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Il moto armonicoIl moto armonico

MOTO OSCILLATORIOMOTO OSCILLATORIO

Consideriamo la proiezione Consideriamo la proiezione Q Q sul diametro del sul diametro del cerchio di un punto cerchio di un punto PP che si muove di moto che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza. circolare uniforme lungo una circonferenza. Mentre P percorrerà la circonferenza, Q si Mentre P percorrerà la circonferenza, Q si muoverà lungo il diametro una volta da destra a muoverà lungo il diametro una volta da destra a sinistra e l’altra da sinistra a destra. sinistra e l’altra da sinistra a destra.

Questo tipo di moto è caratterizzato dall'entità massima dello spostamento rispetto alla posizione di equilibrio, definita ampiezza di oscillazione A e dall'intervallo di tempo che il moto impiega per ripetersi, definito periodo di oscillazione T. In stretto rapporto con il periodo è la frequenza di oscillazione f, definita come il numero di cicli di oscillazione nell'unità di tempo.

La frequenza ed il periodo sono l'una l'inverso La frequenza ed il periodo sono l'una l'inverso dell'altra:dell'altra:

Dall'analisi di questo tipo di moto risulta che la Dall'analisi di questo tipo di moto risulta che la velocità ha intensità variabile nel tempo e velocità ha intensità variabile nel tempo e

l'accelerazione è proporzionale allo spostamentol'accelerazione è proporzionale allo spostamento

Esempi di moti armoniciEsempi di moti armonici

L’oscillatore armonicoL’oscillatore armonico Il pendoloIl pendoloDue caricheDue caricheCircuiti RLCCircuiti RLCL’elettroneL’elettrone

L’oscillatore armonicoL’oscillatore armonico

Consideriamo ora l’ applicazione della legge di Consideriamo ora l’ applicazione della legge di Newton nel caso in cui siano presenti forzeNewton nel caso in cui siano presenti forze elasticheelastiche o di o di richiamo richiamo, ovvero forze che sono , ovvero forze che sono proporzionali e opposte allo spostamento del proporzionali e opposte allo spostamento del punto materiale da una certa posizione di punto materiale da una certa posizione di equilibrio:equilibrio:

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Un caso elementare in cui entrano in gioco forze elastiche è quello di una massa Un caso elementare in cui entrano in gioco forze elastiche è quello di una massa mm appoggiata ad un piano liscio (= senza attriti) legata ad un vincolo tramite una appoggiata ad un piano liscio (= senza attriti) legata ad un vincolo tramite una molla. molla.

mg

l0

Le quantità fisiche rilevanti per la descrizione della molla sono due:Le quantità fisiche rilevanti per la descrizione della molla sono due:

• Lunghezza a riposoLunghezza a riposo: è la lunghezza assunta dalla molla quando la risultante : è la lunghezza assunta dalla molla quando la risultante delle forze agenti su di essa parallela alla direzione di deformazione è nulla.delle forze agenti su di essa parallela alla direzione di deformazione è nulla.

• Costante elasticaCostante elastica: è la costante di proporzionalità fra la deformazione della : è la costante di proporzionalità fra la deformazione della molla (allungamento o compressione) e la forza di richiamo da essa esercitata.molla (allungamento o compressione) e la forza di richiamo da essa esercitata.

N

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Torniamo ora al nostro oscillatore sul piano orizzontale. Supponiamo di spostare Torniamo ora al nostro oscillatore sul piano orizzontale. Supponiamo di spostare la massa la massa mm in modo da cambiare la lunghezza della molla. in modo da cambiare la lunghezza della molla.

mgl0

La deformazione della molla origina una forza di richiamo sulla massa m.

x

Fel N

In questo caso non c’è nessuna forza che possa equilibrare la forza elastica: il In questo caso non c’è nessuna forza che possa equilibrare la forza elastica: il sistema si metterà in moto.sistema si metterà in moto.

