Un esperimento mentale basato sulla diffusione del profumopermette di formulare conclusioni in apparenza paradossali: ilprocesso nel suo complesso si sviluppa sempre nella medesimadirezione, ma è costituito da eventi microscopici che presi sin-golarmente sono completamente reversibili. In una stanza ipo-tetica perfettamente isolata si apre una bottiglia di profumo. Idisegni in alto, osservati da sinistra a destra, mostrano le mo-lecole che sì distaccano dalla superficie del liquido e che pianopiano riempiono la stanza, fino all'evaporazione completa delliquido. Letti nel senso opposto i disegni rappresentano un pro-cesso mai osservato in natura: tutte le molecole entrano sponta-

neamente nella bottiglia e si condensano. Nei disegni in bassolo stesso processo è visto a livello microscopico. Le singole mo-lecole lasciano la superficie del liquido e seguono complicatetraiettorie a zig-zag diffondendosi nella stanza. Questa succes-sione di eventi potrebbe benissimo svolgersi nell'altro senso, da-to che, se ogni molecola invertisse la propria direzione, riper-correndo la medesima strada, le molecole tornerebbero tutte nel-la bottiglia. In questo modo la molecola obbedirebbe a tutte leleggi della fisica e quindi sarebbe impossibile, esaminando ilpercorso di una singola molecola, capire se stiamo assistendo alprocesso normale oppure a quello che si svolge alla rovescia.

S

embra facile distinguere il passa-to dal futuro, dato che la me-moria ci fornisce una registra-

zione del passato, mentre del futuronon abbiamo una conoscenza certa.Tuttavia nell'interpretazione degli even-ti secondo le leggi fondamentali dellafisica la distinzione tra passato e futuroquasi scompare. La nostra percezioneintuitiva del mondo ce lo rappresentacome qualcosa di esteso nello spazioma « in sviluppo » nel tempo. Conside-rato in scala atomica il mondo è uncontinuo quadridimensionale esteso nel-lo spazio e nel tempo. Intuitivamentediamo un significato particolare a unmomento specifico, il presente, che ve-diamo come la cresta di un'onda chetrasforma continuamente la potenza inatto e lascia nella sua scia il mortopassato. La microfisica non privilegianessun momento del tempo e fa solouna leggera differenza tra la direzionedel passato e quella del futuro.

La nostra percezione intuitiva delmondo come qualcosa che si sviluppanel tempo non può però essere abban-donata come qualcosa di meramentesoggettivo, dato che ha una controparteoggettiva in una serie di processi bio-logici, geologici e astronomici. Aspettievidenti sono i processi fisiologici chesono alla base della memoria, della cre-scita, dello sviluppo e della differenzia-zione degli organismi viventi, processievolutivi, dove variazioni casuali asso-ciate alla selezione naturale hanno pro-dotto un numero enorme e in crescitacostante di forme viventi organizzate inmodo sempre più complesso. La crostaterrestre reca i segni di mutamenti evo-lutivi durati 4 miliardi e mezzo di anni,e le superfici piene di crateri della Lunae di Marte testimoniano il passaggiodi un analogo periodo di tempo. Lestelle normali, le giganti rosse, le super-nove e le nane bianche rappresentanostadi diversi nel ciclo evolutivo della

vita di una singola stella. Infine la re-cessione delle galassie più lontane sug-gerisce l'idea che l'intero universo siail prodotto di un processo evolutivo,che abbia avuto origine, in un tempofinitamente lontano, da uno stato in-differenziato estremamente denso.

Tutti questi processi hanno qualcosain comune: generano ordine, ossia in-formazione, trasformano uno stato piùsemplice in uno più complesso. Perusare un'espressione di Sir Arthur Ed-dington, indicano in che direzione èorientata la « freccia del tempo », defi-niscono quella che chiamo la freccia« storica » del tempo.

Paradossalmente è possibile definirela direzione del tempo per mezzo diuna classe diametralmente opposta diprocessi, quelli che distruggono l'infor-mazione e che generano disordine. Selascio cadere una zolletta di zuccheroin una tazza di tè caldo e mescolo, laconcentrazione spaziale delle molecoledi zucchero, il movimento del tè e ladifferenza di temperatura tra il tè e ciòche lo circonda costituiscono l'informa-zione macroscopica, ossia l'ordine. Coldissolversi dello zucchero, il raffreddar-si del tè e il cessare dei suoi mo-vimenti l'informazione svanisce gra-dualmente. I processi irreversibili chedistruggono l'informazione macroscopi-ca (nel nostro esempio la diffusione mo-lecolare, la viscosità e la conduzionedel calore) sono manifestazioni dellaseconda legge della termodinamica. Ta-le legge stabilisce che tutti i processinaturali generano entropia, essendol'entropia una misura del disordine. Ladistruzione irreversibile dell'ordine ma-croscopico definisce quella che ho chia-mato freccia « termodinamica » deltempo.

A livello microscopico non si osser-va né la freccia storica né quella ter-modinamica. Il movimento di una sin-gola molecola di zucchero o di tè non

genera né informazione né entropia. Ilconcetto di « ordine » è di tipo macro-scopico, è una proprietà dei sistemi co-stituiti da molte particelle che non haalcun senso quando sia applicata a sin-goli atomi o molecole. Nella fisica del-le particelle elementari il mondo cam-bia senza evolversi.

Io sostengo che né la concezione ma-croscopica del mondo come un siste-ma che degenera verso un disordinecompleto, né quella microscopica di unsistema di campi e particelle interagentiche muta senza evolversi, sono richie-ste dalle leggi fondamentali della fisica.La mia proposta consiste nel considera-re entrambi i punti di vista come de-rivati da assunzioni ausiliarie circa lanatura e l'origine dell'universo, e quindinel sostituire tali assunzioni con altre,a mio parere più semplici, ugualmentein accordo con l'osservazione empirica.Il modello di universo che si ricava,sebbene differisca da quello accettatodalla maggior parte dei fisici, risolvel'apparente contraddizione tra frecciastorica e termodinamica del tempo,riconciliandole entrambe con il caratte-re quasi simmetrico rispetto al tempodelle leggi fisiche a livello microscopico.Questa teoria implica che il mondo siain espansione nel tempo e contempora-neamente spiega come diventi a ogniistante più complesso e ricco d'infor-mazione.

L'irreversibilità

La freccia storica e quella termodi-namica derivano entrambe da processiche si svolgono sempre nella medesimadirezione, il cui accadere è irreversibile.Che cosa rende irreversibili questi pro-cessi? Tutti i fenomeni possono esseredescritti in ultima analisi come effettodell'interazione di particelle elementari.Se le leggi che governano queste inte-razioni non distinguono tra passato e

La freccia del tempo

Perché il tempo scorre in un'unica direzione? La risposta non va cercatanelle leggi di natura, che ben difficilmente riescono a distinguere trapassato e futuro, ma nelle condizioni prevalenti all'origine dell'universo

di David Layzer

26

27

i SPAZIO DI FASEI A DUE DIMENSIONI

OO-JuJ •

•POSIZIONE

futuro, qual è il motivo dell'irreversibi-lità che osserviamo nel mondo macro-scopico?

Una possibile spiegazione potrebbetrovarsi nel fatto che anche le leggi del-la microfisica non sono perfettamente

simmetriche rispetto al tempo. L'esisten-za di un'asimmetria temporale a livellodi particelle subatomiche può essereconfermata dal processo di decadimen-to di un mesone K neutro. Uno dei di-versi possibili processi di decadimento

di tale particella sembra violare alcunesimmetrie della natura, e l'usuale inter-pretazione di questo fatto è che la sim-metria violata sia quella dell'irreversibi-lità del tempo (si veda l'articolo Esperi-menti sull'inversione del tempo di O. E.

