Modelli e indicatori

Andrea CastellettiPolitecnico di Milano

MCSA 07/08MCSA 07/08L12L12

Volga

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Gli indicatori

Un indicatore quantitativo i è un funzionale delle traiettorie 0hx 1

0hu 1

0hw

1h

0,...,H h orizzonte di valutazione o orizzonte di progetto

1 10 0 0 1( , , , , )h p h h hi i x u u w

3

1

10

0

( , , , , ) ( , )

dato

hp p

t t t t t h ht

i g x u u w g x u

x

L’orizzonte finito

• Orizzonte finito: non ci si preoccupa di ciò che accadrà oltre tale orizzonte

penale sullo stato finale

penale sullo stato finale

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Gli indicatori

Un indicatore quantitativo i è un funzionale delle traiettorie 0hx 1

0hu 1

0hw

1h

0,...,H h orizzonte di valutazione o orizzonte di progetto

1 10 0 0 1( , , , , )h p h h hi i x u u w

1( , , , , ) 0,..., 1; ( , ) p pt t t t t h hi g x u u w t h g x u

i è separabile se:

dove è un operatore temporale (ad esempio max o ).

si può sempre rendere i separabile, ma ciò comporta un costo:l’allargamento dello stato!!

indicatore per passo

penale

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Allargamento dello statoObiettivo: produzione di biomassa

t tstress totale stress g

Stato : stato delle foglie : acqua residua contenuta nel terreno

1tx2tx

1 1, ,,tt t t t tx ug g u NON SEPARABILE

ALLARGAMENTO FISICOALLARGAMENTO LOGICO

Stato : stato delle foglie : acqua fornita il giorno precedente = ut-1

1tx2tx

Stato : stato delle foglie : acqua fornita all’istante t : precipitazioni

tx

tu

1t

1 21, , ,t t t tt t x x ug g

SEPARABILE!

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2, , ,t t tt t tx x ug g

SEPARABILE!

tx 1tx

2tx

1tx2

tx

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Allargamento dello statoL’allargamento dello stato produce un aumento esponenziale del

tempo di calcolo.

Tempo di calcolo

Dimensione stato

1021

100

1000

3

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Indicatore per passo

condizioni sulla gt :

1( , , , , )pt t t t t tg g x u u w

( ) ( ) 0,1,... 1,2,...t t kTg g t k ( )tg è periodica

1( , , , , ) pt t t t tg g x u u w G ( )tg è limitata

1( , , , , )pt t t t tg x u u w

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Indicatore per passo

Può accadere che l’argomento naturale di un indicatore

per passo non sia direttamente la tupla ( xt , u p, ut , wt , t +1)

1_

1( )

p

Loc SCMSt Loc p t

p Np

i hN

livello lacualeEsempio:

1

il costo ( ) è ( ) e il suo argomento ma ( , , , , ).

Loc Sct p t

Sc pt t t t t

g hh h x u u w

Conviene definire quale uscita del sistema. Locp

Indirettamente dunque l'argomento è la solita tupla.

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Indicatore per passo

Possiamo quindi assumere che

sia sempre un’uscita del modello di un componente.Pertanto la funzione

gt ( . ) è una componente della funzione di trasformazione d’uscita di tale componente.

1( , , , , )pt t t t tg x u u w

Gli indicatori per passo sono parte dei modelli dei componenti e, come tali, vanno identificati.

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Indicatori casuali

Tutte le volte che il sistema è affetto da un disturbo casuale t+1

e gt dipende direttamente o indirettamente (tramite xt e ut ) da esso

anche gt è casuale

l’indicatore i è casuale e non può essere utilizzato così come è.

Serve una statistica per filtrare il disturbo

1,...,

1 10 0 0 1( , , , , )

t t h

h p h h hJ E i x u u w

1,...,

1 10 0 0 1max ( , , , , )

t t h

h p h h hJ i x u u w

1,...,

1 10 0 0 1var ( , , , , )

t t h

h p h h hJ i x u u w

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Criteri di filtraggio del disturbo

La scelta del criterio dipende dall’avversione al rischio dei Portatori:

1,...,t t h

E

criterio di Laplace

1,...,

maxt t h

criterio di Wald

Non tratteremo però della scelta del criterio in questo corso.

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Leggere

MODSS Par. 4.10