LA CIRCONFERENZA...SETTORE CIRCOLARE È LA PARTE DI CERCHIO DELIMITATA DA: -DA UN-DAI OADUE RAGGI E...
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SCHEDA DI SINTESI: CIRCONFERENZA E CERCHIO PROF.SSA STEFANIA SCIUTO
LA CIRCONFERENZA E’ IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO UN SEGMENTO CHE CONGIUNGE DUE PUNTI DELLA CIRCONFERENZA SI CHIAMA CORDA CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E’ DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO LA CORDA CHE PASSA DA CENTRO SI CHIAMA DIAMETRO (CORDA MASSIMA)
ARCO DI CIRCONFERENZA
QUANDO TRACCIO UNA CORDA LA CIROCNFERENZA VIENE DIVISA UN DUE ARCHI (ARANCIONE E VIOLA) POICHÉ A E B SONO GLI ESTREMI DI ENTRAMBI GLI ARCHI NEI QUALI RISULTA DIVISA LA CIRCONFERENZA DALLA CORDA, PER EVITARE CONFUSIONI SI NOMINA UN ULTERIORE PUNTO APPARTENENTE ALL'ARCO.
L'ARCO ARANCIONE VIENE INDICATO CON IL SEGUENTE SIMBOLO:
L'ARCO VIOLA VIENE INDICATO CON IL SEGUENTE SIMBOLO:
IL DIAMETRO DIVIDE LA CIRCONFERENZA IN DUE ARCHI UGUALI CHE
CHE HANNO COME ESTREMI, GLI ESTREMI DEL DIAMETRO. OGNUNO DEGLI ARCHI AB SI CHIAMA
SEMICIRCONFERENZA
CIRCONFERENZE PER 1, 2, 3 PUNTI
LA CIRCONFERENZA
PER UN PUNTO PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE
PER DUE PUNTI PASSANO INFINITE CIRCONFERENZE
AVENTI IL CENTRO SULLA STESSA RETTA
PER TRE PUNTI PASSA UNA SOLA CIRCONFERENZA
SCHEDA DI SINTESI: CIRCONFERENZA E CERCHIO PROF.SSA STEFANIA SCIUTO
PROPRIETÀ DELLA CORDA
LA PERPENDICOLARE CONDOTTA DAL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA AD UNA CORDA LA DIVIDE A METÀ
AOB È UN TRIANGOLO ISOSCELE (HA SICURAMENTE DUE LATI UGUALI CHE COINCIDONO
CON I RAGGI) E OH RAPPRESENTA SIA L’ALTEZZA CHE LA MEDIANA PERCHÉ NEL
TRIANGOLO ISOSCELE ALTEZZA E MEDIANA COINCIDONO.
QUINDI OH È PERPENDICOLARE ALLA BASE AB E LA DIVIDE A METÀ
DUE CORDE CONGRUENTI HANNO UGUALE DISTANZA DAL CENTRO E, VICEVERSA, DUE CORDE CHE HANNO L ASTESSA DISTANZA DAL CENTRO SONO CONGRUENTI
LE BASI DEI DUE TRIANGOLI AOB E COD SONO CONGRUENTI DATO CHE ALL'INIZIO
ABBIAMO DISEGNATO DUE CORDE CONGRUENTI.
INOLTRE OA = OB = OC = OD perché RAGGI DELLA CIROCONFERENZA
DI CONSEGUENZA, I DUE TRIANGOLI AOB E COD SONO CONGRUENTI.
SE I DUE TRIANGOLI SONO CONGRUENTI, ANCHE LE LORO ALTEZZE OH E OK SONO CONGRUENTI
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CIRCONFERENZE E RETTE
RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA LA RETTA ESTERNA AD UNA CIRCONFERENZA: NON HA ALCUN PUNTO IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È MAGGIORE AL RAGGIO
RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA
LA RETTA SECANTE AD UNA CIRCONFERENZA:
HA DUE PUNTI IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA: PUNTO P E PUNTO Q
LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È MINORE DEL RAGGIO r
ETIMOLOGIA
SECANTEM È PARTICIPIO PASSATO DI SECARE = TAGLIARE.
SECANTE = LINEA CHE TAGLIA IN PIÙ PARTI UNA CIRCONFERENZA
RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA
LA RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA:
HA SOLO UN PUNTO IN COMUNE CON LA CIRCONFERENZA: PUNTO P
LA DISTANZA h TRA LA RETTA E IL CENTRO È CONGRUENTE AL RAGGIO r
ETIMOLOGIA
TANGENTEM È PARTICIPIO PRESENTE DI TANGERE = TOCCARE, CHE TOCCA.