Overseth in « Le Scienze », n. 17, gennaio1970). Tuttavia questa violazione è moltodebole, dato che la si osserva in menodell'uno per cento dei casi. Inoltre imesoni K sono presenti solo in esperi-menti di fisica delle alte energie; non

sono ordinari costituenti della materiae non giocano alcun ruolo nei processimacroscopici che definiscono la frecciastorica e quella termodinamica.

Se le radici dell'irreversibilità non sitrovano nelle leggi che governano gli

eventi microscopici, significa che an-dranno cercate nei vincoli che condizio-nano il verificarsi di tali eventi. Leggie vincoli sono aspetti complementaridella descrizione fisica della natura. Leleggi descrivono le regolarità sottostan-

aSPAZIO REALEA UNA DIMENSIONE

Il concetto ai spazio di fase è utilizzato per rappresentare lo statodinamico di un sistema di particelle. Ogni particella è descritta daun vettore (frecce colorate) che definisce la posizione e la velocità.Per una particella in un universo unidimensionale (a) sono sufficien-ti due numeri per specificare questi parametri e lo stato della par-ticella può essere rappresentato in uno spazio di fase a due dimen-sioni. Ogni possibile stato della particella corrisponde a qualchepunto nello spazio di fase. Una particella libera di muoversi in unospazio a tre dimensioni (b) richiede sei numeri per la specificazio-

SPAZIO REALEA TRE DIMENSIONI

Y

/

•--->X

•

SPAZIO DI FASEA SEI DIMENSIONI

•

•

ne del suo stato dato che sia la posizione sia la velocità han-no componenti su tre assi. Lo spazio di fase corrispondentedeve perciò avere sei dimensioni. Dato che non è possibilecostruire uno spazio reale con più di tre dimensioni, lo spa-zio di fase è qui rappresentato con una « fetta » tridimensio-nale dello spazio a sei dimensioni. In un sistema compostoda molte particelle occorrono sei numeri per specificare lostato di ogni particella, cosicché lo spazio di fase corri-spondente deve avere un numero di dimensioni uguale a

C

Y

SPAZIO REALEA TRE DIMENSIONi

/

>

X

; SPAZIO DI FASEA 48 DIMENSIONI

•

•

•

quello delle particelle moltiplicato per sei. Per esempio,un sistema di otto particelle (c) potrebbe essere rappresen-tato da un punto in uno spazio di fase a 48 dimensioni. L'in-formazione necessaria per specificare lo stato è condensa-ta tuttà nella collocazione di questo singolo punto e ognistato possibile corrisponde a un unico punto nello spaziodi fase a 48 dimensioni. Gli assi della fetta tridimensiona-le sono scelti in modo arbitrario tra i 48. Con l'evolversidel sistema di particelle (d) il suo stato dinamico cambia

SPAZIO REALEA TRE DIMENSIONI

/

\A \v

/

/x

SPAZIO DI FASEA 48 DIMENSIONI

i/.....-'`,

t/ lt /

/

IX

/'

• ''I\ s......

it

tt'

/

e questo mutamento si riflette nel movimento del punto che ìo rap-presenta nello spazio di fase. Il percorso del punto, sia nel passatosia nel futuro, è completamente determinato dalla sua posizione ini-ziale e quindi la storia dinamica del sistema può essere completa-mente predetta nei dettagli. Inoltre il punto nello spazio di fasepuò seguire lo stesso percorso in entrambe le direzioni e ciò rap-presenta la completa reversibilità dei movimenti delle particelle nellospazio reale. Anche in questo caso nella nostra rappresentazione ab-biamo scelto tre dimensioni qualsiasi tra le 48 a nostra disposizione.

28

29

La rappresentazione probabilistica di un sistema composto da molteparticelle raffigura in modo più realistico il comportamento del si-stema. La probabilità è mostrata come un fluido nello spazio di fa-se; la massa del fluido in una regione rappresenta la probabilità cheil punto che rappresenta lo stato del sistema si trovi in quella re-

gione. Nell'esperimento sulla diffusione del profumo tuttoil fluido probabilistico è concentrato all'inizio in un piccolovolume, dato che tutte le molecole sono racchiuse nella bot-tiglia. La forma del fluido è di fatto un'ipersfera a 6n dimen-sioni, dove n è il numero delle molecole di profumo; nel

disegno è rappresentata da una sfera a tre dimensioni (a).Con l'evolversi del sistema il fluido deve migrare in regio-ni dello spazio di fase più lontane, ma dato che le traiet-torie delle particelle sono determinate il fluido risulta incom-primibile. La sua espansione non è come quella di un gas,

ma assomiglia all'estroflessione di « tentacoli » (b), sempre più sottili enumerosi (c) col crescere degli stati possibili del sistema. Alla fine tut-to l'ipervolume è pieno di sottili rami del fluido, il cui volume totalerimane costante. Da un punto di vista macroscopico la distribuzione delfluido sembra ora uniforme, ma non è così a un esame ravvicinato (d).

ti i fenomeni, sono poco numerose esi applicano a un dominio molto vasto.I vincoli servono per selezionare, nel-l'ambito degli eventi governati da unalegge, il particolare fenomeno che inte-ressa. Le leggi definiscono l'ambito delpossibile, i vincoli ciò che è reale o ri-levante. I vincoli possono prendere laforma di condizioni iniziali, condizio-ni limitanti o condizioni di simmetria.

Per illustrare come leggi e vincolicontribuiscano insieme a dar forma aifenomeni, consideriamo i movimentidei pianeti del sistema solare. In basealla legge di gravitazione di Newton sipotrebbero calcolare tutte le posizionipassate e future dei pianeti conoscendole loro posizioni e velocità in un datomomento. La legge di Newton spiegaperché ogni pianeta segua un'orbita el-littica con il Sole in uno dei fuochi,perché il movimento di una linea checonnetta il Sole con un pianeta generiaree uguali in tempi uguali e perché iquadrati dei periodi orbitali dei pianetisiano proporzionali ai cubi dei diametridelle loro orbite. La legge in questionepotrebbe spiegare questi fatti per ognisistema planetario. D'altra parte la leg-ge di gravitazione non spiega perché leorbite dei pianeti sono quasi circolari,perché i piani orbitali sono quasi coin-cidenti o perché tutti i pianeti giranointorno al Sole nella stessa direzione.Secondo quanto riconobbe lo stesso

Newton, tali regolarità devono avereorigine dalle condizioni iniziali.

Per spiegare queste regolarità occor-rerebbe una teoria della formazione deipianeti. Tale teoria non potrebbe forni-re in dettaglio le condizioni iniziali delsistema solare, ma potrebbe specificarecerte proprietà statistiche dei sistemiprimordiali da cui hanno avuto originei sistemi planetari come il nostro. An-che questa teoria dovrebbe muovereperò da certe condizioni iniziali parti-colari, che a loro volta potrebbero mo-strare certe regolarità statistiche chespingerebbero la spiegazione teorica aun livello più profondo. In questo mo-do saremmo condotti a formulare unaserie di problemi cosmogonici semprepiù generali le cui soluzioni darebberoorigine a spiegazioni sempre più gene-rali delle regolarità statistiche dell'uni-verso astronomico. Questa ipoteticacatena di teorie cosmogoniche deve ter-minare alla fine nella specificazione diun insieme di vincoli riguardanti l'uni-verso nel suo complesso, comprese cer-te condizioni iniziali. È proprio in que-sto insieme di condizioni vincolanti chepossiamo trovare la radice dell'irrever-sibilità.

