Il Tasso Interno di Rendimento: TIR

• Nella valutazione della profittabilità dei progetti privati si è soliti calcolare il tasso interno di rendimento, che è il tasso di sconto che renderebbe il valore attuale del progetto pari a 0, ovvero quello che consente di recuperare al tempo T il valore dell’investimento iniziale.

• Ne deriva che un progetto è ammissibile se supera il costo opportunità dell’investimento. Per esempio, se il progetto ha un tasso di rendimento del 4%, mentre con altri investimenti l’azienda può ottenere solo il 3%, il progetto dovrebbe essere realizzato.

• Nel caso più semplice di un investimento non rischioso quale il deposito bancario, si confronta il tasso di interesse del deposito con il TIR dell’investimento alternativo: se il TIR è maggiore, conviene effettuare l’investimento alternativo.

• Se si vogliono comparare due progetti alternativi, ma entrambi ammissibili, si deve scegliere quello con il TIR più alto.

Tempo di Recupero

• Un altro criterio utilizzato per stabilire la convenienza di

un progetto in confronto ad altre opzioni è quello del

tempo di recupero (payback period).

• Il tempo di recupero di un progetto indica il periodo

necessario ad un investimento per recuperare il capitale

complessivamente investito.

Il Tempo di recupero

Per calcolare il payback period:

• Si sommano i flussi futuri di costi e benefici finché il cumulo dei benefici non supera il cumulo dei costi.

• O, analogamente, finché il cumulo delle differenze tra Benefici e Costi diventa positivo.

• Il tempo di recupero è il tempo in cui la cumulata

dei flussi di cassa diventa positivo.

• E’ un criterio che può essere utilizzato soprattutto quando il progetto prevede un forte investimento iniziale, seguito da un flusso di benefici.

Il Criterio del Tempo di recupero

Secondo la regola del tempo di recupero, è opportuno effettuare le sole operazioni che “recuperano” il costo dell’investimento nell’arco di tempo desiderato.

Come scegliere il progetto da realizzare?

• Fisso uno standard – es. “realizzo i progetti con un tempo di recupero inferiore a 3 anni” – e scelgo l’investimento che lo soddisfa.

• Fra più progetti scelgo quello con il tempo di recupero più breve.

Tempo di recupero

r

0.05

Anni

Fattore

di

sconto Benefici Costi Cum B Cum C Diff.

cum

0 1 300 5000 300 5000 -4700

1 1.05 3000 2500 3300 7500 -4200

2 1.102 4000 1000 7300 8500 -1200

3 1.158 2500 500 9800 9000 800

9800 9000

Tempo di recupero: vantaggi e limiti

Vantaggi:

• Il suo significato è di facile comunicazione e comprensione

• E’ adatto a valutare gli investimenti routinari di piccola entità

• E’ utile per valutare il grado di liquidità degli investimenti: più corto

è il periodo di recupero, più liquido sarà l’investimento

Limiti:

• In generale, si tratta di un metodo imperfetto, soprattutto perché

non tiene conto dei flussi di denaro più avanti nel tempo, né del

valore attuale dei futuri flussi.

• Il flusso di cassa al tempo 1 è equivalente a quello al tempo n

(equivale ad ipotizzare r = 0%)

• Discrimina gli investimenti a più lunga produttività poiché non

considera i flussi di cassa successivi al periodo di recupero (ad

esempio gli investimenti in R&S) • La scelta del periodo standard è arbitraria.

Tempo di recupero: criticità

50 2 0 500 1800 2000 - C

58 - 2 0 1800 500 2000 - B

2,624 3 5000 500 500 2000 - A

10% al VAN Tempo

di recupero V V V V Progetto 3 2 1 0

+

+

• Il rapporto costi-benefici è dato dal rapporto tra la somma dei

Benefici e la somma dei Costi: B/C

• Perché un progetto sia ammissibile, tale rapporto deve essere

superiore a uno.

• L’applicazione di questa regola fornisce sempre un’indicazione

corretta. Per capire perché, basta semplicemente pensare che

B/C > 1 implica che B – C > 0 il che equivale a valutare un

progetto in base al valore attuale.

• Il rapporto tra la somma dei Benefici e quella dei Costi deve

essere fatto preferibilmente con i valori attualizzati

Il Criterio del rapporto Costi-

Benefici

Rapporto Costi-Benefici

r

0.05

Anni Fattore di

sconto Benefici Costi Benefici attualizzati

Costi attualizzati B/C

B/C

attualizzati

0 1 300 5000 300 5000 1.088 1.026

1 1.05 3000 2500 2857.14 2380.9

2 1.102 4000 1000 3628.12 907.03

3 1.158 2500 500 2159.59 431.92

9800 9000 8944.85 8719.9

• Utilizzare il rapporto costi-benefici come base per confrontare progetti ammissibili è sconsigliato. Infatti i risultati del metodo possono essere influenzati dal modo in cui vengono definiti i costi e i benefici.

