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LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

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LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO

DEFINIZIONE

Assegnato nel piano un punto C, detto

centro, si chiama circonferenza la curva

piana luogo geometrico dei punti

equidistanti da C:

PC = costanteC

P

La distanza fra ognuno dei punti e il centro

è il raggio della circonferenza.

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L’ EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Dalla definizione di circonferenza, ponendoci in un riferimento cartesiano,

possiamo ricavare l’equazione della circonferenza.

Se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C, le

coordinate P(x;y), si ha:

. normale equazione 0 x : ottiene si

2-2a-

cui da -2b-2a

pone si Se

22 x:Sviluppo

. cartesiana equazione βyαx

r βyαx r CP

22

22222

22222

222

22

cbyaxycr

bcr

ryyx

r

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. ry x:anche scrivere può si canonica equazionel' quindi

, ) r c ( r c che inoltre Osserviamo

. canonica equazione 0cy x

0b ; 2βb

0a ; 2αa

0cbyaxyx

222

2222

22

22

Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè = 0 e =0 , l’equazione normale diventa:

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LA CONDIZIONE DI REALTA’

Non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti unacirconferenza.Dall’espressione del raggio si hanno i seguenti casi:

l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario );

2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere)di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C;

l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale.

0

0

0

c4

b

4

a cβαr ;

2

bβ

2

aαcon βα;C

2222

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CIRCONFERENZE IN POSIZIONI PARTICOLARI

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CIRCONFERENZE PARTICOLARI

Considerazioni sul caso ‘c = 0’.

Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa

x2 + y2 + ax + by = 0 ,

quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .

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LA POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA

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LA DISTANZA DELLA RETTA DAL CENTRO DELLA

CIRCONFERENZA

Distanza maggiore del raggio:

d > r

Distanza uguale al raggio:

d = r

Distanza minore del raggio:

d < r

La retta è esterna.

Non esistono punti

comuni.

La retta è tangente.

Esiste un solo punto

comune (T ).

La retta è secante.

Esistono due punti

comuni (A e B ).

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0'''

022

cybxa

cbyaxyx

D = 0

Una soluzione.

La retta è tangente.

D > 0

Due soluzioni.

La retta è secante.

CONDIZIONE ALGEBRICA PER L’ESISTENZA DELLE INTERSEZIONI

Per trovare i punti d’intersezione, si risolve il sistema:

Il sistema dà luogo a un’equazione di secondo grado.

D < 0

Nessuna soluzione.

La retta è esterna.

Soluzioni

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CONDIZIONE ALGEBRICA PER L’ESISTENZA DELLE INTERSEZIONI

ESEMPIO

Studiamo la posizione della retta

3x – 2y + 1 = 0,

Per trovare le intersezioni:

Cioè x2 – 1 = 0 D > 0 Il sistema ha due soluzioni distinte La retta è secante

rispetto alla circonferenza di equazione

x2 + y2 + 3x – 3y – 2 = 0.

x1 = 1, x2 = –1 y1 = 2, y2 = –1 A (1; 2), B (–1; –1)

Ricavando y dalla seconda

equazione

e sostituendo nella prima:

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Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola circonferenza.

EsempioTrovare l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3).

Imponiamo che la circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 passi per i punti dati

(-3)2+32+a(-3)+3b+c=0 passaggio per A

12+(-1)2+a-b+c=0 passaggio per B

12+32+a+3b+c=0 passaggio per C

Risolvendo:

a=2

b=-2

c=-6

Dunque la circonferenza

cercata ha equazione

x2+y2+2x-2y-6=0.

Ha centro in D(-1,1) e raggio

22 x

y

O

A

B

C

D

-

1-

2-

3-

4

1 2

1

2

3

-

1

-

5

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P appartiene alla circonferenza

P è esterno alla circonferenza

LE RETTE TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA

Le tangenti passanti per un punto P

P è interno alla circonferenza

Esistono due tangenti

passanti per P

Non esistono tangenti

passanti per P

Esiste una sola tangente

passante per P

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• Sistema: .

DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER

UN PUNTO ESTERNO P

METODO

Primo metodo: D = 0

• Fascio di rette passanti per P (x0; y0) : y – y0 = m (x – x0) .

• Si impone la condizione di tangenza, cioè D = 0.

• Si risolve l’equazione in m e si ricava il coefficiente angolare delle

rette tangenti.

• Si ricava y nell’equazione del fascioe si sostituisce nell’equazione della circonferenza.

L’equazione D = 0 è un’equazione di secondo grado in m.

• Si sostituiscono i valori trovati di m nell’equazione del fascio.

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• Si determinano le coordinate del centro C e il

raggio r della circonferenza.

• Si imposta l’equazione del fascio di rette passante per P (x0; y0) : y – y0 = m (x – x0) .

• Si sostituiscono i valori trovati di m

nell’equazione del fascio.

• Si applica la formula e si ricava la distanza

della retta del fascio dal centro C.

DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER

UN PUNTO ESTERNO P

METODO

Secondo metodo: distanza retta-centro uguale al raggio

• Si pone la distanza uguale a r .

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• Si determinano le coordinate del centro

C della circonferenza.

• Si trova il coefficiente angolare m della

retta r passante per P e per C.

DETERMINARE LE RETTE TANGENTI PASSANTI PER

UN PUNTO ESTERNO P

METODO

Terzo metodo: retta tangente in un punto P della circonferenza, come perpendicolare al raggio PC

• Si calcola il coefficiente angolare m'

della retta perpendicolare alla retta r .

• Si scrive l’equazione della tangente:y – y0 = m' (x – x0) .

m = m' = –2

y – 5 = –2(x – 5)

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ESERCIZI: LA POSIZIONE RELATIVA DI UNA RETTA E

UNA CIRCONFERENZA

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ESERCIZI: LE RETTE TANGENTI A UNA

CIRCONFERENZA

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Alcune condizioni per determinare l'equazione della circonferenzaPDF Compressor Pro