Informazione ed entropia

I processi che definiscono la frecciastorica e la freccia termodinamica del

tempo sono quelli che rispettivamentegenerano informazione e entropia. Co-me dimostrò nel 1946 Claude E. Shan-non del Massachusetts Institute of Te-chnology, l'informazione è una proprie-tà delle descrizioni statistiche dei siste-mi fisici. Essa viene misurata in bit, ocifre binarie, dove per bit si intende laquantità d'informazione necessaria perdecidere tra due possibilità egualmenteprobabili. L'informazione può ancheessere considerata come una proprietàdei sistemi fisici stessi, una misura del lo-ro livello di organizzazione. Un teoremafondamentale dovuto a Shannon dimo-stra che il contenuto d'informazione diun sistema è pari al minimo numero dibit necessario per codificare una descri-zione statistica completa del sistema.

Il concetto di entropia è strettamenteconnesso a quello di informazione. Laentropia è stata definita per la primavolta (da Rudolf Clausius e da LordKelvin) nel contesto della termodinami-ca e consiste nella misura dello sposta-mento di un sistema dall'equilibrio ter-modinamico; nello stato di equilibriol'entropia assume il valore massimo perdati valori di temperatura e di densità.

Utilizzando una formula derivata perla prima volta da Ludwig Boltzmanne da J. Willard Gibbs, Shannon definìun concetto di entropia all'interno dellateoria dell'informazione, consistente nel-la misura del grado di incertezza asso-

ciato alla descrizione statistica di unsistema. L'entropia termodinamica diKelvin e Clausius e quella statistica diBoltzmann, Gibbs e Shannon godonodi identiche proprietà matematiche: so-no aspetti differenti di un medesimoconcetto.

Entropia e informazione sono con-nesse da una semplice legge di conser-vazione, che stabilisce che la sommadell'informazione e dell'entropia è co-stante e uguale al massimo di informa-zione che si può avere dal sistema, os-sia all'entropia sotto certe condizionidate. Esprimendo matematicamente que-sta legge, abbiamo che H +1=costante=H—=1.,-, dove H (la lettera grecaeta) e I rappresentano i valori effettividi entropia e di informazione, mentreH.- e I..x rappresentano i massimi va-lori possibili. Dunque un aumento d'in-formazione è sempre compensato dauna uguale perdita di entropia.

Supponiamo che un sistema fisico di-sponga di otto (ossia 2 3) possibili stati.In notazione binaria potrebbero essereindicati dai numeri 000, 001, 010, 011,100, 101, 110 e 111. La specificazionedi uno stato particolare, per esempioquello indicato da 101, richiede tre ci-fre binarie, vale a dire la quantità d'in-formazione associata alla descrizioneseguente: « Il sistema è chiaramentenello stato 101 ». Il grado di incertezza,ossia l'entropia, associato a questa de-

scrizione è evidentemente nullo. All'e-stremo opposto, se non possedessimo al-cuna informazione circa lo stato del si-stema, saremmo costretti ad assegnareuguali probabilità a ciascuno degli ottopossibili stati. In questo caso l'informa-zione è zero. Dato che la somma di en-tropia e di informazione è costante peril sistema, l'entropia deve ora essere ditre bit. In generale, se un sistema ha 2'stati possibili, dove r è un numero inte-ro, allora la massima quantità di in-formazione o entropia è uguale al lo-garitmo in base 2 di 2', ossia r.

Un esperimento mentale

Per i sistemi reali il numero dei pos-sibili stati è molto grande ma non in-finito. Il numero degli stati, e quindianche la quantità massima d'informa-zione, sono limitati dal principio d'in-determinazione formulato da WernerHeisenberg. Secondo tale principio laconoscenza della posizione e del mo-mento di una particella reale è limita-ta da una certa quantità irriducibile diindeterminazione, in modo che lo statodella particella non può essere specifi-cato con maggior precisione di quellaconsentita dal principio d'indetermina-zione. Ne deriva che qualsiasi sistemafisico può essere descritto con una quan-tità finita di informazione.

Per comprendere i rapporti tra co-

smologia, entropia e informazione pos-siamo compiere un semplice esperimen-to mentale. In un angolo di una stanzain cui l'aria sia perfettamente calmaviene aperta una bottiglia di profumo.Dopo qualche tempo un osservatoresituato nell'angolo opposto della stanzariferisce di cominciare a sentire l'odoredel liquido. Evidentemente le molecoledi profumo si sono allontanate dallasuperficie del liquido e dopo un certonumero di collisioni con altre moleco-le, seguendo un complicato percorso azig-zag, hanno attraversato la stanza.Dopo un tempo sufficientemente lungotutto il profumo sarà evaporato e lemolecole di profumo saranno distribui-te in modo uniforme nella stanza (siveda la figura a pagina 27).

L'esperienza e la seconda legge dellatermodinamica ci dicono che il proces-so è irreversibile: per quanto a lungosi aspetti le molecole di profumo nonse ne torneranno mai spontaneamentenella bottiglia. Tuttavia non si trattadi un evento impossibile in linea diprincipio. Supponiamo di aver registra-to l'intero esperimento su un film chene riprendesse i dettagli microscopici, inmodo da poter seguire individualmenteogni molecola nei suoi movimenti. Po-tremmo vedere allora come una singolamolecola si distacca dalla superficie delliquido in seguito all'impulso ricevutoda una collisione. Il suo percorso av-

30

31

"1111111Mr,

..2011111111n11."211111tr«..1531•15,111Eiih*, 11"..111n71111.Alli"10111~2111113nn•rt

a

La teoria dell'informazione fornisce un'interpretazione quantitativadella distribuzione del fluido probabilistico. Lo spazio di fase è divi-so in piccole celle di uguale ipervolume e nello stato iniziale si sup-pone che tutto il fluido sia contenuto in una cella (a). L'informazio-ne richiesta per specificare questa distribuzione è pari al logaritmo

in base 2 del numero delle celle. Con l'evolversi del siste-ma di particelle, il fluido passa a occupare sempre nuove cel-le (b) e alla fine la distribuzione è uniforme; ogni cella con-tiene un uguale volume di fluido (c). Lo stato del siste-ma è allora indeterminato e non occorre alcuna infor-

mazione per precisarlo. Ma se si esamina lo spazio di fasesu scala più ridotta si trova che la distribuzione del fluidonon è affatto uniforme. Dividendo ogni cella in altre celle(d) si dimostra che l'informazione necessaria per definirelo stato del sistema è restata invariata: è ancora il logarit-

mo in base 2 del numero delle celle. L'informazione dello stato inizialesullo stato macroscopico del sistema è diventata informazione sullo statomicroscopico. Si dimostra che se l'informazione microscopica è as-sente nello stato iniziale del sistema, allora tutta l'informazione ma-croscopica del sistema viene convertita in informazione microscopica.

viene tra collisioni continue con mi-gliaia di altre particelle dell'aria, conle pareti del contenitore, con i muri del-la stanza, mutando ogni volta direzionee velocità. Dopo un certo tempo la ri-troviamo ancora in movimento dall'al-tra parte della stanza. Se si proiettassealla rovescia un film di questo tipo,si vedrebbero le molecole di profumopercorrere alla rovescia le loro compli-cate traiettorie per radunarsi tutte nel-la bottiglia e riunirsi a formare un li-quido. Se isolassimo una singola mo-lecola troveremmo che il suo percorsoobbedisce a tutte le leggi della fisica,dato che le leggi che governano il mo-to delle molecole sono simmetriche ri-spetto al tempo. Nessuna caratteristicadella traiettoria di una singola moleco-la è in grado di farci distinguere il film« vero » da quello alla rovescia. Perchéallora respingiamo il film alla rovesciacome registrazione di un fatto reale?