• Per esempio: dobbiamo valutare due progetti per la raccolta e smaltimento dei rifiuti.

• il progetto 1 prevede un termovalorizzatore per l’indifferenziata con B= 2.5 milioni di euro, C = 1 milione di euro e quindi un rapporto costi-benefici di 2.5;

• il progetto 2 prevede la raccolta differenziata e il riciclo, con B = 2 milioni di euro, C = 1 milione di euro e quindi un rapporto costi-benefici di 2.

Benefici Costi B/C VAN

Progetto

1 250 100 2.5 150

Progetto

2 200 100 2 100

Il rapporto costi-benefici

Entrambi i criteri, VAN e

B/C, indicano come più

vantaggioso il Progetto 1

• Ora supponiamo che analizzando il progetto del termovalorizzatore ci si accorga che occorre considerare un danno di 400.000 euro prodotto dall’inquinamento atmosferico causato dal termovalorizzatore.

• Se i 400.000 euro fossero considerati come una riduzione dei benefici del termovalorizzatore, il rapporto B/C sarebbe 2.100.000/1.000.000 = 2.1 ed il progetto 1 sarebbe ancora preferibile al progetto 2

• Però i 400.000 euro possono essere anche considerati come aumento dei costi e in tal caso B/C = 2.5/1.4 = 1.79, quindi si preferirebbe il progetto 2!

Benefici Costi B/C VAN

Progetto 2 200 100 2 100

Progetto

3.a 250 140 1.79 110

Progetto

3.b 210 100 2.1 110

Il rapporto costi-benefici

Il criterio B/C indica come più

vantaggioso il Progetto 2 rispetto al

Progetto 3 (a), ed il Progetto 3 (b)

rispetto al Progetto 2. Quindi

l’assegnazione della esternalità in

sottrazione al numeratore o in

addizione al denominatore modifica la

scelta. Il VAN invece è neutrale: dà

sempre la stessa indicazione

Il tasso di sconto

per il settore pubblico

• Nel settore pubblico non solo i costi e i benefici, ma anche i tassi di sconto devono essere calcolati in modo diverso da come viene fatto per il settore privato.

• In particolare, il tasso di sconto scelto da imprenditori privati dovrebbe riflettere il tasso di rendimento di eventuali investimenti alternativi. Sebbene sia praticamente difficile individuare con esattezza questo tasso, a livello teorico si è convenuto che il costo opportunità dell’investimento alternativo più realistico dia il riferimento per l’individuazione del tasso di sconto privato

• Invece non vi è il medesimo consenso circa il tasso di sconto concettualmente corretto per i progetti pubblici.

Il tasso sociale di sconto

• Secondo alcuni, il tasso di sconto pubblico dovrebbe essere

uguale a quello privato.

• Secondo un’altra corrente di pensiero, la valutazione della spesa

pubblica dovrebbe tener conto del tasso sociale di sconto, che

sarebbe il valore che la società attribuisce al consumo sacrificato

per finanziare un dato progetto.

• Ma perché il valore attribuito dalla società al costo opportunità di

un consumo corrente dovrebbe essere diverso dal costo

opportunità espresso dai tassi di rendimento del mercato?

• Ecco alcune ragioni:

• Interesse per le generazioni future: se si applica un tasso di sconto di mercato si possono quasi azzerare i valori di costi e/o di benefici che si realizzano nel lunghissimo periodo

• Paternalismo: si ritiene che gli individui non siano in grado di valutare adeguatamente il valore di benefici e/o costi futuri

Il tasso sociale di sconto

Valutazione del rischio

• Alcuni progetti sono più rischiosi di altri: è possibile che le

previsioni dei costi e/o dei benefici in alcuni casi siano più

«incerte» rispetto ad altri casi.

• Per esempio, la valutazione dei benefici delle energie

rinnovabili è basata sulle aspettative relative agli incentivi

economici messi a disposizione dal governo. Ma le politiche

possono cambiare, talvolta in modo difficilmente prevedibile.

• Inoltre, il costo opportunità dell’investimento in energie

rinnovabili dipende anche dal prezzo delle energie fossili: per

esempio una forte riduzione del prezzo del petrolio aumenta il

costo opportunità delle rinnovabili –quindi l’incertezza sul

prezzo futuro del petrolio aumenta l’incertezza circa il valore

netto dell’investimento in energia rinnovabile.

Valutazione del rischio

• Per tenere conto della maggiore o minore incertezza

relativa ai valori di costo e/o beneficio di un progetto si

possono seguire diverse strategie.