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Le equazioni del moto per il sistema saranno:Le equazioni del moto per il sistema saranno:

mgl0 x

Fel N

0

)( 0

Nmgma

lxkma

y

x

Oscillatore armonico Oscillatore armonico

Come determiniamo la costante elastica di una Come determiniamo la costante elastica di una molla? Misuriamo ad esempio l’ molla? Misuriamo ad esempio l’ allungamento in allungamento in condizioni di equilibriocondizioni di equilibrio che otteniamo appendendo che otteniamo appendendo delle masse delle masse m, 2m, 3m,…m, 2m, 3m,… alla molla in posizione alla molla in posizione verticale.verticale.

m

x

l0

x

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Ciascuno dei valori di Ciascuno dei valori di xx=(=(x-lx-l00) misurati, corrisponde a ) misurati, corrisponde a

una posizione in cui la forza peso viene bilanciata una posizione in cui la forza peso viene bilanciata esattamente dalla forza elastica. L’ esperimento ci dice esattamente dalla forza elastica. L’ esperimento ci dice che l’ allungamento della molla e’ proporzionale secondo che l’ allungamento della molla e’ proporzionale secondo una certa costante a una certa costante a mgmg, che dovrà anche essere eguale al , che dovrà anche essere eguale al modulo della forza elastica:modulo della forza elastica:

Fel

mgx

cost/1con

cost

kxkF

mgxmgF

el

el

xxe considerando i versi di e considerando i versi di xx e e FFelel

ΔxF kel

La costante elastica k ha le dimensioni di una forza divisa per una lunghezza. La sua unità di misura MKS e’ N/mN/m

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Consideriamo solo la componente dell’ equazione lungo Consideriamo solo la componente dell’ equazione lungo x x (stiamo assumendo (stiamo assumendo che la molla si possa deformareche la molla si possa deformare solo in direzione longitudinale! solo in direzione longitudinale!)). . Questa mi da’ Questa mi da’ un’ equazione differenziale di questo tipo:un’ equazione differenziale di questo tipo:

])([ 0ltxkma

Possiamo per il momento supporre di prendere l’ origine del nostro asse Possiamo per il momento supporre di prendere l’ origine del nostro asse xx in in corrispondenza della lunghezza a riposo della molla. Questo permette di corrispondenza della lunghezza a riposo della molla. Questo permette di semplificare l’ equazione:semplificare l’ equazione:

)(txm

kax

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Questo implica che la relazione e’ soddisfatta solo se:Questo implica che la relazione e’ soddisfatta solo se:

m

kω

m

kω 2

La costante La costante e’ detta e’ detta pulsazione pulsazione dell’ oscillatore, e dipende solo da dell’ oscillatore, e dipende solo da caratteristiche intrinseche al sistema (la costante elastica e la massa).caratteristiche intrinseche al sistema (la costante elastica e la massa).

La pulsazione si misura in radianti/secondo, ed ha la dimensione di un tempo inverso.La pulsazione si misura in radianti/secondo, ed ha la dimensione di un tempo inverso.

Che significato ha Che significato ha Sappiamo che sin(x) e cos(x) sono funzioni Sappiamo che sin(x) e cos(x) sono funzioni periodicheperiodiche, di periodo , di periodo 22QuestoQuesto significa che il nostro oscillatore ripasserà per la stessa posizione ogni significa che il nostro oscillatore ripasserà per la stessa posizione ogni qualvolta si abbia:qualvolta si abbia:

πφTtωφωt 2)(

Oscillatore armonico Oscillatore armonico TT rappresenta quindi l’ intervallo di tempo che trascorre fra due istanti in cui il rappresenta quindi l’ intervallo di tempo che trascorre fra due istanti in cui il corpo occupa la stessa posizione. Questo e’ detto corpo occupa la stessa posizione. Questo e’ detto periodo dell’ oscillazioneperiodo dell’ oscillazione, ed , ed e’ legato alla pulsazione dalla seguente relazione:e’ legato alla pulsazione dalla seguente relazione:

k

mπ

ω

πT 2

2

tAsi

n(

t+)

T L’ inverso del periodo e’ la frequenza dell’ oscillazione, ovvero il numero di oscillazioni che il sistema compie per unità di tempo.

π

ω

m

k

πTν

22

11

L’ unità di misura MKS della frequenza e’ l’ L’ unità di misura MKS della frequenza e’ l’ HertzHertz ( (ss-1-1).).