L'ovvia risposta è che nel film allarovescia le condizioni iniziali sono mol-to particolari. Infatti all'inizio di questofilm ognuna di una gran massa di mo-lecole è su una traiettoria che alla finela condurrà in un certo volume di spa-zio molto ristretto (la bottiglia di pro-fumo) escludendo tutti gli altri volumisimili a sua disposizione (il resto dellastanza). Uno stato iniziale di questotipo è estremamente improbabile e ciòè stato considerato spesso una spiega-

32

zione sufficiente dell'irreversibilità deiprocessi termodinamici. Tuttavia è pos-sibile spingere l'analisi più a fondo echiedersi che cosa renda tanto impro-babili queste condizioni iniziali.

Lo spazio di fase

Per continuare l'analisi abbiamo biso-gno di strumenti adatti alla rappresen-tazione del mutamento dello stato di-namico di un sistema contenente ungran numero di particelle. Lo spazio difase fa al caso nostro.

Lo stato dinamico di una singolaparticella è completamente descrittodalla sua posizione e dalla sua velocità.Per esprimere queste quantità abbiamobisogno di sei numeri: tre coordinateper la posizione e tre componenti perla velocità. In coordinate cartesiane inumeri corrispondono a posizione evelocità lungo gli assi x, y e z. Questisei numeri possono considerarsi comele sei coordinate di posizione di unpunto in uno spazio a sei dimensioni,lo spazio di fase della particella. Aogni punto dello spazio di fase corri-sponde un unico stato dinamico dellaparticella nello spazio reale e il movi-mento della particella nello spazio realesi traduce in una curva nel suo spaziodi fase tracciata dal suo punto di rap-presentazione. Se conoscessimo la posi-zione e la velocità della particella in

un istante potremmo predire ogni suomovimento successivo con la massimaprecisione; in altre parole, la storia di-namica della particella è completamen-te determinata dalle sue condizioni ini-ziali. Analogamente, nello spazio di fa-se l'intera curva è completamente deter-minata dal suo punto di origine. Inoltreil percorso del punto nello spazio difase non può tornare su se stesso nébiforcarsi (sebbene possa descrivere unacurva chiusa). Infatti se tale percorso siintersecasse vi sarebbe uno stato dellaparticella (quello rappresentato dal pun-to d'intersezione) con più di uno statosuccessivo e la storia dinamica dellaparticella non sarebbe determinata inmodo univoco.

Con la medesima tecnica è possibiledescrivere un sistema chiuso compostoda molte particelle interagenti. Lo statodinamico di un sistema di n particelleè specificato da 6n numeri: le tre coor-dinate di posizione e le tre componentidella velocità di ognuna delle n parti-celle. Questi numeri possono essereconsiderati come le coordinate di unpunto in uno spazio a 6n dimensioni;per descrivere il sistema dobbiamo spe-cificare la collocazione dì un singolopunto in questo spazio. Analogamentela storia dinamica del sistema è rappre-sentata da una curva nello spazio di fa-se che è determinata in modo comple-to e univoco dal suo punto di origine.

Tale curva può avere una forma com-plicata o irregolare in relazione allecollisioni o a altre interazioni che si ve-rificano tra le particelle, ma non puòbiforcarsi né tornare su se stessa.

La diffusione delle molecole di pro-fumo nel nostro esperimento mentaleè rappresentata da un'unica traiettoriain uno spazio di fase a 6n dimensioni,dove n è il numero delle molecole diprofumo. (Si tratta di un numero mol-to grande: per un grammo di profumon è pari circa a 6 x1020.) La traiettoriacongiunge i punti che rappresentano lostato iniziale e quello finale dell'esperi-mento, ma se potessimo esaminare que-sti punti non potremmo trovare alcunadifferenza qualitativa tra di essi. Ognu-no di essi può essere conseguenza del-l'altro e la descrizione dei movimentidelle molecole è completamente rever-sibile.

L'analisi del nostro esperimento men-tale compiuta per mezzo dello spaziodi fase sembra abolire la freccia deltempo, imponendo un determinismo chenon lascia spazio per la novità. Tutta-via si tratta di una descrizione dotatadi una precisione che non è realistica.Si suppone infatti di possedere riguardoal sistema delle molecole di profumo edell'aria una quantità d'informazionesuperiore a quella che di fatto è pos-sibile avere. Di fatto non conosciamole posizioni iniziali precise e le velocità

delle 6X 1020 molecole di profumo, an-che tenendo conto delle limitazioni im-poste dal principio d'indeterminazione.Tutto ciò che possiamo dire è chesono confinate all'inizio in un certo vo-lume, la bottiglia, ma non possiamocerto specificare le coordinate del puntoche rappresenta il sistema nello spaziodi fase. Tutto quello che possiamo direè che tale punto deve essere compresoall'interno di un piccolo volume, o « i-pervolume >>, dello spazio di fase a 6ndimensioni.

Allo scopo di rappresentare questainformazione rimpiazziamo il puntonello spazio di fase con una bolla co-stituita da un fluido immaginario cheriempia in modo uniforme il piccoloipervolume corrispondente alla nostraeffettiva conoscenza dello stato iniziale.Il fluido immaginario rappresenta laprobabilità e la massa di fluido in unaregione dello spazio rappresenta la pro-babilità che lo stato dinamico del siste-ma corrisponda a un punto situato al-l'interno di quella regione (si veda lafigura alle pagine 30 e 31).

Come si diffonde il fluido probabili-stico nello spazio di fase man manoche le molecole di profumo si diffon-dono nello spazio fisico? Si potrebbepensare che si espanda in tutte le di-rezioni, come il profumo, e che riempiaalla fine tutto l'ipervolume in modo piùo meno uniforme. Di fatto il compor-

tamento del fluido è alquanto diverso.Dato che i movimenti delle molecole

di profumo sono determinati in modocompleto dal loro stato iniziale (anchese questo ci è ignoto), il fluido proba-bilistico deve restare una singola bollacontinua. Se dovesse spezzarsi in due opiù bolle separate ciò significherebbeche esiste una storia dinamica rappre-sentata da orna traiettoria che si bifor-ca, fatto che come abbiamo visto è im-possibile. Inoltre il volume della bollanon può cambiare, dato che è propor-zionale al numero di stati distinguibilipermessi dal principio d'indeterminazio-ne e tale numero non può cambiarefinché ogni stato definisce un'unica sto-ria dinamica.

Da queste considerazioni si può con-cludere che il fluido probabilistico è con-tinuo e incomprimibile e che quindi ilsuo comportamento è più simile a quel-lo di un liquido che a quello di ungas. La sua espansione nell'ipervolumenon avviene per una diminuzione didensità, come nel caso di un gas. maestroflettendo dei « tentacoli » che di-ventano sempre più lunghi e stretti esempre più numerosi man mano che ilsistema si evolve. Il processo è statoparagonato da Gibbs a quello concui l'inchiostro di China si diffondein acqua ferma.

