L20 Razionalità parziale Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali.

L20Razionalità parziale

Andrea Castelletti

Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali

2

Il Problema di progetto

1 1

1

10

0

, , , , 0,..., -1

( ) , 0,..., -1

0,..., -1

scenario dato

stato dato

( ); 0,..., -1

eventuali a

pt t t t t t

p p

pt t t t t

pt t

h

t

f t h

U

m U t h

t h

p m t h

x x u u w ε

u

x u u x

ε u

w

x

ltri vincoli 0,..., -1t h

1,...,

* 1 10 0 0 1

,( , *) min ( , , , , )

pt t h

p h p h h h

pJ p E i

uu x u u w ε

3

Perché l’ACB non funziona

Gli indicatori non sono esprimibili nella stessa unità di misura (difficilmente monetizzabili)Es.: come monetizzare la vita umana?

Esistono diversi indicatori (punti di vista)Es. zambesi: ogni decisore è interessato al suo beneficio

Gli indicatori sono conflittualiEs. zambesi ogni stato ha più portatori il massimo beneficio

globale non dice come è distribuito il beneficio individuale

4

Analisi a molti attributiSpesso gli obiettivi sono numerosi e incommensurabili.

Esempio Risanamento di un lago inquinato n alternative di intervento

q obiettivi

Quale scegliere?

J2

J1

min [costo]J1

min [impopolarità]J2

min [tempo]J3

min [rischio]J4

a molti attributi

5

Analisi a molti obiettivi

Esempio: Gestione delle acque di un lago regolato: infinite alternative (politiche)

q obiettivi

Vale la pena spostarsi da H ?

H

J2

J1

min [piene a valle]J2

min [deficit agricoli]J3

min [deficit idroelettrici]J4

min [zanzare] J7

min [ostacoli navigazione]J5

min [rischio igienico]J6

min [piene sul lago]J1

a molti obiettivi

6

Il Piano del SinaiObiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata,

Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1,...,7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione Ri colturale e la tecnica irrigua Ih (h=1,2,3) appropriate.

Criterio di valutazione: beneficio netto a regime

economico popolamento della regione socio-politico

e accrescere l’occupazione, presidiando al contempo la regione.

7

Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori

Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con l’ABC (richiesta inizialmente dal Ministero).

Oltre all’obiettivo economico ...

va considerato anche quello socio-politico

max agr irr tr oppB C C C

1

( , ) ( , ): ( , , )

max min ijh

ji h i h i j h F j

u

A

Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone.

, pi u w

Area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih.

8

Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative

Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma

1 7

*

, ,...,( ) max ,

p

p p

Q QJ i

uu u w

soggetto ai vincoli

1

( , ) ( , ): ( , , )

max min ijh

ji h i h i j h F j

u

A

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

1

( , ) ( , ): ( , , )

ijh ji h i h i j h F

u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )

(1 ) 0 sj sj ih ijhs s s j F i h i h i j h F

l u W u j

9

Il Problema di progetto

1 1

1

10

0

, , , , 0,..., -1

( ) , 0,..., -1

0,..., -1

scenario dato

stato dato

( ); 0,..., -1

eventuali a

pt t t t t t

p p

pt t t t t

pt t

h

t

f t h

U

m U t h

t h

p m t h

x x u u w ε

u

x u u x

ε u

w

x

ltri vincoli 0,..., -1t h

1,...,

* 1 10 0 0 1

,( , *) min ( , , , , )

pt t h

p h p h h h

pJ p E i

uu x u u w ε* 1

,( , *) min ( , )

p

p p

pJ p J p

uu u* 1 2

,( , *) min ( , ), ( , ),..., ( , )

p

p p p q p

pJ p J p J p J p u

u u u u

a MO

10

Efficienza = Pareto ottimalità

A

C

J1

J2

A

BC

J2

J1

C e’ preferibile ad A perche’ migliore rispetto a entrambi gli obiettivi

A e’dominato da C

A e B sono semidominati da C

B

11

Efficienza = Pareto ottimalità

J2

J1

soluzione efficientesoluzione non dominata da altre soluzioni

J2

J1

l’insieme di queste soluzioni è detto:

frontiera di Paretofrontiera di Pareto

12

( )J z

Formalmente

Z

1 2( ) ( ), ( ),.............., ( )qJ z J z J z J zminZz

spazio delle alternative

J2

J1 spazio degli obiettivi

frontiera di Pareto

* | : : ( ) ( ) e ( ) ( )