Oscillatore armonico Oscillatore armonico Cosa possiamo dire delle altre due costanti che compaiono nella legge Cosa possiamo dire delle altre due costanti che compaiono nella legge oraria?oraria?

tAsi

n(

t+)

A

Asin()A e’ detta ampiezza dell’ oscillazione, e rappresenta il modulo dello spostamento massimo dalla posizione di equilibrio

f e’ detta fase dell’ oscillazione, ed e’ legata allo spostamento iniziale rispetto alla posizione di equilibrio, che e’ dato da Asin(f).

Oscillatore forzato Oscillatore forzato Riconsideriamo ora il caso dell’ oscillatore verticale, in cui, oltre alla forza elastica, Riconsideriamo ora il caso dell’ oscillatore verticale, in cui, oltre alla forza elastica, agisce la forza peso. Abbiamo visto che la condizione di equilibrio e’ data da:agisce la forza peso. Abbiamo visto che la condizione di equilibrio e’ data da:

FFel

mggx

xx

k

mgxmgxk Δ

Cosa succede se spostiamo la massa da questa posizione di Cosa succede se spostiamo la massa da questa posizione di equilibrio? Naturalmente la forza peso e la forza elastica non si equilibrio? Naturalmente la forza peso e la forza elastica non si equivalgono più e il sistema inizia ad oscillare, come nel caso equivalgono più e il sistema inizia ad oscillare, come nel caso visto in precedenza. Tuttavia possiamo intuire che ci sono visto in precedenza. Tuttavia possiamo intuire che ci sono alcune differenze: che ruolo ha la forza peso nel moto? alcune differenze: che ruolo ha la forza peso nel moto?

Oscillatore forzato Oscillatore forzato Scriviamo ora l’ equazione del moto per il nostro sistema. Anche in questo caso possiamo Scriviamo ora l’ equazione del moto per il nostro sistema. Anche in questo caso possiamo trovare un sistema di riferimento in cui il problema risulta essere unidimensionale.trovare un sistema di riferimento in cui il problema risulta essere unidimensionale.

Fel

mgx

)( 0lxkmgma

Scriviamo la corrispondente equazione differenziale:Scriviamo la corrispondente equazione differenziale:l0

])([)(

02

2

ltxkmgdt

txdm

che possiamo riscrivere come:che possiamo riscrivere come:

m

klgtx

m

k

dt

txd 02

2

)()(

Oscillatore forzatoOscillatore forzatoL’espressione trovata per la legge oraria ci dice che:L’espressione trovata per la legge oraria ci dice che:

• le oscillazioni avvengono intorno a le oscillazioni avvengono intorno a un valore costanteun valore costante

che coincide con la posizione di che coincide con la posizione di equilibrio calcolata in precedenza;equilibrio calcolata in precedenza;

• la pulsazione delle oscillazioni non la pulsazione delle oscillazioni non cambia rispetto a quella dell’ cambia rispetto a quella dell’ oscillatore libero.oscillatore libero.

0lk

mgxeq

t

Asi

n(

t+)

+x eq

xeq

PendoloPendoloConsideriamo un sistema formato da una massa m appesa ad un filo inestensibile Consideriamo un sistema formato da una massa m appesa ad un filo inestensibile di lunghezza L.di lunghezza L.

L

mg

T

Le forze che agiscono sulla massa sono in questo caso la Le forze che agiscono sulla massa sono in questo caso la forza peso e la tensione del filo, come illustrato in figura.forza peso e la tensione del filo, come illustrato in figura.

Il moto della massa e’ Il moto della massa e’ vincolato dal filo su un arco di vincolato dal filo su un arco di circonferenza.circonferenza.

Analogamente a quantoAnalogamente a quanto gia visto in cinematica nella gia visto in cinematica nella descrizione del moto circolare, possiamo utilizzare come descrizione del moto circolare, possiamo utilizzare come variabile per descrivere il moto l’angolo formato dal filo variabile per descrivere il moto l’angolo formato dal filo con la direzione verticalecon la direzione verticale..