Col diffondersi del fluido probabilisti-co tramite l'emissione di tentacoli sem-

33

Perturbazioni casuali provenienti dall'esterno del sistema di par-ticelle tendono a dissipare l'informazione microscopica. In unsistema che non può comunicare con l'esterno (a) i percorsi del-le particelle sono determinati e il fluido probabilistico nellospazio di fase in cui è rappresentato il sistema risulta incompri-mibile. Tuttavia nessun sistema reale è veramente isolato. Lepareti di ogni contenitore trasmettono il calore e vi è inoltre

l'interazione gravitazionale delle particelle con materia distante.Ne risulta che perturbazioni casuali distruggono tutta l'informa-zione sullo stato microscopico del sistema. Dato che lo stato fu-turo del sistema non è più predicibile a partire da quello presen-te, il fluido non sarà più incomprimibile (b); il suo com-portamento assomiglierà più a quello di una nuvola di fumoche si espande fino a riempire tutto lo spazio di fase accessibile.

a I i INFAM I W

pre più sottili, l'ipervolume totale occu-pato dal fluido resta costante ma laforma della regione occupata diventasempre più complessa. Dopo un perio-do sufficiente di tempo il fluido sem-brerà distribuito in modo uniforme nel-l'intero ipervolume, tuttavia quando losi esamini nei minimi particolari sitroverà che la distribuzione è tutt'altroche uniforme. In questa descrizione del

nostro esperimento mentale abbiamorilevato una differenza enorme tra lostato iniziale e quello finale. All'inizioil fluido probabilistico è confinato inuna piccola regione dello spazio di fa-se che occupa in modo uniforme, men-tre il resto dell'ipervolume è vuoto.Nello stato finale il fluido occupa l'in-tero ipervolume. Da un punto di vistamacroscopico esso sembra distribuito

in modo uniforme, ma in scala micro-scopica rivela una distribuzione assaipoco uniforme.

Il flusso dell'informazione

La distinzione tra una distribuzioneuniforme e una non uniforme del flui-do probabilistico rappresenta una diffe-renza qualitativa nel contenuto d'infor-

mazione del sistema. Per misurare l'in-formazione dobbiamo dividere la re-gione accessibile dello spazio di fase inpiccole celle di eguale ipervolume. Percomodità supponiamo di ottenere 2'celle, dove r è un numero intero (siveda la figura alle pagine 32 e 33).All'inizio il fluido probabilistico è con-finato in una delle celle. L'informazio-ne richiesta per specificare lo stato èsemplicemente il numero di cifre bina-rie necessario per specificare una par-ticolare cella. Il numero di bit richiestoè il logaritmo in base 2 del numero del-le celle, ossia log, 2'=r. In conclusionelo stato iniziale dell'esperimento menta-le può essere rappresentato da r bitd'informazione.

Nello stato finale, quando il fluido èdistribuito in modo uniforme, ognunadelle 2 celle contiene lo stesso volumedi fluido probabilistico. A quel livellodi descrizione lo stato finale è comple-tamente indeterminato e non occorrealcuna informazione per specificarlo.Nell'evoluzione del sistema sembra chesia scomparsa tutta l'informazione con-tenuta nello stato iniziale.

Se esaminiamo la distribuzione delfluido su una scala più ridotta riuscia-mo tuttavia a scoprire dove è andata afinire l'informazione. Se ogni cella con-tiene un volume uguale di fluido e seil volume totale del fluido non è mu-tato, allora all'interno di ogni cella ilfluido probabilistico deve occupare so-lo 1/2' del volume. Sebbene la densitàdel fluido non abbia subito variazioni,la forma della regione di spazio occu-pata è diventata ora molto complessa.Se si divide la cella in « microcelle »sufficientemente piccole si può dimo-strare che l'informazione necessaria perspecificare la distribuzione del fluidonell'intera regione dello spazio di fase èsempre log2 2'=r. Quindi l'informazio-ne macroscopica presente nello statoiniziale non è scomparsa ma si è sem-plicemente convertita in informazionemicroscopica nello stato finale.

Questa conclusione può essere gene-ralizzata e precisata in modo esaurien-te. Comunque si decida di dividere lospazio di fase in « macrocelle », possia-mo definire l'informazione macrosco-pica come l'informazione necessaria perspecificare l'insieme di probabilità as-sociato a queste macrocelle; l'informa-zione necessaria per specificare la di-stribuzione del fluido all'interno dellemacrocelle viene definita microscopica.Con l'evolversi del sistema chiuso dimolecole, la quantità totale d'informa-zione necessaria per specificare la di-stribuzione del fluido probabilistico nellospazio di fase del sistema si mantiene aun livello costante, ma l'informazionemacroscopica può essere convertita in

informazione microscopica e viceversa.Che cosa rappresentano questi due

tipi di informazione? Possiamo identi-ficare l'informazione macroscopica conla nostra conoscenza delle proprietàstatistiche del sistema, e l'informazionemicroscopica con una conoscenza det-tagliata dello stato delle singole mole-cole. In particolare l'informazione mi-croscopica rappresenta la nostra cono-scenza delle correlazioni esistenti tra levelocità delle particelle. Nel nostro e-sperimento mentale l'informazione mi-croscopica era inizialmente assente, da-to che nello stato iniziale non vi eranocorrelazioni tra le velocità delle mole-cole; la conoscenza della velocità diuna molecola non ci avrebbe messo ingrado di predire la velocità di qualsia-si altra molecola. Con l'evolversi delsistema le collisioni creavano delle cor-relazioni tra le velocità delle particellee tutta l'informazione macroscopicapresente si convertiva alla fine nell'in-formazione microscopica rappresentatada queste correlazioni.

Per certi tipi di sistemi fisici e sottocerte condizioni iniziali si può dimo-strare che questo processo è inevitabile.Se l'informazione microscopica è assen-te all'inizio in un sistema composto damolte particelle interagenti, allora l'in-formazione necessaria per specificare lostato macroscopico del sistema devediminuire rapidamente finché si con-verte tutta in informazione microscopi-ca. Teoremi di questo tipo sono statidimostrati a partire dal 1946 (per par-ticolari classi di sistemi fisici e per par-ticolari definizioni del concetto di in-formazione microscopica) da NikolaiBogolyubov, Leon C. P. van Hove, IlyaPrigogine, Radu Balescu, Mark Kace altri.

Dato che l'informazione macroscopi-ca invariabilmente diminuisce in quellecircostanze in cui l'entropia termodina-mica aumenta, si è tentati di definirel'entropia termodinamica come infor-

L'« universo giocattolo » consiste in una li-nea retta, infinita nei due sensi, e divisa insettori che possono essere occupati (rettan-goli scuri) o vuoti (rettangoli chiari). Sela distribuzione dei rettangoli segue cer-te proprietà statistiche si può dimostrareche questo universo non contiene infor-mazione microscopica. Per esempio, leproprietà specifiche di particolari succes-sioni di rettangoli non hanno senso. Taliproprietà non possono distinguere una rap-presentazione dell'universo da un'altra (a,b), dato che ogni successione finita esistesicuramente in tutte le rappresentazioni in-finite. Una particolare successione non puònemmeno designare un'unica posizione inuna singola rappresentazione, dato che lastessa successione deve sicuramente ripeter-si altrove (c). Questo ragionamento si puòestendere all'universo reale, il quale sod-disfa le condizioni statistiche richieste.

