Poligoni inscritti, circoscritti e regolari De Berardinis Floriana-Dea.
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Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio 7.5 Poligoni circoscritti 7.5 Poligoni circoscritti Un poligono ` e circoscritto a una circonferenza se tutti i lati del poligono sono tangenti la circonferenza. In tal caso il raggio della circonferenza si chiama apotema del poligono e si dice che la circonferenza ` e inscritta nel poligono.
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Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
7.5 Poligoni circoscritti
Un poligono e circoscritto a una circonferenza se tutti i lati del poligonosono tangenti la circonferenza.
In tal caso il raggio della circonferenza si chiama apotema del poligono esi dice che la circonferenza e inscritta nel poligono.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
Un triangolo e sempre circoscrittibile a una circonferenza.
Il centro della circonferenza inscritta al triangolo si chiama incentro.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
Infatti l’incentro e equidistante dai tre lati e questa proprieta caratterizzai punti delle bisettrici degli angoli interni.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Poligoni circoscritti
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Area dei poligoni circoscritti
7.5 Area dei poligoni circoscritti
Se un poligono ammette una circonferenza inscritta, allora e possibilecalcolarne l’area noti il perimetro e l’apotema.Si tratta di sommare tutte le aree dei triangoli raffigurati.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.5 Area dei poligoni circoscritti
I triangoli sono delimitati da: un lato del poligono e i due segmenti checongiungono il centro della circonferenza ai due vertici che sono gliestremi del lato considerato.Questi triangoli hanno tutti la stessa altezza, che e l’apotema delpoligono.
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7.5 Area dei poligoni circoscritti
Se denominiamo a l’apotema e l1, l2, l3, ..., ln i lati del poligono, abbiamoche la sua area e data da
A =l1 · a
2+
l2 · a2
+l3 · a
2+ · · ·+ ln · a
2,
raccogliendo a/2 si ottiene
A =(l1 + l2 + l3 + · · ·+ ln) · a
2,
cioe
A =2p · a
2,
dove 2p e il perimetro del poligono.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
7.6 Area dei poligoni regolari
Tutti i poligoni regolari ammettono sia circonferenza inscritta siacirconferenza circoscritta.Di conseguenza anche per i poligoni regolari vale la formula A = 2p·a
2 peril calcolo dell’area.Tuttavia, nei poligoni regolari, fissato il numero di lati, il rapporto tra lamisura dell’apotema e quella del lato e costante. Chiamiamo f questacostante (quindi f = a/l).
Poligono regolare Numero fisso f
Triangolo 0,289...
Quadrato 0,5
Pentagono 0,688...
Esagono 0,866...
... ...
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7.6 Area dei poligoni regolari
Consideriamo un poligono regolare di n lati, ciascuno lungo l . Allora:
A =2p · a
2=
n · l · a2
=n · l · f · l
2,
che equivale a
A = l2 · nf2.
Si introduce quindi una nuova costante, ϕ, definita come nf2 e dipendente
unicamente dal numero di lati del poligono regolare e si ha:
A = l2 · ϕ.
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
Poligono regolare Numero fisso ϕ
Triangolo 0,433...
Quadrato 1
Pentagono 1,720...
Esagono 2,598...
... ...
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7.6 Area dei poligoni regolari
Qualche esempio...
Capitolo 7. La circonferenza e il cerchio
7.6 Area dei poligoni regolari
Attivita. Poligoni regolariDopo averli costruiti (con questo metodo o con riga e compasso o comepossibile) si potrebbero calcolare le aree dei poligoni regolari inscritti econfrontarle con l’area del cerchio.L’area del cerchio coincide con l’area del poligono inscritto di n lati pern −→ ∞.
