(4√3 + iz4

)z4 (3− 2) = −8− i8

√3

z4 = −8− i8√3

da cui

z =4

√−8− i8

√3

e poiché ∣∣∣−8− i8√3∣∣∣ = 16−8− i8

√3 = 16

(−12− i√3

2

)

arg

(−12− i√3

2

)=4

3π

si ha:

z =4√16

(cos

(π

3+2kπ

4

)+ i sin

(π

3+2kπ

4

))= 2

(cos

(π

3+kπ

2

)+ i sin

(π

3+kπ

2

))

10

con k = 0, 1, 2, 3, e le soluzioni sono 4 in tutto:

z0 = 2

(1

2+ i

√3

2

)= 1 + i

√3

z1 = 2

(−√3

2+ i1

2

)= −√3 + i

z2 = 2

(−12− i√3

2

)= −1− i

√3

z3 = 2

(√3

2− i12

)=√3− i.


f (x) = x log

(3x+ 5

2x− 1

).

Per x→ ±∞ è

f (x) ∼ x log(3

2

)→ ±∞

con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo.[f (x)− x log

(3

2

)]= x

(log

(3x+ 5

2x− 1

)− log

(3

2

))= x log

[(3x+ 5

2x− 1

)2

3

]e poiché

[(3x+52x−1

)23

]→ 1 per x→ ±∞,

∼ x[6x+ 10

6x− 3 − 1]= x

(13

6x− 3

)∼ x 13

6x=13

6

perciò esiste l’asintoto obliquo di equazione

y = x log

(3

2

)+13

6.


limx→+∞

arctan(x3)− π

21x − arctan

1x

.

11

limx→+∞

(arctan

(x3)− π

2

)1x − arctan

1x

=

[0

0

]Applico De L’Hospital:

limx→+∞

3x2

1+x6

− 1x2 +

1x2

11+ 1

x2

=

[0

0

],

ma:

3x2

1 + x6∼ 3x

2

x6=3

x4

− 1x2+1

x21

1 + 1x2

= − 1x2+

1

x2 + 1=

−1x2 (x2 + 1)

∼ − 1x4

quindi3x2

1+x6

− 1x2 +

1x2

11+ 1

x2

∼3x4

− 1x4

= −3,



f (x) = ex log2|x|.

Definita per x 6= 0. f (x) > 0 per ogni x.Per x→ 0, x log2 |x| → 0 e f (x)→ 1. Quindi f è prolungabile con continuità

ponendo f (0) = 1.

Per x→ ±∞, x log2 |x| → ±∞ e f (x)→{+∞ con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo)0+

y = 0 asintoto orizzontale per x→ −∞.Per x 6= 0 calcoliamo

f ′ (x) = ex log2|x|(log2 |x|+ x2 log |x|

x

)= ex log

2|x| (log2 |x|+ 2 log |x|) ≥ 0 perlog |x| ≥ 0, log |x| ≤ −2|x| ≥ 1, |x| ≤ e−2

perciò:x = −1 punto di massimo relativox = −e−2 punto di minimo relativox = e−2 punto di massimo relativo

12

x = 1 punto di minimo relativo.Per x→ 0±,

f ′ (x) ∼(log2 |x|+ 2 log |x|

)∼ log2 |x| → +∞,

quindi x = 0 è punto di flesso a tangente verticale, ascendente.Grafico qualitativo:


∞∑n=1

3n + n10√n!

Serie a termini positivi,

an =3n + n10√

n!∼ 3n√

n!≡ bn.

Studio la convergenza di∑∞n=1 bn col criterio del rapporto.

bn+1bn

=3n+1√(n+ 1)!

·√n!

3n=

3√n+ 1

→ 0,

quindi∑∞n=1 bn converge per il criterio del rapporto, e

∑∞n=1 an converge per il

criterio del confronto asintotico.


√2

√x2 − 2x

dx

13

∫ 2

√2

√x2 − 2x

dx =

∫ 2

√2

√x2 − 2x2

xdx =[√x2 − 2 = t;x2 − 2 = t2;xdx = tdt

]=

∫ √20

t

2 + t2tdt =

∫ √20

(1− 2

t2 + 2

)dt

=

[t− 2√

2arctan

(t√2

)]√20

=√2(1− π

4

)Oppure ∫ 2

√2

√x2 − 2x

dx =[x =√2Ch t; dx =

√2 Sh tdt

]=

∫ SettCh√2

0

√2 Sh t√2Ch t

√2 Sh tdt

=√2

∫ SettCh√2

0

Sh2 t

1 + Sh2 tCh tdt

= [Sh t = u; Ch tdt = du]

=√2

∫ 1

0

u2

1 + u2du =

√2

∫ 1

0

(1− 1

1 + u2

)du

=√2 [u− arctanu]10 =

√2(1− π

4

).

