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Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza

Def: Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza. La circonferenza si dice circoscritta al poligono. Def: Il raggio di un poligono inscritto in una circonferenza è la distanza tra il centro e uno qualunque dei vertici, cioè il raggio della circonferenza circoscritta. Def: Si dice circocentro di un poligono inscritto in una circonferenza il centro della circonferenza circoscritta e il punto di intersezione degli ASSI.

QUALI POLIGONI SONO INSCRITTIBILI?

⮚ TRIANGOLI: tutti i triangoli sono inscrittibili in una circonferenza. (Si trova il CIRCOCENTRO e si disegna la circonferenza circoscritta)

⮚ QUADRILATERI: Se gli angoli opposti di un quadrilatero sono supplementari (somma=1800), il

quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza.

QUINDI: ● tutti i rettangoli, i quadrati e i trapezi isosceli sono inscrittibili in una

circonferenza ● Il rombo, il parallelogramma e trapezio rettangolo e scaleno NO.

Proprietà: un triangolo rettangolo è inscrittibile in una semicirconferenza, ovvero il circocentro cade a metà ipotenusa.

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Def: Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. La circonferenza si dice inscritta nel poligono. Def: La distanza tra il centro e uno qualunque dei lati, e cioè il raggio della circonferenza inscritta, è l’apotema del poligono circoscritto. Def: Si dice incentro di un poligono circoscritto ad una circonferenza il centro della circonferenza inscritta.

QUALI POLIGONI SONO CIRCOSCRITTIBILI? ★ TRIANGOLI:

In ogni triangolo l’INCENTRO, il punto di intersezione delle bisettrici, esiste sempre, quindi TUTTI i TRIANGOLI sono CIRCOSCRITTIBILI. Proprietà: l’INCENTRO ha la stessa distanza dai lati del triangolo, APOTEMA, (CENTRO CIRCONFERENZA INSCRITTA)

★ QUADRILATERI: un quadrilatero si può circoscrivere ad una circonferenza se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. ● sono circoscrittibili: QUADRATO, ROMBO

● NON sono circoscrittibili: RETTANGOLO, PARALLELOGRAMMA

INSCRITTIBILE CIRCOSCRITTIBILE

TRIANGOLO SI SI

QUADRATO SI SI

RETTANGOLO SI MAI

ROMBO MAI SI

TRAPEZIO ISOSCELE SI Solo se la somma dei lati opposti è congruente

TRAPEZIO RETTANGOLO MAI Solo se la somma dei lati opposti è congruente

PARALLELOGRAMMA MAI Solo se la somma dei lati opposti è congruente

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Poligoni regolari e circonferenze

Proprietà Ogni poligono regolare si può inscrivere in una circonferenza e circoscrivere ad un’altra circonferenza. Le due circonferenze sono concentriche.

Def: ● centro di un poligono regolare:

centro comune della circonferenza inscritta e di quella circoscritta. ● raggio di un poligono regolare:

distanza tra il centro e uno qualunque dei suoi vertici, cioè il raggio della circonferenza circoscritta.

● apotema di un poligono regolare:

distanza tra il centro e uno qualunque dei suoi lati, cioè il raggio della circonferenza inscritta.

Proprietà dell’esagono regolare

Il lato dell’esagono regolare è uguale al raggio della circonferenza circoscritta.

Il triangolo AOB è EQUILATERO

Proprietà del triangolo equilatero

In ogni triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della circonferenza inscritta.

𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 =1

2𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜

Proprietà del quadrato

L’apotema è la metà del lato del quadrato.

𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 =1

2 𝑙𝑎𝑡𝑜