TANGENTE = LINEA CHE TOCCA UNA CIRCONFERENZA)
PROPRIETÀ DELLE TANGENTI
IL RAGGIO r CONDOTTO DAL CENTRO AL PUNTO DI TANGENZA (PUNTO A) È
PERPENDICOLARE ALLA RETTA TANGENTE
I SEGMENTI DI TANGENZA AP E BP SONO
I TRIANGOLO OAP È UGUALE AL TRIANGOLO OBP CONGRUENTI
OAP E OBP SONO TRIANGOLI RETTANGOLI
AP = BP
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POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE
DUE CIRCONFERENZE POSSONO ESSERE:
SECANTI; UNA ESTERNA ALL'ALTRA O UNA INTERNA ALL'ALTRA; TANGENTI INTERNAMENTE O ESTERNAMENTE; CONCENTRICHE.
CIRCONFERENZE SECANTI DUE CIRCONFERENZE SI DICONO SECANTI SE HANNO DUE PUNTI IN COMUNE.
CIRCONFERENZE ESTERNE
DUE CIRCONFERENZE SI DICONO ESTERNE SE NON HANNO NESSUNO PUNTO IN COMUNE
CIRCONFERENZE INTERNE
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INDICHIAMO:
LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO';
IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA
IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A
POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' < r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO SECANTI SE LA DISTANZA DEI LORO
CENTRI È MINORE DELLA SOMMA DEI LORO RAGGI
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INDICHIAMO:
LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO'
IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA
IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A’
POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' > r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO ESTERNE SE LA DISTANZA DEI LORO
CENTRI È MAGGIORE DELLA SOMMA DEI LORO RAGGI
INDICHIAMO:
LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO'
IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA
IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A’
POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' < r - r' DUE CIRCONFERENZE SONO INTERNE SE LA DISTANZA DEI
LORO CENTRI È MINORE DELLA DIFFERENZA DEI LORO RAGGI
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CIRCONFERENZE TANGENTI DUE CIRCONFERENZE SI DICONO TANGENTI SE HANNO UN SOLO PUNTO IN COMUNE
CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE
CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE
CIRCONFERENZE CONCENTRICHE
DUE CIRCONFERENZE SI DICONO CONCENTRICHE SE HANNO LO STESSO CENTRO
LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA DUE CIRCONFERENZE CONCENTRICHE SI CHIAMA CORONA CIRCOLARE
INDICHIAMO:
LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO'
IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA
IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A’
POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' = r + r' DUE CIRCONFERENZE SONO TANGENTI ESTERNAMENTE SE
LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È UGUALE ALLA SOMMA DEI
LORO RAGGI
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INDICHIAMO:
LA DISTANZA TRA I CENTRI DELLE DUE CIRCONFERENZE CON OO'
IL RAGGIO r DELLA CIRCONFERENZA C, CON OA
IL RAGGIO r’ DELLA CIRCONFERENZA C’, CON O’A’
POSSIAMO AFFERMARE CHE: OO' = r - r' DUE CIRCONFERENZE SONO TANGENTI INTERNAMENTE SE
LA DISTANZA DEI LORO CENTRI È UGUALE ALLA DIFFERENZA
DEI LORO RAGGI
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ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA ALL’INTERNO DI UNA CIRCONFERENZA SI POSSONO DISEGNARE:
- ANGOLI IL CUI VERTICE COINCIDE CON IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA
(ANGOLI AL CENTRO)
- ANGOLI IL CUI VERTICE SI TROVA IN UN PUNTO QUALSIASI
DELLA CIRCONFERENZA (ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA)
AD OGNI ANGOLO CORRISPONDE UN ARCO E NEL LINGUAGGIO SPECIFICO SI DICE CHE:
L’ANGOLO “INSISTE” SULL’ARCO
QUINDI, GUARDANDO LE FIGURE A FIANCO POSSIAMO DIRE CHE:
L’ANGOLO INSISTE SULL’ARCO
L’ARCO È L’ARCO CORRISPONDENTE DELL'ANGOLO AL CENTRO
L’ANGOLO INSISTE SULL’ARCO
L’ARCO È L’ARCO CORRISPONDENTE DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA
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ANGOLI AL CENTRO
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
L’ANGOLO AL CENTRO
È UN ANGOLO AVENTE IL VERTICE NEL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA
ESISTE UN SOLO ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SU UN DATO ARCO.
