Lezione “Analisi Statica di Travi ad

Arco”

Arco parabolico

Consideriamo una trave appoggiata e soggetta ad un carico ripartito e si calcoli la posizione relativa alla generica sezione S posta nella parte sinistra della trave rispetto alla mezzaria

Analisi Statica di Travi ad Arco

Detta X la distanza dall’appoggio di sinistra A risulta

Analisi Statica di Travi ad Arco

La retta d’azione della risultante in A è la retta verticale per A. Facendo variare S da A a C (sezione sulla mezzeria della trave) z varia da 0 a ℓ/2 e X varia da 0 a +. Le rette d’azione delle risultanti relative alle sezioni della metà sinistra AC della trave individuano quindi le rette verticali poste a sinistra dell’appoggio A. Analogamente alle sezioni della metà destra C B della trave corrispondono le rette verticali poste a destra dell’appoggio B.

Analisi Statica di Travi ad Arco

Alla sezione C corrispondono la retta impropria, in accordo al fatto che la risultante in C è nulla. Poiché tutte le rette d’azione sono verticali, non esiste nessun inviluppo e quindi in tal caso non esiste la curva delle pressioni.

Analisi Statica di Travi ad Arco

Analisi Statica di Travi ad Arco

Per generare una curva delle pressioni nella trave appoggiata soggetta ad un carico ripartito costante occorre una reazione orizzontale che permette di inclinare le rette d’azione delle risultanti. Si inclini, a tale scopo, il carrello in B, ottenendo una curva delle pressioni parabolica

I diagrammi del taglio e del momento flettente invariati, ma viene ad aggiungersi la forza normale che nel caso precedente era nulla. Si sostituisca ora la trave ad asse rettilineo con un arco parabolico di linea d’asse coincidente con la curva delle pressioni precedute, lasciando invariati i vincoli in A e in B.

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Si ottiene così una struttura in grado di assorbire il carico ripartito generando esclusivamente una forza normale. Ciò è particolarmente vantaggioso se il materiale di cui è composto l’arco non è resistente a trazione il carico in tal modo può essere assorbito generando solo sforzi di compressione

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Arco circolare a tre cerniere

Si consideri l'equilibrio di un arco di circonferenza AB di centro O, di semiapertura generica, soggetto ad un carico distribuito q radiale (per unita di linea d'asse) e a due forze in A e in B tangenti alla linea d'asse

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Arco circolare a tre cerniere

Il carico radiale e simmetrico rispetto alla bisettrice dell'angolo AOB e quindi tale bisettrice coincide con la retta d'azione della risultante del carico. Sempre per simmetria, le due tangenti in A e in B si incontrano sulla bisettrice dell'angolo AOB rendendo cos possibile l'equilibrio (dato che condizione necessaria per l'equilibrio di tre forze e che si incontrino in un punto).

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Arco circolare a tre cerniere

Poiché la risultante del carico radiale ha retta d'azione l'asse di simmetria, e sufficiente integrare la componente del carico in tale direzione. La simmetria permette inoltre di integrare solo su meta arco.

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Come può poi dedursi dal poligono delle forze, gli sforzi alle due estremità A ed B dell'arco valgono qR. Si noti che tale risultato è indipendente dalla semiapertura dell'arco.

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Si sconnetta in corrispondenza delle tre cerniere (interna ed esterne). Per la soluzione precedente, e possibile equilibrare i due archi con delle forze tangenti alla linea d'asse, di modulo qR indipendente dalla semiapertura degli archi. Le due forze in corrispondenza della cerniera interna sono quindi uguali ed opposte come imposto dal vincolo.

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Essendo soddisfatto l'equilibrio e tutte le condizioni imposte dai vincoli, lo schema fornisce la soluzione dell'arco circolare a tre cerniere soggetto a carico radiale. Si noti che l'arco e soggetto alla sola forza normale e che quindi la curva delle pressioni coincide con la linea d'asse dell'arco.

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Arco a tre cerniere Si consideri l’‘arco a tre cerniere. Per la determinazione delle reazioni vincolari bisogna, così come fatto per le travi ad asse rettilineo, utilizzare il principio di sezionamento imponendo che sia soddisfatto l’equilibrio di ogni tratto della struttura. Scrivendo ad esempio le equazioni cardinali della statica per i due tratti AB e BC, soggetti alle eventuali azioni esterne ed alle reazioni vincolari esterne ed interne, essendo la struttura isostatica si ritrova l’unica soluzione del problema dell’equilibrio e dunque le reazioni vincolari.