C

e

37

•2 4.•% n •2• w$41. e I•• •_40 ^ fp Lo

sulla.•

• • h.."oso 111

•••%"1

•••

011los. • .4*i> jp of

01'•

• 4,• "F• • 4, •41 •IS41ai% • • •

h. • •3 ••1••

*te _o-••.

allir 4•• ••P

Iss ••%"/Foa. "glI .14 •••b •• ,ige•9* • • ••• • *i Ani

an a • IV: •

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • ••

• ••

••

••

••

••

••

••

••

••

••

•• •

•• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • I • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •

mazione macroscopica negativa. Infattiuna definizione di questo tipo conduceimmediatamente all'equazione presenta-ta precedentemente: H + = H I —.Interpretiamo ora H come entropia ter-modinamica e I come informazione ma-croscopica. L'entropia è allora semprepositiva o uguale a zero, e se il massi-mo dell'entropia resta costante, comedeve accadere in un sistema chiuso, al-lora l'entropia deve aumentare col di-minuire dell'informazione macroscopi-ca. Abbiamo così ricondotto l'originedella freccia termodinamica del tempoa una proprietà degli stati iniziali deisistemi chiusi. L'entropia di un sistemachiuso aumenterà solo se nel sistema èpresente all'inizio l'informazione macro-scopica mentre l'informazione micro-scopica è assente.

Le perturbazioni casuali

Queste condizioni iniziali specialipossono fornire una spiegazione dellafreccia termodinamica del tempo, manon si tratta di una spiegazione moltosoddisfacente. Perché in natura questeparticolari condizioni iniziali sono re-golarmente soddisfatte? L'informazionemicroscopica sembra abbastanza sem-plice da produrre. Perché compare solonegli stati finali dei sistemi naturali emai in quelli iniziali? Che cosa signifi-ca affermare che l'informazione micro-scopica è assente da un certo stato? Èsempre possibile acquisire tale informa-zione spendendo una quantità sufficien-te di energia. Infine, che significato sipuò attribuire alla distinzione tra il li-vello macroscopico e quello microsco-pico di descrizione? Una risposta plau-sibile a questi problemi è stata datanel 1912 dal matematico francese traileBorel. In tempi recenti i risultati diBorel sono stati riscoperti ed elaboratida John M. Blatt, Peter G. Bergmann,Joel L. Lebowitz e Philip M orrison.

La nostra conclusione che l'informa-zione microscopica di un sistema au-menta col diminuire di quella macro-scopica è valida solo per sistemi chiusi,cioè per sistemi che non comunicanocon ciò che li circonda. Borel ha dimo-strato che nessun sistema fisico finitopuò considerarsi chiuso. Si consideriper esempio la stanza in cui ha avutoluogo l'esperimento mentale della dif-fusione del profumo. Anche se la stan-za non ha né porte né finestre, anchese le pareti sono isolate e molto spesse,il sistema di molecole non può essereisolato dal resto dell'universo. Le mo-lecole di profumo e di aria entrano incollisione con le pareti della stanza,che sono in contatto col mondo ester-no. Inoltre, fatto ancora più importan-te, è impossibile in linea di principio

36

proteggere le molecole da interazionigravitazionali con masse di materia an-che lontane. Gli effetti di queste inte-razioni sono piccolissimi ma non tra-scurabili: Borel ha calcolato che il mu-tamento di potenziale gravitazionaleprodotto dallo spostamento di un cen-timetro di un grammo di materia postoalla distanza di Sino può alterare so-stanzialmente nel corso di un microse-condo lo stato microscopico di un vo-lume macroscopico di gas.

L'inevitabile interazione di un siste-ma chiuso solo di nome con il restodell'universo ha l'effetto di una piccolaperturbazione casuale che distrugge lecorrelazioni tra le velocità delle parti-celle. La perturbazione distrugge quin-di l'informazione microscopica e ricreadi continuo le condizioni iniziali neces-sarie per garantire la degradazione del-l'informazione macroscopica e la cre-scita dell'entropia termodinamica. Datoche non è più possibile considerare ilsistema come isolato, la sua storia di-namica non sarà più completamentedeterminata. Il fluido probabilistico nel-lo spazio di fase non sarà più incom-primibile, ma si espanderà come unanuvola di fumo fino a riempire tuttol'ipervolume disponibile (si veda la fi-gura di pag. 34). Possiamo quindi con-cludere che nel mondo reale l'informa-zione macroscopica si trasforma in in-formazione microscopica, ma l'informa-zione microscopica viene distrutta daperturbazioni casuali.

Il principio cosmologico

Il ragionamento di Borel dipende dal-la supposta casualità delle interazionidi sistemi nominalmente chiusi con ilresto dell'universo. Se si conoscesserole posizioni e le velocità di tutte le par-ticelle perturbanti si potrebbe estenderela definizione di sistema chiuso fino aincludere le particelle perturbanti. Tut-tavia anche questo sistema più grandesarebbe soggetto a perturbazioni prove-nienti dall'esterno. In ultima analisi sa-remmo costretti a includere nella no-stra descrizione l'intero universo. Datauna descrizione microscopica completadell'universo (con tutte le limitazioni

imposte dal principio d'indeterminazio-ne) non ci sarebbe più nessuna distin-zione qualitativa tra le due direzionidel tempo, perché una descrizione diquesto tipo sarebbe simmetrica rispet-to al tempo. Tuttavia una descrizionedel genere è possibile, anche solo inlinea di principio?

Ogni sistema fisico finito ammetteuna descrizione microscopica completacontenente una quantità finita d'infor-mazione, e quindi si potrebbe pensareche anche l'universo nel suo complessopossa essere descritto compiutamente.Se la quantità d'informazione richiestada una descrizione siffatta sia finita ono dipende solo dal volume finito o in-finito dell'universo. (La cosmologia re-lativistica ammette entrambe le possi-bilità.) Tuttavia l'universo gode di cer-te proprietà specifiche che i suoi sot-tosistemi non condividono. In partico-lare ogni sottosistema finito dell'univer-so è limitato, mentre l'universo, finitoo infinito che sia, si suppone illimitato.Inoltre esso sembra conformarsi a quel-lo che chiamo principio cosmologicoforte, secondo il quale nessuna proprie-tà statistica dell'universo definisce unaposizione o direzione privilegiata nellospazio. Il principio cosmologico (nor-male), così denominato da Albert Ein-stein nel 1916, stabilisce che la distri-buzione spaziale della materia e del mo-vimento nell'universo è omogenea e iso-tropa, a parte irregolarità locali. La ver-sione forte stabilisce inoltre che le irre-golarità locali stesse devono essere omo-genee e isotrope. Tale principio è stret-tamente connesso nelle sue conseguenzecon la nostra ricerca sull'origine dellafreccia termodinamica del tempo. Dimo-strerò che il principio cosmologico forteimplica che l'informazione microscopicariguardo all'universo sia oggettivamen-te assente, nel senso che non è acquisi-bile o specificabile. Questa limitazionedella nostra conoscenza rappresentauna indeterminazione di tipo cosmico,connessa ma diversa dall'indetermina-zione richiesta dal principio d'indeter-minazione di Fleisenberg. Si tratta diuna proprietà dell'universo nel suo com-plesso, non goduta però da sottosistemilimitati, per i quali l'informazione mi-

L'evoluzione dell'universo rappresenta una crescita dell'informazione macroscopica. Inun modello progettato dall'autore e dai suoi collaboratori si suppone che lo stato ini-ziale sia privo d'informazione e di struttura. Nel periodo immediatamente successivoal « big-bang » (a) l'universo è in uno stato di equilibrio termodinamico mantenuto dal-la rapida interazione tra particelle e dalla radiazione. Dopo un'espansione di circa 15minuti l'universo si cristallizza, o congela, in una lega di idrogeno metallico ed elio(b). Poiché l'espansione cosmica continua questo universo solidificato si spezza in fram-menti aventi più o meno la massa di un pianeta (c), che formano un « gas » nel sensoche interagiscono tra loro frequentemente e casualmente come le molecole di un gas.Nel gas planetario possono verificarsi fluttuazioni di densità (d) per la coagulazione digruppi di frammenti, fluttuazkoni che diventano sempre più grandi col crescere delle di-mensioni dei gruppi che si aggregano (e). Alla fine si costituisce una gerarchia distrutture, corrispondente alle stelle, galassie, gruppi di galassie che oggi vediamo (f).

croscopica si può specificare o acqui-sire liberamente.

