CIRCONFERENZA E AREA DEL CERCHIO - GE il Capitello

UNITÀ 1 CIRCONFERENZA E AREA DEL CERCHIO14

CIRCONFERENZA E AREA DEL CERCHIO

UNIT

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LA MISURA DELLA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZALa CIRCONFERENZA è il contorno di un CERCHIO.

I matematici hanno scoperto che la circonferenza contiene sempre il diametro “3 volte e un pezzettino".

A questo “3 volte e un pezzettino" è stato dato il nome p (si legge: pi greco) ed è stato dato il valore 3,14.

Per calcolare la misura della lunghezza della circonferenza (C) basta moltiplicare quella del diametro (d) per p oppure

moltiplicare quella del raggio (r) per 2 e poi per p.

ATTENZIONE

p non ha solo due cifre dopo la virgola, ma ne ha infinite:

p � 3,141592653...

I matematici hanno dimostrato che p è un numero irrazionale (cioè decimale illimitato non periodico).

A

CIRCONFERENZA

diametroO B

LUNGHEZZACIRCONFERENZA

quando conosciil diametro

quando conosciil raggio

C � d � p oppure C � 2 � r � p

FORMULE INVERSE(per trovare la misura del diametro o del raggio quando conosci quella

della circonferenza)p

�r C2p

d C=

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Esempio 1:Una circonferenza ha il diametro di 7 cm. Calcola la misura della lunghezza della circonferenza.Ricorda la formula: C � d � pSostituisci il 7 al posto di “d":

Esempio 2:Una circonferenza ha il raggio di 6 cm. Calcola la misura della lunghezza della circonferenza.Ricorda la formula: C � 2 � r � pSostituisci 6 al posto di “r":

A7 cmO B

A6 cm

O

PROVA TU!1. ESERCIZIO GUIDATO

Di una circonferenza sai che il diametro misura 10 cm. Calcola la misura della lunghezza della circonferenza.

2. Una circonferenza ha il diametro di 3 cm. La misura della lunghezza della circonferenza:

a. se lasci il p è C � ................ cm

b. se moltiplichi per 3,14 è C � .................................................................................. cm

USA LACALCOLATRICE

C � d � p � ......... � pC � ......... � p cmC � ......... � 3,14 cm � .................. cm

se lasci p ottieni...

se moltiplichiper 3,14 ottieni...

base dell’unità



C � 7 � pC � 7p cm

C � 7 � 3,14 � 21,98 cm



C � 2 � 6 � p � 12 � pC � 12p cm

C � 12 � 3,14 � 37,68 cm

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3. ESERCIZIO GUIDATO

Di una circonferenza sai che il raggio misura 50 cm. Calcola la misura della lunghezza della circonferenza.

C � 2 � r � p � 2 � .......... � p � .......... � pC � ................... cm

C � ............ � .............. � .............. cm



pag. esercizio n.24 3; 4; 625 9; 1026 20; 21; 22; 26; 27

pag. esercizio n.27 41b28 45

4. Una circonferenza ha il raggio di 10 cm. La misura della lunghezza della circonferenza:

a. se lasci indicato il p è C � ............... cm

b. se moltiplichi per 3,14 è C � ........... � ............... � ................ cm

............


Una circonferenza è lunga 24p cm.

Puoi trovare la misura del diametro e del raggio così:

a. trova la misura del diametro con la formula inversa p

d C= .

Sostituisci 24p al posto di C:

pd =

Dopo aver sostituito, semplifica per p. Otterrai la misura del diametro.

Scrivila sui puntini.

d � ............ cm

b. Per trovare la misura del raggio basta fare “diametro : 2”

r � d : 2 � ............ : 2 � ............ cm

6. Una circonferenza è lunga 10p cm.

a. La misura del diametro è ............. cm (scrivilo tu!)

b. La misura del raggio è ............. cm (scrivilo tu!)

UNIT


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Si trova così: prendi la misura del raggio, moltiplicala per se stessa e poi per p. In formula:

L’AREA DEL CERCHIO...

PROVA TU!7. Scrivi sotto a ogni cerchio quant’è la sua area (lascia indicato il p).

A � .............. cm2 A � .............. cm2 A � .............. cm2

Ar = 4 cm

OA

r = 6 cmO

Ar = 3 cm

O

Esempio:Un cerchio ha il raggio di 8 cm. Calcola l’area.

Ricorda la formula:A � r2 � p

Sostituisci 8 al posto di r e fai i calcoli:



A � 82 � p � 8 � 8 � p � 64 � p

A � 64p cm2

A � 64 � 3,14 � 200,96 cm2

AREA CERCHIO A � r � r � p A � r2 � p

FORMULA INVERSA(per trovare la misura del

raggio quando conosci quella dell’area del cerchio)

cioè

p�r A

base dell’unità

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Un cerchio ha l’area di 25p cm2. Calcola la misura del raggio. Risolviamo insieme!

Quando conosci l’area puoi trovare la misura del raggio con la formula inversa.

pag. esercizio n.31 7732 80; 8133 93; 94; 100

raggio(cm)

diametro(cm)

circonferenza (lascia il p)

(cm)

area (lascia il p)

(cm2)

12 ............... ................. .................

............... 60 ................. .................

raggio(cm)

diametro(cm)

circonferenza (lascia il p)

(cm)

area (lascia il p)

(cm2)

............... ............... ................. 36p

............... ............... ................. 49p

15 ............... ............... ...............

............... ............... 22p ...............

8. Completa la tabella.

10. L’area di un cerchio è 400p cm2. La misura del raggio è: ............... cm (scrivilo tu!).


Sostituisci 64p e poi semplifica

p con p.