1,....... 1,........

j j i iz Z z Z j J z J z J z J z i jF

i q j q

Non e’ una relazione biunivoca!!

13

Soluzione di un problema a MOSpesso si suddivide la ricerca in 2 fasi:

1) determinazione della Frontiera; (metodo dei pesi, dei vincoli, del punto di riferimento)

L’idea guida è di ricondurre il problema MO a un insieme di problemi a un solo obiettivo.

2) Scelta del miglior compromesso da parte dei DM (o Portatori).Quando il DM è unico si possono “suggerirgli” dei metodi per

scegliere: massima curvatura, utopia, funzione utilità globale.

Esistono anche tecniche che non suddividono la ricerca in due fasigrazie alla partecipazione interattiva con il DM. (ad es. Pareto Race)

14

Metodi per la determinazione della frontiera

Metodo lessicografico

15

Metodo lessicograficomin ( )J z

z Z

Gli obiettivi Ji possono avere diverse priorità. Esempio:Legge Galli => stabilisce che l’uso dell’acqua per consumo umano

è prioritario rispetto agli altri usi.

Si deve tenerne conto nell’impostazione del problema di controllo. Si avrà un ordinamento degli obiettivi:

obiettivo primario, secondario …..

16


z ZSupponiamo di avere due obiettivi J1 e J2 così ordinati:

primario J2, secondario J1

1° problema2min ( )J z

z Z

J 2

J 1

sottoinsieme Z 2 dove J 2 è minimo

z 2

z 1

2° problema1

2

min ( )J z

z Z

Z

J1e J 2 minimi

J 2 minimo

17


z ZSe l’ordine è invece:

primario J1, secondario J2

1° problema1min ( )J z

z Z

J 2

J 1

z 2

z 1

2° problema2

1

min ( )J z

z Z

Z

sottoinsieme Z 1 dove J 1 è minimoJ 1 minimo

J1e J 2 minimi

estremi della

Frontiera di Pareto

18


Metodo dei pesi


19

1

min ( )q

i i

i

J z

z Z

Metodo dei pesi

Al variare di {λi} si generano i punti della frontiera.

q-1 gradi di libertà

min ( )J z

z Z

modifico il valore dei pesi

1

0 1

1

i

qi

i

J1

J2

1 1 2 2J J v

punto paretianopunto paretiano

20

Pregi e difetti

Pregio : si ottiene sempre un punto Paretiano

Difetto : non sempre si ottengono tutti i punti

J2

J1

Ciò accade quando la frontiera di Pareto non è convessa.

Punti non ottenibili

Il metodo assomiglia all’Analisi Costi –Benefici.

I pesi corrispondono ai prezzi ombra.

21


Metodo dei pesi

Metodo dei vincoli


22

L2

Metodo dei vincoliMetodo dei vincoli

J1

J2

Al variare delle soglie {Li} si generano i “presunti” punti paretiani.

min ( )J z

z Z

q-1 gradi di libertà

min ( )

( ) 1,...,

r

i i

J z

z Z

J z L i q i r

“presunto” punto paretiano

modifico il valore della soglia L2

PP

L2

23

Pregi e difetti

Difetto: non tutti i punti generati appartengono alla frontiera di Pareto

P può essere semi-efficiente! J2

J1

P

J2 =L2

Se si usa un vincolo di uguaglianza si possono ottenere punti dominati

J2

J1

PPregio: trova punti in zone concave della frontiera

J2

J1

P

24


Metodo dei pesi Metodo dei vincoli

Metodo del punto di riferimento


25

J1

J2


• Preso un punto P qualsiasi nel piano (J1,J2), definiamo una misura S:

• Le linee di livello di S sono delle spezzate con vertice lungo la retta inclinata a 45° passante per R.