È possibile illustrare la nozione diindeterminazione cosmica considerandoun « universo giocattolo » costituito daparticelle puntiformi distribuite casual-mente ma con densità media uniformelungo una linea retta infinita. Le pro-prietà statistiche di questo universo u-nidimensionale possono essere valutatecon la massima precisione. Per esem-pio, possiamo valutare il numero me-dio di punti per unità di lunghezza conla massima precisione facendo la mediasu segmenti di retta sempre più lunghi.È possibile specificare qualche proprie-tà non statistica, o microscopica, diquesto universo giocattolo? Che cosacostituirebbe una proprietà microscopi-ca? Supponiamo di avere due rappre-sentazioni dell'universo in questione,identiche riguardo alle loro proprietàstatistiche. Stabilisco che definire unaproprietà microscopica significa trova-re qualche modo di distinguere le duerappresentazioni, dato che l'unico tipo diinformazione su cui si potrebbe fon-dare una tale distinzione è di tipo nonstatistico, e quindi microscopica.

Allo scopo di rappresentare gli effet-ti del principio d'indeterminazione dob-biamo dividere il nostro universo uni-dimensionale in celle di uguale lunghez-za, dove la lunghezza rappresenta laprecisione con cui si può specificare laposizione di una singola particella. Seallora specifichiamo il numero di par-ticelle che occupa ogni singola cella,l'universo giocattolo viene a essere rap-presentato da una successione di « nu-meri di occupazione » infinita e apertada entrambi i lati. L'informazione mi-croscopica è ora definita come un'in-formazione che ci potrebbe permetteredi distinguere due successioni di nu-meri di occupazione dotate delle stesseproprietà statistiche (o macroscopiche).Per stabilire che due successioni sonodifferenti potremmo cercare di metterlein corrispondenza, cella a cella, per l'in-tera lunghezza. Tuttavia, dato che nes-suna delle due successioni ha un ini-zio o una fine o un qualsiasi altro pun-to in qualche modo privilegiato, esi-stono infiniti modi di confrontarle. Inlinea di principio è impossibile eseguireuna serie infinita di operazioni e quin-di non è questa la via attraverso cuisi può dimostrare l'impossibilità di unacori ispondenza tra le due successioni.

Si potrebbe invece cercare di dimo-strare che le due successioni sono iden-tiche. Innanzitutto dovremmo formareda una successione di numeri di occu-pazione una sottosuccessione di lun-ghezza qualsiasi, quindi potremmo cer-care un'identica sottosuccessione nell'al-tra successione. In una successione in-

finita qualsiasi sottosuccessione di lun-ghezza finita si presenta un numero in-finito di volte. La legge dei grandi nu-meri garantisce il successo della nostraricerca in un numero finito di tenta-tivi. Inoltre l'esito positivo non dipen-de in alcun modo dalla lunghezza dellasottosuccessione scelta, purché sia fini-ta. Le due successioni sono indistingui-bili dal punto di vista operazionale per-ché, se non fosse così, dovrebbe esserepossibile mostrare almeno una sotto-successione di una successione che nonpossiede duplicato nell'altra successio-ne. Possiamo quindi concludere che esi-ste solo una successione infinita di ci-fre con le proprietà statistiche che de-finiscono l'universo giocattolo. Duerappresentazioni dell'universo con lestesse proprietà statistiche sono indistin-guibili. Dato che l'informazione micro-scopica è, per definizione, ciò che po-trebbe distinguere le due successioni,dobbiamo concludere che essa è ogget-tivamente assente.

Questo ragionamento si può estende-re facilmente a modelli infiniti dell'uni-verso reale tridimensionale che soddi-sfino il principio cosmologico forte ela condizione aggiuntiva che la scaladella struttura locale sia finita. La di-sposizione delle stelle e delle galassievisibili dalla Terra è talmente comples-sa e specifica che sembrerebbe definirela nostra posizione nell'universo con lastessa precisione con cui un'improntadigitale identifica una persona, ma nonè così. In un universo infinito, statisti-camente omogeneo e isotropo c'è lacertezza che la stessa disposizione distelle e galassie si presenti ripetutamen-te. Se il nostro universo soddisfa ilprincipio cosmologico forte le sue pro-prietà significative sono tutte statistichee il suo stato microscopico è completa-mente indeterminato. A partire dal tem-po di Newton è stato implicito nel pen-siero cosmologico che l'universo, in li-nea di principio, possa essere comple-tamente descritto a livello microscopi-co. Ora possiamo vedere come ciò nonsia affatto necessario. Se l'universo èsufficientemente simmetrico non vi èspazio per l'informazione microscopica.

L'origine dell'informazionemacroscopica

Abbiamo visto come la freccia ter-modinamica del tempo tragga originedall'assenza di informazione microsco-pica e dalla presenza di informazionemacroscopica negli stati iniziali dei si-stemi chiusi. Abbiamo trovato che inun universo che soddisfi il principiocosmologico forte l'informazione micro-scopica è oggettivamente assente. D'al-tra parte non siamo stati in grado di

trovare ragioni che impedissero la man-canza anche dell'informazione macro-scopica. La complessità dell'universo,come ci è svelata dall'astronomia, èdavvero sconcertante. I sistemi isolatisi avviano inevitabilmente verso unostato indifferenziato di equilibrio ter-modinamico. Dato che anche l'universoè in un certo senso un sistema isolato,perché non ha ancora raggiunto l'equi-librio? Una risposta, che molti cosmo-logi sono pronti a fornire, è che di fat-to l'universo tende a questo stato diequilibrio, ma che deve passare ancoradel tempo prima che il processo siacompiuto. Fred Hoyle e J. V. Narlikarhanno scritto: « Nella cosmologia del« big-bang » l'universo deve partire conun forte squilibrio termodinamico e de-ve alla fine esaurirsi. » Dimostrerò chequesto punto di vista è fondamental-mente scorretto. L'universo non va ver-so l'esaurimento e non è necessarioche all'inizio della sua storia si sia ve-rificato un forte squilibrio termodina-mico; infatti lo stato iniziale può esserestato completamente privo sia di infor-mazione macroscopica sia di informa-zione microscopica.