Analisi Statica di Travi ad Arco

Arco a tre cerniere Determinare le reazioni vincolari in una struttura isostatica e le caratteristiche della sollecitazione utilizzando le procedure della cosiddetta ‘statica grafica’.

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Arco a tre cerniere In tale caso non si può partire dal tratto BC. Infatti la reazione di B su BC deve avere la sua retta d’azione passante per B. Analogamente la reazione in C deve avere la sua retta d’azione passante per C. Il tratto BC è soggetto a tali due reazioni ed alla forza F, cioè a tre forze. Affinché sussista l’equilibrio le tre rispettive rette d’azione devono convergere in un unico punto.

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Arco a tre cerniere Ma si vede che esistono infinite possibilità per soddisfare tale condizione di equilibrio grafico. Partendo invece dal tratto AB, si vede che, poiché esso è solamente soggetto alle reazioni in A ed in B, affinché sussista l’equilibrio del tratto tali reazioni devono avere la stessa retta d’azione. Dovendo poi esse avere rette d’azione passanti rispettivamente per A e per B, la congiungente tali punti fornisce proprio la retta d’azione cercata.

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Arco a tre cerniere .

Analisi Statica di Travi ad Arco

Arco a tre cerniere

Analisi Statica di Travi ad Arco

Arco a tre cerniere Per il calcolo del diagramma del momento si può partire dal punto C. Si consideri allora una sezione S e si imponga l’equilibrio alla rotazione del tratto CS intorno ad S. Si ricava che il modulo |MS| del momento in S vale |MS| = |RC| d, dove d è la distanza di S dalla retta d’azione di RC. Se si conviene di adottare come fondamentale del diagramma del momento in ogni trave l’asse stesso della trave e di disegnare l’ordinata del momento flettente dalla parte delle fibre tese non è necessario assegnare un segno a MS.

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Arco a tre cerniere Nel caso in esame la coppia agente in S sul tratto CS è antioraria e tende le fibre alla destra del tratto stesso. Il momento varia poi linearmente con d, che a sua volta varia linearmente sul tratto CD in esame poiché esso è rettilineo, per cui si ricava per il tratto CD il diagramma lineare mostrato in figura. La pendenza può essere assegnata arbitrariamente e determina la scala del diagramma del momento.

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Arco a tre cerniere Si consideri ora l’equilibrio del nodo D sezionando nelle sezioni D1 e D2 Immediatamente a sinistra e sotto D. Non essendoci in D una coppia applicata, la coppia oraria corrispondente al momento in D2 deve essere bilanciata da una coppia uguale in modulo ma antioraria applicata in D1, che tende le fibre superiori. Ciò si traduce nel ribaltamento dell’ordinata tracciata in D2.

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Arco a tre cerniere Considerando ora una sezione S del tratto BD a destra del punto di applicaz. della forza, l’equilibrio del tratto S’C fornisce il modulo del momento flettente in S’ pari a |MS’ | = |RC| d, dove d è la distanza di S0 dalla retta d’azione di RC. Il momento varia dunque linearmente con d, che a sua volta varia linearmente sul tratto CD. Il punto di nullo del diagramma

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Arco a tre cerniere Il punto di nullo del diagramma è quello in cui d0 si annulla, cioè il punto di intersezione del tratto in esame con la retta d’azione della reazione RC. Il diagramma prosegue poi linearmente con la stessa pendenza fino al punto di applicazione della forza F. Ciò lo si deduce anche considerando una sezione S’’ tra il punto di applicazione della forza e il punto di nullo del diagramma ed imponendo l’equilibrio del tratto S’’C. Dal punto C fino al punto di applicazione della forza per ogni sezione considerata si è analizzato l’equilibrio del tratto tra la sezione stessa ed il punto C, e nell’equilibrio alla rotazione intorno alla sezione sono intervenuti sempre e solo il momento nella sezione e la reazione RC.

Analisi Statica di Travi ad Arco

Arco a tre cerniere Pertanto il momento flettente in ciascuna sezione deve bilanciare il momento di RC rispetto alla sezione stessa. Passando alle sezioni S’’’ e S’v conviene per semplicità considerare l’equilibrio rispettivamente dei tratti BS’’’ e S’vB, come fatto in figura. Si riconosce che il momento in S000 deve bilanciare il momento di R’’ B rispetto a S000 stessa, mentre il momento in S0v deve bilanciare il momento di R’ B rispetto a S’v.

Analisi Statica di Travi ad Arco

Arco a tre cerniere

Analisi Statica di Travi ad Arco

Arco a tre cerniere

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Fine Lezione

Analisi Statica di Travi ad Arco