DAI CERCHI SACRI …

AL CERCHIO LIMITE

Liceo Scientifico Statale “L. Siciliani” Catanzaro

Convegno “Esperienze a confronto” Matematica & Realtà

6-8 Maggio 2013 - Perugia

Tutor:Prof.ssa Anna Alfieri

Studenti:Fabiola BoccutoGiuseppe LazzaroLucrezia MenganiMariagiulia Orlando

INDICEIntroduzione:

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE:

simmetrie e omotetie

Frattali e loro proprietà

I cerchi sacri:

rosoni romanici e gotici

la Radionica

Il cerchio limite: Escher

Le nostre costruzioni e i nostri paper works

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHEUna trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.

A(x;y)→ A’(x’;y’)

4

b in b (in una posizione diversa)

TRASLAZIONE

b b

byy

axx

'

'

b

a

y

x

y

x

10

01

'

'

5

b in q

bq

ROTAZIONI

cossin'

sincos'

yxy

yxx

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

6

GLISSO RIFLESSIONI

bp p

yy

axx

yy

xx

'

'

'

'

010

01

'

' a

y

x

y

x

7

Le trasformazioni si possono combinare

DUE RIFLESSIONI =

ROTAZIONE

d bp

OMOTETIEDati un numero reale k diverso da zero e un punto P del piano,

l’omotetia di rapporto k e centro O è quella

trasformazione geometrica che associa a P il punto P’ tale che:

OP’=k(OP)b b→

y

x

k

k

y

x

0

0

'

'

Dalla fine del XIX sec. la scienza si è orientata verso lo studio dei sistemi complessi. Queste problematiche hanno dato l’avvio allo studio del “caos deterministico”, ossia di situazioni di disordine ottenute però da processi

matematico-fisici deterministici.

Nell’universo reale sono presenti infiniti elementi “perturbatori”.

Tale complessità può essere semplificata dai…

Figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva.

Più semplicemente:

Una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta.

Merletto di Koch

UN FRATTALE DEVE POSSEDERE ALCUNE CARATTERISTICHE FONDAMENTALI:

• Autosomiglianza:

Se alcuni dettagli vengono osservati a scale differenti, si nota sempre una certa somiglianza approssimativa con il frattale originale.

• Risoluzione indefinita:

Non è possibile definire in modo netto e assoluto i confini dell’insieme (i bordi dell’immagine).

Tutti i frattali hanno una dimensione non intera, ma non le normali figure geometriche . Le quali hanno una dimensione geometrica

Un segmento ad esempio ha dimensione 1 A B

Un quadrato ha dimensione 2

A B

C D

Un cubo ha dimensione 3

B C A D

F H E

G

• Dimensione frazionaria:

Preso un oggetto che ha dimensione euclidea D e riducendola di un fattore 1/r, la sua misura (perimetro , area, volume) aumenta di:

N=r D

Dove N indica il ricoprimento mentre D indica la dimensione. Per calcolare D dobbiamo ricorrere all’utilizzo dei logaritmi, mentre r indica la riduzione

Deriva dal latino fractus, rotto, spezzato infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

Il fondatore della geometria frattale fu: Benoit MandelbrotUn matematico contemporaneo che, all’inizio degli anni ’80, ha pubblicato i risultati delle sue ricerche nel volume “The fractal geometry of nature” fondando quella che viene chiamata geometria dei frattali.

Le Origini dei frattali

DAI CERCHI SACRI…

… AL CERCHIO LIMITE

Le forme della geometria piana, così simmetriche e regolari sono

state utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata anche la

Radionica.Sono forme armonizzanti e

riequilibranti.Tuttavia , sebbene armoniche

come forme, dopo un po’ diventano

costrittive e di chiusura con il divenire dell’esistenza.

LA RADIONICALe forme della geometria piana, così simmetriche e regolari, come già

detto, sono state poi utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata anche la Radionica.

Il rosone è un elemento decorativo applicato alle facciate delle chiese di stile romanico e gotico.