(t)

PendoloPendoloIl diagramma delle forze agenti sulla massa e’ quindi il seguente:Il diagramma delle forze agenti sulla massa e’ quindi il seguente:

mg

T

(t)eer

ee

Ci conviene usare un sistema di riferimento con un asse nella direzione Ci conviene usare un sistema di riferimento con un asse nella direzione istantanea del filo (radiale) e l’ altro ad esso perpendicolare (tangente quindi alla istantanea del filo (radiale) e l’ altro ad esso perpendicolare (tangente quindi alla traiettoria del pendolo). In questo sistema di riferimento scomponiamo la forza traiettoria del pendolo). In questo sistema di riferimento scomponiamo la forza peso, e scriviamo l’ equazione del moto. Notare che il verso degli assi e’ stato peso, e scriviamo l’ equazione del moto. Notare che il verso degli assi e’ stato preso consistentemente con la nostra definizione di angolo positivo.preso consistentemente con la nostra definizione di angolo positivo.

PendoloPendoloLe equazioni del moto sono quindi le seguenti:Le equazioni del moto sono quindi le seguenti:

Notare la presenza nella prima equazione dell’ espressione per Notare la presenza nella prima equazione dell’ espressione per l’accelerazione l’accelerazione centripeta centripeta che abbiamo incontrato descrivendo il moto circolare. La seconda che abbiamo incontrato descrivendo il moto circolare. La seconda equazione ci da’ invece un’ espressione per l’ equazione ci da’ invece un’ espressione per l’ accelerazione tangenziale.accelerazione tangenziale. Le due Le due equazioni non sono più disaccoppiate: per ricavare il valore della tensione del equazioni non sono più disaccoppiate: per ricavare il valore della tensione del filo dobbiamo conoscere la velocità. La seconda equazione tuttavia non dipende filo dobbiamo conoscere la velocità. La seconda equazione tuttavia non dipende da T, e quindi possiamo risolverla in maniera indipendente.da T, e quindi possiamo risolverla in maniera indipendente.

)(sin)(

)(cos)(

2

2

2

tθmgLdt

tθdmma

tθmgTLdt

tdθmma

θ

r

PendoloPendoloL’equazione del moto per la parte tangenziale e’ quindi:L’equazione del moto per la parte tangenziale e’ quindi:

In questa forma questa equazione e’ risolvibile In questa forma questa equazione e’ risolvibile solo numericamente.solo numericamente. Supponiamo tuttavia che l’ angolo Supponiamo tuttavia che l’ angolo (t) (t) sia molto piccolo. In questo caso, se la sia molto piccolo. In questo caso, se la suo valore e’ espresso in radianti, e’ possibile fare la seguente approssimazione suo valore e’ espresso in radianti, e’ possibile fare la seguente approssimazione ((per piccoli angoliper piccoli angoli):):

)(sin)(

2

2

tθL

g

dt

tθd

)()(sin tθtθ

)()(

2

2

tθL

g

dt

tθd

In questa approssimazione l’ equazione del moto tangenziale diventa:In questa approssimazione l’ equazione del moto tangenziale diventa:

PendoloPendoloQuesta equazione e’ identica a quella dell’ oscillatore armonico, con l’ unica Questa equazione e’ identica a quella dell’ oscillatore armonico, con l’ unica differenza che la variabile questa volta e’ l’ angolo differenza che la variabile questa volta e’ l’ angolo (t)(t). Conosciamo gia la . Conosciamo gia la soluzione di questa equazione, che scriveremo come:soluzione di questa equazione, che scriveremo come:

dove la pulsazione e’ data dalla famosa relazione:dove la pulsazione e’ data dalla famosa relazione:

)sin()( 0 φωtθtθ

L

gω

Il moto del pendolo e’ quindi oscillatorio, con Il moto del pendolo e’ quindi oscillatorio, con periodo costante e indipendente periodo costante e indipendente dall’ ampiezza delle oscillazionidall’ ampiezza delle oscillazioni a patto che queste non siano troppo ampie a patto che queste non siano troppo ampie (questa osservazione risale a Galileo).(questa osservazione risale a Galileo).