7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale gener-alizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.

a.

∫ 1

0

f (x) dx; b.

∫ +∞

1

f (x) dx, dove (in entrambi i casi)

f (x) =log (1 + x)

x5/2sinx.

La funzione f è continua in (0,+∞), illimitata in 0, positiva in (0, 1) ma disegno variabile in (1,+∞) .a. f è integrabile in [ε, 1] per ogni ε > 0 in quanto continua. Per x→ 0+ è

f (x) ∼ x

x5/2· x = 1

x1/2,

integrabile in 0 perché 1/2 < 1. Per il criterio del confronto asintotico, l’integralein a converge.

14

b. f è integrabile in [1, k] per ogni k > 0 in quanto continua.

|f (x)| ≤ log (1 + x)x5/2

≤ 1

x2definitivamente,

e poiché 1x2 è integrabile a +∞ in quanto 2 > 1, per il criterio del confronto f

è assolutamente integrabile, e quindi integrabile.

15

Recupero 1◦ compitino di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano


Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.



1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso,

scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:

2z4 = iz2 |z| .

16

2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a par-

tire dal grafico noto della funzione Shx, applicando esclusivamente successive operazioni sulgrafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici

“di passaggio” utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il

grafico di f (x). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione(ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

f (x) =∣∣∣|arcsin (x+ 1)| − π

4

∣∣∣ .

3. Limiti di funzioni.Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modochiaro e giustificandoli brevemente:

limx→+∞

(4√x4 + 3x− 5− x

ex2+3

x2−1 − e

).

17

4. Stima all’infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di

f (x)per x → ±∞; stabilire quindi se fpossiede un asintoto obliquo, in caso affermativodeterminandolo.

f (x) = x log

(3x+ 5

2x− 1

).

5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il grafico qualitativo della seguentefunzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando op-

portunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta

la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di definizione, e

la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a

tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’infinito.

f (x) = arctan

(x

x3 − 1

)log |x| .

18

◦


f (x) = x log(log2

(1 + 3x2

))a. Calcolare f ′ (x)e dimostrare che f (x)è strettamente monotona su (1,+∞)e quindi

invertibile in tale intervallo.

b. Detta gla funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2)e g′ (log 2).

19



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

7

Tot.


2z4 = iz2 |z| .

Poniamo z = ρeiϑ e riscriviamo l’equazione nella forma

2ρ4ei4ϑ = eiπ2 ρ2e−2iϑρ

2ρ4ei4ϑ = ρ3ei(π2−2ϑ)

da cui {2ρ4 = ρ3

4ϑ = π2 − 2ϑ+ 2kπ{

ρ = 0, ρ = 12

ϑ = π12 +

kπ3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Perciò le soluzioni sono 7 in tutto:

zk =1

2ei(

π12+

kπ3 ), con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

z6 = 0.

2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, apartire dal grafico noto della funzione Shx, applicando esclusivamente successiveoperazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Ri-portare anche i vari grafici “di passaggio”utilizzati per costruire il grafico dellafunzione, mettendo ben in evidenza il grafico di f (x). Segnare sugli assi ascissao ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione congli assi, di max./min, ecc.)

f (x) =∣∣∣|arcsin (x+ 1)| − π

4

∣∣∣ .

20

arcsinx arcsin (x+ 1) |arcsin (x+ 1)|

|arcsin (x+ 1)| − π4

∣∣|arcsin (x+ 1)| − π4

∣∣3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi

in modo chiaro e giustificandoli brevemente:

limx→+∞

(4√x4 + 3x− 5− x

ex2+3

x2−1 − e

).

4√x4 + 3x− 5− x = x

(4

√1 +

3

x3− 5

x4− 1)

poiché per x→ +∞(3x3 −

5x4

)→ 0,

∼ x(1

4

(3

x3− 5

x4

))∼ x1

4

3

x3=

3

4x2.

ex2+3

x2−1 − e = e

(ex2+3

x2−1−1 − 1)

21

poiché per x→ +∞(x2+3x2−1 − 1

)→ 0,

∼ e(x2 + 3

x2 − 1 − 1)= e

(4

x2 − 1

)∼ 4e

x2,

quindi

f (x) ∼34x2

4ex2

=3

16e,



f (x) = x log

(3x+ 5

2x− 1

).