• Il DM sceglie un punto R nel piano.

R

P

max , S 1 1J R 2 2J RS

S

P

S

P

S

P

2 2Jz ,R RS J 1 1Jz ,R RS J max i i

iS J z ,R J R

26


L’algoritmo cerca il punto della frontiera di Pareto “più vicino” secondo la metrica S(Ji(z),R).

Modificando R si può esplorare la frontiera di Pareto.

min ( )J z

z Z min ,

min max

z Z

i i

z Z i

S J z R

J R

R

J1

J2

PR’

Il DM fornisce R.

27

Pregio: se la trasformazione dell’insieme Z nello spazio degli obiettivi è un insieme non convesso, posso ottenere punti che non giacciono sulla retta passante per R e inclinata di 45°;

N.B.: R può appartenere all’insieme degli obiettivi realizzabili. Infatti S(J,R) non è una distanza e può quindi assumere valori negativi.

J1

J2R

R

Pregi e difetti

28

Scelta del miglior compromesso

La scelta di un punto sulla frontiera di Pareto non è una decisione tecnica, ma politica. Deve essere dunque fatta dal DM o dai decisori.

L’analista deve solo assistere (supportare) il DM nella sua scelta o gestire gli aspetti tecnici della negoziazione tra i decisori.

I metodi suggeriti nelle prossime diapositive devono essere visti come esempi di supporto al DM. La Pareto race può essere utilizzata anche nel caso di molti decisori. Si veda il Progetto Verbano.

29

Scelta del migliore compromesso criterio della max curvatura

In C la curvatura è max:non conviene spostarsi da lì per cercare una soluzione migliore.

J2

J1

C

Per migliorare di poco un obiettivo si peggiorerebbe di molto l’altro.

30

Scelta del migliore compromessocriteri dell’utopia

L’utopia U rappresenta i minimi assoluti (e indipendenti) degli obiettivi (per questo non è quasi mai realizzabile).

J2

J1

UC

Partendo da un punto H storico

J2

J1

U

H

C

Minima distanza

31

Scelta del migliore compromessocurve di indifferenza

La scelta del miglior compromesso dovrebbe rispecchiare i meccanismi di preferenza del DM.

Si utilizzano tecniche basate sui test o sulle interviste per ottenere le curve di indifferenza.

Luogo dei punti equivalentiper il DM: linee di livello della funzione utilità globale.

J2

J1

C

Il punto di compromesso è il punto C in cui una curva di indifferenza è tangente alla

frontiera di Pareto.

32

Scelta del migliore compromessoPareto race

Dato un punto R1 proposto dal DM, si determina un punto paretiano.

Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto e di assumere la decisione.

J1

J2

R1R2

In base al risultato il DM propone uno spostamento; tenendo conto di questa indicazione si individua un punto R2 e quindi un nuovo punto paretiano.

33

328R1

Scelta del migliore compromessoPareto race

Il decisore non e’ soddisfatto: vuole un valore di J2 molto più basso.E’ ancora insoddisfatto: vuole un valore di J1 più basso.

Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto edi assumere la decisione.

05

10152025303540

J1 J2

J2

J1

P2

P3

P1

Calcolo Punto di vista DM

15 40

R1

35 2028 25

R3R2

34

Dalla teoria alla pratica

Se il Problema è di Pianificazione pura, la scelta dell’uno o dell’altro dei tre metodi visti è a discrezione dell’Analista: con tutti è possibile risolvere il Problema mono-obiettivo risultante.