Cerca sulle tavole la radice

quadrata.

............

p pr A= = = =

il risultato è la misura del raggio

........................

UNIT


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Questo legame può essere espresso con la proporzione:

TRA L’ANGOLO AL CENTRO E L’ARCO CORRISPONDENTE C’È UN LEGAME

a° C

Dalla proporzione puoi ricavare

�

a° : 360° � � : C ANGOLOAL CENTRO

ANGOLOGIRO

ARCO CIRCONFERENZA

a° �

C

a ��360°

C° ⋅

�

C

a°

�� C360° ⋅°

a

�

C

a°

��C 360°⋅

°a

angolo al centro

l = arco

ac

Esempio:In una circonferenza di 40p cm, un arco è lungo 9p cm. Calcola la misura dell’angolo al centro.

Tra a°, � e C vi è il legame espresso dalla proporzione

a° : 360° � � : C

Sostituisci i dati che hai e metti una x al posto di a°:

x : 360° � 9p : 40p

Risolvi la proporzione:p

p� �x 360 9

4081° ⋅ °

Perciò a° � 81°

9p cm

C = 40p cm

a° ?

dati incognita

C � 40p cm

� � 9p cm

a° � ?

base dell’unità

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PROVA TU!

12. ESERCIZI GUIDATI

Usa la proporzione:

a° : 360° � � : C

Sostituisci i dati che hai e risolvi:

60° : ............... � ............... : x

x � ..........................................................

a.

b.

pag. esercizio n.36 129; 130; 132; 133

�

C

a°

a° : 360° � � : C

a° � (cm) C (cm)

............. 25p 225p

12° ............. 330p

45° 5p .............


3p cm

C ?

60°

c.

Usa la proporzione:

a° : 360° � � : C


............... : ............... � x : ...............

x � .................................

p cm

� � 4p cm

C � 20p cm

a° � ?

dati incognita

C � 20p cm

� � 4p cm

a° � ?

Usa la proporzione:

a° : 360° � � : C


x : ............... � 4p : ...............

x � ..............................................

� � ?

C � 12p cm

a° � 90°

dati incognita

C � 12p cma° � 90°

� � ?

UNIT


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21

PROVA TU!14. Un settore circolare ha l’arco “�" � 8p cm e il raggio “r" di 5 cm.

L’area del settore circolare è:

a 40 cm2 b 20 cm2 c 20p cm2

Si calcola come quella di un triangolo che ha come lato l’arco � e come altezza il raggio r.

L’AREA DEL SETTORE CIRCOLARE QUANDO HAI L’ARCO E IL RAGGIO...

O

�

r

pag. esercizio n.39 164; 166; 170; 172

AREA SETTORE(quando conosci arco e raggio)

FORMULE INVERSE(per trovare l’arco � o il

raggio r quando conosci l’area e il raggio o l’area e l’arco)

��A r2s⋅

Area � arco per raggio fratto 2

Esempio:

Ricorda la formula:

��A r2s⋅

Sostituisci i dati che hai e fai i calcoli:

p p� � ��A r2

7 42

14 cms2⋅ ⋅

r � 4 cm

O

B

A

� �

7p

cm

p� ��AB 7 cm

dati incognita

p� ��AB 7 cm

r � OB � 4 cm

As � Area settore � ?

��A 2rs ⋅ �

�r

A 2s ⋅

base dell’unità

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L’AREA DEL SETTORE CIRCOLARE QUANDO HAI L’ANGOLO AL CENTRO E L’AREA DEL CERCHIO...Può essere ricavata dalla proporzione:

PROVA TU!15. Risolvi il problema.

As � ...............................

Esempio: Acerchio grande � 25p cm2 e Acerchio piccolo � 16p cm2

Acorona � Acerchio grande � Acerchio piccolo � 25p � 16p � 9 cm2

120c

pag. esercizio n.42 192; 193; 194

L’AREA DELLA CORONA CIRCOLARELa CORONA CIRCOLARE è quella parte di cerchio che si trova tra due circonferenze che hanno lo stesso centro.Trovare la sua area è facile: basta togliere l’area del cerchio piccolo da quella del cerchio grande.

O

Acorona � Acerchio grande � Acerchio piccolo

dati incognita

a° � 120°

A � Area cerchio � 6p cm2

AS � Area settore � ?

ANGOLOAL CENTRO

ANGOLOGIRO

AREASETTORE

AREACERCHIO

a° : 360° � As : A

Esempio:

Ricorda la proporzione a° : 360° � AS : A

Sostituisci i dati che hai, metti una x al posto di AS e risolvi:

72° : 360° � x : 45p p p� �x 72 45360

9° ⋅°

Perciò: AS � 9p cm2

dati incognitaa° � 72°

A � Area cerchio � 45p cm2

AS � Area settore � ?

72c

UNIT


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L’AREA

LA MISURA DELLA

LUNGHEZZA

DEL

DEL

SI TROVA CON

ARCO (quando hai a° e C)

C

�

a°

a° : 360° � � : C

SI TROVA CON

CIRCONFERENZA

r C

C � d � roppure

C � 2r � p

SI TROVA CON

CERCHIO

rO A � r2 � p

SI TROVA CON

SETTORECIRCOLARE

r

�

a°

��A r2s⋅

oppurea° : 360° � AS : Acerchio

SI TROVA CON

CORONACIRCOLARE

Acorona � Acerchio � Acerchio magg. min.

(vedi pag. 8)

L’ESSENZIALE

base dell’unità

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