OVVERO L’ANGOLO AL CENTRO CHE HA IL VERTICE IN O E CHE CORRISPONDE
ALL’ARCO È SOLO UNO
O
L’ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA
È UN ANGOLO AVENTE IL VERTICE SULLA CIRCONFERENZA
CI SONO INFINITI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTONO SU UN DATO ARCO E
HANNO TUTTI LA STESSA AMPIEZZA
CIOÈ:
SE DISEGNIAMO DIVERSI ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA (VEDI DISEGNO A FIANCO) CHE
CORRISPONDONO TUTTI ALL’ARCO , CI RENDIAMO CONTO CHE:
1. POSSIAMO DISEGNARNE INFINITI
2. HANNO TUTTI LA STESSA AMPIEZZA
P
DISEGNIAMO:
- DUE ARCHI UGUALI E E QUINDI 2 CORDE UGUALI AB E CD
- GLI ANGOLI AL CENTRO CHE INSISTONO SU TALI ARCHI: E
OTTENIAMO 2 TRIANGOLI ISOSCELI CONGRUENTI PERCHÉ:
HANNO LE BASI CONGRUENTI AB = CD
I LATI OBLIQUI CONGRUENTI AO = BO = DO = CO PERCHÉ SONO TUTTI RAGGI DELLA
CIRCONFERENZA
SE I TRIANGOLI SONO CONGRUENTI ALLORA ANCHE =
POSSIAMO CONCLUDERE CHE: ANGOLI AL CENTRO CHE INSISTONO SU ARCHI CONGRUENTI SONO TRA LORO CONGRUENTI.
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RELAZIONE TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
CONSIDERIAMO
UN ANGOLO AL CENTRO
UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA SE MISURIAMO I DUE ANGOLI NOTEREMO CHE
È IL DOPPIO DI IN CONCLUSIONE: OGNI ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA È LA METÀ DELL'ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO. P
CONSIDERIAMO
UN ANGOLO AL CENTRO CHE INSISTE SULLA SEMICIRCONFERENZA (ARCO )
E UN ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO
SAPPIAMO CHE È IL DOPPIO DI QUINDI:
POICHÉ =180°SEGUE CHE = 90° DI CONSEGUENZA IL TRIANGOLO APB È UN TRIANGOLO RETTANGOLO CON L'IPOTENUSA CHE COINCIDE CON
IL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA. IN CONCLUSIONE: UN TRIANGOLO INSCRITTO ALL’INTERNO DI UNA SEMICIRCONFERENZA È SEMPRE UN TRIANGOLO RETTANGOLO
CONSIDERIAMO LA MEDIANA OP RELATIVA ALL'IPOTENUSA. (RICORDIAMO CHE LA MEDIANA DI UN TRIANGOLO È IL SEGMENTO CHE UNISCE UN VERTICE AL PUNTO MEDIO
DEL LATO OPPOSTO) NOTIAMO CHE
LA MEDIANA OP DEL TRIANGOLO NON È ALTRO CHE IL RAGGIO. DATO CHE L'IPOTENUSA DEL TRIANGOLO È
UGUALE AL DIAMETRO DELLA CIRCONFERENZA, POSSIAMO DIRE CHE LA MEDIANA È
LA META' DELL'IPOTENUSA. IN CONCLUSIONE:
NEL TRIANGOLO RETTANGOLO LA MEDIANA È LA META' DELL'IPOTENUSA.
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SETTORE CIRCOLARE
SEGMENTO CIRCOLARE
SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE
SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI
IL CERCHIO
IL CERCHIO È COSTITUITO DA TUTTI I PUNTI INTERNI
ALLA CIRCONFERENZA.
settore circolare
A B
O
IL SETTORE CIRCOLARE È LA PARTE DI CERCHIO DELIMITATA DA:
- DA UN ARCO - DAI DUE RAGGI OA E OB
IL SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE È LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA UNA CORDA E UN ARCO
SE LA CORDA CHE DISEGNIAMO È IL DIAMETRO, IL CERCHIO RISULTA DIVISO IN DUE PARTI UGUALI OGNUNA DELLE QUALI SI CHIAMA SEMICERCHIO:
IL SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI È LA PARTE DI CERCHIO COMPRESA TRA LE DUE CORDE PARALLELE
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LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA
AREA DEL CERCHIO
LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA E AREA DEL CERCHIO
c = d OPPURE c = 2r FORMULE INVERSE:
RAGGIO 2c
r
DIAMETRO: c
d
FORMULA INVERSA:
RAGGIO Ar
A = r2π
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REGOLA
PROPORZIONE
FORMULE
LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA
l = C x α C = l x 360 α = l x 360 360 α c
C : lunghezza della circonferenza
α
360°
TRA UN ANGOLO AL CENTRO L’ARCO CORRISPONDENTE ESISTE UNA RELAZIONE DI
PROPORZIONALITÀ DIRETTA
LA PROPORZIONE CHE LEGA QUESTE GRANDEZZE È LA SEGUENTE
l : C = α : 360
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REGOLA
PROPORZIONE
FORMULE
AREA DEL SETTORE CIRCOLARE
As = Ac x α Ac = As x 360 α = As x 360 360 α Ac
LA PROPORZIONE CHE LEGA QUESTE GRANDEZZE È LA SEGUENTE
As: Ac = α : 360
TRA UN ANGOLO AL CENTRO L’AREA DEL SETTORE CIRCOLARE ESISTE UNA RELAZIONE DI
PROPORZIONALITÀ DIRETTA
α
360°