Supponiamo che in qualche momen-to vicino all'origine sia prevalso nell'u-niverso un equilibrio termodinamicolocale. L'entropia di ogni regione sareb-be stata allora la più grande possibilein base ai valori prevalenti di tempera-tura media e di densità. Con l'espan-dersi dell'universo da quello stato ini-ziale ipotetico, i valori locali di densitàmedia e di temperatura si sarebberomodificati, e lo stesso avrebbe fattol'entropia di ogni regione. Per mante-nere l'entropia al suo valore massimo(e quindi per il mantenimento dell'e-quilibrio) la distribuzione dell'energianella materia e nella radiazione devevariare, e lo stesso vale per la concen-trazione dei vari tipi di particelle. Iprocessi fisici attraverso cui si effettua-no questi mutamenti procedono a unritmo finito; se questi ritmi di « equi-librazione » sono molto più veloci diquelli dell'espansione cosmica, si man-terrà localmente un approssimato e-quilibrio termodinamico, in caso con-trario l'espansione darà origine a sen-sibili spostamenti dall'equilibrio a li-vello locale. Questi spostamenti rappre-sentano l'informazione macroscopica;la quantità d'informazione macroscopi-ca generata dall'espansione è la diffe-renza tra il valore attuale dell'entropiae il valore massimo teorico della mede-sima a livelli medi di temperatura edensità.

Questo ragionamento non dipendedall'ipotesi di una semplice espansionecosmica, ma dal ritmo finito a cui pos-sono avvenire i mutamenti di densità

e temperatura. Le stesse conclusioni sipotrebbero trarre se l'universo si stessecontraendo da uno stato di equilibrioinvece che espandendo: se il ritmo del-la contrazione fosse più veloce di quel-lo di questi processi che mantengonol'equilibrio termodinamico, aumentereb-bero sia l'informazione macroscopicasia l'entropia. Il nostro risultato nonfissa quindi la direzione della frecciacosmologica rispetto a quella termodi-namica, ma si limita a stabilire chel'informazione macroscopica e l'entro-pia sono generate dall'evolversi dell'uni-verso da un ipotetico stato iniziale diequilibrio termodinamico locale.

È ragionevole supporre che l'univer-so sia stato (o sarà mai) in uno statodi equilibrio termodinamico locale? Perrispondere a questa domanda dobbia-mo confrontare i ritmi dei processi diequilibrazione (quelli che generano en-Copia) e quelli dell'espansione o con-trazione cosmica. Nessuno dei due ècostante. Spostandoci indietro nel tem-po verso l'origine il ritmo d'espansioneaumenta, e all'origine del tempo il rit-mo di espansione è infinito. Tuttaviaanche i ritmi di equilibrazione aumen-tano man mano che ci spostiamo in-dietro nel tempo, dato che gli scontritra particelle diventano sempre più fre-quenti con l'aumento della densità edella temperatura. Di fatto, nel periodoimmediatamente successivo all'origine,i ritmi dei processi di equilibrazionesono molto più alti di quello dell'espan-sione cosmica. Ne deriva che il «big--bang » si presenta come un processoestremamente dolce, in cui i processi diequilibrazione locali tengono facilmenteil passo delle mutazioni delle condizio-ni macroscopiche di temperatura e den-sità che avvengono nella prima frazio-ne di un microsecondo. L'equilibriotermodinamico locale si può supporresolo per questa brevissima fase inizialedell'evoluzione dell'universo, ma daquesta assunzione deriva che l'espansio-ne dell'universo ha generato sia l'in-formazione macroscopica sia l'entropia.Quindi la freccia cosmologica, quellastorica e quella termodinamica si pre-sentano come conseguenze del princi-pio cosmologico forte e dell'assunzio-ne che all'origine, o in un momento aessa molto vicino, sia prevalso uno sta-to di equilibrio termodinamico locale.È degno di nota che nessuna di questeassunzioni si riferisca direttamente altempo o a processi temporali.

Rimane una domanda aperta, se siconsidera plausibile questa teoria. L'e-spansione cosmica genera i particolaritipi di informazione macroscopica checaratterizzano l'universo oggi? È pos-sibile che parte dell'informazione siastata presente fino dall'inizio, forse sot-

to forma di fluttuazioni di densità. Nonè possibile ancora rispondere con sicu-rezza alla domanda, ma è importantenotare che da un punto di vista teori-co non è necessario che nello stadioiniziale fosse presente qualche tipo distruttura. Insieme ai miei collaboratoriho sviluppato un modello dell'evoluzio-ne in cui si parte da una situazione diequilibrio termodinamico a temperatu-ra zero (si veda la figura di pagi-na 37). È quindi possibile che l'uni-verso, con tutta la sua ricchezza e ladifferenziazione delle sue parti, si siasviluppato da uno stato completamenteprivo di informazione e di struttura.Se postuliamo l'esistenza di uno statoprimordiale di questo tipo possiamoanche fare a meno di formulare sepa-ratamente il principio cosmologico for-te. L'omogeneità statistica e l'isotropiadell'universo derivano dall'invarianza ditutte le leggi fisiche note rispetto a ro-tazioni e a traslazioni spaziali.

Novità e determinismo

Abbiamo ora ricondotto a un'originecomune la freccia termodinamica equella storica, vale a dire allo stato ini-ziale dell'universo. In tale stato l'infor-mazione microscopica è assente e quel-la macroscopica è assente o minima.L'espansione a partire da questo statoha prodotto tanto l'entropia quanto lastruttura macroscopica. L'informazionemicroscopica, d'altra parte, non è pre-sente nei sistemi astronomici di forma-zione recente, ed è questo il motivo percui essi e i loro sottosistemi possiedonouna freccia termodinamica.

La concezione di un mondo che sievolve nel tempo è radicalmente diffe-rente da quella che ha dominato nellafisica e nell'astronomia a partire daitempi di Newton, una concezione chetrova la sua espressione classica nelleopere di Pierre Simon de Laplace.

In questa prospettiva non c'è nienteche corrisponda al passaggio del tem-po, il passato e il futuro coesistono co-me termini uguali, come due semiret-te staccate da un punto che divide unaretta. Tuttavia, se la teoria che ho pre-sentato è corretta, nemmeno il sommocalcolatore, l'universo, contiene infor-mazione sufficiente per specificare inmodo completo i suoi stati futuri. Ilmomento presente contiene sempre unelemento di genuina novità e il futuronon è mai completamente predicibile.Poiché i processi biologici generanoanch'essi informazione e la coscienzaci permette di sperimentare in mododiretto questi processi, la percezione in-tuitiva del mondo come qualcosa che siespande nel tempo coglie una delle carat-teristiche più profonde dell'universo.

ASTRONOMIAEASTROFISICA

LE SCIENZEedizione italiana di

SCIENTIFIC AMERICAN

ha pubblicato in questo campo iseguenti articoli:

L'EVOLUZIONE DEI QUASARdi M. Schmidt e F. Bello (n. 36)

I RESTIDELLE SUPERNOVEdi P. Gorenstein e W Tucker(n. 38)

I « BUCHI NERI »di R. Penrose (n. 48)

COME NASCE UNA STELLAdi B.J. Bok (n. 51)

LA DINAMICA DELLAGALASSIA DI ANDROMEDAdi V.C. Rubin (n. 62)

MAREE VIOLENTETRA GALASSIEdi Alar e J. Toomre (n. 67)

IL CENTRODELLA GALASSIAdi R.H. Sanders e G.T. Wrixon(n. 71)

LA STRUTTURA DELLENEBULOSE A EMISSIONEdi J.S. Miller (n. 77)

LA RICERCA DEIBUCHI NERIdi K. Thorne (n. 80)

SORGENTI DI RAGGI XIN SISTEMI BINARIdi H. Gursky e E.P.J. van denHeuvel (n. 83)

STELLE PULSANTIdi J.R. Percy (n. 86)

RADIOGALASSIE GIGANTIdi R.G. Strom, G.K. Miley eJ.H. Oort (n. 88)

38 39