• Un metodo semplice consiste nel determinare un

«equivalente certo» del valore incerto, e sostituirlo a

questo nel calcolo del VAN.

• In pratica, questo si traduce in uno «sconto» ulteriore del

valore netto del progetto, in quanto si detrae un «premio

al rischio» dal valore atteso.

Valutazione del rischio

• Secondo la Teoria dell’Utilità Attesa, l’utilità di una distribuzione è data dalla media

dei risultati possibili, ponderata per le rispettive probabilità

• Per esempio, se ho una distribuzione di tipo binomiale, in cui ho il 50% di

probabilità di ottenere 100€ ed il 50% di probabilità di ottenere 0€, l’utilità attesa

sarà data dalla somma delle utilità di 100€ moltiplicata per 0.5 (probabilità p), e

dell’utilità di 0€ moltiplicata per 0.5 (probabilità (1-p) )

• Se per un individuo risulta essere equivalente «giocare la lotteria» o ricevere 30€

con certezza, questo vuol dire che l’utilità attesa della lotteria (EU: Expected

Utility) è uguale all’utilità di 30 € (CE: Certainty Equivalent)

• EU = 0.5 × U(0) + 0.5 × U(100) = U(30)=U(CE)

Valutazione del rischio

• In pratica l’individuo attribuisce alla lotteria il valore di 30€. Ma qual è il valore atteso della lotteria?

• EV= 0.5 × (100)+ 0.5 × (0)= 50€

• Il valore attribuito alla lotteria è cioè «scontato» per il rischio: si paga un premio al rischio (π) pari a 20€ (la differenza tra il valore atteso della lotteria ed il suo equivalente certo)

• La avversione al rischio è rappresentata analiticamente da una funzione di utilità concava, che è anche interpretabile in termini di utilità marginale decrescente del denaro.

U(m)

U(100)

U(50)

U(0) EV

EU=U(CE)

π m

CE

100

0

0.5

0.5

~ 30

La lotteria F ha la stessa utilità

dell’ Equivalente Certo (CE)

F:

Utilità attesa della lotteria= Utilità

del CE

EU = 0.5 * U(0) + 0.5 * U(100) =

U(CE)

EV = 0.5 * 0 + 0.5 * 100 = 50

Valore atteso della lotteria –

Equivalente certo = Premio al

rischio

EV – CE = π

50 – 30 = 20

UTILITÀ ATTESA E AVVERSIONE AL RISCHIO

Valutazione del rischio

• Nel computo del VAN possiamo sostituire alla distribuzione di

probabilità relativa ai risultati incerti di costo e/o beneficio il

valore dell’equivalente certo, che è uguale al valore atteso

della distribuzione meno il premio al rischio.

• A parità di valore atteso, più una distribuzione è «rischiosa» (ha

una varianza o deviazione standard maggiore) più sarà alto il

premio al rischio che un individuo avverso al rischio sarà

disposto a pagare. Per esempio: la distribuzione di probabilità

F= 0.5 × 100€ + 0.5 × 0€ ha lo stesso valore atteso (50€)

della distribuzione G = 0.5 × 60€ + 0.5 × 40€, ma una

deviazione standard maggiore (è più «rischiosa»), quindi il

premio al rischio associato a F sarà maggiore di quello

associato a G

Esempio Valutazione del rischio

r

0.05

Anni Fattore di

sconto Benefici Costi Benefici

att. Costi att. B-C Valore

Attuale VAN

0 1 300 5000 300 5000 -4700 -4700 224.9541

1 1.05 3000 2500 2857.143 2380.952 500 476.1905

2 1.1025 4000 1000 3628.118 907.0295 3000 2721.088

3 1.157625 2500 500 2159.594 431.9188 2000 1727.675

Incertezza sui benefici dell’ultimo periodo: 2500 è il valore atteso, non più un valore certo.

Supponiamo di dover calcolare un premio al rischio pari al 20% del valore atteso: l’equivalente

certo sarà 2000, che sostituiamo al valore dei benefici dell’ultimo periodo

Anni Fattore di sconto Benefici Costi

Benefici att. Costi att. B-C

Valore Attuale VAN

0 1 300 5000 300 5000 -4700 -4700 -206.965

1 1.05 3000 2500 2857.143 2380.952 500 476.1905

2 1.1025 4000 1000 3628.118 907.0295 3000 2721.088

3 1.157625 2000 500 1727.675 431.9188 1500 1295.756

Esempio Valutazione del rischio

• Tenere conto del rischio fa ulteriormente “scontare” il

valore, e, nel caso dell’esempio, modifica il risultato finale

della valutazione ACB, dato che il VAN diventa negativo.