Per x→ ±∞ è

f (x) ∼ x log(3

2

)→ ±∞

con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo.[f (x)− x log

(3

2

)]= x

(log

(3x+ 5

2x− 1

)− log

(3

2

))= x log

[(3x+ 5

2x− 1

)2

3

]e poiché

[(3x+52x−1

)23

]→ 1 per x→ ±∞,

∼ x[6x+ 10

6x− 3 − 1]= x

(13

6x− 3

)∼ x 13

6x=13

6

perciò esiste l’asintoto obliquo di equazione

y = x log

(3

2

)+13

6.

5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il grafico qualitativo della seguentefunzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando op-

portunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta

la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di definizione, e

la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a

tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’infinito.

f (x) = arctan

(x

x3 − 1

)log |x| .

22

Definita per x 6= 0, x 6= 1.Per x→ 0±,

f (x) ∼(

x

x3 − 1

)log |x| ∼ −x log |x| → 0±,

quindi x = 0 è punto di discontinuità eliminabile, f (0) = 0.D’altro canto la funzione −x log |x| tende a zero più lentamente di x, ossia

con tangente verticale:x = 0 è punto di flesso a tangente verticale.Per x→ 1±,

f (x) ∼ arctan(

x

x3 − 1

)(x− 1) ∼ ±π

2(x− 1) ,

quindi x = 1 è punto angoloso e di minimo relativo.f (x) = 0 per x = ±1, 0.Per x→ −1,

f (x) ∼ arctan(1

2

)(−x− 1) ,

che si annulla linearmente (il punto è regolare).Per x→ ±∞,

f (x) ∼(

x

x3 − 1

)log |x| ∼ log |x|

x2→ 0+.

y = 0 asintoto orizzontale per x→ ±∞.Grafico qualitativo:

23


f (x) = x log(log2

(1 + 3x2



g′ (log 2).

f ′ (x) = log(log2

(1 + 3x2

))+

x

log2 (1 + 3x2)

6x

log 2 (1 + 3x2)

= log(log2

(1 + 3x2

))+

6x2

(log 2) (1 + 3x2) log2 (1 + 3x2)> 0

per ogni x > 1 perché:

log(log2

(1 + 3x2

))> 0 perché

log2(1 + 3x2

)> 1 perché

1 + 3x2 > 2 perché

3x2 > 3

inoltre 6x2 > 0, (log 2)(1 + 3x2

)> 0 e log2

(1 + 3x2

)> 0 perché è > 1.

f (1) = log (log2 (4)) = log (2) ,

quindi

g (log 2) = 1

g′ (log 2) =1

f ′ (1)=

1

log (log2 (4)) +6

(log 2)(4) log2(4)

=1

log 2 + 34 log 2

=4 log 2

4 (log 2)2+ 3

.

24



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.



1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo differen-ziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo a base quadrata, sia lillato della base e hl’altezza. Tra tutti i parallelepipedi di questo tipo aventi diagonale dfissata,determinare quello di volume massimo. Ossia: calcolare in funzione di di valori di l, hper cuitale volume è massimo. Fare una figura per impostare il problema. [NB. Diagonale del paral-

lelepipedo è ogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamente

contenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha 4 diagonali, tutte di uguale lunghezza].

25


f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .

26


limx→+∞

arctan(x3)− π

21x − arctan

1x

.


∞∑n=1

n

(e−

1n2 − cos2 1

n

)

27


0

e−x |x− 2| dx.


(sinx+ 2)2 dx

28



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolodifferenziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo abase quadrata, sia l il lato della base e h l’altezza. Tra tutti i parallelepipedi diquesto tipo aventi diagonale d fissata, determinare quello di volume massimo.Ossia: calcolare in funzione di d i valori di l, h per cui tale volume è massimo.Fare una figura per impostare il problema. [NB. Diagonale del parallelepipedo èogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamentecontenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha 4 diagonali, tutte di ugualelunghezza].

Per Pitagora si ha:h2 + l2 + l2 = d2

dove d è la diagonale fissata. Il volume del parallelepipedo è

V = l2h

perciò ricaviamo

l2 =d2 − h22

così che dobbiamo massimizzare

V (h) =d2 − h22

h =1

2

(d2h− h3

)per 0 < h < d.

Calcoliamo

V ′ (h) =1

2

(d2 − 3h2

)≥ 0 per

h2 ≤ d2

3, h ≤ d√

3

Il volume è massimo per

h =d√3,

l =

√d2 − h22

=

√d2 − d2

3

2=

d√3.

29

Perciò il volume è massimo quando il parallelepipedo è un cubo.


f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .

Definita per x 6= −1.Per x→ −1±,

f (x) ∼ e 1x+1 →

{+∞0+

x = −1 asintoto verticale da destra, punto d’arresto a tangente orizzontale(perché f si annulla con velocità esponenziale) da sinistra.Per x→ ±∞,

f (x) ∼ 5 |x| → +∞con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui.

f (x)− 5 |x| = (5 |x| − 4) e 1x+1 − 5 |x| = 5 |x|

(e

1x+1 − 1

)− 4e 1

x+1 .