IL ROSONE

ROSONI

ROMANICI GOTICI

SIGNIFICATONella forma del rosone è possibile riconoscere

1. Il mandala 2. Il Fiore d’Oro

3. La rosa

ROSONE DI SAN NICOLA

Animazione del rosone costituito da 12 triangoli simmetrici

Il rosone di san Nicola presenta la struttura dell’ IPOCICLOIDE.

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

ROSONE DI SANTA CHIARA (ASSISI)

Animazione del rosone costituito da 15 triangoli simmetrici

Maurits Cornelis Escher M. C. Escher nacque in Olanda il 17 Giugno del 1898. Frequentò la scuola di Architettura e Arti Decorative di Harlem in Olanda e nel 1923 venne in Italia. Le sue opere si basavano sul sottile gioco tra lo sfondo e la figura, che si completano. Morì il 27 Marzo del 1971.

Nel 1954 Escher incontrò Coxeter, un famoso geometra, in un meeting internazionale di matematica. In seguito, nel 1957, Coxeter inviò a Escher un’illustrazione del piano di Poincarè e guardando la tassellatura di questo cerchio, riuscì a capire le regole del gioco.

Cerchio di Coxeter Piano di Poincarè Cerchio limite di Escher

I CERCHI LIMITE

Prima di poter parlare di cerchio limite dobbiamo introdurre il concetto di punto limite. Questo si ottiene con delle traslazioni composte a delle riduzioni .

L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L

Ecco qui i cerchi limite riprodotti da Escher :

Cerchio limite I

Cerchio limite II

Cerchio limite III Cerchio limite IV

Dal punto di vista architettonico le sue opere sono caratterizzate da una forte componente matematica. I punti principali su cui si concentrano i suoi lavori sono :

L’infinito

Spazi differenti che si incastrano scambievolmente

Fredda logica delle scienze esatte e mondi naturali differenti

Possiamo distinguere i vari cerchi limite in due categorie:

• Nella prima il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio

• Nella seconda il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio

•Farfalle (1959) xilografia

• Circle Limit III

Il nostro punto di partenza è un foglio origami

Abbiamo dunque piegato il foglio lungo la sua diagonale per poi piegarlo a metà

1

2

3

A questo punto pieghiamo 1/3 del triangolo ottenuto e poi l’altra parte in modo da ottenere una «coda di rondine»

Tagliamo dunque la parte in eccesso in modo da ottenere un triangolo grande un terzo rispetto a quello iniziale

4 5

6

7 8

9

Partendo dal nostro triangolo iniziamo a ritagliare la sagoma di mezza farfalla per poter poi, aprendo il foglio, ottenere una farfalla intera.

10 11

12

Ritagliamo dunque su entrambi i lati la sagoma delle farfalle

13

14

15

Dopo aver ritagliato le sagome tagliamo la punta del triangolo

Infine apriamo il foglio ed otteniamo un disegno riportato nella figura 15

Riconsideriamo le prime 6 fasi precedentemente illustrate per poter costruire la << coda di rondine>>

1 Disegnamo dunque il motivo caratterizzante del rosone sul foglio origami

2

3 Con un taglierino ritagliamo il contorno della sagoma

4

5 Tagliamo dunque la punta del triangolo

Come ultimo passaggio non ci resta che aprire il foglio per ottenere un rosone simile a quello precedentemente analizzato

6

1

2

Partendo sempre dal sesto punto della prima costruzione e dopo aver studiato la costruzione geometrica effettuata con Geogebra riportiamo le figure goemetriche che caratterizzano questo rosone

Ritagliamo con un taglierino le figure precedentemente disegnate

3

4

Tagliamo la punta del triangolo

Quando apriamo il foglio otteniamo una copia del rosone della chiesa di Santa Chiara ad Assisi

Bibliografia :

• http://www.mcescher.com/• Trasformazioni geometriche e strutture algebriche di Massimo

Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi • I frattali a fumetti di N. Lesmoir-Gordon , W.Rood, R.Edney