Strutture in stato di tensione piana

In questa condizione vanno esaminati i recipienti in pressione, che sono tipicamente

strutture realizzate in spessore sottile (rispetto alle altre dimensioni ~ r/t > 10)

SERBATOI SFERICI

Possono contenere gas o liquidi in pressione, ma anche cabine

pressurizzate per lo spazio o batiscafi

Se la pressione esterna è maggiore di quella interna occorre

anche una verifica al buckling (instabilità a compressione)

La forma sferica è la migliore dal punto di vista peso/resistenza

– .. ad es. si pensi alla naturale forma delle bolle di sapone

Per il calcolo, avendo all’interno un

surplus p di pressione rispetto

all’esterno, si effettua l’equilibrio tra

la pressione e le sollecitazioni sul

bordo di una emisfera

2

int 2 medp r r tπ = π σ

2

int

2 med

pr

r tσ =

2

pr

tσ =

σ

σ

σ

σ

L’elementino posto all’esterno del guscio sferico si trova in stato di

tensione uniforme (la sua circonferenza di Mohr appoggiata alla

direzione perpendicolare si riduce ad un punto)

qualunque sia l’orientazione, le τ nel piano risultano

sempre nulle

1 2 3 02

pr

tσ = σ = σ =

σ

1 2σ σ≡

τ

3σ

max2

στ =

Se invece si considera un elementino sulla superficie interna compare la

III tensione principale, per ragioni dimensionali ben più piccola delle altre

prpσ = σ = σ = −

σ

1 2σ σ≡3σ

max2

pστ

+=

1 2 32

pt

σ = σ = σ = −τ

max2

τ =

La soluzione trovata è quella nominale, se sono presenti variazioni di forma dovuti a innesti,

ispessimenti, ' la soluzioni si discosta dalla nominale. Ad esempio piccoli fori inducono la

tensione massima ad amplificarsi di un fattore 3

La tensione equivalente varia a seconda se si consideri la sezione interna o quella esterna

Tensione equivalente di Von Mises:2

21

4eq

r rp

t tσ = + +

Presente o no in superficie

interna o esterna,

rispettivamente

SERBATOI CILINDRICI A SEZIONE CIRCOLARE

Anche in questo caso si considera solo la pressione interna,

trascurando gli effetti del peso del fluido e del serbatoio stesso.

Quindi orientazione e appoggio sono ininfluenti

Sono forme molto comuni, si pensi a bombole, tubi pressurizzati,

sottomarini, razzi, '

Lo stato di tensione di un elementino del mantello sarà ancora

principale nelle direzioni assiale e circonferenziale, data la

simmetria geometrica e di carico, ma le due tensioni principali

sono disegualisono diseguali

Equilibrio di una sezione assiale

2

22 2 p r rtπ = π σ2

2

pr

tσ =

Equilibrio di una sezione diametrale (di nuovo confondendo

raggio medio e interno)

12 2 pbr bt= σ 1

pr

tσ = 1σ

2σ

1σ

2σ

Superficie esterna

1 2 3 02

pr pr

t tσ = σ = σ =

σ1σ3σ

1στ =

2σ

Superficie interna

1 2 32

pr prp

t tσ = σ = σ = −

σ1σ3σ

1 pσ +τ =

2σ

τ

1max

2τ =

τ1

max2

pσ +τ =

Tensione equivalente di Von Mises:2

2

3 31

4 2eq

r rp

t tσ = + +

Presente o no in superficie

interna o esterna,

rispettivamente

Anche qui la soluzione trovata è quella nominale, se sono presenti variazioni di forma dovuti

a innesti, ispessimenti, ' la soluzioni si discosta dalla nominale

Notare che il mantello cilindrico è sollecitato al massimo doppiamente rispetto mantello sferico

Soluzione:

L’idea di base è di assicurare la medesima deformabilità circonferenziale ai due mantelli. In

tal modo, deformandosi in ugual misura, non si avranno tensionamenti diversi da quelli

nominali

Esempio

Si vuole realizzare un serbatoio cilindrico a fondo sferico che non

presenti intensificazioni di tensioni al raccordo.

Determinare il rapporto tra gli spessori dei due mantelli a tal fine

( )1 2

1c cil cil cil

E− − −ε = σ −νσ ( )1 2

1c sf sf sf

E− − −ε = σ −νσ( )1 2c cil cil cil

E− − − ( )1 2c sf sf sf

E− − −

1

2c cil

cil cil

pr pr

E t t−

ε = −ν

1

2 2c sf

sf sf

pr pr

E t t−

ε = −ν

2

2c cil

cil

pr

Et−

−νε = 1

2

c sf

sf

pr

Et−

−νε =

1

2sf cilt t

−ν=

−νPer un acciaio coeff. Poisson = 0.3

0.70.412

1.7sf cil cilt t t= =

In sostanza il fondo dovrebbe essere molto più sottile, vicino al 40% del mantello cilindrico

Notare la necessità ad utilizzare anche ν per la risoluzione della deformazione 2D

( ) zx

z

My y

Iσ = −

Stati di tensioni interne nelle travi inflesse

Nelle travi caricate trasversalmente,

coesistono tensioni che si oppongono alla

flessione ed altre che si oppongono al taglio

( ) ( )( )xy

z

VQ yy

I b yτ =

x

y

Generalmente flessione e taglio vengono considerate

separatamente, in quanto la prima è massima al top-

bottom e nulla al centro, la seconda è nulla al top-

bottom e massima al centro

2 23eq VonMises x xy−σ = σ + τ

Tensioni principali

2

2

1 , 22 2

x xxy

σ σσ τ = ± +

σ−σ

τ=α

yx

xy2tanar

2

1

Direzione principale

bottom e massima al centro

Facendo riferimento alla figura, nei punti interni si è in

presenza di entrambi i termini di sollecitazione per cui

Max. τRif. principalex-y

Tangenti alle due tensioni principali massime ( trazione) e minime ( compressione)

In presenza di travi a sezione generica, non si può sempre stabilire a priori quale sia il

punto più sollecitato, in teoria andrebbero verificati tutti i punti interni alla sezione, in punto più sollecitato, in teoria andrebbero verificati tutti i punti interni alla sezione, in

pratica non è difficile restringere la verifica a punti notevoli

Combinazione di carichi nelle travi

Ancora più in generale, elementi traviformi possono essere soggetti a molteplici

combinazioni di carico: flessioni, trazioni, torsioni, tagli e quindi lo stato di tensione

risultante ne risulta molto più complesso di quelli esaminati separatamente in precedenza

In elasticità lineare, e per piccoli spostamenti, si può disporre del principio di

sovrapposizione degli effetti, trovare separatamente i singoli contributi e sommarne poi gli

effetti ossia le soluzioni

Scelto un riferimento, particolare attenzione va posta nell’inserire le tensioni al

posto giusto nel tensore onde poter sommare i contributi analoghi (ad es.

flessione e trazione)

σττ

τστ

ττσ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

xPx

x

P

A=σ

y

z

( )yP

y

x P

z

P xy

Jσ =

( )PQ y

xP

σττ

τστ

ττσ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

x

( ),p py zyP ( )

( )y z

xy

z z

PQ y

I b yτ =

yP

zPzP

zx P

y

P xz

Jσ =

( )( )

z y

xz

y y

PQ z

I b zτ = xM

xM2 2x

yz P P

Pol

My z

Iτ = +

Esempio

Punti dove la sollecitazione

è massima