−4e 1x+1 → −4 per x→ ±∞

5 |x|(e

1x+1 − 1

)∼ 5 |x| 1

x+ 1∼ 5 |x| 1

x= ±5 per x→ ±∞

Quindi per x→ ±∞

f (x)− 5 |x| → ±5− 4 ={

1−9

e la funzione ha gli asintoti obliqui:

y = 5x+ 1 per x→ +∞y = −5x− 9 per x→ −∞.

Calcoliamo, per x 6= 0,

f ′ (x) = e1x+1

(− 1

(x+ 1)2 (5 |x| − 4) + 5 sgn (x)

)=

e1x+1

(x+ 1)2

(− (5 |x| − 4) + 5 (x+ 1)2 sgn (x)

)

=

e

1x+1

(x+1)2

(−5x+ 4 + 5 (x+ 1)2

)per x > 0

e1x+1

(x+1)2

(5x+ 4− 5 (x+ 1)2

)per x < 0

=

e

1x+1

(x+1)2

(5x2 + 5x+ 9

)per x > 0

e1x+1

(x+1)2

(−5x2 − 5x− 1

)per x < 0

30

Per x > 0f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 9 ≥ 0 sempre.

La funzione è sempre crescente per x > 0.Per x < 0

f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 1 ≤ 0−5−

√5

10< x <

−5 +√5

10

quindi x = −5−√5

10 è punto di minimo relativo, x = −5+√5

10 è punto di massimorelativo.

f ′ (0+) = 9e;f ′ (0−) = −e, quindi x = 0 è punto angoloso, e punto di minimo relativo.f (x) = 0 per |x| = 4

5 , x = ±45 . Grafico qualitativo:


limx→+∞

arctan(x3)− π

21x − arctan

1x

.

limx→+∞

(arctan

(x3)− π

2

)1x − arctan

1x

=

[0

0

]Applico De L’Hospital:

limx→+∞

3x2

1+x6

− 1x2 +

1x2

11+ 1

x2

=

[0

0

],

31

ma:

3x2

1 + x6∼ 3x

2

x6=3

x4

− 1x2+1

x21

1 + 1x2

= − 1x2+

1

x2 + 1=

−1x2 (x2 + 1)

∼ − 1x4

quindi3x2

1+x6

− 1x2 +

1x2

11+ 1

x2

∼3x4

− 1x4

= −3,



∞∑n=1

n

(e−

1n2 − cos2 1

n

)

e−1n2 = 1− 1

n2+1

2

1

n4+ o

(1

n4

)(cos

1

n

)2=

(1− 1

2n2+

1

4!n4+ o

(1

n4

))2= 1− 1

n2+

1

4n4+

2

4!n4+ o

(1

n4

)n

(e−

1n2 − cos2 1

n

)= n

(1− 1

n2+1

2

1

n4+ o

(1

n4

)−(1− 1

n2+

1

4n4+

2

4!n4+ o

(1

n4

)))= n · 1

n4

(1

2− 14− 1

12+ o (1)

)∼ 1

6n3

quindi la serie è a termini almeno definitivamente positivi, e per confronto as-intotico con la serie armonica generalizzata convergente

∑16n3 , converge.

32


0

e−x |x− 2| dx.

∫ 3

0

e−x |x− 2| dx =∫ 2

0

e−x (2− x) dx+∫ 3

2

e−x (x− 2) dx.∫e−xg′(x− 2)

f

dx = −e−x (x− 2) +∫e−xdx = −e−x (x− 2)− e−x + c

= e−x (1− x) + c∫ 3

0

e−x |x− 2| dx =[e−x (x− 1)

]20+[e−x (1− x)

]32

= e−2 + 1− 2e−3 + e−2

= 1 + 2e−2 − 2e−3.


(sinx+ 2)2 dx

∫cos3 x

(sinx+ 2)2 dx =

∫1− sin2 x(sinx+ 2)

2 cosxdx =

[sinx = t; cosxdx = dt]

=

∫1− t2

(t+ 2)2 dt =

∫ (−1 + 4t+ 5

t2 + 4t+ 4

)dt

= −t+ 2∫

2t+ 4

t2 + 4t+ 4dt− 3

∫1

(t+ 2)2 dt

= −t+ 2 log (t+ 2)2 + 3

t+ 2+ c

= −t+ 4 log |t+ 2|+ 3

t+ 2+ c

= − (sinx+ 2) + 4 log (sinx+ 2) + 3

sinx+ 2+ c.

33

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