Se invece il Problema è di Controllo, la soluzione del Problema mono-obiettivo è “facile” solo se l’obiettivo aggregato è separabile.

Ciò richiede una scelta oculata del metodo, ma esploreremo quest’aspetti nel corso specialistico. Qui ci limitiamo a considerare solo il Problema di Pianificazione Puro.

35

Problema di Pianificazione puro

La scelta del metodo dipende dalla particolare forma del Problema considerato.

Lo mostreremo analizzando il Piano del Sinai.

36

Il Piano del SinaiObiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata,

Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1,...,7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione Ri colturale e la tecnica irrigua Ih (h=1,2,3) appropriate.

Criterio di valutazione: beneficio netto a regime

economico popolamento della regione socio-politico

e accrescere l’occupazione, presidiando al contempo la regione.

37

Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori

Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con l’ABC (richiesta inizialmente dal Ministero).

Oltre all’obiettivo economico ...

va considerato anche quello socio-politico

max agr irr tr oppB C C C

1

( , ) ( , ): ( , , )

max min ijh

ji h i h i j h F j

u

A


, pi u w

Area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih.

38

1

( , ) ( , ): ( , , )

max min ijh

ji h i h i j h F j

u

A

Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative


soggetto ai vincoli

La presenza del minimo crea qualche difficoltà: riformulare

l’indicatore

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

1

( , ) ( , ): ( , , )


u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )


l u W u j

1 7

*

, ,...,( ) max ,

p

p p

Q QJ i

uu u w

39

Il Piano del Sinai: Fase 4- Progetto delle alternative

L’obiettivo socio-politico


può essere così riformulato:

Si massimizzi essendo il minimo rapporto, tra tutte le zone, tra l’area bonificata e la massima area bonificabile (Aj) in ciascuna di esse..

max

1

( , ) ( , ): ( , , )

max min ijh

ji h i h i j h F j

u

A

1

( , ) ( , ): ( , , )

ijh

i h i h i j h F j

u

A

40

Il Piano del Sinai: Fase4 – Progetto delle alternative


soggetto ai vincoli

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

1

( , ) ( , ): ( , , )


u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )


l u W u j

1

( , ) ( , ): ( , , )

max min ijh

ji h i h i j h F j

u

A

1 7

*

, ,...,( ) max ,

p

p p

Q QJ i

uu u w

41

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

1

( , ) ( , ): ( , , )


u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )


l u W u j

Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative


soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare

55 variabili di decisione

80 vincoli

Conviene risolverlo con il metodo dei vincoli:

si fissa un valore per e si risolve il problema mono-obiettivo che ne

consegue. + 7

1 7

*

, ,...,( ) max ,

p

p p

Q QJ i

uu u w

1

( , ) ( , ): ( , , )

ijh

i h i h i j h F j

u

A

42

Il Piano del Sinai: la frontiera di Pareto

43

Il Piano del Sinai: Analisi di sensitivitàrispetto al costo opportunità Os dell’acqua della sorgente s

44

Il Piano del Sinai: Analisi di Sensitivitàrispetto alle perdite dei canali

(conviene impermeabilizzarli?)

45

Discretizzazione delle alternative

Per determinare la frontiera di Pareto la soluzione del problema andrebbe effettuata per tutti i possibili valori del parametro (ad esempio ).

In pratica è impossibile e si deve risolverlo solo per alcuni valori.

Come sceglierli?

Una griglia uniforme in raramente produce una griglia uniforme sulla frontiera.

46

Discretizzazione delle alternativeSPAZIO DEI PESI

Alternative di compromesso tra J1 e J2

2

1

2= 0

1= 0

J2

J1

Alternativa estrema: conta solo J1

SPAZIO DEGLI OBIETTIVI

Alternativa estrema: conta solo J2

47

Leggere

MODSS Cap. 17

48

Il canale del Sudd

EGITTO

SUDAN

Nilo Bianco

Lago Nasser

Nilo Azzurro

Khartoum

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